Autour du cryptosystème RSA
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- Jean-Baptiste Beausoleil
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1 Autour du cryptosystème RSA Lycée Magendie Avril 2014
2 Plan 1 Chiffrements symétrique et asymétrique 2 Les nombres premiers 3 RSA 4 Informations professionnelles
3 Chiffrement Alice veut écrire à Bob
4 Chiffrement Alice veut écrire à Bob
5 Chiffrement Alice veut écrire à Bob
6 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
7 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
8 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
9 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
10 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
11 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
12 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
13 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
14 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE
15 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
16 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
17 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
18 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
19 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
20 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
21 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
22 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
23 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)
24 Chiffrement à clé secrète Trois étapes : création et distribution de clés, chiffrement, déchiffrement Boîte mail, consultation de compte en banque,... Avantages : simple, rapide, bien connu Fragilités : attaques statistiques, gestion de clés
25 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
26 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
27 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
28 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
29 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
30 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
31 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
32 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
33 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)
34 Chiffrement à clé publique Trois étapes : création et publication de clés, chiffrement, déchiffrement Avantages : gestion de clé simplifiée, solidité mathématique Fragilités : plus lent, plus compliqué à implémenter En pratique on combine les deux chiffrements : clé publique pour échanger une clé de session (secrète) qui servira à chiffrer à la volée.
35 Histoire des nombres premiers Il existe une infinité de nombres premiers, théorème fondamental de l arithmétique (preuve par Gauss), algorithme pour pgcd et ppcm, Entre 1 et N ils y a N/ log N nombres premiers, crible d Eratosthène, théorème de Fermat
36 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
37 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
38 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
39 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
40 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
41 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
42 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
43 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
44 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
45 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T
46 Complexité des opérations arithmétiques Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. Pour multiplier deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. Crible d Eratosthène : pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T factorisation naïve : T n, pas d algorithme polynomial connu pour factoriser.
47 Complexité des opérations arithmétiques Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. Pour multiplier deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. Crible d Eratosthène : pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T factorisation naïve : T n, pas d algorithme polynomial connu pour factoriser.
48 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =
49 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =
50 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =
51 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =
52 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =
53 Asymétrie (p, q) N = pq (p, q) N = pq
54 En décembre 2009, Thorsten Kleinjung et une dizaine de collègues ont factorisé un nombre de 232 chiffres. The sieving, which was done on many hundreds of machines, took almost two years. Calculer le produit de deux nombres de 116 chiffres prend 8 millionièmes de secondes sur mon ordinateur portable.
55 Protocole RSA Rivest, Shamir et Adleman
56 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
57 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
58 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
59 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
60 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
61 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
62 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
63 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
64 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
65 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
66 Création de clé Bob choisit un nombre p au hasard dans l intervalle [2 1023, ]. p a une chance sur 703 d être premier. Bob regarde si p est premier (à l aide d un l algorithme de primalité). Si p est premier on le garde. Sinon on recommence. Bob choisit un autre nombre q premier de même. Bob calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) l indicatrice d Euler de n. Bob choisit e premier à ϕ(n) et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) fe + gϕ(n) = 1. En particulier ef 1 mod ϕ(n). La clé publique de chiffrement est (n, e). La clé secrète de déchiffrement est (n, f).
67 Un exemple I Création de clé Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit un entier e premier à ϕ(n), par exemple e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit donc f = = 1 La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357).
68 Un exemple I Création de clé Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit un entier e premier à ϕ(n), par exemple e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit donc f = = 1 La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357).
69 Un exemple I Création de clé Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit un entier e premier à ϕ(n), par exemple e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit donc f = = 1 La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357).
70 Un exemple I Création de clé Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit un entier e premier à ϕ(n), par exemple e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit donc f = = 1 La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357).
71 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
72 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
73 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
74 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
75 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
76 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
77 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
78 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
79 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Alice transforme son message en un nombre entier m dans l intervalle [1, n 1]. Elle représente chaque caractère par une suite de bits (0 ou 1). Par exemple, dans la norme utf8 le caractère A est représenté par les 8 bits Le caractère é est représenté par les 16 bits Il faut au plus 32 bits pour représenter un caractère dans ce système. Si le message est trop long on le coupe en morceaux. Alice se retrouve avec un entier m [1, n 1]. On est presque certain que m est premier à n.
80 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Le chiffré est un nombre c entre 1 et n 1 tel que c m e mod n. Alice le calcule à l aide de l algorithme d exponentiation rapide.
81 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Le chiffré est un nombre c entre 1 et n 1 tel que c m e mod n. Alice le calcule à l aide de l algorithme d exponentiation rapide.
82 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Le chiffré est un nombre c entre 1 et n 1 tel que c m e mod n. Alice le calcule à l aide de l algorithme d exponentiation rapide.
83 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Le chiffré est un nombre c entre 1 et n 1 tel que c m e mod n. Alice le calcule à l aide de l algorithme d exponentiation rapide.
84 Chiffrement Alice veut envoyer le message m à Bob. Elle trouve la clé publique (n, e) de Bob dans l annuaire. Le chiffré est un nombre c entre 1 et n 1 tel que c m e mod n. Alice le calcule à l aide de l algorithme d exponentiation rapide.
85 Création de clé Un exemple II Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit = 1 donc f = La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Donc le chiffré est c = 8748.
