Modèles de diusion pour produits dérivés

Transcription

1 1 Inroducion Modèles de diusion pour produis dérivés Rémi Tache des Combes Sous la direcion de Fréderic Abergel Les mahémaiques nancières son une branche des mahémaiques appliquées ayan pour bu la compréhension e la quanicaion des phénomènes régissan les marchés nanciers. Hisoriquemen, le développemen de ce domaine a éé iniié par les ravaux de Louis Bachelier en 1900 e sa hèse iniulée "héorie de la spéculaion". Il a néanmoins pris une dimension nouvelle en 1973 avec l'éude de Black, Scholes e Meron de l'évaluaion e de la couverure des opions. Depuis, andis que se développaien les marchés des produis dérivés grâce noammen à l'essor de l'informaique, leurs méhodes on éé perfecionnées an au niveau de la généralié que de la rigueur maémaique e fon mainenan appel à des ouils issus de la héorie des probabiliés, du calcul sochasique, des saisiques e du calcul diéreniel. Nous nous inéresserons ici plus pariculièremen à la modélisaion en nance, c'es-à-dire à l'écriure de modèles rendan compe le plus dèlemen possibles des caracérisiques echniques observables sur les cours des acifs nanciers. Dans un premier emps, il s'agira de dénir les diérens objes éudiés : sous-jacens, opion vanille, noion d'opporunié d'arbirage... Ensuie, nous donnerons un aperçu de la héorie de Black-Scholes qui perme de calculer le prix e le porefeuille de couverure d'une opion vanille. Enn, nous concluerons par des ravaux plus récens (Schweizer, Schonbucher) concernan des modèles de diusion couplés sous-jacen/produi dérivé ouvran de nouvelles perspecives de recherches qui formeron la base de ma hèse. 2 Opions e opporuniés d'arbirage 2.1 Le problème des opions Ce exposé débue par la présenaion du problème des opions vanilles, qui a éé le moeur de la héorie des mahémaiques nancières. Une opion vanille représene le produi dérivé par excellence, uilisé quoidiennemen par l'ensemble des insiuions nancières. Il s'agi d'un ire donnan à son déeneur le droi, e non l'oligaion, d'acheer ou de vendre (selon qu'il s'agi d'une opion d'acha ou de vene) une ceraine quanié d'un acif nancier, à une dae convenue e à un prix xé à l'avance. La descripion précise d'une opion se fai à parir des élémens suivans : la naure de l'opion : on parle, suivan la erminologie anglo-saxonne, de call pour une opion d'acha e de pu pour une opion de vene. l'acif sous-jacen, sur lequel pore l'opion : dans la praique, il peu s'agir d'une acion, d'une obligaion, d'une devise... 1

2 le monan, c'es-à-dire la quanié d'acif sous-jacen à acheer ou à vendre. l'échéance ou dae d'expiraion, qui limie la durée de vie de l'opion; si l'opion peu êre exercée à n'impore quel insan précédan l'échéance, on parle d'opion américaine, si l'opion ne peu êre exercée qu'à l'échéance, on parle d'opion européenne. le prix d'exercice ou srike, qui es le prix (xé d'avance) auquel se fai la ransacion en cas d'exercice de l'opion. L'opion, elle-même, a un prix p, appelé la prime. Lorsque l'opion es côée sur un marché organisé, la prime es donnée par le marché. En l'absence de coaion, le problème du calcul de la prime se pose. E, même pour une opion côée, il peu êre inéressan de disposer d'une formule ou d'un modèle permean de déecer d'évenuelles anomalies de marché (les agens de marché recherchan ce genre d'anomalies son appelés les arbirageurs). Examinons, pour xer les idées, le cas d'un call européen, d'échéance T, sur une acion, don le cours à la dae es donné par S. Soi K le prix d'exercice. Il es clair que si, à l'échéance T, le prix K es supérieur au cours S T, le déeneur de l'opion n'a pas inérê à exercer. Par conre, si S T > K, l'exercice de l'opion perme à son déeneur de réaliser un pro égal à S T K, en achean l'acion au prix K e en la revendan sur le marché au cours S T. On voi qu'à l'échéance, modulo la prime p, la valeur du call es donnée par la quanié : Ce qui donne graphiquemen : (S T K) + = max(s T K, 0). (1) Considérons mainenan un agen qui vend une opion d'acha, c'es-à-dire un produi d'assurance conre la hausse, e même plus généralemen qui accepe de garanir un ux h(s T ) à une échéance T (dans le cas d'un call de srike K, h(x) = (x K) + ) e qui en conreparie reçoi une prime -le prix de l'opion en quelque sore. Il n'a pas la possiblié de réparir le risque sur un grand nombre de cliens comme le fon les assureurs. Par conre, il peu invesir la prime dans un porefeuille. S'il es rès passif, il place la prime à la banque. A l'échéance de l'opion, le résula du placemen ne dépend que de l'inérê versé, e de la prime iniiale, e non de la valeur du ire risqué à l'échéance. Ce n'es pas une sraégie ajusée au produi vendu. Il peu aussi acheer un cerain nombre d'acions, de manière à avoir dans le porefeuille des acifs 2

