3.1. Deuxième palier pour la maîtrise du socle commun : compétences attendues en fin de CM2

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1 1. Du côté des programmes : BO n 3 du 19 juin Deuxième palier pour la maîtrise du socle commun : compétences attendues en fin de CM2 Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématique et la culture scientifique et technologique. L élève est capable de calculer mentalement en utilisant les quatre opérations Compétences relatives au calcul mental Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d'addition et de multiplication. Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. CE2 CM1 CM2 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

2 3.3. Contenus L ADDITION L addition est l opération la plus souvent utilisée en calcul mental que ce soit à l école ou dans la vie de tous les jours. Pour être performant il faut connaître les résultats de la table d addition et avoir des stratégies de calcul variées. L apprentissage de la table d addition (et à terme sa mémorisation) est un enjeu majeur car il permet aux élèves de se libérer de cette contrainte pour se concentrer uniquement sur les stratégies de calcul efficaces. La maîtrise de la table d addition se construit au cycle 2.Après une pratique intuitive en maternelle, les signes opératoires sont introduits en CP puis on exige la connaissance des tables d addition en fin de CE1. On aborde au cycle 3 l addition des nombres décimaux et de quelques fractions. Effectuer mentalement des additions Au CP - Il s agit d effectuer les premières additions, grâce au tableau des nombres qui permet des calculs élémentaires et récurrents (+1, +10) - Les élèves apprennent d abord à calculer mentalement des sommes du type + (résultat < à 10) puis du type + + (résultat < à 20) - Puis ils calculent des additions du type +, puis du type + Au CE1 Les élèves vont calculer au-delà de 100 jusqu à Ils comptent de 10 en 10, de 100 en Ils apprennent et utilisent des procédures de calcul mental pour calculer des sommes du type + ; + +, + ; + ; + Au CE2 - On remet en place les connaissances et les stratégies apprises au cycle 2 - Puis on calcule mentalement des sommes inférieures à 1000 du type + d abord sans franchissement de la centaine supérieure, (ex : ) puis avec franchissement de la centaine supérieure (ex : ) - Enfin des sommes du type + 00 ; ex : Les élèves apprennent à organiser mentalement leurs calculs pour trouver un résultat, ils associent les nombres pour gagner en rapidité ; ex : Au CM1 On remet en place les connaissances et les stratégies apprises les années antérieures. Puis les élèves apprennent à : - Estimer mentalement un ordre de grandeur d un résultat : Trouver la dizaine entière la plus proche d une somme du type + Trouver la centaine entière la plus proche d une somme du type + 2 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

3 - Calculer mentalement des sommes Idem qu au CE2 avec en plus des additions simples du type + ; + 0 ; + 00 Au CM2 Pas de nouveauté au programme. Les calculs sont plus complexes. 3 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

