IV. SYSTEMES DE NUMERATION Niv : BTS 1 IV.2 Description des systèmes de numération Cours n 6 Rep : Autom Numération et codage Page 1 sur 8

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1 Rep : Autom Numération et codage Page 1 sur 8 1 INTRODUCTION : Nature de l'information Dans le quotidien, on a l'habitude d'exprimer les nombres dans le système de numération décimal. En automatismes, il faut pouvoir ramener toutes les données (nombres, lettres, codes divers,...) à un format binaire. Pour cela, il faut disposer d'autres systèmes (certains intermédiaires) de numération et de codage. On considère un API chargé de contrôler le niveau dans une cuve : L'API gère des informations de 3 natures différentes : IW4.0 I (ma) LSL Nature des informations API E/S TOR %I1.6 Détecteurs de niveau BP_dcy LSH XV1 140cm 7 10 %I1.7 %I1.8 E ANA %IW4.0 LSL LAL 80cm 20cm Transmetteur Niveau en cm de niveau Informations logiques : Les détecteurs LAL1, LSL1 et LAH1 délivrent des signaux logiques (ou TOR) aux entrées de l'api.. En fonctions des signaux reçus des détecteurs, les entrées logiques %I1.6, %I1.7 et %I1.8 ne peuvent prendre que 2 états : l'état logique "1" ou l'état logique "0". Remarque : L'état d'une entrée logique dépend de la tension présente à ses bornes. Pour la plupart des automates, le niveau logique "1" correspond à la présence d'une tension de 24V et le niveau logique "0" à une tension de 0V. On ne peut toutefois jamais atteindre exactement ces valeurs. Des plages de variation sont donc admises autour de ces valeurs théoriques : on donne par exemple ci-contre la définition des niveaux logiques pour le module d'entrée TSX DMZ 28 DR. Information analogique : Le transmetteur de niveau LT envoie un courant qui est une fonction affine du niveau dans la cuve. Le tracé ci-dessus représente la caractéristique I=f(h) si le transmetteur est étalonné de la façon suivante : niveau 20 cm : I = 4 ma. niveau 140 cm : I = 20 ma Le courant I peut prendre une infinité de valeurs. Information numérique : L'information analogique issue du transmetteur ne peut-être exploitée directement par l'automate. Ce dernier doit convertir cette information analogique en information numérique. Le mot %IW4.0 est le mot qui sera associé par l'api au courant I. Le tracé ci-dessus représente l'évolution de %IW4.0 quand le module de conversion analogique a été configuré de la façon suivante : courant 4 ma : %IW4.0 = 2. courant 20 ma : %IW4.0 = 14 %IW4.0 ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Dans l'api, %IW4.0 est traité comme un nombre binaire. * A I LT XV2

2 Rep : Autom Numération et codage Page 2 sur 8 2 Nombres binaires : 2.1 Systèmes de numération pondérés : Pour compter des objets et les représenter par des nombres, on utilise le plus souvent des systèmes de numération pondérés. La définition d'un système pondéré repose sur les trois notions de base, de digit et de poids. - La base B est le nombre de valeurs possibles pour un DIGIT. En base 10 B=10 - Le Digit D est la valeur du chiffre qui occupe une position. D prend les valeurs 0 à B-1. - Le rang R : C'est la position du digit noté de 0 à n de droite à gauche. - Le poids P : C est la valeur représentée par un digit de valeur 1 : P = B R. En posant ces définitions, la valeur du nombre en système décimal s'écrit : (N) 10 = Σ D i x P i pour i=0 à n si il y a n rang. exemple 1 : nombre décimal (base 10) Rangs (R) Rang 3 Rang 2 Rang 1 Rang 0 Poids (P) = B R Valeur des DIGITS (D) Valeur en décimal : (N) 10 = 2 x x x x 7 = 2007 exemple 2 : nombre binaire (base 2) Rangs (R) Rang 3 Rang 2 Rang 1 Rang 0 Poids (P) = B R Valeur des DIGITS (D) Valeur en décimal : (N) 10 = 1 x 8 0 x 4 0 x 2 1 x 1 = 9 MSB LSB (most significant bit ou bit de poids fort) (least significant bit ou bit de poids faible) exemple 3 : nombre octal (base 8) Rangs (R) Rang 3 Rang 2 Rang 1 Rang 0 Poids (P) = B R Valeur des DIGITS (D) Valeur en décimal : (N) 10 = 1 x x 64 4 x 8 7 x 1 = 551 exemple 4 : nombre hexadécimal (base 16) 134A. Rangs (R) Rang 3 Rang 2 Rang 1 Rang 0 Poids (P) = B R Valeur des DIGITS (D) A Valeur en décimal : (N) 10 = 1 x x x 16 1 x 1 = Méthodes de conversion inverse : expression d'un décimal (N) 10 dans une autre base. a Méthode des divisions successives : Il suffit de poser la division par B ( ici 2 ) et continuer jusqu'à un résultat nul. La suite des restes donne le nombre binaire. Exemple 1 : On lit les restes dans le sens de la flèche et on obtient le nombre binaire : (9) 10 = (1001)

