Contrat didactique Mathématiques financières

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1 Contrat didactique Mathématiques financières Les compétences de ce cours sont à placer dans le contexte général de l appropriation de la notion de modèle mathématique et de son utilisation pratique en gestion ce qui implique : L appropriation du contenu des modèles de façon à les utiliser optimalement en gestion en toute connaissance de leur contenu et de leurs hypothèses implicites L acquisition d une certaine indépendance visant à chercher éventuellement d autres modèles mieux appropriés Objectifs de l activité d enseignement Le but est d amener l étudiant à poser un problème de gestion financière à mettre en place différentes techniques de résolution d un problème L'étudiant doit s initier aux méthodes de mises en équation financière et aux techniques de calcul de taux, Il devra être capable de mettre toute situation financière en équation, de calculer le taux réel de toute transaction, de construire un tableau d'amortissement. L accent est mis également sur les aspects sociétaux en effectuant par exemple la mesure de l'impact de la fiscalité sur un contrat d'emprunt Présentation du contenu, du contexte : Présentation et critique de l intérêt simple (TCAR), de l intérêt composé et de la capitalisation continue/calcul des annuités/développement de la méthode de Jaumain pour le calcul du taux réel de tout contrat financier/critique de la pertinence de la théorie financière/construction de tableaux d'amortissements/impact fiscal d un emprunt et modèles de Makeham/Initiation à la finance stochastique : construction du modèle lognormal/ajustement et paramétrisation de bases de données/introduction à la valorisation d option par la méthode CRR Organisation du travail / attentes vis-à-vis des étudiants : Cours magistral et séances d'exercices au labo d informatique Mise en place de modèles financiers et de procédures de résolution de problèmes et de calculs en utilisant un tableur Modalités et critères d évaluation : Épreuve écrite comprenant trois types d évaluation : Des questions théoriques évaluant le niveau de savoir approprié Des questions pratiques évaluant la compétence des étudiants à appliquer des techniques de calcul et à critiquer les ordres de grandeur des résultats obtenus Des questions d interprétation portant sur des fichiers de bases de données, sur leur représentation, ou encore sur des fichiers de calcul L évaluation se fait sur base du contrat de confiance (EPCC) mis en place par le didacticien français André Antibi

2 De séries de questions types pouvant être légèrement modifiées lors de l examen sont proposées aux étudiants et reprennent 80% de l examen Support(s) de cours et bibliographie : Notes de cours fournies en support pdf Introduction à la mathématique financière - Daniel Justens et Jacqueline Rosoux - De Boeck-1995 Fichiers de bases de données en format xls Présentations powerpoint Nombreux documents d actualité transmis sous forme de pdf Exemples de questions et d exercices couvrant la première partie du cours : Un capital de est placé pendant 5 ans aux conditions suivantes: date de dépôt, 1 er juin. Capitalisation tous les 1 er janvier. Taux annuel pendant les 30 premiers mois: Taux suivant: Prime de fidélité: Donner l'équation d'évolution du capital et calculer sa valeur après 5 ans. Calculer le taux moyen en utilisant la méthode des approximations successives (2 itérations). Un capital de est placé pendant 6 ans aux conditions suivantes: date de dépôt, 1 er juillet. Capitalisation tous les 1 er janvier. Taux annuel pendant les 30 premiers mois: Taux suivant: Prime de fidélité: Donner l'équation d'évolution du capital et calculer sa valeur après 6 ans. Calculer le taux moyen en utilisant la méthode des approximations successives (cas de capitalisation mixte). Un capital de est placé pendant 7 ans aux conditions suivantes: date de dépôt, 1 er septembre. Capitalisation tous les 1 er janvier. Taux annuel pendant les 28 premiers mois : Taux suivant: Prime de fidélité: Donner l'équation d'évolution du capital et calculer sa valeur après 7 ans. Calculer le taux moyen en utilisant la méthode des approximations successives (cas de capitalisation mixte). Estimer l'erreur commise au niveau de la solution. Justifier le calcul. Calculer le temps de doublement du capital sous les conditions présentées au point 1. Montrer que le problème n'a pas nécessairement de solution exacte dans le cas général.