4 LA SOUSTRACTION Opération réciproque de l addition, la soustraction prend un sens différent selon la situation : retrait (ou recul), complément et écart. Les différents sens de la soustraction : Le retrait C est le premier sens de la soustraction, le plus naturel pour les élèves, puisqu il s agit de raisonner sur le cardinal de collections, c'est-à-dire sur une diminution d une quantité d objets. Mais on peut concevoir ce sens en terme de recul, c'est-à-dire sous son aspect ordinal. Il est important de travailler ces deux aspects : - A partir de manipulation d objets, pour ceux qui ont besoin de traduire physiquement l action du problème - En s appuyant sur la file numérique pour reculer - En s aidant des doigts pour retirer une petite quantité - En raisonnant directement sur les nombres pour les élèves qui en sont capables Le sens retrait est privilégié quand on retire un petit nombre d un plus grand (25-3) ou quand on retire un nombre entier de dizaines ou de centaines (68-20 ; ). Le complément Le mot soustraction prend un deuxième sens dans les problèmes de recherche de complément : «Paul a 16 billes. Combien lui en manque-t-il pour en avoir 30?» Ce type de problème induit un calcul en avançant : on cherche ce qu il faut à 16 pour aller jusqu à 30 (en calcul posé les élèves font une addition à trous). Le sens complément est privilégié quand on retire un grand nombre d un plus grand : On part alors de 17, en avançant de 3 (complément à la dizaine supérieure) puis de 5. Ce passage à la dizaine correspond à la soustraction avec retenue en calcul posé. On se servira de la bande numérique pour simuler cette opération. L écart Ce troisième sens de la soustraction est le plus difficile à percevoir et à traduire. En effet dans un problème du type : «Paul a 46 billes et Jean 18. Combien Paul a-t-il de billes de plus que Jean?», les élèves vont retenir le terme de plus et le traduire avec une addition. Le maître doit amener les élèves à reconnaître ce genre de problème et à traduire systématiquement le «combien y en a-t-il en plus?» par «combien fautil pour compléter?». L élève est ramené au cas précédent : le complément. Conclusion : Il faut proposer aux élèves des problèmes qui mettent en jeu ces trois sens, et leur permettre d acquérir des stratégies efficaces, soit en avançant, soit en reculant. Penser à utiliser des expressions équivalentes pour que les élèves les assimilent : pour aller à de à ; complète pour avoir, pour aller à combien manque-t-il à pour aller à, pour avoir? Effectuer mentalement des soustractions Pour pouvoir effectuer mentalement des soustractions il faut que l élève ait automatisé les résultats des tables. Cela ne veut pas dire qu il ne faut pas aborder la soustraction tant que ce travail n est pas fait. Il faut que l élève prenne conscience de ses manques. Avant d aborder les contenus du cycle 3, voyons rapidement comment le cycle 1 et 2 ont abordé la soustraction. En maternelle - Ils savent retirer des objets d une collection et dire combien il en reste (en manipulant, ou en raisonnant sur les nombres pour certains enfants). 4 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

5 - Ils apprennent à citer le nombre qui précède un nombre donné en s appuyant sur la comptine orale et sur la frise numérique. Au CP - Le signe est introduit au CP. - Les élèves font la correspondance en retirer 1 et le précédent d un nombre, le nombre qui vient avant (sur la file numérique ou sur le tableau des nombres) ; - Ils calculent mentalement des différences du type - ; 1 - en utilisant les expressions équivalentes 3 pour aller à 9, compléter 8 pour aller à 13, 9 moins 3, écart entre 5 et 9 ; - Ils connaissent les compléments à 10, à 20, à la dizaine supérieure, à la centaine. Au CE1 - Ils calculent mentalement des différences du type - puis du type - - Ils calculent des suites d additions et de soustractions de 3 ou 4 nombres inférieurs à 10. Ils apprennent à regrouper les nombres amis (qui font 10) - Ils apprennent à retrancher 10 (34-10), puis à retrancher un nombre entier de dizaines (56-20), puis à retrancher 100 ( ), puis un nombre entier de centaines ( ) - Ils apprennent les compléments à Ils disent et écrivent des suites orales de 10 en 10, de 100 en 100. Au cycle 3 Au CE2 on restera dans le champ numérique inférieur à 1000 pour le calcul mental ; à partir du CM1 on pourra passer au-delà, mais sans technicité aucune. - Il faut consolider les résultats mémorisés tout au long du cycle 3. Pour la soustraction cela concerne les compléments à 10 et à 20 des entiers, les compléments à 100 des dizaines entières - Permettre aux élèves de disposer de stratégies efficaces par exemple ajouter 17 c est ajouter 20 et enlever 3. Ces connaissances et stratégies ont pour but de permettre aux élèves - d estimer rapidement un ordre de grandeur lors de l utilisation de grands nombres, surtout à partir du CM1 - de résoudre des problèmes simples - de consolider les connaissances en numération - de pratiquer avec aisance le calcul posé. Au CE2 - Calculer mentalement des soustractions du type - ; - et - - Organiser ses calculs, par exemple lors d une suite d additions et de soustractions, regrouper les nombres amis (qui font un nombre rond), par exemple : =( )+186= =786 Au CM1 - Calculer toute soustraction dans le champ numérique connu - Estimer mentalement un ordre de grandeur d un résultat. Par exemple : a pour ordre de grandeur 1520 à la dizaine près, 1500 à la centaine près, 1000 au millier. Au CM2 - Calculer toute soustraction de nombres entiers ou décimaux dans le champ numérique connu. On se limitera à des soustractions de nombres décimaux dans des situations porteuses de sens. - Exemples d outils pour calculer mentalement une soustraction Le complément 1 5 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

