Les figures semblables

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1 Les figures semblables Parcours 1 AUTONOME Nina et Xavier ont inventé le jeu des paires de triangles. Choisir une paire de triangles congruents donne 1 point. Choisir une paire de triangles semblables qui ne sont pas congruents donne 2 points. A D G B H E Choisis quatre triangles qui donnent beaucoup de points. Combien de points obtiens-tu avec tes quatre triangles? Montre comment tu le sais. Justifie ta réponse à l aide de papier calque et de papier à points. I F C J K l te faut... la FR 15 : Papier à points 1 cm ; du papier calque ; une règle ; un rapporteur ; une calculatrice. Aide-mémoire Des polygones congruents ont exactement la même forme et les mêmes dimensions. Des figures semblables peuvent être congruentes ou être agrandies ou réduites l une par rapport à l autre. Le rapport entre la longueur de chaque côté du grand triangle et le côté correspondant du petit triangle est le même. Ex. : longueur du grand triangle longueur du petit triangle ou 3 1, c est-à-dire 3 dans les deux cas. Donc, chaque côté du grand triangle est 3 fois plus long que le côté correspondant du petit triangle. Les figures semblables Parcours 1 245

2 Choisis un autre ensemble de quatre triangles parmi les triangles A à K de Nina et Xavier. Essaie d obtenir encore plus de points. Montre ta démarche. Tu peux appliquer les mêmes règles aux figures semblables autres que les triangles. Tu obtiens 1 point pour une paire de quadrilatères congruents et 2 points pour une paire de quadrilatères semblables qui ne sont pas congruents. Construis, sur du papier à points, un ensemble de quatre quadrilatères qui te donnera beaucoup de points. Montre et explique ton résultat. 246 Les figures semblables Parcours 1

3 Les figures semblables Parcours 1 GUIDÉ Nicolas a tracé ces figures sur du papier à points. Certaines sont semblables, mais pas toutes. A B C D l te faut... la FR 15 : Papier à points 1 cm ; la FR 26 : Polygones réguliers ; du papier calque ; une règle ; un rapporteur une calculatrice ; des crayons de couleur. W X Un rectangle ne peut pas être semblable à un triangle, car ils n ont pas la même forme. Pour savoir si deux figures sont semblables, tu peux vérifier si elles sont congruentes. La figure A semble congruente à la figure B. Tu peux calquer la figure A et la superposer à la figure B pour voir si elles coïncident parfaitement. Les figures congruentes sont des figures semblables, même si elles sont orientées différemment. Tu peux aussi mesurer leurs côtés. Les paires de côtés correspondants ont la même longueur. Y Z A B 3 2 A 2 3 B Aide-mémoire Des figures semblables peuvent être congruentes ou être agrandies ou réduites l une par rapport à l autre. Des polygones congruents ont exactement la même forme et les mêmes dimensions. Tu peux vérifier si des figures de dimensions différentes sont semblables. La figure C ressemble à une version A agrandie de la figure A. Pour vérifier si ces figures sont semblables, tu peux les mesurer. Les rapports entre les longueurs des paires de côtés correspondants sont égaux. longueur d un côté de la grande figure longueur du côté correspondant de la petite figure ou 4 2, c est-à-dire 2 dans les deux cas. C 247 Les figures semblables Parcours 1

4 Parfois, des figures dont les angles correspondants sont égaux ne sont pas semblables. Par exemple, pour vérifier si les figures B et D sont semblables, tu peux mesurer leurs côtés. Les rapports entre les longueurs des côtés correspondants sont différents, donc les figures ne sont pas semblables. longueur d un côté de la grande figure longueur du côté correspondant de la petite figure ou 3 3 Pour que deux figures soient semblables, les angles correspondants doivent être congrus et les rapports entre les longueurs des côtés correspondants doivent être égaux. Le rectangle E est-il semblable au rectangle C? Pourquoi? Tu peux vérifier s il y a des triangles semblables parmi ceux de Nicolas. Par exemple, construis les triangles W et Z sur du papier à points. Vérifie si les angles correspondants sont égaux. Mesure les côtés. Les rapports entre les longueurs des trois paires de côtés correspondants sont égaux. longueur d un côté de la grande figure longueur du côté correspondant de la petite figure 5 6 4,3 9,5 ou ou 4 2,9 6,5, soit environ 1,5 dans tous les cas. Y a-t-il d autres triangles semblables? Mesure-les pour le vérifier. À ton tour 1. a) Ces trois rectangles sont-ils semblables? Comment le sais-tu? D B E C W Z b) Imagine qu on transforme la petite figure en un rectangle de 2 cm sur 3. Est-il encore semblable aux autres? Pourquoi? 248 Les figures semblables Parcours 1

