DEUXIEME ANNEE TRONC COMMUN TECHNOLOGIE TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE VIBRATIONS ONDES

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1 UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE A TECHNOOGIE HOUARI BOUMEDIENNE INSTITUT DE PHYSIQUE DEPARTEMENT DES ENSEIGNEMENTS DE PHYSIQUE DE BASE DEUXIEME ANNEE TRONC COMMUN TECHNOOGIE TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE VIBRATIONS ONDES A.C. CHAMI, H. DJEOUAH, S. KESSA Edition

2 SOMMAIRE RAPPES DE MATHEMATIQUES.... DYNAMIQUE DU SOIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE... 5 EQUATIONS DE AGRANGE OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE. 8 OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES AMORTIS A UN DEGRE DE IBERTE.. OSCIATIONS FORCEES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE. 5 OSCIATIONS IBRES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE. OSCIATIONS FORCEES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE..3 GENERAITES SUR ES ONDES 7 CORDES VIBRANTES...9 ONDES EASTIQUES DANS ES SOIDES 34 ONDES MECANIQUES DANS ES MIIEUX DISCRETS ONDES ACOUSTIQUES DANS ES FUIDES. 36 ONDES EECTROMAGNETIQUES 39 PROBEMES ET SUJETS D EXAMENS.43

3 RAPPES DE MATHEMATIQUES TRIGONOMETRIE : Eecice : Un déplacement hamonique est décit pa (t)cos(πt/5) ( en mm, t en secondes et la phase en adians). Détemine : (a) la féquence et la péiode du mouvement; (b) l'amplitude du déplacement, de la vitesse et de l'accéléation; (c) le déplacement, la vitesse et l'accéléation au instants ts et t.s. Eecice : Un accéléomète indique que l'accéléation d'un dispositif mécanique est sinusoïdale de féquence 4Hz. Si l'amplitude de l'accéléation est de m/s, détemine l'amplitude du déplacement et de la vitesse. Eecice 3 : Un mouvement hamonique est décit pa (t)x cos(t+ϕ). es conditions initiales sont ()4.mm et & ( ).m/s. a) Calcule X et ϕ. b) Epime (t) sous la fome A cos(t) + B sin(t) et en déduie les valeus de A et B. Eecice 4 : Monte que (t) sin(t) + 3 cos(t) peut se mette sous la fome : (t) X cos(t+α). Quelles sont les valeus de X et α? Eecice 5 : Repésente gaphiquement les vaiations au cous du temps d'un mouvement péiodique décit pa: a) (t) 3 sin(πt) + 3 sin(πt); b) (t) 3 sin(πt) + 3 sin(.πt). DEVEOPPEMENT EN SERIES DE FOURIER Eecice 6 : ) Repésente gaphiquement chacune des fonctions suivantes dont la péiode est égale à T. Pécise la paité de chacune de ces fonctions : ft () t pou T/ t a) f(t) t pou -T/ t T/ b) ft () t pou t T/ c) e) f(t) a pou T / t f(t) a pou t T / ft () pou T/ t ft () t pou t T/ d) f(t) t pou -T/ t T/ ) Calcule les coefficients du développement en séie de Fouie de chacune de ces fonctions. 3) Quelle est la valeu moenne su une péiode de chacune de ces fonctions?

4 3 NOMBRES COMPEXES : Eecice 7 : Epime les nombes complees suivants sous la fome Z Z ejφ : 3 a) j 3 b) - c) d) 5j 3 j 3 3 j e) f) ( 3 + j)( 3+ 4j) g) j + 3j+ 3 j 3 4j EQUATIONS DIFFERENTIEES : h) ( ) 8 Eecice 8 : Calcule et epésente gaphiquement la solution de l'équation difféentielle homogène : +. b) () et ( ). 4, pou les conditions initiales suivantes : a) () et ( ) Eecice 9 : Pou les conditions initiales suivantes : calcule et epésente gaphiquement les solutions des équations difféentielles homogènes suivantes: a) () et ( ). b) () et ( ). c) () et ( ) , calcule et epésente gaphiquement la solution généale de chacune des équations difféentielles inhomogènes suivantes : Eecice : Pou les conditions initiales () et ( ) cos(3t) cos(t) cos(3t) cos(3t) cos(3t) Eecice : Calcule la solution paticulièe de chacune des équations difféentielles inhomogènes suivantes :. + 4 f(t) f(t) f(t)

