au taux d intérêt court. Pour cette raison, on applique souvent des modèles explicites

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1 Chapire 5 Modèles d Inensié Les deux approches dans la modélisaion de risque de crédi approche srucurel e approche d inensié ne son pas compaibles : dans les modèles d inensié, l exisence de l inensié de défau implique que le emps de défau ne peu pas êre un emps d arrê prévisible, conrairemen aux modèles srucurels. Une façon d éablir un lien enre les deux approches es de specifier, dans les modèles srucurels, un seuil de défau aléaoire qui n es pas mesurable par rappor aux ribus engendrées par le processus sous-jacen. L exemple le plus imporan es le modèle de Cox. D aure par, il exise un lien éroi enre les modèles d inensié de crédi e les modèles de aux d inérê. L inensié de défau peu êre inerpréée comme un spread par rappor au aux d inérê cour. Pour cee raison, on applique souven des modèles explicies des aux d inérê pour modéliser l inensié. 5.1 Modèle de Cox La moivaion iniiale des modèles d inensié es de décrire les emps de défau de façon plus surprise, où on uilise souven les processus poncuels. Un processus poncuel es une suie de emps aléaoires (τ n ) n à valeur dans R + {+ } elle que τ =, τ n < τ n+1 e lim n τ n = +. Le processus de compage associé à (τ n ) n es donné par N = n si τ n, τ n+1 ). Plus généralemen, un processus de compage (N, ) es un processus croissan à valeur en eniers posiifs avec N =. Un processus de Poisson (N, ) de l inensié λ, λ R +, es un processus de compage à accroissemens indépendans e saionnaires qui saisfai, pour ous s <, P(N N s = n) = 1 n! e λ( s) (λ( s)) n, avec! = 1 par convenion. On a EN ] = λ. De plus, le processus (N λ, ) es une maringale par rappor à la filraion canonique du processus de Poisson. Si on modélise 39

2 le emps de défau comme le premier insan de sau, c-à-d, τ := inf{ : N > }, (5.1) alors P(τ > ) = e λ. On peu généraliser le processus de Poisson au cas où l inensié es une foncion déerminise ou un processus sochasique. Un processus de Poisson inhomogène (N, ) avec la foncion d inensié λ() es un processus de compage à accroissemens indépendans e saionnaires el que P(N N s = n) = 1 n! e s λ(u)du( s λ(u)du ) n. C es facile de vérifier qu il a des propriéés similaires qu un processus de Poisson. En pariculier, le processus (N λ(u)du, ) es une maringale. Soi τ défini par (5.1), alors la probabilié de survie es donnée par P(τ > ) = exp( λ(u)du). Dans le modèle de Cox, le emps de défau es modélisé comme le premier insan de sau d un processus de Cox e l inensié de défau es un processus sochasique. Un processus de Cox, ou un processus de Poisson doublemen sochasique es consrui en deux éapes : on se donne d abord un processus d inensié (λ, ) qui es posiif e adapé à une filraion de référence F = (F ), condiionellemen à la filraion F, le processus de Cox (N, ) es un processus de Poisson inhomogène. En d aure erme, (N, ) es un processus de compage à accroissemens indépendans e saionnaires el que P(N N s = n F ) = 1 n! e s λudu( s λ u du ) n. Nous choisissons la filraion F comme la filraion sans défau dans le chapire précéden. On présene la méhode sandard du marché pour consruire un emps de défau, qui es un exemple pariculier du modèle de Cox. Soi (Ω, A, P) un espace de probabilié muni d une filraion F = (F ). On se donne un processus posiif e F-adapé (λ, ) e définie τ := { : λ s ds Θ} (5.2) où Θ es une variable aléaoire indépendane de F qui sui la loi exponenielle de paramère 1. Dans ce modèle, on généralise les modèles srucurels en choisissan un seuil aléaoire. On a P(τ > F ) = P(τ > F ) = exp( λ s ds). L indépendance enre Θ e F implique que l hypohèse (H) es saisfaie dans ce modèle. La loi exponenielle du seuil Θ perme d éablir un lien enre les modèles de aux d inérê que nous préciseron dans la suie. Dans le modèle de Cox, le processus λ es la F-inensié de τ, c es-à-dire (1 {τ } τ λ s ds, ), es une G-maringale. On peu généraliser ce modèle au cas d une 4