5 2. Jérémie a conçu ce drapeau à l ordinateur. A B a) Colorie le triangle D pour lui donner la même apparence que le triangle C. Comment sais-tu que le triangle D est semblable au triangle C? C D Aide-mémoire Pour vérifier si des figures sont semblables, tu peux te servir de papier calque ou mesurer les figures avec une règle et un rapporteur. Le rapport entre les longueurs correspondantes est le même. Ex. : b) Trouve d autres triangles semblables dans ce drapeau. Indique chaque groupe de triangles semblables à l aide d une couleur différente. 3. Sabrina a tracé une figure à l extérieur de ce quadrilatère gris. Elle a placé un bord de sa règle sur chaque côté de la figure et a tracé une ligne le long de l autre bord de sa règle. Les deux figures sont-elles semblables? Pourquoi? longueur du grand triangle longueur du petit triangle ou 3 1, c est-à-dire 3 dans les deux cas. Donc, chaque côté du grand triangle est 3 fois plus long que le côté correspondant du petit triangle. 4. Ces rectangles sont-ils semblables? Pourquoi? 3 cm 4,5 cm 7 cm 7 cm 10,5 cm 10,5 cm 3 cm 4,5 cm 249 Les figures semblables Parcours 1

6 5. Un rectangle a une longueur de 8 cm et une largeur de 4 cm. Tu ajoutes 2 cm à la longueur et 2 cm à la largeur. Le nouveau rectangle est-il semblable à la figure initiale? Explique ton raisonnement. 6. Certains panneaux routiers ont la forme d un polygone régulier. CÉDEZ ARRÊT Aide-mémoire Dans un polygone régulier, tous les côtés et tous les angles sont égaux. Dans quelle condition peut-on dire que des polygones réguliers sont semblables? (Tu peux t aider de la FR 26 pour dessiner divers polygones réguliers semblables.) 7. Deux triangles sont semblables. Le premier a un côté de 4 cm et un autre de 9 cm. Le deuxième a un côté de 16 cm et un autre de 18 cm. Quelles sont les longueurs des autres côtés? (Au besoin, trace des triangles sur une autre feuille.) Premier triangle : Les côtés mesurent 4 cm, 9 cm et. Deuxième triangle : Les côtés mesurent 16 cm, 18 cm et. 8. Un parallélogramme est semblable à une autre figure. Qu est-ce que cela t indique à propos de l autre figure? Qu est-ce que cela ne t indique pas à propos de l autre figure? 9. Est-il plus facile de savoir que deux figures sont semblables ou qu elles ne le sont pas? Pourquoi? Le savais-tu? Bien connaître les caractéristiques des figures semblables te sera utile pour tracer des dessins à l échelle. 250 Les figures semblables Parcours 1

7 Les figures congruentes Parcours 2 AUTONOME Katie a dessiné les trois premières lettres de son nom à l aide de paires de triangles congruents : deux triangles rectangles dont les deux côtés les plus courts mesurent 3 cm et 4 cm ; deux triangles gris qui ont une base de 3 cm et deux angles de 70. Elle a tracé des petits traits sur certains côtés pour indiquer les mesures égales. Un triangle a six mesures : trois mesures d angle et trois longueurs de côté. Deux triangles sont congruents si leurs six mesures sont égales. Si tu connais seulement trois des six mesures correspondantes d une paire de triangles, peux-tu savoir si les deux triangles sont congruents? Dans l encadré, choisis trois mesures à vérifier et encercle-les. Découpe des angles et des bandes de papier, puis fais des essais. l te faut... du papier calque ; une règle ; un rapporteur ; des ciseaux et du carton mince. Aide-mémoire Des polygones congruents ont exactement la même forme et les mêmes dimensions. 1 er côté 2 e côté 3 e côté 1 er angle 2 e angle 3 e angle Choisis un autre ensemble de trois mesures à vérifier. Peux-tu savoir si les deux triangles sont congruents? 1 er côté 2 e côté 3 e côté 1 er angle 2 e angle 3 e angle Les figures congruentes Parcours 2 251

8 Fais encore deux essais avec d autres ensembles de trois mesures. Peux-tu savoir si les deux triangles sont congruents? 1 er côté 2 e côté 3 e côté 1 er angle 2 e angle 3 e angle 1 er côté 2 e côté 3 e côté 1 er angle 2 e angle 3 e angle Imagine deux quadrilatères. Si tu connais seulement quatre des huit mesures correspondantes, peux-tu savoir si ces quadrilatères sont congruents? Explique ton raisonnement. 252 Les figures congruentes Parcours 2