5 4 f (t) apou T / t où f(t) est une fonction. de péiode T, définie pa : f (t) apou t T /

6 5 DYNAMIQUE DU SOIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE Eecice : Touve le moment d'inetie, pa appot à son ae de évolution, d'un clinde doit, plein et homogène, de aon R, de hauteu h et de masse M. Eecice : Utilise le théoème d'hughens pou touve le moment d'inetie d'un clinde pa appot à l'une de ses généatices. Eecice 3 : Soit une bae homogène de faible section, de longueu et de masse M. ) Calcule son moment d'inetie pa appot à un ae pependiculaie passant pa son milieu. ) Calcule son moment d'inetie pa appot à un ae pependiculaie passant pa une de ses etêmités. Eecice 4 : Une bae homogène de faible section, de masse M et de longueu, toune sans fottement dans un plan vetical autou d'un ae hoizontal fié à l'une de ses etêmités. ) Calcule son énegie mécanique. ) En déduie l'équation difféentielle qui égit son mouvement. Eecice 5 : Un clinde oule sans glisse su un plan incliné faisant un angle θ avec l'hoizontale. ) Calcule son énegie mécanique. ) En déduie son accéléation. Eecice 6 : Etabli l'équation difféentielle qui égit le mouvement d'une bille de aon qui oule sans glisse dans une demi sphèe de aon R. On se limitea à l'étude du cas paticulie du mouvement dans un plan vetical.

7 6 EQUATIONS DE AGRANGE DEGRES DE IBERTE ET COORDONNEES GENERAISEES Eecice : On considèe un point matéiel asteint à se déplace su un cecle de aon R et de cente contenu dans le plan O. ) Taduie la liaison pa une ou des elations mathématiques; quel est le nombe de degés de libeté de ce point? ) Quelles sont les coodonnées généalisées que l'on peut utilise pou epée ce point? Eecice : On considèe un point matéiel asteint à se déplace su une sphèe. Réponde au mêmes questions que l'eecice pécédent. Eecice 3 : Pou epée la position d'un solide dans l'espace, il faut epée la position de tois points non alignés A, B et C de ce solide. ) Taduie les liaisons phsiques pa des elations mathématiques; quel est le nombe de degés de libeté de ce solide? ) Quelles sont les coodonnées généalisées les plus couamment utilisées pou décie le mouvement d'un solide? 3) Quel est le nombe de degés de libeté pou un solide qui possède : a) un point fie? b) deu points fies? Eecice 4 : On considèe une haltèe constituée de deu masses identiques m, supposées ponctuelles, eliées pa une tige de longueu a, de diamète et de masse négligeables. ) Comment s'écit mathématiquement la liaison ente les deu masses? ) Quel est le nombe de degés de libeté de ce sstème? EQUATIONS DE AGRANGE POUR ES SYSTEMES CONSERVATIFS Eecice 5 : On considèe une masse M qui glisse sans fottement selon une doite su un plan hoizontal. Elle est eliée à un bâti fie pa un essot pafait de aideu, colinéaie avec la tajectoie. ) Quel est le nombe de degés de libeté? ) Quelles sont les foces qui s'eecent su la masse M. Quelles sont celles qui déivent d'un potentiel? Quelles sont celles qui ne tavaillent pas? 3) Calcule l'énegie cinétique et l'énegie potentielle de ce sstème; en déduie l'équation difféentielle du mouvement pa la méthode des équations de agange. 4) Etabli l'équation difféentielle du mouvement en utilisant la seconde loi de Newton; que emaque-t-on? Quelles sont les foces qui n'inteviennent pas dans l'équation de agange et qui sont pises en compte dans les équations de Newton? Quelle est leu paticulaité? Eecice 6 : On considèe un pendule simple constitué d'une masse m eliée à un point fie O pa un fil de longueu l et de masse négligeable. Cette masse peut oscille libement dans le plan vetical O.