3 don le mouvemen des prix va dans le même sens que les ux qu'il risque de payer. La gesion d'un produi dérivé de payo (ou ux erminal) h apparaî donc comme la conjoncion de plusieurs opéraions : suivre régulièremen le prix C dans le marché gérer un porefeuille auonancan, de valeur V au emps don la valeur iniiale es la prime V 0 = x (auonancan signie qu'il n'y a pas à réinjecer d'argen après la mise de fond iniiale) surveiller le P &L (pro and loss) nal, c'es à dire la diérence enre la valeur du porefeuille e le monan du ux à payer auremen di : V T h(s T ) L'objecif du gesionnaire n'es pas de maximiser le P &L nal mais au conraire de le réduire du mieux possible an d'avoir la variance la plus faible possible. Le meilleur "porefeuille" (qui suppose enre aure qu'on choisi la prime p opimalemen) es appelé le porefeuille de couverure. En résumé, pour le vendeur de l'opion il fau résoudre les deux problèmes qui suiven : Combien fau-il faire payer à l'acheeur de l'opion, auremen di commen évaluer à l'insan = 0 une richesse (S T K) + disponible à la dae T? C'es le problème du pricing. Commen le vendeur, qui ouche la prime à l'insan 0, parviendra--il à produire la richesse (S T K) + à la dae T? C'es le problème de la couverure. 2.2 La noion d'arbirage La réponse aux deux quesions qui précèden ne peu se faire qu'à parir d'un minimum d'hypohèses de modélisaion. L'hypohèse de base, reenue dans ous les modèles, es que,dans un marché susammen uide, il n'y a pas d'opporuniés d'arbirage, c'es-à-dire qu'il n'es pas possible de réaliser de pros sans prendre de risques. A parir de cee simple hypohèse, il es possible d'éablir des relaions enre les prix d'un call e d'un pu européen de même échéance T e de même prix d'exercice K, sur une acion de cours S à l'insan. Nous supposerons qu'il es possible d'empruner ou de placer de l'argen à un aux consan r. Désignons par C e P les prix respecifs du call e du pu à l'insan. En l'absence d'opporunié d'arbirage (qu'on noera (a-o-a) dans la suie), nous avons la relaion suivane, valable à ou insan < T e appelée "relaion de parié call-pu" : C P = S Ke r(t ) (2) Pour faire comprendre la noion d'arbirage, monrons commen nous pourrions réaliser un pro sans risque si nous avions, par exemple : r(t ) C P > S Ke A l'insan, acheons une acion e un pu e vendons un call. Cee opéraion dégage, à l'insan, un pro ne égal à C P S Si cee somme es posiive, plaçons-la au aux r jusqu'à la dae T, sinon, emprunons-la au même aux. A la dae T, deux cas peuven se présener : S T > K : alors, le call es exercée, on livre l'acion, on encaisse la somme K e on solde l'emprun ou le prê, de sore qu'on se rerouve avec une richesse égale à : K + e r(t ) (C P S ) > 0. 3

