Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode

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1 Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en un produit de facteurs. Développer, c est transformer un produit de facteurs en une somme ou une différence de termes. Ainsi : FACTORISATION Les expressions ( ) et ( ) sont des formes factorisées. Les expressions et sont des formes développées. Dans ces expressions, est appelé le facteur commun aux termes et car multiplie non seulement le nombre dans le premier terme mais aussi le nombre dans le deuxième terme. Prenons quelques exemples pour bien comprendre comment factoriser 1 ère factorisation : Cette expression est la somme de deux termes : le premier terme est et le second terme est. Chacun de ces termes contient le facteur. Dans l expression de, le nombre est donc le facteur commun à et. 2 ème factorisation : Cette expression est la différence de deux termes, d une part et d autre part. Chacun de ces termes contient le facteur. Dans l expression de, est donc le facteur commun à et. 1

2 3 ème factorisation : Cette expression est la somme de deux termes, d une part et d autre part. Chacun de ces termes contient le facteur. Dans l expression de, est donc le facteur commun à et. 4 ème factorisation : Cette expression est la somme de deux termes, d une part et d autre part. Chacun de ces termes est multiple de. En effet, et. On réécrit l expression initiale en mettant le facteur commun en évidence. 5 ème factorisation : Rappel : Puissance d un nombre et carré d un nombre Généralement : ( entier) En particulier : Cette expression est la différence de deux termes, d une part et d autre part. Chacun de ces termes est multiple de. En effet, et. On réécrit l expression initiale en mettant le facteur commun en évidence. Remarque importante : On aurait également pu écrire ce qui suit Cette expression est la différence de deux termes, d une part et d autre part. Chacun de ces termes est pair donc multiple de : et. On réécrit l expression initiale en mettant le facteur commun en évidence. Cependant, l expression n aurait pas été complètement factorisée. En effet, on peut encore factoriser le deuxième facteur par, puisque :. Ainsi, pour factoriser complètement, il faudrait ensuite écrire : ( ) On repère dans le deuxième facteur entre parenthèses que est facteur commun à et. On factorise dans les parenthèses par le facteur commun. On réécrit l expression en supprimant les parenthèses inutiles. 2

3 6 ème factorisation : Rappel : Suppression de parenthèses précédées du signe Pour supprimer des parenthèses précédées du signe (ou d aucun signe), on supprime les parenthèses qui entourent l expression, on réécrit l expression sans changer les signes des termes intérieurs aux parenthèses supprimées. Par exemple, on a :. [ ] Cette expression est la somme de deux termes, d une part et d autre part. Chacun de ces termes contient le facteur. Dans l expression de, est donc le facteur commun à et. On factorise par le facteur commun, sans oublier de On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets pour simplifier l écriture de ce deuxième facteur. On réduit le deuxième facteur, c est-à-dire on écrit ce facteur avec le moins de termes possibles. 7 ème factorisation : Rappel : Suppression de parenthèses précédées du signe Pour supprimer des parenthèses précédées du signe, on supprime les parenthèses qui entourent l expression, on réécrit l expression en changeant tous les signes des termes intérieurs aux parenthèses supprimées. Par exemple, on a :. [ ] Cette expression est la différence de deux termes, d une part et d autre part. Dans l expression de, est donc le facteur commun à et. On factorise par le facteur commun, sans oublier de On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets en développant pour simplifier l écriture de ce deuxième facteur. Comme est précédé du signe, on change le signe des termes entre parenthèses pour les supprimer. C est pourquoi devient et devient. On réduit le deuxième facteur, c est-à-dire on écrit ce facteur avec le moins de termes possibles. 3

4 8 ème factorisation : [ ] Cette expression est la différence de deux termes, d une part et d autre part. On ne constate aucun facteur commun apparent mais on remarque que et sont des expressions très proches. Il semblerait que soit le facteur commun. On réécrit comme étant le produit du facteur par lui-même. Chacun des termes et contient le facteur. Dans l expression de, est donc le facteur commun à et On factorise par le facteur commun, sans oublier de On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets en développant pour simplifier l écriture de ce deuxième facteur. Comme est précédé du signe, on change le signe des termes entre parenthèses pour les supprimer. C est pourquoi devient et devient. On réduit le deuxième facteur, c est-à-dire on écrit ce facteur avec le moins de termes possibles. 9 ème factorisation : Rappel : Ecriture d un terme sous la forme d un produit de deux facteurs Le nombre s écrit également. Ce changement d écriture est souvent effectué pour faire apparaître le facteur commun. Par exemple, et. Attention! Il ne faut pas oublier de mettre les parenthèses! [ ] Cette expression est la somme de deux termes, d une part et d autre part. On constate que est commun aux deux termes mais n est réellement le facteur que de. En effet, dans le second terme, n est en produit d aucun facteur apparent. On réécrit le deuxième terme comme étant le produit du facteur par le nombre. Chacun des deux termes et contient le facteur. Dans l expression de, est donc le facteur commun à et. On factorise par le facteur commun, sans oublier de On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets pour simplifier l écriture. 4

5 10 ème factorisation : [ ] Dans cette expression n apparaît aucun facteur commun. Il faut donc essayer d en faire apparaître un si on souhaite factoriser. On peut remarquer qu il est possible de factoriser en mettant en évidence que est le facteur commun à et. On obtient ainsi la différence de deux termes, d une part et d autre part. Dans l expression de, est le facteur commun à et. On factorise par le facteur commun, sans oublier de mettre les crochets pour borner le deuxième facteur. On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets. 11 ème factorisation : ( ) [ ] Dans cette expression n apparaît aucun facteur commun. Il faut donc essayer d en faire apparaître un si on souhaite factoriser. On remarque qu il est possible de factoriser en mettant en évidence que est le facteur commun à et. On effectue cette première factorisation. On obtient ainsi la somme de deux termes, d une part et d autre part. Dans l expression de, est le facteur commun à et. On factorise par le facteur commun, sans oublier de mettre les crochets pour borner le deuxième facteur. On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets en développant à l aide de la règle sur la distributivité simple. On simplifie l écriture du deuxième facteur. 12 ème factorisation : Dans cette expression n apparaît aucun facteur commun. Il faut donc essayer d en faire apparaître un si on souhaite factoriser. On réécrit l expression. ( ) On peut remarquer qu il est possible de factoriser par. En effet, et. ( ) On factorise dans le 2 e terme par le facteur commun. On réécrit l expression et on observe qu on obtient la différence de deux termes, d une part et d autre 5

6 [ ] part. Ainsi, est le facteur commun à et. On factorise par le facteur commun, sans oublier de mettre les crochets pour borner le deuxième facteur. On supprime les parenthèses à l intérieur des crochets. On regroupe les termes du deuxième facteur par famille. Remarque importante : Pour vérifier qu une factorisation peut être juste (sans en être toutefois certain), on peut remplacer par une valeur choisie arbitrairement dans l expression de départ et dans l expression d arrivée. Alors si le résultat du calcul obtenu après remplacement dans l expression initiale est égal au résultat du calcul obtenu dans l expression finale, on a une forte probabilité de ne pas s être trompé. Exemple : 1) Remplaçons par dans l expression initiale de et calculons. 2) Remplaçons par dans l expression finale de et calculons. 3) Comparons les résultats. On a bien les mêmes résultats quand on remplace par dans chacune des expressions initiale et finale de donc il y a de fortes chances que la factorisation proposée soit juste. Rappel : Calculs prioritaires dans une suite d opérations 1) Dans une expression avec des parenthèses, on effectue d abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. 2) Dans une suite d'opérations contenant des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions, les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. 6

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