8 ) Quel est le nombe de degés de libeté de ce sstème? Quelles sont les coodonnées généalisées les plus patiques à utilise? Ecie les coodonnées et de la masse m dans le epèe O en fonction des coodonnées généalisées choisies. ) Quelles sont les foces qui s'eecent su la masse m. Quelles sont celles qui déivent d'un potentiel? Quelles sont celles dont le tavail n'est pas nul au cous du mouvement? 3) Etabli les équations du mouvement pa la méthode des équations de agange. 4) Ecie les équations du mouvement pa la méthode de Newton; etouve-t-on le même ésultat que pa la méthode de agange? Détemine le module de l'action du fil su la masse m; pouvait-on détemine ce module pa la méthode de agange? Commente le ésultat. Eecice 7 : Etudie le mouvement d'un clinde de masse M et de aon R, qui oule sans glisse le long de la ligne de plus gande pente d'un plan incliné qui fait un angle θ avec l'hoizontale. 7 EQUATIONS DE AGRANGE POUR ES SYSTEMES NON CONSERVATIFS Eecice 8 : Etudie à l'aide des équations de agange, le mouvement d'une masse M qui glisse su un plan incliné faisant un angle θ avec l'hoizontale, avec un coefficient de fottement de glissement µ. a masse est soumise de plus à une foce F(t) paallèle au plan incliné. Eecice 9 : Etudie, à l'aide des équations de agange, le mouvement d'un clinde de masse M et de aon R autou de son ae de évolution fié hoizontalement, entaîné en otation pa l'action de foces etéieues dont le moment pa appot à l'ae de otation est M(t). Eecice : Une paticule de masse m est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide caactéisé pa un coefficient de fottement visqueu α. Etudie son mouvement à l'aide des équations de agange. Eecice : Etabli l'équation difféentielle du mouvement, dans un plan vetical, d'une masse ponctuelle m eliée à un point O pa une tige de longueu R et de masse négligeable. a masse est soumise à une foce F(t) qui este pependiculaie à la tige los du mouvement. es foces de fottement de viscosité peuvent ête amenées à une foce f()α t v appliquée à la masse m dont la vitesse instantanée est v. e coefficient de fottement visqueu α est supposé constant.

9 8 OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE Eecice: Association de essots Calcule la féquence des oscillations pou chacun des sstèmes suivants: m m m Eecice : Oscillateu électique Un cicuit électique est constitué d'une self (de ésistance supposée négligeable) et d'un condensateu de capacité C. a capacité possède une chage Q. A l'instant initial., l'inteupteu K est femé puis le sstème oscille libement (voi figue). ) Ecie l'équation qui égit les vaiations de la chage q du condensateu au cous du temps. ) Résoude cette équation et détemine la péiode de cet oscillateu. Effectue l'application numéique pou.5h, C.5µF.et Q.5µC. 3) Calcule l'énegie du condensateu, celle de la self et l'énegie totale du cicuit. Que emaque-t-on? 4) Faie l'analogie avec une masse m accochée à un essot. +q -q K C i Eecice 3: Code plombée Une masse ponctuelle m glisse sans fottement su une table hoizontale. Elle est fiée à deu bâtis fies pa deu codes de masse négligeable tendues hoizontalement. En supposant que la tension T des codes este constante los du mouvement, calcule la péiode des oscillations pou de faibles amplitudes du mouvement dans la diection. Eecice 4 : Oscillations d'un icebeg Un icebeg de masse volumique ρ', assimilable à un paallélépipède égulie et homogène de masse M flotte su de l'eau de masse volumique constante ρ. Sa suface de base est S et sa hauteu est. On appelle que la poussée d'achimède qui s'eece su un m / / ρ' ρ