4 S T K : alors, on exerce son pu en vendan nore acion, on encaisse la somme K e comme précédemmen, on se rerouve avec une richesse : K + e r(t ) (C P S ) > 0. Dans les deux cas, on a réalisé un pro posiif sans mise de fond iniiale : c'es un exemple d'arbirage. Il es possible d'écrire de nombreuses aures relaions grâce à cee hypohèse (a-o-a). En pariculier, cee règle condui à l'unicié des prix des produis dérivés au sens où : Deux sraégies qui donnen le même ux à l'horizon de gesion dans ous les éas du monde on la même valeur à oue dae inermédiaire. En ee, soien S 1 e S 2 la valeur de deux sraégies à l'insan. Supposons qu'à l'insan ', on ai : S 1 < e qu'à l'hozizon de la sraégie T, on ai : S2 S1 T = T. Il es alors possible de réaliser un pro de manière ceraine en réalisan à parir de ' la sraégie S2 1 e l'opposé de la sraégie 2 (par opposé, nous enendons vendre au lieu d'acheer, acheer au lieu de vendre, empruner au lieu de placer e placer au lieu d'empruner). En ee, à l'insan ', un pro ne es réalisé : S 2. S1 Au débouclage des posiions, les deux sraégies ayan la même valeur, les deux ux se compensen, nous avons bien réalisé un bénéce sans prendre le moindre risque ce qui es conraire à (a-o-a). Nous avons donc bien S 1 = S 2 pour ou Remarque : en elle-même, cee règle n'es pas réellemen conraignane. En ee, il y a sur le marché des inervenans qui recherchen en permance les opporuniés d'arbirage (les arbirageurs, on a vu ce nom précédemmen) e qui en proen dès qu'ils en déecen une. Or, la réalisaion de l'arbirage implique sa dispariion ce qui -en supposan que les arbirageurs son susammen ecace- rend ou à fai plausible l'hypohèse (a-o-a). Pourquoi l'opporunié disparaî-elle lorsque quelqu'un en proe? Considérons la siuaion suivane : une acion donnée es côée 100 euros à la bourse de Paris e 110 euros à la bourse de Francfor. Il es donc possible pour un arbirageur d'acheer de nombreuses acions à Paris puis de les revendre à Francfor e donc d'encaisser à chaque ransacion l'écar qu'il peu y avoir enre le cours des deux acions. Touefois, en agissan ainsi, il va faire moner le cours de l'acion à Paris (loi de l'ore e de la demande) e baisser ce même cours à Francfor. Tan qu'il y aura un écar enre les deux cours, l'agen agira ainsi, au nal son acion condui à la dispariion de l'opporunié e donc à la véricaion de l'hypohèse (a-o-a). 3 Le modèle de Black-Scholes Si les raisonnemens par arbirage fournissen de nombreuses relaions inéressanes, ils ne son pas susans pour obenir des formules de prix. Pour cela, on a besoin de modéliser de façon plus précise l'évoluion des cours. Black e Scholes on éé les premiers à proposer un modèle conduisan à une formule explicie pour le prix d'un call européen sur une acion ne donnan pas de dividendes e à une sraégie de gesion qui, dans le cadre du modèle, perme au vendeur de l'opion de se couvrir parfaiemen, c'es-à-dire d'éliminer oalemen le risque. Le prix du call es, dans le cadre du modèle de Black-Scholes, la somme d'argen don on doi disposer iniialemen pour pouvoir suivre la sraégie de couverure e produire ainsi exacemen la richesse (S T K) + à l'échéance. De plus, la formule obenue ne dépend que d'un paramère non direcemen observable sur le marché e appelé "volailié" par les praiciens. 3.1 Descripion du modèle Le modèle proposé par Black e Scholes pour décrire l'évoluion des cours es un modèle à emps coninu avec un acif risqué (par exemple une acion de prix S à l'insan ) e un acif sans risque 4