3 barrière non-indépendane, où la prorpiéé d immersion peu êre ne pas valide. On désigne par F Θ (s) = P(Θ s F ), s, la loi condiionnelle de Θ sachan F. Alors la probabilié condionnelle de défau es { F Θ (Λ s ), s, F (s) := P(τ s F ) = P(Θ Λ s F ) = E(Fs Θ (Λ s ) F ), s >, où Λ s = s λ udu. On récupère le modèle de Cox en prenan F (s) = 1 exp( s λ udu) pour s. Dans ce modèle généralisé, le processus λ n es plus la F-inensié (celle-ci es vraie dans le modèle de Cox). On suppose que la loi condiionnelle de Θ adme une densié F Θ (s) = s f Θ (u)du. Alors le emps de défau τ adme une densié condiionnelle p (u)du = P(τ du F ) donnée par p (u) = λ u f Θ (Λ u ), u. La F-inensié de τ es alors λ F = p () G = λ f Θ (Λ ) 1 F Θ (Λ ). Sans propriéé d immesion, le processus d inensié n es pas suffisan pour donner la loi condiionnelle de τ sachan F (dans le modèle au-dessus, on a besoin aussi de connaîre Θ). 5.2 Évaluaion des produis financiers Zéro-coupon défauable On rappelle que dans les modèles classiques de aux d inérê sans risque de crédi, les informaions son représenées par une filraion sans défau F = (F ). Le aux d inérê cour (r, ) es un processus F-adapé e le prix d un zéro-coupon de maurié T es donné par B(, T ) = Eexp( r s ds) F ], T sous une ceraine probabilié risque-neure. Un zéro-coupon défauable es un produi financier qui perme à son acheeur de recevoir 1 euro à la maurié T si le défau n a pas lieu avan T e sinon. Pour évaluer ce produi, on doi inclure les informaions concernan le défau e considérer la filraion 41

4 globale G = (G ). Donc le prix d un zéro coupon défauable à une dae T es donné par B(, T ) = E1 {τ>t } exp( r s ds) G ] 1 T = 1 {τ>} ES T exp( r s ds) F ] S (5.3) où S = P(τ > F ) e la deuxième égalié es une conséquence de la proposiion Dans le modèle de Cox (5.2), S = exp( λ sds), d où vien B(, T ) = Eexp( (r s + λ s )ds) F ]. (5.4) L inerpréaion financière de la formule précédene es inéressane. L inensié λ peu êre vue comme un crédi spread par rappor au aux d inérê sans risque. Le risque de crédi devien plus grand lorsque l inénsié augmene. On peu égalemen considérer un zéro-coupon défauable avec recouvremen. Si au cas de défau, l acheur du bond peu recevoir une proporion R de la valeur nomiale 1, où R es une consane dans ], 1, alors son prix à une dae < T τ es ( B(, T ) = E (1 {τ>t } + R1 {<τ T } ) exp ) ] r s ds G = 1 {τ>} (REexp( r s ds) F ] + (1 R)Eexp( ) (r s + λ s )ds) F ]. Exemple (Modèle de Vasicek) On suppose que les processus d inérê r e d inensié λ son des processus Ornsein-Uhlenbeck qui saisfon dr = a(b r )d + σdw, dλ = ā( b λ )d + σdw, où a, b, σ, ā, b, σ son des consanes posiives, e d W, W = ρd avec ρ, 1]. Le pricing d un bond zéro-coupon défauable es alors similaire à celui d un bond zéro-coupon classique. La formule d évaluaion (5.4) avec le modèle de Vasicek es laissée comme un exercice Dérivée de crédi générale On considère mainenan un produi financier général, sensible au risque de défau, représené par le riple (C, G, Z) (cf ), dans le modèle de Cox. 42

5 Proposiion On suppose que le processus S es coninue, alors la valeur du produi (C, G, Z) à une dae < T τ es donnée par V = 1 {τ>} B S E Q T S T C + u S u (Z u λ F udu + dg u ) F ]. Démonsraion. Par définiion, pour T, on a τ V = B E Q T C1 {τ>t } + Bu 1 dg u + Bτ 1 Z τ 1 {<τ T } G ]. D après la proposiion 3.1.3, on a τ B E Q T C1 B {τ>t } G ] = 1 {τ>} E Q T S CS T F ]. Le erme de dividen (l inégrale par rappor à dg u ) se calcule comme τ τ On désign par Y u = u τ Bu 1 dg u = 1 {<τ T } B E Q Bv 1 dg v. Alors τ τ Bu 1 dg u + 1 {τ>t } Bu 1 dg u. Bu 1 dg u + Bτ 1 Z τ 1 {<τ T } G ] = B E Q 1 {τ>t } Y T + 1 {<τ T } ( τ = B E Q 1 {τ>t } Y T + 1 {<τ T } R τ G ], Bu 1 dg u + Bτ 1 ) Z τ G ] où R u = Y u + Bu 1 Z u. On uilise de nouveau la proposiion pour obenir En oure, on a B E Q 1 {τ>t } Y T G ] = 1 {τ>} B S ES T Y T F ]. B T B E Q 1 {<τ T } R τ G ] = 1 {τ>} E Q R u ds u F ]. S En combinan ous ces calculs, on obien V = 1 {τ>} B S E Q T S T X + S T Y T ( ) ] B 1 u Z u + Y u dsu F) Comme S es un processus coninu, par la proposiion on obien que son compensaeur A vérifie da u = S u λ u du. Donc E Q u Z u ds u F ] = E Q 43 u Z u S u λ F udu F ].