3 Rep : Autom Numération et codage Page 3 sur 8 Exemple 2 : (511) 10 = (1FF) =F =F b Méthode du bit de poids fort : On cherche le poids le plus fort inférieur au nombre décimal que l on veut convertir, puis après l avoir soustrait on continue avec le reste. Exemple 1 : (9) 10 = ( ) 2 reste Exemple 2 : (141) 10 = (2 1 5) 8 reste Tableau de conversion directe entre bases sur 4 bits : Le tableau ci-contre, donne à partir des règles énoncées précédemment, la correspondance entre les différents systèmes pondérés pour les 16 chiffres hexadécimaux. Décimal Binaire Octal Hexadéci mal A B C D E F Format des nombres binaires dans les API : exemple du TSX 37 a taille de mots: Il existe différents types d'objets qui sont définis en fonction de leur taille : byte (ou octet) est un mot de 8 bits. - un bit est une variable booléenne (logique) : ex %M58 ou %S13 (ou %MW10:X4) - un byte (ou octet) est un mot de 8 bits : ex : %MB50 - un word est un mot de 16 bits : ex : %MW10. - un double word est un mot de 32 bits : ex : %MD20 Si les objets bits et les objets mots ont des espaces mémoires séparés dans le TSX37, les objets mots partagent le même espace mémoire, quelle que soit leur longueur. Il faut donc veiller à appliquer des règles de recouvrement afin de ne pas écrire les données les unes sur les autres, ce qui entraînerait des pertes d'information : Il y a recouvrement entre : _ le mot double longueur %MDi et les mots simple longueur %MWi et %MWi+1 (le mot %MWi renfermant les poids faibles et le mot %MWi+1 les poids forts du mot %MDi), _ le mot simple longueur %MWi et les octets %MBj et %MBj+1 (avec j=2 x i),

4 Rep : Autom Numération et codage Page 4 sur 8 Exemple d'application : stockage des valeurs issues du transmetteurs de niveau L'entrée analogique %IW4.0 vue en I/ est traitée dans l'automate comme un mot de 16bits. - Quelles sont les valeurs binaires minimale et maximale que peut prendre %IW4.0? - Quelles sont les valeurs hexadécimales minimale et maximale que peut prendre %IW4.0? ( ) 2 à ( ) 2 ; (0000) 16 (FFFF) 16 - A l'aide d'instructions OPERATE, on veut stocker la valeur de %IW4.0 correspondant aux niveaux des détecteurs LAL (au déclenchement), LSL et LSH (à l'enclenchement). Proposez un programme qui permette le stockage de ces données sachant que la première adresse libre est 18, qu'un mot double est utilisé par l'application à l'adresse 20. L'entrée analogique a été configurée de la façon suivante : courant 4 ma : %IW4.0 = 200 courant 20 ma : %IW4.0 = Quelle sera la valeur binaire de %IW4.0 si le niveau dans la cuve est de 85,2 cm? - Quelle sera cette valeur si le niveau dans la cuve est de 95,312 cm? Doit-on utiliser un mot double? %IW4.0 = 953. inutile l'entrée ne fait que 12 bits. b valeur des mots. On peut écrire les valeurs numériques dans PL7 suivants divers formats : Type Taille Exemple de valeur valeur mini valeur maxi Entier base 10 Simple longueur Double longueur Entier base 2 Simple longueur 2# # # Double longueur 2# # # Entier base 16 Simple longueur 16#AB20 16# #FFFF Double longueur 16#5AC10 16# #FFFF FFFF exemple d'application : Alarme de niveau L'entrée analogique %IW4.0 est utilisée pour allumer un voyant orange quand le niveau dépasse un certain seuil. En fonction du Ladder qui figure ci-dessous, donnez la valeur de ce seuil : COMPARE %IW4.0 >16#52D 3 Nombres binaires signés: Etape3 1325mm 3.1 Signe d'un nombre binaire Lorsqu on désire travailler sur des nombres binaires signés (c est-à-dire affectés d un signe), se pose le problème de l expression de ce signe à l aide des seuls symboles disponibles en binaire, le 0 et le 1. Par convention, le signe d un nombre binaire est représenté par son bit de poids fort (MSB), 0 si le nombre est positif, 1 s il est négatif. Exemples : sur 4 bits, le nombre 0101 est positif, le nombre 1000 est négatif. LAL N LSL P LSH P S OPERATE %MW18:=%IW4.0 OPERATE %MW19:=%IW4.0 OPERATE %MW22:=%IW4.0