5 S 0 vérian l'équaion diérenielle ordinaire suivane : ds 0 = rs 0 d (3) où r es une consane posiive. Cela signie que le aux d'inérê sur le marché des placemens sans risque es consan e égal à r (noer que r es ici un aux d'inérê insanané, à ne pas confondre avec le aux sur une période des modèles discres). On posera S 0 0 = 1, de sore que S 0 = e r, pour 0. La modélisaion du cours de l'acion es plus complexe. L'incerain qui le caracérise (il es impossible de prédire l'évoluion fuure d'une acion) es modélisé à ravers les rajecoires fuures du ire risqué, vues comme des scenarii possibles d'évoluion. An de prendre en compe le caracère rès erraique des cours des acifs nanciers, Black e Scholes on repris l'idée de Louis Bachelier d'uiliser un mouvemen brownien. De plus, pour évier d'obenir des prix négaifs, ce son les rendemens du prix qui suiven une loi normale avec endance. On suppose ainsi que l'évoluion du cours de l'acion es régie par l'équaion diérenielle sochasique suivane : ds = S (µd + σdb ) (4) où µ e σ son deux consanes e (B ) un mouvemen brownien sandard. On se place sur un espace probabilisé lré (Ω, F, (F ) 0 T, P ) don la lraion es la lraion naurelle du brownien (B ) 0 T. Le modèle es éudié sur l'inervalle [0, T ] où T es la dae d'échéance de l'opion à éudier. L'équaion du cours de l'acion se résou expliciemen : S = S 0 exp (µ σ2 2 + σb ), (5) où S 0 es le cours observé à la dae 0. Il en résule en pariculier que, selon ce modèle, la loi de (S ) sui une loi log-normale (c'es-à-dire que son logarihme sui une loi normale). Plusieurs propriéés sur le cours de l'acion dans ce modèle en découlen : coninuié des rajecoires indépendance des acroissemens relaifs : si u, (S S u )/S u es indépendan de la ribu σ(s v, v u) saionnarié des acroissemens relaifs : si u, la loi de (S S u )/S u es idenique à celle de (S u S 0 )/S 0. Ces rois propriéés raduisen de façon concrèe les hypohèses de Black e Scholes sur l'évoluion du cours de l'acion. 3.2 Evaluaion e couverure des opions dans le modèle de Black e Scholes Mesure maringale pour le prix acualisé Commençons par dénir la noion de prix acualisé : Déniion. Considérons une somme A à l'insan, on appelle prix acualisé, e on noera Ż A, la quanié : Ż A = e r A qui correspond à la somme don on doi disposer aujourd'hui (ie à l'insan 0) pour obenir A à l'insan, en la plaçan au aux d'inérê r. Cee manipulaion perme de comparer des quaniés d'argen vues à divers insans. 5

6 Nous aurons égalemen besoin du héorème de Girsanov (voir par exemple [Lam]) : Théorème 1. Soi (θ ) 0 T un processus adapé vérian 0 θ2 sds < p.s. e el que le processus (L ) 0 T déni par : L = exp ( 0 θ s dbs θ 2 sds) soi une maringale. Alors, sous la probabilié P (L) de densié L T par rappor à P, le processus (W ) 0 T déni par W = B + 0 θ sds, es un mouvemen brownien sandard. Eudions mainenan S Ż : d Ż S = re r S d + e r ds = Ż S ((µ r) d + σdb ) e, en posan W = B + µ r σ ds Ż = S Ż σdw (6) D'après le héorème de Girsanov, appliqué en prenan θ = µ r σ (il es connu que exp ( xb x 2 2 ) es une maringale), il exise une probabilié P* équivalene à P sous laquelle (W ) 0 T es un mouvemen brownien sandard. Sous la probabilié P*, on dédui de (6) que ( S Ż ) es une maringale Pricing d'une opion On va chercher mainenan à calculer le prix d'une opion. Pour cela, nous avons besoin de quelques déniions : Déniion. Une sraégie es un couple de processus φ = (H 0, H ) 0 T représenan la quanié d'acif non risqué e d'acif risqué dans le porefeuille. La valeur du porefeuille V (φ) à l'insan es donc : V (φ) = H 0 S 0 + H S. Une sraégie es die admissible si elle es auonancée e si la valeur acualisée du porefeuille es posiive pour ou. On rappelle qu'une sraégie es die auonançane s'il n'y a pas besoin de réinjecer d'argen après la mise de fond iniiale. Mahémaiquemen, cela se radui en emps discre par l'égalié suivane : ce qui donne : H 0 ns 0 n + H n S n = H 0 n+1s 0 n + H n+1 S n V n+1 V n = H 0 n+1s 0 n+1 + H n+1 S n+1 H 0 ns 0 n + H n S n = H 0 n+1(s 0 n+1 S 0 n) + H n+1 (S n+1 S n ) La ransposiion de cee égalié à emps coninu condui à écrire la condiion d'auonancemen sous la forme suivane : dv (φ) = H 0 ds 0 + H ds (7) On dira qu'une opion es simulable si sa valeur à l'échéance es égale à la valeur nale d'une sraégie admissible. Il es mainenan possible d'écrire le prix d'une opion grâce au : 6