3 Commenter et expliquer le fichier de calcul suivant. A quel type de problème se rapporte-t-il? Quelle méthode utilise-t-il? Capital initial 10000,00 Capital final 12546,00 durées première durée déc 0, durée naturelle 7, deuxième durée déc 0, durée totale 7, Vérification première approx 0, ,39763 i2= 0, ,68149 i3= 0, ,04232 i4= 0, ,99438 i5= 0, ,00075 Montrer comment on peut construire une équation d évolution de capital à partir de conditions raisonnables en univers déterministe. (interprétation + calculs). Montrer en quoi ces conditions cessent d être raisonnables en univers aléatoire. Interpréter les hypothèses et la nature du modèle obtenu en fonction des pratiques bancaires. Comparer la construction d équations d évolution sur base inductive (on part de la pratique et des usages courants) et déductive (on part d idées générales que l on particularise). Présenter théoriquement la formule de capitalisation lorsqu un changement de taux survient en cours d année. Justifier les résultats. Expliquer et commenter le fichier de calcul suivant. A quel cas de figure correspond-il?

4 Soit un emprunt de remboursé par 48 mensualités de Définir et calculer le taux de chargement. Démontrer la relation approximative entre le taux de chargement et le taux d'intérêt annuel basé sur les notions d'intérêt simple et d'égalité des charges financières (notion de TCAR). Soit un contrat d'emprunt d entreprise basé sur les conditions suivantes : taux nominal = 0.075, Montant emprunté: Remboursements constants (durée 10 ans). Déductibilité totale des frais financiers et calcul sur base d'un taux d'imposition de 35%. Pas de frais initiaux. Les amortissements sont supposés non déductibles. Présenter et expliquer (sans démonstration) la relation de Makeham.. Calculer le taux actuariel. Soit un contrat d'emprunt hypothécaire basé sur les conditions suivantes: taux nominal = Montant emprunté: Remboursement constants (durée 10 ans) Déductibilité des frais financiers à concurrence de 50% et calcul sur base d'un taux marginal d'imposition de 35%. Frais initiaux: Le contrat est signé le 1 er décembre et les impôts sont dus en novembre de l'année qui suit. Les amortissements sont supposés non déductibles. Définir et (surtout) calculer les usufruit et nue-propriété unitaires dans le cas des remboursements constants. Calculer le taux actuariel du contrat en utilisant (sans démonstration) la relation de Makeham (rappel: amortissements constants).

5 Justifier toutes les étapes du fichier de calcul suivant. A quelle situation correspond-il? Dans quel cadre se situe le problème traité? Données capital emprunté : Frais : 7225 Durée (années): 10 Taux annuel : 0,055 Taux marginal imposition : 0,45 Taux Moyen Spécial : 0,4 Quotité déductible amort, 0 Quotité déductible frais fin 1 retard impôts en mois 11 taux initial : 0,05 alpha = 0, lambda = 0, mu = 1 nue-propriété = 0, approx taux = 0, alpha = 0, lambda = 0, mu = 1 nue-propriété = 0, approx taux = 0, alpha = 0, lambda = 0, mu = 1 nue-propriété = 0, approx taux = 0,

6 Même question en ce qui concerne le fichier suivant :

7 Expliquer en détails les calculs sous-jacents au fichier ci dessous. Tableau amortiss en mois taux act montant emprunté ,64 0,045 durée (en années) tx mens 0, taux annuel 0,055 0, , somme = 25335, , récurrence frais indice financiers amortissements soldes nue-pro usufruit 629, , ,17 631, , , ,35 634, , , , , ,51 637, , , , ,66 639, , , , ,80 642, , Justifier les calculs des deux premières lignes du tableau. Expliquer les calculs de nue-propriété et d usufruit. Justifier la valeur de la somme de ces deux quantités. Soit un contrat d'emprunt hypothécaire basé sur les conditions suivantes : taux nominal = Montant emprunté: Remboursement par annuités constantes (durée 20 ans). Il s'agit d'un premier achat effectué par deux personnes (montant plafond = 5600 ) Frais initiaux: Le contrat est signé le 1 er décembre et les impôts sont dus en novembre de l'année qui suit. Calculer le taux actuariel du contrat. Soit un contrat d'emprunt d'entreprise basé sur les conditions suivantes : taux nominal = Montant emprunté: Pas de frais initiaux. (Interpréter cette hypothèse). Remboursements constants (durée 10 ans). Données non fournies au choix. Déductibilité totale des frais financiers et calcul sur base d'un taux d'imposition de 35%. (Interpréter cette hypothèse). Les amortissements sont supposés non déductibles. Calculer théoriquement la nue-propriété unitaire Calculer numériquement nue-propriété et usufruit unitaires Calculer le taux actuariel (2 approximations) en justifiant le choix du taux initial.

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