5 Rep : Autom Numération et codage Page 5 sur Complément à 2 Il y a plusieurs conventions possibles pour représenter un nombre binaire négatif. La plus utilisée est celle du complément à 2. Le complément à 2 d un nombre binaire, c est le nombre qu il faut lui ajouter pour obtenir la puissance de 2 immédiatement supérieure. Exemple : chercher le complément à 2 de La puissance de 2 immédiatement supérieure est (soit, en décimal, 2 4 ). Pour trouver le nombre binaire cherché, il faut effectuer la soustraction Celle-ci est plus facile si l on remarque que = ; en effet, la soustraction se fait alors sans retenue. On posera alors (a) puis on ajoutera 1 (b) : (a) = 0110 Le résultat intermédiaire (0110) est appelé complément à 1. Il est très facile à obtenir : il suffit de complémenter chaque bit du nombre initial. Attention : si les nombres sont codés sur 4 bits, il faut tenir compte des 0 non significatifs. (b) = 111. Le complément à 2 de 1001 est 111. On peut le vérifier en faisant la somme du nombre et de son complément à 2 : = Exemple d'application : expression du niveau autour d'une valeur médiane On revoit la configuration de l'entrée %IW4.0 de la façon suivante : courant 4 ma : %IW4.0 = -600 courant 20 ma : %IW4.0 = Quelle sera la valeur binaire de %IW4.0 si le niveau dans la cuve est de 85,2 cm? y=ax+b; a =10, b=-800; %IW4.0 = 25 = ( ) 2 - Quelle sera la valeur binaire de %IW4.0 si le niveau dans la cuve est de 75,2 cm? %IW4.0 = -48; 48 = ( ) 2-48 = ( ) 2 4 Nombres à virgule flottante (réels) 4.1 Norme IEEE 754 La plupart des calculs scientifiques ne peuvent se faire efficacement en utilisant des entiers. Les mots doubles ne peuvent coder des grandeurs > Il faut utiliser pour cela de nombres à virgule flottante. La norme IEEE 754 (reprise par la norme internationale CEI 60559) spécifie deux formats de nombres en virgule flottante (et deux formats étendus optionnels) et les opérations associées. La répartition des bits est la suivante, où 1 M < 2 : Encodage Signe Exposant Mantisse Valeur d'un nombre Simple 32 bits 1 bit 8 bits 23 bits (-1) S M 2 (E-127) précision Double précision 64 bits 1 bit 11 bits 52 bits (-1) S M 2 (E-1023) Remarque 1 : Les nombres flottants ne sont pas tout à fait des nombres réels : la mantisse ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, alors que les réels peuvent prendre une infinité de valeurs. Remarque 2 : Il est déconseillé de manipuler des opérandes qui diffèrent de plus d'un facteur Exemple : Une itération %MF2:=%MF2+%MF0 avec %MF0 = 1,0 plafonnera à (2 24 ). cf Manuel référence PL7 tome 2 p121

6 Rep : Autom Numération et codage Page 6 sur Format des nombres binaires dans les API : exemple du TSX 37 a taille de nombres réels: les nombres à virgule flottante (float), sont dans les automates des mots de 32 bits. Ils sont caractérisés par la lettre de format F. exemple : %MF42. b valeur immédiate de nombres réels: Type Taille Exemple de valeur valeur mini valeur maxi Flottant - 32bits 1.32E E E+38 Exemple d'application : expression du niveau sous forme d'un pourcentage On désire exprimer le niveau dans la cuve sous la forme d'un pourcentage. Pour conserver la précision de la mesure, le pourcentage se fera avec un chiffre après la virgule. Il faut pour cela convertir le nombre entier %IW4.0 en un nombre réel. L'entrée analogique a été configurée de la façon suivante : courant 4 ma : %IW4.0 = 200 (0%) courant 20 ma : %IW4.0 = 1400 (100%) % MF12 doit contenir la valeur en pourcentage. Donnez l'équation qui permet d'obtenir %MF12. Y a-t-il recouvrement entre %MF10 et %MF11?* %MF12:= a * %MF10 + b avec a = 100/1200 = 8, E -2 et b = -a * 200 = -1, Remarques : Les nombres réels littéraux doivent comporter une virgule : 200 est un entier, est un réel. %MF10:=INT_TO_REAL(%IW4.0) %MF14:= 100.0/ %MF16:= -%MF14*200.0 %MF12:= %MF14*%MF10 + %MF16 5 Codes binaires On appelle "codes" les systèmes de numération non pondérés, c'est-à-dire les systèmes ne pouvant pas s'écrire sous la forme : (N) 10 = Σ D i x P i. Ces systèmes ne sont pas adaptés à l'exécution d'opérations mathématiques. 5.1 Code binaire réfléchi ou code GRAY Dans certains cas, pour les codes étudiés précédemment, le passage d'un nombre à l'autre entraîne le changement de plusieurs bits. Le changement de tous les bits ne pouvant se faire simultanément, des codes erronés peuvent apparaître pendant la transition. Le code GRAY se caractérise par le fait que lorsque l'on passe d'un nombre au suivant, il n'y a qu'un bit qui change à la fois, évitant ainsi les aléas de transition. Le code GRAY est principalement utilisé dans les codeurs absolus. Un codeur rotatif absolu, à la différence d'un codeur rotatif incrémental, délivre un code numérique binaire. Si un codeur possède N pistes, associés à N capteurs optiques, alors il délivrera à l'api un mot de N bits. La position et le sens sont connus dès la mise sous tension. Il n'y pas nécessité d'opérer une prise d'origine comme c'est le cas lorsque l'on utilise un codeur incrémental. capteurs optiques Exemple de codeur absolu 5 bits