7 Théorème 2. Dans le modèle de Black-Scholes, oue opion dénie par une foncion h coninue de R dans R + es simulable e la valeur à l'insan de ou porefeuille simulan es donnée par : V = E (e r(t ) h(s T ) F ) (8) = F (, S ) pour une ceraine foncion F qu'on expliciera plus ard. Démonsraion : Supposons ou d'abord qu'il exise une sraégie admissible (H 0, H), simulan l'opion. La valeur à l'insan du porefeuille (H 0, H ) es donnée par : V = H 0 S 0 + H S e l'on a, par hypohèse, V T = h(s T ). Soi V Ż = H 0 + H ŻS la valeur acualisée du porefeuille. Puisque la sraégie es auonancée, nous avons : d Ż V = d(e r V ) = r Ż V (φ)d + e r dv (φ) = re r (H 0 e r + H S ) d + e r H 0 d(e r ) + e r H ds = H ( re r S d + e r ds ) = H d Ż S = H σ Ż S dw Il en résule que, sous P*, ( Ż V ) es une maringale. D'où : ŻV = E ( Ż V T F ) e par conséquen : V = E (e r(t ) h(s T ) F ) qui es bien la formule recherchée. Nous avons ainsi monré que si le porefeuille (H 0, H) simule l'opion dénie par h, sa valeur es donnée par (8). Pour achever la démonsraion du héorème, il rese à démonrer que l'opion es bien simulable, c'es-à-dire à rouver des processus (H 0 ) e (H ) dénissan une sraégie admissible e els que : H 0 S 0 + H S = E (e r(t ) h(s T ) F ) Or, sous la probabilié P*, le processus déni par M = E (e rt h(s T ) F ) es une maringale de carré inégrable. La lraion (F ), lraion naurelle de (B ), es aussi la lraion naurelle de (W ) e, d'après le héorème de représenaion des maringales browniennes, il exise un processus adapé (K ) 0 T el que : [0, T ] M = M K s dw s p.s 7

8 La sraégie φ = (H 0, H), avec H = K /(σ Ż S ) e h 0 = M H ŻS, es alors une sraégie auonancée, don la valeur à l'insan es donnée par : V (φ) = e r M = E (e r(t ) h(s T ) F ) e il es clair sur cee expression que V (φ) es une variable aléaoire posiive e que V T (φ) = h(s T ). On a donc bien une sraégie admissible simulan h. Développons mainenan S T dans l'expression de V : V = E (e r(t ) h(s e r(t ) e σ(w T W ) (σ 2 /2)(T ) F ) La variable aléaoire S es F -mesurable e, sous P*, W T W es indépendan de F. On a donc V = F (, S ) avec : F (, x) = E [e r(t ) h(xe r(t ) e σ(w T W ) (σ 2 /2)(T ) )] (9) Dans le cas d'un call, c'es-à-dire avec h(x) = (x K)+, il es possible de calculer expliciemen la foncion F (, x) ce qui nous donne le prix du call : C(, S ; T, K, σ) = S N( log( S K σ2 ) + (r + 2 σ T )(T ) ) Ke r(t ) N( avec N la foncion de répariion de la disribuion gaussienne. log( S K σ2 ) + (r 2 σ T )(T ) ) Couverure d'une opion Nous venons de voir que la valeur d'un porefeuille simulan es, à chaque insan, égale à : ŻV = e r F (, S ), où F es la foncion dénie par (9). Sous des hypohèses rès larges sur h, la foncion F es de classe C sur [0, T [ ÖR. Posons : ŻF(, x) = e r F (, xe r ). D'où : Ż V = Ż F(, Ż S ) e, pour < T, d'après la formule d'io : df(, Ż S Ż ) = F Ż x (, S Ż )ds Ż + F Ż (, S Ż )d ŻF 2 x 2 (, S Ż )d < S, Ż S Ż > De l'égalié d Ż S = Ż S σdw, on dédui : d < Ż S, Ż S > = σ 2 ŻS 2 d, ce qui fai apparaîre Ż F(, Ż S ) sous la forme suivane : d Ż F(, Ż S ) = σ Ż F x (, Ż S ) Ż S dw + K d. 8