6 Dans un jeu de cartes, on tire une carte grisée qui indique les dizaines et une carte blanche qui indique les unités. L élève doit indiquer la dizaine immédiatement supérieure et le complément à cette dizaine. Se pratique collectivement d abord puis par doublettes. Le complément 2 Le premier élève propose dix opérations de la liste donnée en les cochant à chaque fois. Il doit dire par exemple : «x plus un nombre égal y. Quel est ce nombre?». Il note à la fin le nombre de bonnes réponses en vérifiant à l aide de sa fiche. Inverser les rôles ensuite. Carte recto verso Un jeu de dix cartes portant au recto l écriture d un nombre décimal de 0 à 10, au verso son complément à l entier supérieur. La face d une carte est montrée. Il faut déterminer ce qui est écrit sur l autre face. Jeu de loto des compléments Des cartons sont distribués aux élèves avec diverses additions, incomplètes, écrites dans des cases (240 +? = 300 ; ? = 3000 ), le maître propose des nombres qui correspondent aux points d interrogation ; celui qui remplit le 1 er sa grille a gagné. 6 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

7 LA MULTIPLICATION A L école élémentaire la multiplication s appréhende de deux manières différentes et complémentaires : Deux manières d appréhender la multiplication : Un sens provenant d un cadre géométrique, où a x b représente le nombre de cases d un tableau en a colonnes et b lignes. C est la représentation qui correspond au problème : «Le jardinier plante 4 rangées de 5 choux. Combien a-t-il planté de choux?» Un sens provenant d un cadre algébrique, où a x b représente une écriture simplifiée de l addition de a réitérée de la quantité b. ex : représente 4 fois la quantité 3 L apprentissage des tables de multiplication : - Au cycle 2, les programmes de 2008 exigent la connaissance des tables de 2, 3, 4 et 5. - Au cycle 3, les tables de 6, 7, 8 et 9 doivent être acquises à la fin du CE2. Il n y a pas d ordre privilégié. On peut construire sa progression selon trois logiques : L ordre croissant, en s appuyant sur la commutativité de la multiplication afin de réduire le nombre de résultats à mémoriser Les relations entre les nombres : on apprend la table de 8 comme le double de celle de 4, ex : 5x8= 5x4x2= 20x2=40, la table de 10, double de la table de 5 puis la table de 6, double de la table de 3,puis celle de 7 et celle de 9; ce qui signifie que les doubles continuent à être travailler au cycle 3. La plus difficile à mémoriser en premier : on aborde immédiatement 7 pour travailler cette table le plus longtemps possible car c est la plus difficile, puis 6, 8, 9 selon les principes précédents. Au CM, il reste deux années aux élèves pour fixer et automatiser ces connaissances. Le travail doit être régulier et fréquent et s appuyer sur des outils simples comme le Une minute chrono. Cet outil pourra servir aussi à évaluer la connaissance complète d une table. L évaluation est individualisée dans le temps : chaque élève choisit le moment où il se déclare prêt. La connaissance d une table ne signifie pas que l élève sait la réciter dans l ordre mais qu il sait répondre à 4 9, 9 4, 36 divisé par 4, combien de fois 4 dans 36.) L apprentissage de la table est une phase très importante que les enseignants doivent prendre à leur charge. Il ne faut pas le renvoyer à la maison si on veut être sûr qu il se fasse. Effectuer mentalement des multiplications Au cycle 2 Au CP - Les élèves apprennent les doubles des nombres inférieurs à 10 - En appui sur ces doubles, ils apprennent la table de multiplication par 2 Au CE1 - Ils apprennent les tables de 2, 3, 4 et 5 - Ils connaissent les doubles d usage courant Au cycle 3 Au CE2 - Les élèves doivent mémoriser et mobiliser les tables de multiplication Exemples d outils 7 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