86 Création de clé Un exemple II Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit = 1 donc f = La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Donc le chiffré est c = 8748.
87 Création de clé Un exemple II Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit = 1 donc f = La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Donc le chiffré est c = 8748.
88 Création de clé Un exemple II Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit = 1 donc f = La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Donc le chiffré est c = 8748.
89 Création de clé Un exemple II Bob choisit p = 127 et q = 103. Donc n = pq = et ϕ(n) = (127 1) (103 1) = Bob choisit e = 4553 et calcule les coefficients de Bezout de e et ϕ(n) soit = 1 donc f = La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Donc le chiffré est c = 8748.
90 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
91 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
92 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
93 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
94 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
95 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
96 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
97 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
98 Déchiffrement Bob reçoit le message chiffré c envoyé par Alice. Il connaît la clé de déchiffrement (n, f). Il calcule l entier m entre 1 et n 1 tel que m c f mod n. Il utilise l algorithme d exponentiation rapide. En fait m c f m ef m 1 gϕ(n) m donc m = m. On a utilisé le théorème d Euler. ( m ϕ(n)) g m mod n
99 Un exemple III La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Déchiffrement Bob reçoit c = Il calcule m = c f = mod C est bien le message envoyé.
100 Un exemple III La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Déchiffrement Bob reçoit c = Il calcule m = c f = mod C est bien le message envoyé.
101 Un exemple III La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Déchiffrement Bob reçoit c = Il calcule m = c f = mod C est bien le message envoyé.
102 Un exemple III La clé publique de Bob est (13081, 4553). La clé secrète de Bob est (13081, 2357). Chiffrement Alice veut chiffrer le message clair m = Elle trouve la clé publique de Bob dans l annuaire : (n, e) = (13081, 4553). Elle calcule c = m e = mod Déchiffrement Bob reçoit c = Il calcule m = c f = mod C est bien le message envoyé.
103 Le théorème d Euler Théorème Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts. Soit n = pq. Pour tout x premier à n on a Démonstration. x ϕ(n) 1 mod n où ϕ(n) = (p 1)(q 1). On montre d abord que p divise x ϕ(n) 1. D après le théorème de Fermat x ϕ(n) ( x p 1) q 1 1 mod p. De même q divise x ϕ(n) 1 car x ϕ(n) ( x q 1) p 1 1 mod q. Comme p et q sont premiers entre eux pq divise x ϕ(n) 1.
104 Qui est Alice? Sophie Germain
105 Qui est Alice? Sophie Germain
106 Quelques secteurs développement des cartes à puces commerce électronique téléphonie mobile armement intérieur sécurité des logiciels sécurité des réseaux
107 Quelques métiers développeur d applications gestionnaire de parc micro-informatique auditeur en sécurité informatique administrateur réseau enquêteur Technologies Numériques ingénieur expert en cryptologie et sécurité informatique
108 Licences professionnelles : Exemples de formations IUT Lens (sécurité informatique), UT Troyes (enquêteur en technologies numériques) IUT Bordeaux (spécialiste en sécurité des réseaux et logiciels, développeur en appli. web et images, assisant chef de projet) IUT Toulouse A et B (analyste programmeur, développement et qualité logiciel, administrateur BD) Master professionnels : Université de Bordeaux (cryptologie et sécurité informatique) Université de Limoges (master cryptis) Univ. de Toulouse (informatique collaborative en entreprise), Pau (technologies internet) Écoles d ingénieurs : ENSEIRB, ENSEEIHT,...
109 Quelques parcours Antoine, IUT à Bordeaux, puis Licence pro DAWIN, travaille dans une PME régionale de conception d applications pour smartphones Julien, licence de mathématiques à Toulouse, Master ICE, travaille dans un très grand groupe sur la sécurité des tablettes : recherche des faiblesses du système d exploitation, failles matérielles Alberto, licence math.-info. à Bordeaux, Master CSI, travaille dans une grande entreprise sur les attaques physiques contre les cartes à puces Vincent, master et thèse de mathématiques à Bordeaux, est expert en sécurité dans une grosse PME et travaille sur l arithmétique rapide et fiable pour les cartes à puces
110 Quelques entreprises On trouve différents types d entreprises : des SSII mais aussi des PME-PMI, des micro-entreprises ou des grands comptes. AKKA (SILOGIC), ALIENOR, Capgemini, BLOOM Multimédia, CARGO, CELAD, CGE Technologies, CONTACTEL, CREABILIS, CS-SI, DIEGO INFORMATIQUE, EADS ASTRIUM, EADS CIMPA, EREMS, EUROPA ORGANISATION, FRANCE TELECOM, FREQUENTIEL, GEOSIG, HI-STOR TECHNOLOGIE, INEO, LOGICA (UNILOG), ORANGE, PRODWARE, SAS ORIA, SOGETI HIGH TECH, SOPRA GROUP, THALES ALENIA SPACE, TIKIMOVE, VIVEO TOOL OBJECT, X-PRIME,..
111 liens IUT http :// Journee du Futur Etudiant en février http :// Salon AQUITEC en février au parc des expositions Bordeaux Lac http ://aquitec.com/ Documents http :// http ://smf4.emath.fr/publications/zoommetiersdesmaths/presentation/ http :// Zoom_sur_les_metiers_de_la_statistique
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