9 Les figures congruentes Parcours 2 GUIDÉ Justin construit des prismes avec des polygones en carton. Il doit s assurer que les polygones qui lui serviront de bases sont congruents. l te faut... du papier calque ; une règle ; un rapporteur ; un miroir transparent (de type Mira). Il peut découper les figures et les superposer pour voir si elles coïncident parfaitement. Il existe d autres façons de vérifier la congruence. Tu peux mesurer tous les côtés et tous les angles pour voir s ils correspondent. Les angles et les côtés de chaque figure doivent correspondre dans le même ordre. Tu peux utiliser une transformation géométrique qui ne change rien aux dimensions. Si tu peux déplacer une figure sur une autre à l aide d une réflexion, d une translation ou d une rotation, les deux figures sont congruentes Aide-mémoire Des polygones congruents ont exactement la même forme et les mêmes dimensions. Tu peux tracer des petits traits sur les côtés des polygones pour indiquer des longueurs égales. Tu peux vérifier, à l aide de papier calque, si deux figures sont toujours congruentes à la suite d une transformation géométrique. Une réflexion est un retournement par rapport à un axe. Une translation est un glissement le long d un segment de droite. Une rotation est un retournement autour d un point. 253 Les figures congruentes Parcours 2

10 Quand les figures sont des triangles, tu peux utiliser la stratégie suivante : Si une de ces combinaisons de mesures concorde, les deux triangles sont congruents. Les trois côtés d un triangle sont de la même longueur que les trois côtés d un autre triangle. Cette correspondance est de type côté, côté, côté. Exemple de Justin : Autre exemple : Deux côtés d un triangle sont de la même longueur que les deux côtés correspondants de l autre triangle. L angle entre ces côtés a la même mesure dans les deux triangles. Cette correspondance est de type côté, angle, côté. Exemple de Justin : Autre exemple : Deux angles d un triangle ont les mêmes mesures que les deux angles correspondants de l autre triangle. Le côté entre ces deux angles a la même longueur dans les deux triangles. Cette correspondance est de type angle, côté, angle. Exemple de Justin : Autre exemple : Les deux autres triangles de Justin sont-ils congruents? Comment le sais-tu? À ton tour 1. Explique comment tu sais que les deux pages de couverture d un livre sont congruentes. 254 Les figures congruentes Parcours 2

11 2. Ces deux quadrilatères sont congruents. a) Quelle transformation géométrique te permettrait de les superposer? Encercle ta réponse. translation réflexion rotation b) Sur les deux quadrilatères, marque les paires de côtés qui ont la même longueur et les paires d angles qui ont la même mesure. 3. Ces deux quadrilatères sont congruents. Indique les mesures des angles et des côtés correspondants Ces figures sont-elles congruentes? Indique, sans les calquer, comment tu le sais. a) b) 5. Sans les calquer, prouve que ces triangles sont congruents. a) b) Les figures congruentes Parcours 2

12 6. Construis deux triangles pour chaque situation. Indique leurs mesures. Tu peux d abord faire un modèle avec des bandes de papier et des angles découpés ou construire une figure à l aide d une règle et d un rapporteur. a) Montre que deux triangles qui ont un côté de 8 cm, un côté de 4 cm et un angle de 90 peuvent ne pas être congruents. b) Montre que deux triangles qui ont un angle de 40, un angle de 90 et un côté de 10 cm peuvent ne pas être congruents. c) Montre que deux triangles qui ont trois paires d angles correspondants peuvent ne pas être congruents. d) Montre que deux triangles qui ont des côtés de 6 cm, de 8 cm et de 10 cm sont forcément congruents. 7. On te donne les dessins de trois paires de figures, mais tu ne peux ni les calquer ni les découper. Tu dois déterminer si les figures de chaque paire sont congruentes. Pour quelle paire de figures auras-tu le plus de facilité à répondre? Encercle ton choix et justifie-le. 2 rectangles ou 2 carrés ou 2 triangles Le savais-tu? Il est utile de pouvoir vérifier la congruence de figures sans avoir à découper ou à déplacer le matériel que tu évalues, surtout s il s agit d objets de valeur. 256 Les figures congruentes Parcours 2

13 Trier et classer des polygones Parcours 3 AUTONOME Nadine a construit un parallélogramme (figure 1) sur un géoplan carré et un polygone régulier (figure 2) sur un géoplan circulaire. 1 2 l te faut... la FR 17 : Géoplan circulaire ; une règle ; un rapporteur ; un miroir transparent (de type Mira). polygone régulier polygone dont tous les côtés et tous les angles sont égaux Elle a trié les deux figures dans le même groupe selon la règle de tri suivante : «qui a des côtés opposés parallèles». Quelle autre règle de tri permettrait de placer la figure 1 et la figure 2 dans le même groupe? Quelle règle de tri permettrait de placer la figure 1 et la figure 2 dans des groupes différents? Construis douze autres polygones sur un géoplan circulaire. Numérote-les de 3 à 14. Assure-toi d y inclure plusieurs types de quadrilatères et de triangles. Nomme chaque polygone que tu as dessiné. Aide-mémoire Tu peux trier des polygones selon une foule d attributs et de propriétés géométriques (ex. : la longueur des côtés, le nombre de côtés parallèles, le nombre d axes de symétrie). Tu peux vérifier si des côtés sont parallèles à l aide d une règle et trouver des axes de symétrie à l aide d un miroir transparent. Figure 1 : parallélogramme Figure 2 : hexagone régulier Figure 8 : Figure 9 : Figure 3 : Figure 4 : Figure 5 : Figure 6 : Figure 7 : Figure 10 : Figure 11 : Figure 12 : Figure 13 : Figure 14 : Trier et classer des polygones Parcours 3 257