9 Vu que Ż F(, Ż S ) es une maringale sous P*, le processus K es nécessairemen nul. D'où : d Ż F(, Ż S ) = Ż F x (, Ż S )d Ż S Le candida naurel pour le processus de couverure H es alors : H = Ż F x (, Ż S ) = F x (, S ) (10) En posan H 0 = Ż F(, Ż S ) H ŻS, le porefeuille (H 0, H ) es auonancé e sa valeur acualisée es bien Ż V = Ż F(, Ż S ). Remarque : la quanié H dénie dans (10) es appelée le dela de l'opion. 3.3 La noion de volailié implicie Dans le modèle de Black-Scholes, le prix d'une opion es foncion du niveau -supposé consande la volailié du sous-jacen. Cee hypohèse ne résise cependan pas à l'examen des prix de vanilles du marché : le calcul de la volailié implicie, c'esà-dire de la valeur de la volailié qui, injecée dans la formule de Black-Scholes perme de rerouver un prix donné, monre une double dépendance de cee grandeur en la maurié de l'opion d'une par e en son srike d'aure par. Si l'on noe C m (T, K) le prix, observé sur le marché à l'insan, d'une opion de srike K e de maurié T. La volailié implicie Σ (T, K) vérie alors : C m (T, K) = C(, S ; T, K, Σ (T, K)) (11) Cee noion s'éend, grâce à des argumens d'a-o-a, à des opions de payo h convexe. Des résulas inéressans sur la volailié implicie peuven êre rouvés dans l'aricle de Beresycki [Ber] 4 Modèles de marché pour volailié implicie 4.1 Les vanilles comme acifs de marché Nous avons vu dans la secion précédene que Black e Scholes modélisen l'incerain sur le cours d'un acif de marché par un mouvemen brownien sandard unidimensionnel. Dans un el modèle, l'uilisaion de deux acifs -le cash e l'acion- perme de se couvrir parfaiemen conre le brui du marché ainsi simulé. Touefois, le modèle de Black-Scholes (noammen vis-à-vis de la surface de volailié implicie qui n'es jamais un plan d'aliude consane) éan limié, les chercheurs on inrodui un plus grand nombre de bruis dans la modélisaion des cours des sous-jacens. Il es donc devenu nécéssaire d'uiliser un plus grand nombre d'acifs de marché lors de la réalisaion de la couverure. Les opions vanilles européennes éan côées sur le marché avec une liquidié imporane pour les srikes e les mauriés perinenes, elles son ainsi devenues des ouils pour hedger des produis exoiques, e donc des acifs à par enière, "presque" dissociés du sous-jacen. L'idée de dénir des modèles de diusion pour vanilles s'es donc présenée naurellemen, c'es cee quesion que nous allons raier mainenan. 9

10 4.2 Un modèle de diusion sous-jacen/opion Commençons par éudier les ravaux de Schonbucher, de Schweizer e de Wissel [Sch]. Dans la suie, on considère une opion de payo h convexe e de maurié T donnés e on noe C T son prix à l'insan. Pour simplier les noaions, considérons que le aux d'inérê r es nul (les prix ci-dessous son donc déjà acualisés). La valeur d'une opion décrie par (9) dans le modèle Black-Scholes de base devien alors : F (, x) = E [h(xe γ N γ /2 )] = c(x, γ ) où N es une gaussienne cenrée de variance 1 e γ = (T )σ 2. Ces consaaions moiven la déniion suivane de la variance implicie Γ T : c(s, Γ T ) = C T L'exisence de Γ T es obenue grâce à des raisonnemens de non-arbirage que nous n'exposerons pas ici, ce son ces mêmes raisonnemens qui imposen la posiivié de Γ T e de X(, T ) déni ciaprès. En supposan que C T soi diéreniable en T, nous sommes mainenan en mesure de dénir la variance implicie forward, de maurié T, comme éan : X(, T ) := T (ΓT ) Le cadre de la modélisaion peu désormais êre posé (en réalié, il s'agi de la ransposiion des ravaux de Heah, Jarrow e Meron sur un modèle de aux cour [Hea]). On modélise ainsi un processus pour le prix du sous-jacen (S ) 0 T e une famille de processus de prix (C T ) 0 T (T>0) pour des conras payan h(s T ) au emps T par : avec les dynamiques suivanes : C T = c(s, X(, s)ds) (12) ds S = µ d + σ dw, (0 ), S 0 = s 0 (13) dx(, T ) = α(, T )d + v(, T )dw, (0 T ), X(0, T ) = X 0 (T ) (14) où W es un mouvemen brownien m-dimensionnel. On déni : Γ T := X(, s)ds (15) Chaque X(., T ) es un processus posiif modélisan la variance implicie forward de maurié T. Bien évidemmen, un el modèle suppose d'imporanes conraines sur les déviaions e les volailiés pour qu'il soi uilisable d'un poin de vue nancier. Ce son ces conraines qui nous inéressen ici. 4.3 Relaions sur les coeciens des diusions Commençons par la proposiion suivane : 10