10 objet immegé est: PA ρ Vg 9 où V est le volume immegé et g l'accéléation de la pesanteu. ) Calcule, à l'équilibe, le volume immegé de l'icebeg en fonction de son volume total. a masse volumique de la glace est ρ'9 g/m 3 ; celle de l'eau est ρ g/m 3. ) 'icebeg est écaté d'une distance veticale h pa appot à sa position d'équilibe. Calcule la péiode de ses oscillations quand les fottements sont considéés comme négligeables. Faie l'application numéique pou 5m, hm, g9.8m/s. Eecice 5 : Pendule de tosion Une tige d'acie de constante de tosion C est soudée pa son etémité au cente d'un disque homogène de masse M et de aon R. 'aute etémité est encastée dans un bâti fie. Une masse m est soudée au point le plus bas du disque. On toune le disque d'un angle φ et on le lâche sans vitesse initiale. Détemine l'epession en fonction du temps de l'angle φ(t) d'écat du sstème pa appot à sa position d'équilibe. On néglige la fleion de la tige d'acie. φ M,R m C Eecice 6 : Métonome Un métonome est schématisé su la figue ci-conte. a masse M est soudée à l'etémité de la tige. a position de la masse m su la tige peut ête églée. a tige est supposée de masse négligeable; elle est mobile sans fottements autou de O. a masse M étant en bas, on l'écate d'un angle θ petit et on l'abandonne sans vitesse initiale. ) Quelle(s) condition(s) doit satisfaie le sstème pou M qu'il puisse oscille? ) Détemine l'epession de la péiode pou des oscillations de faibles amplitudes. 3) A.N.: Sachant que M 8g, m g et 4cm, détemine la distance l pou que la péiode du métonome soit égale à s. 4) On veut augmente la péiode d'oscillation du métonome. Faut-il appoche ou éloigne la masse m du point O? Eecice 7 : Dans les figues ci-dessous, une tige homogène de masse M et de longueu oscille sans fottement, dans un plan vetical, autou d'un ae fie pependiculaie au plan du mouvement en O. m l O θ

11 A O θ a M A O θ M a O a A θ M (a) (b) (c) ) Quelle est la défomation du essot à l'équilibe, sachant qu'à cette position θ? ) Etabli l'équation difféentielle du mouvement dans le cas des mouvements de faibles amplitudes. 3) A quelle condition le sstème de la figue (b) peut-il oscille? Quelle est la natue du mouvement losque cette condition n'est pas satisfaite? 4) Eplique pouquoi la péiode des oscillations est indépendante de g dans le cas de la figue (c). 5) Calcule l'effot appliqué su le mu au point A. Eecice 8 : On considèe le dispositif schématisé su la figue ci-conte. Un disque homogène M,R de masse M et de aon R est attaché pa son O O'.. ae à l'etémité d'un essot de aideu. Une tige igide, de longueu l, de masse négligeable, est solidaie du disque qui peut l oule sans glisse su un plan hoizontal. φ Détemine la pulsation pope du sstème. m Sachant qu'à t, la tige est écatée d'un angle petit φ pa appot à la veticale et lâchée sans vitesse initiale, détemine l'epession de φ(t). Donne l'epession de la vitesse de la masse m quand la tige passe pa la veticale. Eecice 9: Dans le sstème ci-conte, la code oule sans glisse autou du clinde de masse M5g et de aon R4cm, qui toune autou de son ae fie. Elle pote à son etémité une masse mg. Un essot de aideu 6 N/m, fié à un bâti fie, est accoché au point A distant de cm de l'ae du clinde. ) Sachant qu'à l'équilibe θ et dans l'hpothèse des oscillations de faible amplitude, établi l'équation difféentielle du mouvement. Donne l'epession de θ en fonction du temps pou les conditions initiales suivantes : θ(t) 5 et & θ(t). M A R m θ