14 Trie les quatorze figures selon leurs attributs géométriques. Trouve six façons de les trier. Énumère les figures de chaque groupe et décris ta démarche. Première règle de tri : Quatrième règle de tri : Deuxième règle de tri : Cinquième règle de tri : Troisième règle de tri : Sixième règle de tri : 258 Trier et classer des polygones Parcours 3

15 Trier et classer des polygones Parcours 3 GUIDÉ Laurie fait le ménage d une classe de maternelle. Elle trouve sur le plancher ces sept figures. Elle a trié les figures selon la règle de tri suivante : «quadrilatère qui a des angles de 90». Tu peux trier les mêmes figures d une autre façon, selon la règle de tri suivante : «quadrilatère qui a un axe de symétrie». l te faut... la FR 27 : Polygones ; du papier calque ; une règle ; un rapporteur ; un miroir transparent (de type Mira) ; des ciseaux. Aide-mémoire Tu peux trier des polygones selon une foule d attributs et de propriétés géométriques (ex. : la longueur des côtés, le nombre de côtés parallèles, le nombre d axes de symétrie). Laurie a trouvé trois autres figures, qu elle a ajoutées aux sept figures initiales. Tu peux vérifier si des côtés sont parallèles à l aide d une règle et trouver des axes de symétrie à l aide d un miroir transparent. Trie ou classe les dix figures selon d autres règles de tri ou de classement. Par exemple : qui est un quadrilatère (4 côtés) qui a au moins deux axes de symétrie qui est un polygone régulier polygone régulier polygone dont tous les côtés et tous les angles sont égaux ; les autres polygones sont des polygones irréguliers 259 Trier et classer des polygones Parcours 3

16 À ton tour 1. Décris au moins trois propriétés de chaque polygone. a) b) c) Décris au moins trois ressemblances entre ces deux polygones. 2. Trie les quadrilatères de la FR 27 selon chacune des deux règles de tri. Écris le numéro de chaque figure dans la section appropriée du diagramme de Venn. Aide-mémoire Les quadrilatères ont quatre côtés. On les désigne en fonction de leurs propriétés. Un parallélogramme a deux paires de côtés parallèles de même longueur. a) qui a au moins un angle de 90 qui a au moins deux côtés de même longueur Un rectangle est un parallélogramme qui a quatre angles droits. Un carré est un rectangle dont tous les côtés sont de même longueur. b) qui a au moins une paire de côtés parallèles qui n a aucun côté de même longueur Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur. Un trapèze a au moins une paire de côtés parallèles. 260 Trier et classer des polygones Parcours 3

17 3. En quoi ces figures se ressemblent-elles? En quoi sont-elles différentes? Ressemblances : A C B Différences : D F E G 4. Décris trois façons différentes de trier ou de classer ces triangles. 4 A F B 5 2 G C 2 H D 1 12 E Construis deux polygones différents qui correspondent à chaque description. a) qui a cinq côtés, au moins un angle droit et un axe de symétrie b) qui a huit côtés, au moins une paire de côtés parallèles, au moins un angle aigu, au moins un angle droit et au moins un angle obtus 261 Trier et classer des polygones Parcours 3

18 6. a) Écris le numéro de chaque polygone dans la case appropriée du tableau. (Tu peux t aider des figures de la FR 27.) La classification des polygones Type de polygone polygones réguliers polygones irréguliers Qui a des côtés parallèles Qui a un axe de symétrie b) Quelles sont les caractéristiques communes des figures de chaque ensemble? Les figures 18 et 21 : Les figures 2, 7, 8, 9, 11, 12, 17 et 20 : Les figures 7 et 13 : 7. Quels attributs seraient utiles pour trier ou classer chaque ensemble de figures? a) un ensemble de triangles b) un ensemble de quadrilatères c) un ensemble de polygones irréguliers et de polygones réguliers Le savais-tu? Chaque fois que tu nommes un polygone, tu classifies cette figure. Parfois, le nom indique clairement la façon de le classifier, mais ce n est pas toujours le cas. 262 Trier et classer des polygones Parcours 3