8 Le jeu du loto multiplicatif Le maître donne l opération. Les élèves effectuent le calcul et le premier à donner le bon résultat gagne le jeton s il possède le résultat sur sa grille. On peut aussi jouer dans l autre sens : le maître propose un nombre à partir de la grille ; pour gagner, l élève doit avoir ce nombre dans ses grilles et être le premier à donner une bonne décomposition sous la forme d une multiplication. Voir quelques exemples de grilles ( dans Fort en Calcul mental, de Christophe Bolsius, page 104)) Les dés multiplicatifs On lance deux dés et les élèves doivent trouver le résultat de la multiplication des deux nombres obtenus. Reconstruire les résultats de la table Les élèves doivent reconstruire les résultats d une table à partir de quelques résultats partiels qui leur sont donnés. Exemple : à partir de 4X4 et de 7X4, les élèves doivent reconstruire la table du 4 en ayant recours aux stratégies de calcul. Combien de fois? Le maître donne le résultat et un des facteurs. Les élèves doivent trouver l autre facteur. Exemple : dans 28 combien de fois 4? Encadrer un nombre qui n est pas dans la table Le maître impose une table, propose un nombre qui n est pas dans la table et demande aux élèves de l encadrer par deux multiplications ou deux résultats consécutifs de cette table. Exemple : dans la table de 4, le maître donne 27 et les élèves répondent que 27 est compris entre 24 et 28 ou entre 6X4 et 7X4 Plus vite que la calculette Le maître fait venir un élève au tableau avec une calculette et lui demande de calculer un produit. Les autres élèves écrivent le résultat sur leur ardoise. C est lui qui stoppe le calcul lorsque la réponse s affiche sur la calculette. L objectif est d aller plus vite que la calculette. - Ils calculent mentalement des produits Des multiplications du type X où le nombre à 2 chiffres est facile à décomposer. Exemple : 24X3=8X3X3=8X9=72 Les doubles et les triples des nombres entiers inférieurs à Ils doivent connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d usage courant : les relations multiplicatives liant les nombres 5, 10, 20, 25, 50 et 100 ainsi que 15, 30 et 60. Ils font le lien entre les expressions et les opérations correspondantes. Exemples d outils Ecrire des multiplications Le maître propose un nombre et les élèves doivent écrire sur leur ardoise le plus possible de multiplications qui ont ce nombre pour résultat : Exemple : pour 50 50X1 1X50 25X2 2X25 5X10 10X5 Le jeu du furet Faire compter de 25 en 25, de 50 en 50 pour familiariser les élèves avec les multiples de ces nombres et automatiser les relations entre 25, 75, et 100 et entre 50 et Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