6 Enfin, la formule d Iô enraîne S T Y T La démonsraion es ainsi achevée. Y u ds u = S u dy u = S u u dg u. Corollaire On considère un CDS issue à la dae don le spread es noé comme s. On suppose que le aux de recouvremen R es un processus F-prévisible. Alors son processus de prix es donné par V (s) = 1 {τ>} B S E Q u S u ( (1 Ru )λ F u s ) du F ]. Démonsraion. Il suffi de remarquer que le riple correspondan à ce produi es (, 1 R, s). 5.3 Informaions e inensié Il es parfois convenable d inerpréer l inensié comme la probabilié infiniésimale de défau sachan les événemens passés. λ G 1 = lim h h P( < τ + h G ) (5.5) Cee formule qui es praique dans le calcul, ne guarani pas l exisence de l inensié égalié. Un conre-exemple es donné par le modèle de Black-Cox τ := inf{ : S l}, où S es un mouvemen brownien géomérique (associé à un mouvemen brownien sandard B) e l es une consane. Dans ce cas-là τ es un F B -emps d arrê e la filraion du marché G (qui es le grossissemen progressif de F = F B par l informaion de τ) es la filraion F B engendrée par le mouvemen brownien B. Un calcul direc monre que le erme à droie de la formule (5.5) es égal à, andis que le processus d inensié n exise pas. En général, les filraions G e F ne coïnciden pas. Si l inensié exise e si la relaion (5.5) es vérifiée, alors on la relaion suivane λ G 1 = 1 <τ lim h h P( < τ + h F ). P( < τ F ) D après le lien enre les G-inensié e F-inensié, on obien λ F = 1 1 lim G h h P( < τ + h F ) (5.6) La comparaison enre (5.5) e (5.6) monre que des hypohèses supplémenaires son nécessaire quand on applique la formule (5.5) pour calculer l inensié. 44

7 Nous avons éudié les lien enre les inensié de τ par rappor à une filraion ambiane F e son grossissemen progressif G. Dans la suie, on considère le calcul du processus d inensié relaivemen à un rérécissemen de la filraion ambiane F. Proposiion On suppose que τ adme un F-inensié, alors pour oue sous-filraion F F, le emps aléaoire τ adme aussi une F-inensié λ F donnée par λ F = E(λF 1 τ> F ) Pτ > F ). Démonsraion. Comme λ F es la F-inensié de τ, on a P < τ T F ] = E 1 {τ>s} λ F s ds F ]. En prenan l espérance condiionnelle par rappor à F s, on obien E1 {τ>s} (λ F s λ F s ) F s ] = pour ou s. Le rérécissemen es un ouil imporan dans la modélisaion du risque de crédi avec informaion incomplèe. Voici quelque exemples ypiques : (1) informaions reardées à un niveau consan δ >, où F = F δ si > δ e F = F sinon ; (2) informaion reardées à emps discres où on observe les infomraions ambianes à des emps discres = < 1 < < n = T : on a F = F i si i < i+1. Ces modèles d inforaions incomplèes en risques de crédi on éé appliqués à donner un lien enre les modèles srucuraux classiques e les modèles d inensié. Dans l exemple de Black-Cox, le emps de défau es modélisé par le premier emps de passage d un processus du ype brownien par une barrière consane, e l inensié n exise pas. Cependan, si la filraion en quesion es engendrée par une observaion parielle F de a filraion browienne, alors les inensiés par rappor à F e G peuven exiser, où G es le grossissemen progressif de F par les informaions de défau. Un cas rès pariculier es le cas où F es la filraion riviale, où il n y a aucune obsevaion aure que l évémen de défau. Dans ce cas-là, le emps aléaoire τ adme une inensié déerminise donnée par λ(s) = f(s) 1 F (s), où F (s) = P(τ s) = s f(u)du. Cee exisence d inensié se dédui de l exisence de la densié pour la loi de τ. Le grossissemen progressif es engendré par le processus de défau D = σ(1 τ s, s ) (que l on noe D) e la D-inensié es donnée par λ D = λ( τ). 45

8 Cependan, si le emps aléaoire τ adme une F-inensié, il n es pas vrai en général que τ adme une inensié par rappor à une filraion plus large. En oure, même si le processus d inensié par rappor à la filraion élargie exise, son calcul es plus compliqué e uilse des echinques de la héorie de grossissemen de filraions. C es en pariculier le cas quand on éudier le risque de crédi avec les informaion d un iniié. 46

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