11 Proposiion 1. Sous la probabilié P, la dynamique de C T indices désignan les dérivées parielles) : pour T xé s'écri comme sui (les dc T = (c S µ S + c γ [σ 2 X(, ) + α(, s)ds] c γγ v(, s)ds 2 + c Sγ S σ v 1 (, s)ds)d (16) +c S σ S dw 1 + c γ [ Démonsraion : grâce à (14) e (15), e au héorème de Fubini, on rouve : v(, s)ds]dw. dγ T = [ α(, s)ds]d + [ v(, s)ds]dw X(, )d (17) L'applicaion du lemme d'io perme alors de conclure la preuve. Il rese mainenan à rouver les condiions sur les diusions permean de garanir l'hypohèse d'absence d'opporunié d'arbirage. Un résula fondamenal en nance qu'on peu rouver dans un aricle de Schachermayer [Del] iniulé : "A general version of he fundamenal heorem of asse pricing" es l'équivalence enre absence d'opporunié d'arbirage e exisence d'une mesure équivalene à la probabilié hisorique sous laquelle les prix son des maringales. En uilisan ce héorème, il es possible de rouver les condiions de non-arbirage suivanes : σ 2 (S c T Sγ + σ lim v 1 (, s)ds ) + 1 T c γ 2 lim (c T γγ v(, s)ds 2) X(, ) = 0, (18) T c γ µ = σ b 1, (19) α(, T ) = b v(, T ) c γγ v(, T ) v(, s)ds 1 c γ 2 γ( c γγ )X(, T ) v(, s)ds 2 (20) c γ S c Sγ c γ σ v 1 (, T ) S γ ( c Sγ c γ )X(, T )σ v 1 (, s)ds pour un processus (b ) représenan la prime de risque du marché. Plus précisémen, il es possible d'écrire le héorème : Théorème 3. S'il exise une mesure Q équivalene à P e sous laquelle S e C T son des maringales pour presque ou T > 0 alors σ es soluion de (18) e il exise une prime de risque b saisfaisan (19) e (20) pour presque ou, P presque-sûremen. Réciproquemen, si µ, α, v e σ vérien (18), (19) e (20) pour un cerain processus b. Alors pour ou T*, il exise une mesure Q T équivalene à P e elle que S e C T son des maringales sous Q T. La démonsraion de ce héorème es fondée sur le héorème de Girsanov e sur le lemme d'io. Nous ne la présenerons pas ici. Schweizer parvien de plus à démonrer des résulas d'exisence de soluions aux sysèmes d'eds qui découlen de ces condiions sur les coeciens. Touefois, un approfondissemen des résulas de Schweizer semble nécessaire. En ee, les condiions précédenes son valables pour une foncion h donnée. Dans le cas des opions vanilles, cela revien à xer le srike K. Il serai inéressan de parvenir à une diusion de l'ensemble de la surface des vanilles. 11

12 5 Conclusion Nous avons abordé dans ce papier le problème des opions e de leur couverure. Ces problèmes admeen des soluions connues dans le cadre du modèle de Black-Scholes, soluions qui on valu à leurs aueurs le prix nobel d'économie il y a quelques années. Néanmoins, avec l'appariion de produis dérivés chaque jour plus complexes, ce formalisme ne su plus. Il devien nécéssaire de développer des modèles de diusion non plus seulemen pour le sous-jacen mais égalemen pour les opions vanilles. Ce son ce genre de modèles que Schonbucher, Schweizer... on commencé à créer e sur lesquels poreron mes recherches fuures. Références [Ber] H. Beresycki, J. Busca, and I. Floren. Compuing he implied volailiy in sochasic volailiy models. Comm. Pure Appl. Mah., 57(10) : , 2004 [Sch] M. Schweizer, J. Wissel. Term srucures of implied volailiies : Absence of arbirage and exisence resuls. Mahemaical Finance 18, , 2008 [Lam] D. Lamberon, B. Lapeyre. Inroducion au calcul sochasique appliqué à la nance. Ellipses, 1997 [Hea] D. Heah, R. Jarrow, A. Moron. Bond pricing and he erm srucure of ineres raes : a new mehodology for coningen claims valuaion, Economerica, 60 :77-105, 1992 [Del] F. Delbaen, W. Schachermayer. A General Version of he Fundamenal Theorem of Asse Pricing. Mah. Annalen 300,