9 Au CM1 - Il faut consolider les connaissances et les capacités sur les nombres entiers, avec tous les exercices proposés les années précédentes : il s agit de mémoriser et restituer les résultats des tables, de mobiliser des connaissances et des stratégies de calcul pour trouver des produits demandés : Calculer une multiplication du type X où le nombre à 2 chiffres est facile à décomposer : 16X3= 8X2X3=8X6=48 Calculer une multiplication du type X où les nombres sont faciles à décomposer : 24X15= 12X2X5X3=12X10X3=36X10=360 Multiplier un nombre à 2 chiffres par 11 et établir la règle - Connaître les multiples des nombres d usage courant - Multiplier mentalement un nombre entier par 10, 100, 1000 Calculer des multiplications du type X5. Il faut faire remarquer aux élèves que deux cas sont possibles : o Soit le nombre est pair et on l exprime sous forme de produit par 2 pour favoriser une multiplication par 10 Ex : 24X5= 12X2X5= 12X10= 120 o Soit le nombre est impair et on utilise d autres stratégies comme calculer la moitié du produit par 10 Ex : pour 23X5 on calcule 23X10=230 et on prend la moitié soit 115 Calculer des multiplications du type X 5 On se limitera aux nombres pairs Ex : 24X15= 12X2X3X5= 12X3X10=36X10=360 Calculer des multiplications du type X 25 Se limiter à des nombres permettant de faire apparaître le facteur 100 Ex : 32X25= 8X4X25=8X100=800 Calculer des multiplications de la forme 0 X 0, puis 0 X 00 Ex : 40X30= 4X10X3X10 = 12X100 = Multiplier mentalement un nombre décimal par 10, 100, 1000 Se servir de situations concrètes comme exprimer en cm la taille d une personne, donnée en mètre ou exprimer en mètres une distance donnée en Km. - Estimer mentalement un ordre de grandeur d un résultat Au CM2 - Il faut consolider les connaissances et les capacités sur les nombres entiers, avec tous les exercices proposés les années précédentes. On peut proposer le jeu du nombre cible qui permet un entraînement du calcul additif, soustractif et multiplicatif en mobilisant les résultats des tables et l utilisation de stratégies de calcul. Le nombre cible est une variante du compte est bon. Le maître dit quelles opérations sont permises. Il donne un nombre cible à atteindre et des entiers à utiliser dans les opérations. Ex : obtenir 49 en utilisant la multiplication et l addition avec les nombres : 5, 8, 9 9 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

10 Une variante plus complexe consiste à donner un tableau de nombres. Les élèves doivent trouver tous les carrés de quatre nombres dont la somme fait 20 par exemple, en sachant qu un même chiffre peut appartenir à plusieurs carrés Il faut consolider les connaissances et les capacités sur les nombres décimaux 10 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

11 LA DIVISION La division complète la connaissance des relations entre les triplets de nombres liés par une relation de multiplication. Il ne suffit pas de savoir que 7X3=21, il faut aussi savoir que dans 21, il y a 3 paquets de 7 ou 7 paquets de 3. Deux sens distincts de la division : La division partition : recherche du nombre de parts. Par exemple dans le problème «Un fleuriste dispose de 59 roses et veut faire des bouquets de 7 roses, combien de bouquets peut-il faire?», l élève va travailler par paquets de 7 en les ajoutant jusqu à atteindre 59 ou bien en les retirant successivement de 59 jusqu à ne plus pouvoir, pour obtenir le nombre de bouquets. Il a divisé 59 en 8 parts de 7 objet ;.il a recherché le nombre de parts (de bouquets) La division quotition : recherche de la valeur d une part. Si on soumet le problème «Un fleuriste dispose de 59 roses et veut faire 7 bouquets, combien de roses peut-il mettre par bouquet?», l élève va simuler la distribution de roses, une par une, ou n par n, dans les 7 bouquets. Il a divisé 59 en 7 parts de 8 objets. Il a recherché la valeur d une part (d un bouquet). Rien n indique que l opération a effectuer pour résoudre le problème est la même dans les deux cas. C est pourtant la division qui permet de résoudre ces deux problèmes. Les programmes de 2008 insistent sur les problèmes de groupement et de partage dès la fin du cycle 2. Le maître utilisera des termes comme partager, distribuer, répartir, équitablement, également pour préciser que l on est dans le cadre du calcul d une division. Effectuer mentalement des divisions La division fait appel aux autres opérations : l addition, la multiplication et la soustraction. Les élèves doivent donc maîtriser ces opérations pour mettre en place des stratégies efficaces de calcul mental sur la division. Le travail va s organiser essentiellement autour de la notion de multiple. Par exemple pour trouver le résultat de la division de 48 par 4, on décomposera 48 en une somme de nombres multiples de 4 ; 48=40+8 et donc 48 :4= (40 :4) + (8 :4)= 10+2=12. Il faut restreindre le champ du calcul mental avec la division : travailler avec des divisions dont le diviseur est un nombre à un ou deux chiffres ou des cas particuliers comme 100, 500, Au CP - Connaître les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20 Au CE1 - Connaître les moitiés des nombres d usage courant Au CE2 - Mémoriser et mobiliser les tables de multiplication Par exemple, trouver le second facteur : dans 30 combien de fois 6? dans 18 combien de fois 2? - Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d usage courant Par exemple, trouver le second facteur : travailler les relations multiplicatives liant les nombres 5, 10, 20, 25, 50 et 100, d une part et 15, 30, 60, d autre part. Au CM1 - Consolider les connaissances et les capacités sur les nombres entiers 11 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