12 ) Au bout de cinq péiodes d'oscillation, la masse m se décoche; quelle est la natue du mouvement à pati de cet instant? Autou de quelle position se font les oscillations? Calcule la nouvelle péiode du mouvement et l'amplitude des oscillations. 3) Tace le gaphe epésentant les vaiations de θ en fonction du temps pou <t<s. Eecice : Soit une masse m fiée à l'etémité d'une tige de masse négligeable et de longueu l. a tige effectue des oscillations de faibles amplitudes autou d'un ae fie passant pa le point O et m θ pependiculaie au plan du mouvement. e point A de la tige, tel que OAa, est elié à deu bâtis fies B et B espectivement pa deu essots de aideu et. A l'équilibe, la tige est veticale. a) Sachant qu'à l'équilibe, les essots ne sont pas défomés, établi l'équation difféentielle du mouvement du sstème. b) Si m,, et l sont donnés, quelle condition A O doit satisfaie la longueu a pou que le sstème puisse oscille? c) Cette condition étant satisfaite, détemine l'epession de la pulsation pope du sstème. B B Eecice : Oscillations d'un moment magnétique : On veut mesue la composante hoizontale du champ magnétique teeste B à l'aide d'un pendule fomé O' d'un aimant hoizontal de moment magnétique M et de masse M mobile dans le plan hoizontal, autou d'un ae d vetical OO'. 'aimant a la fome d'un paallélépipède ectangle de côtés, l et h. On toune ce baeau d'un angle θ pa appot à sa position d'équilibe et on l'abandonne sans vitesse initiale. m O m ) Sachant qu'aucun couple de tosion aute que magnétique n'agit su le sstème, écie l'équation du mouvement dans le cas où les fottements sont négligeables. En déduie la S N péiode d'oscillation du baeau dans le cas des faibles amplitudes. Retouve l'équation du mouvement en utilisant la méthode de agange. ) Calcule B si T 8, s, M A.m, cm, l h cm, M8g. 3) Dans la patique, on pocède autement afin d'évite le calcul du moment d'inetie J du baeau. 'epéience pécédente étant achevée, on la épète en plaçant su le baeau deu masses clindiques en cuive, de masse m 5 g, à des distances d 4 cm de l'ae OO'. a nouvelle valeu de la péiode est alos T ',7 s. Calcule B. N.B. On appelle qu'un aimant de moment magnétique M,placé dans un champ magnétique B, est soumis à un couple Γ M B.

13 OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES AMORTIS A UN DEGRE DE IBERTE Eecice : Une masse m g est montée su deu essots de aideu 4 N/m et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α3 g/s. A l'instant initial, la masse est écatée de 5 cm de sa position d'équilibe puis lâchée sans vitesse initiale. a) Calcule le déplacement et la vitesse de la masse m en fonction du temps. b) Quels sont le déplacement et la vitesse à l'instant t s? m α Eecice : e cicuit ci-conte est constitué d'un condensateu de capacité CµF, d'une bobine d'inductance.mh et d'une ésistance R pouvant pende les valeus Ω, 5Ω et Ω. e condensateu est initialement chagé sous une tension de 5V. A l'instant ts, on feme busquement l'inteupteu K. ) Etabli l'équation difféentielle qui égit les vaiations de la tension v(t) au bones du condensateu. ) Pou les tois valeus de la ésistance: a) Quelles sont les valeus de δ et? b) En déduie les vaiations de v(t) au cous du temps. c) Tace le gaphe de v(t) en fonction du temps. v C R Eecice 3 : Un bloc de masse 5 g est monté su un suppot en caoutchouc, de masse négligeable, qui se compime de 6.cm sous ce poids. Quand le bloc vibe libement, on enegiste les positions de la masse apès l'avoi déplacé de 5cm à pati de sa position d'équilibe (voi figue ciconte) Sachant que le tapis -6 de caoutchouc peut ête,,5, smbolisé pa un essot de t(s) aideu K associé à un,5, amotisseu de coefficient de fottement visqueu α, calcule ces coefficients K et α. (cm) K