7 Rep : Autom Numération et codage Page 7 sur 8 position BINAIRE PUR GRAY g 4 g 3 g 2 g 1 g 0 CODE BCD g0 g1 g2 g3 g4 Une carte de conversion spéciale est souvent nécessaire pour réceptionner le mot binaire en provenance du codeur. Les bits g4 à g0 forment un mot utilisé pour donner la position sur l'axe, après conversion par l'automate en entier binaire. Exemple (TSX 37): Exemple d'application : mesure du niveau dans la cuve On utilise un codeur absolu 12 bits afin de déterminer la hauteur dans la cuve. Un module CTZ1B permet de récupérer un mot %IW4.0 écrit en code GRAY. Quel est l'intérêt d'utiliser ce type de transmission plutôt que celle étudiée précédemment? Liaison numérique : peu d'influence des perturbations Quel doit être le diamètre de la poulie pour que le codeur fasse un tour entre les niveaux 20 et 140 cm? 2π R = 120 : R = 19,09cm. On récupère le mot %IW4.0 = dans l'api. Quel est le niveau de liquide dans la cuve? code binaire correspondant : Codeur absolu Poulie flotteur contrepoids B= On applique la formule b 11 =g 11 ; b 10 = b 11 g 10 ; b 9 = b 10 g 9 valeur décimale : équation %IW4.0 / 2 12 = h / / 6 donc h = 970 =97cm Liaison numérique API E/S TOR CTZ 1B %IW4.0

8 Rep : Autom Numération et codage Page 8 sur Code B.C.D. (Binary Coded Decimal) Chaque chiffre d'un nombre décimal est codé en binaire pur. Comme un chiffre décimal nécessite 4 bits, on aura autant de groupes de 4 bits qu'il y a de chiffres dans le nombre. Ce type de code est utilisé pour afficher des valeurs sur des afficheurs de type 7 segments. Exemple : 1264 codé en B.C.D. donne ( ) BCD Exemple de conversion sous PL7 I3 I2 I1 I0 MSB LSB Décodeur 7447 a b c d e f g Afficheur f e a d g b c 5V 5.3 Code A.S.C.I.I. (American Standard Code for Information Interchange) C est le code le plus couramment utilisé pour décrire les principaux caractères utilisés dans les ordinateurs, systèmes programmables... Le tableau 2 ci-dessous donne le code ASCII pour des mots numériques de sept bits (128 combinaisons). ASCII b 7 b 6 b b 4 b 3 b 2 b 1 Hexa (NUL) (DLE) espace P ` p (SOH) (DC1)! 1 A Q a q (STX) b (DC2) " 2 B R b r (ETX)!! (DC3) # 3 C S c s (EOT) (DC4) 4 D T d t (ENQ) _ (NAK) % 5 E U e u (SYN) (ACK) & 6 F V f v (BEL) b (ETB) 7 G W g w (BS) (CAN) ( 8 H X h x (HT) (EM) ) 9 I Y i y 1010 A (LF) (SUB) * : J Z j z 1011 B (VT) (ESC) + ; K [ k { 1100 C (FF) (FS), < L \ l 1101 D (CR) (GS) - = M ] m } 1110 E (SO) (RS). > N ^ n 1111 F (SI) (US) /? O _ o DEL exemple d'application : Message reçu du capteur numérique de la cuve. Le capteur envoie une suite de caractères. Ces caractères sont stockés à partir de l'octet %MB30 dans l'api %MB Valeur hexadécimale Quel est le message reçu? 'D' 'e' 'f' 'a' 'u' 't' Exemple de raccordement d'un afficheur 7 segments. I3 à I0 codent le chiffre qui doit être affiché en code BCD.