12 Rechercher un facteur ou le quotient : dans 84, combien y a-t-il de fois 6? ou combien font 84 divisés par 6? On attend de l élève qu il mette en place des stratégies de décomposition additive de 84 qui fait apparaître des multiples connus de 6. Par exemple 84= Dans 60 il y a 6 fois 10 et dans 24 il y a 6 fois 4. Le résultat est donc 10+4=14 Le multiple précédent Par exemple quel est le plus proche multiple de 6 qui précède 25?. On travaille ainsi implicitement la relation de division de 25 par 6 : 25=6X4+1 Encadrement par deux multiples consécutifs Cet exercice ressemble au précédent. Le maître demande par exemple d encadrer 61 par deux multiples consécutifs de 7. - Connaître les multiples des nombres d usage courant. Diviser par 15, 25, 50 ou 60 : ce sont des diviseurs relativement fréquents. L élève doit mettre en évidence des paquets de 100 et la relation qui lie 100 et 25, ou 100 et 50. Exemple : Combien font 450 divisés par 25? 450=400+50= (4X100)+(25X2)=(4X4X25)+(25X2) Donc 450 divisés par 25 est égal à 18 Au CM2 - Consolider les connaissances et les capacités sur les nombres entiers On aura recours à tous les exercices proposés les années précédentes. - Consolider les connaissances et les capacités sur les nombres décimaux Dans des situations porteuses de sens. Dans des situations de conversion de mesures.par exemple exprimer en mètre la taille d une personne donnée en cm ; donner en km la distance exacte du marathon qui vaut 42195m 12 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