14 3 Eecice 4 : e sstème de la figue ci-conte est constitué d'un clinde homogène de masse M et de aon R en otation autou de son ae de évolution fie. Un fil inetensible, de masse négligeable, entaîne le clinde sans glissement su sa péiphéie ; ses deu etémités sont eliées à un bâti fie (B) pa un essot de aideu K et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α. Quelle la valeu citique du coefficient α? Eecice 5 : e sstème mécanique de la figue cidessus est constitué d'une tige ectiligne AD, homogène, de masse M3g et de longueu m. Cette tige peut toune, dans le plan vetical, sans fottement, autou d'un ae hoizontal ( ) fie. es etémités A et D de la tige sont eliées au bâti fie B pa deu amotisseus identiques de coefficient de fottement visqueu α. e point C, milieu de la tige, est elié au bâti B pa un essot de aideu. A l'équilibe, la tige est hoizontale. α (B ) (B ) osque la tige est écatée de sa position d'équilibe d'un angle θ puis lâchée sans vitesse initiale, elle pend un mouvement oscillatoie amoti de pseudo-péiode s. On constate qu'au bout de 5 pseudo-péiodes, l'amplitude est égale à % de l'amplitude initiale. En déduie la valeu numéique de α puis celle de. Eecice 6: e sstème de la figue ci-conte est M R constitué d'un clinde homogène de masse Mg et de aon Rcm, O θ qui oule sans glisse su un plan A hoizontal. Une tige OA de longueu θ l K α lm et de masse négligeable, est soudée pependiculaiement su l'ae O du clinde. Son etémité A est eliée au plan hoizontal pa l'intemédiaie d'un essot de aideu K et d'un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α. A l'équilibe, la tige OA est hoizontale. losque cette tige est écatée de cette position d'équilibe puis lâchée sans vitesse initiale, le sstème effectue des oscillations de petite amplitude faiblement amoties. / On supposea que la longueu l de la tige est gande devant le aon R du clinde. Monte que dans le cas des oscillations de faibles amplitudes, on peut considée que l'etémité A de la tige n'effectue que des oscillations veticales. A K θ a R C a ( ) a α (B) D α

15 4 / Sachant que la péiode des oscillations est Ts et que l'amplitude des vibations chûte de moitié apès 5 péiodes d'oscillation, calcule la aideu K du essot et le coefficient de fottement visqueu α.

16 5 OSCIATIONS FORCEES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE Eecice : Dans la figue ci-conte, on a: m 4.5 g, 35 N/m, α 3 g/s, F 3 N, d/s. Détemine l'amplitude de vibation du bloc de masse M et l'amplitude de la foce tansmise au sol. (t) F cos t m α Eecice : Un disque ciculaie homogène, de masse M, de aon R, peut oscille sans fottements autou de son ae hoizontal. Deu masses m et m sont soudées au etémités d'une tige de masse négligeable liée igidement au disque et passant pa O. es distances de m et m au cente sont notées espectivement l et l. Un essot vetical, de constante de aideu K a une etémité fie et l'aute est eliée au disque en un point A situé à une distance a de O. En position d'équilibe la tige est veticale avec m en bas et le point A est au même niveau que le cente O. e disque subit un fottement visqueu de coefficient α au point B. a masse m est soumise à une foce F(t)F cos(ωt) pependiculaie à la tige. Valeus numéiques : Mg, m m.g, K6N/m, Rcm, l 5cm, l 5cm, acm, gm/s, α7.5 - g/s. a) Etabli l'équation difféentielle du mouvement. b) Touve sa solution en égime pemanent. c) Calcule le facteu de qualité Q du sstème. d) Détemine la valeu de F pou qu'à la ésonance l'amplitude maimale soit égale à π/3 ad. K A F(t) m l a R O l m B α