13 2. Du côté pédagogique : La circulaire du 12 avril 2007 a préconisé un quart d heure de calcul mental par jour. Une séance de calcul mental est un moment court et intense, dans lequel les élèves sont en réflexion, et surtout, en production. On peut comparer une séance de calcul mental à un match : on met en œuvre les stratégies apprises lors des séances d entraînement. Ces séances d entraînement sont donc décalées dans le temps (en amont ou en aval), elles sont bien distinctes des séances de calcul mental : elles permettent d explorer et de travailler différentes stratégies et de mettre en place des traces, dans le cahier de maths ou dans un calepin de stratégies de calcul mental ou sous forme de référent collectif. Il faut bien avoir à l esprit que tout calcul, avant d être automatisé, a le plus souvent été obtenu par les élèves au moyen d un calcul réfléchi, pendant une phase plus ou moins longue. a. Contenus d une séance de calcul mental A l école élémentaire, une séance de calcul mental doit contenir des opérations, de la numération et de la résolution de petits problèmes avec un objectif d application et d automatisation. Opérations Elles sont incontournables. Dans le domaine du calcul automatisé, il s agit - de mémoriser les tables d addition et les tables de multiplication - d automatiser des procédures apprises telles que ajouter ou retrancher 10, 100, multiplier par 10, 100, 1000 Dans le domaine du calcul réfléchi, il s agit de mettre en œuvre des stratégies de calcul qui s appuient sur les deux points précédents, qui lorsqu ils sont acquis libèrent la pensée et autorisent la réflexion. La partie grandeurs et mesures pourra apporter des supports à la séance de calcul mental : calcul d aire (multiplication-division) de périmètre (addition-soustraction), conversions (multiplication, numération) Numération Dans le domaine du calcul automatisé, il s agit - de mémoriser des configurations, comme énoncer 340 lorsqu on voit 3 paquets de 100 et 4 paquets de 10 - d automatiser des procédures, comme organiser une collection en paquets de 100 objets puis de 10 pour la dénombrer Dans le domaine du calcul réfléchi, il s agit par exemple de procéder à des groupements échanges pour communiquer de manière simple sur la quantité en question. Les nombres décimaux offrent un répertoire d activités nouvelles en CM1 et CM2. Résolution de problèmes Les problèmes permettent de donner du sens aux apprentissages en les contextualisant. Ils permettent de travailler les trois points du calcul mental dans des situations concrètes : résultats mémorisés, procédures automatisées, stratégies de calcul. Un problème comme «le maître a reçu 2 boîtes de 100 craies et 3 étuis de 10 craies. Combien a-t-il reçu de craies en tout?» permet de tester la connaissance de la numération en base Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

14 Un problème comme «Dans un autobus, il y a 12 passagers. Au premier arrêt, 8 passagers montent. Au second arrêt, 5 en descendent. Au troisième arrêt, 2 passagers montent et 5 en descendent ; combien y a-t-il de passagers dans l autobus?» permet de mettre en jeu des stratégies de calcul. b. Démarche Les séances de calcul mental (automatisé, réfléchi) peuvent s organiser différemment selon l objectif visé : calcul automatisé ou calcul réfléchi. Chaque séance pourra commencer par une phase d échauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition d écoute et de concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves. S il s agit d une séance dont l objectif est d automatiser des procédures de calcul, de viser le résultat, cette première phase d échauffement sera suivie d une phase d entraînement, avec des calculs simples, pour faire appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. Dans ce type de séance la rapidité est un objectif visé. - La consigne peut être orale ou écrite au tableau. - Les réponses peuvent : être orales (en petit groupe) utiliser des cartes-réponses à choisir parmi plusieurs (en petit groupe) être écrites sur ardoise (procédé Lamartinière) ou sur papier (en grand groupe) La phase de calcul raisonné, plus complexe, où plusieurs procédures sont valorisées, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée. Cette phase peut être plus longue (de un quart d heure à une demi-heure). En général elle est menée en grand groupe. Il faut laisser le temps aux élèves de chercher. Dans ce type de séance, la mise en commun des procédures est très importante : c est le moment où les élèves explicitent et justifient la pertinence et l efficacité de leurs stratégies. Une brève synthèse doit être faite par l enseignant. On peut envisager d entraîner à l exécution de certaines procédures dans le but que chacun choisisse celle qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre. Examinons quelques procédures qui peuvent être mises en place pour traiter deux calculs apparemment proches : 25 X X 19 P1 : calcul séparé de 25X10 et de 25X2, puis somme des résultats partiels P2 : Décomposition de 12 en 4X3 et calcul de 25X4 puis 100X3 P3 : utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant d abord 12 par 4, puis en multipliant le résultat par 100 ; ou multiplication de 12 par 100, puis division du résultat par 4 P4 : calcul de 25X20 (directement ou par 25X2X10) puis soustraction de 25 au résultat obtenu P5 : calcul de 20X19 (par 19X2X10) puis de 5X19 (nouveau calcul réfléchi qui peut être traité par la somme de 5X10 et de 5X9, par exemple) puis somme des deux résultats partiels. Dans tous les cas, la rapidité n est pas de mise. L objectif est de faire expliciter les procédures. 14 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

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