17 6 Eecice 3 : a masse m, epésentée su la figue ci-conte, est soudée à l'etémité de la tige de longueu l de masse négligeable. Cette masse est soumise à une foce pependiculaie, sinusoïdale de pulsation. 'aute etémité est aticulée au point O. a tige est eliée au point A au bâti fie B pa un essot de coefficient de aideu et un amotisseu dont le coefficient de fottement vaut α. Elle est, en oute, eliée au bâti fie B pa un essot de aideu. a distance OA est égale à l/.. Détemine l'epession de l'amplitude des oscillations en fonction de la pulsation. En déduie la pulsation de ésonance.. Détemine la puissance instantanée et la puissance moenne founie au sstème. 3. Détemine la puissance instantanée et la puissance moenne dissipée dans le sstème. Conclusion. Eecice 4 : e dispositif mécanique ci-conte epésente le schéma de pincipe d'un appaeil de mesue de vibations. a masse m est liée pa deu essots et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α, un suppot igidement lié au sstème mécanique dont on veut étudie les vibations. e mouvement du suppot est epéé pa s(t) tandis que le mouvement de la masse est epéé pa (t). On étudie des vibations sinusoïdales de la fome s(t) S cos(ωt). 'oigine est pise à la position d'équilibe. ) Ecie le lagangien du sstème. En déduie l'équation du mouvement de la masse m en fonction de la coodonnée elative (t) (t) - s(t). ) Détemine la solution stationnaie (t). 3) Dans le cas de essots de faible aideu, la pulsation pope est petite devant la pulsation Ω. Donne dans ce cas l'epession de (t). Monte que l'on peut ainsi détemine facilement l'amplitude S de la vibation (on a éalisé ainsi un vibomète). 4) osque la aideu des essots est élevée, la pulsation pope est gande devant la pulsation Ω des vibations. Monte, dans ce cas, que l'on peut détemine facilement l'accéléation du suppot (on a ainsi éalisé un accéléomète). Eecice 5: (suite de l'eecice 5 de la page 3) e bâti B est maintenant animé d'un mouvement vetical sinusoïdal donné pa: X cos(ω t) où X cm. /Monte que l'équation difféentielle qui égit le mouvement du sstème peut s'écie: (t) s(t) P α m O θ m A / α / F(t) P

18 7 ( t) & θ + δθ & + θ A cos Ω On pécisea de manièe eplicite le teme A. Calcule sa valeu numéique. / Quelle est l'epession de la solution θ(t) losque le égime pemanent est établi? Véifie que le sstème est tès faiblement amoti; en déduie la féquence de ésonance et l'amplitude de θ(t) à la ésonance. 3/ Quelle est, à la ésonance, l'amplitude de la foce FT tansmise au sol pa chaque amotisseu? Eecice 6 : Un véhicule oulant est un sstème complee à plusieus degés de libeté. a figue ciconte peut ête considéée comme une pemièe appoimation d'un véhicule qui se déplace su une oute ondulée décite pa le pofil (t). Dans ce modèle simplifié, on suppose que: a aideu élastique des pneus est infinie, c'est-àdie que les ondulations de la oute sont intégalement tansmises à la suspension du véhicule. es oues ne décollent pas de la chaussée. vt m On s'intéesse uniquement au déplacement vetical (t) du véhicule dans le plan de la figue. On se place dans le cas simple où le véhicule se déplace hoizontalement à une vitesse constante v su une oute à pofil sinusoïdal ()Y sin(π/λ). ) Etabli l'équation difféentielle qui égit les vaiations au cous du temps de la coodonnée du véhicule. ) En déduie l'amplitude Y du mouvement du véhicule dans le sens vetical. 3) Application numéique m35 g, 35 N/m, vm/h, Λ5m, Y cm; a) pou α N.s/m, b) pou α N.s/m. Eecice 7 : es machines tounantes (moteus électiques, tubines, machines à lave, etc...) peuvent ête le siège de vibations impotantes ca tès souvent le cente de masse ne coïncide pas avec l'ae de otation. Pou limite ces vibations on utilise des suppots antivibatoies constitués généalement de caoutchouc enfocé. En aison de leus popiétés mécaniques ces suppots peuvent ête modélisés pa un amotisseu en paallèle avec un essot. On se popose d'étudie à tite d'eemple le cas d'une machine à lave le linge (figue). Soit M la masse de cette machine. a patie tounante est constituée d'un tambou de aon e tounant à une vitesse angulaie constante. On considèe que la masse tounante est constituée pa le linge de masse m. Pou des aisons de simplicité, on suppose que le lavelinge ne peut effectue que des mouvement veticau epéés pa la coodonnée. ) Etabli l'équation difféentielle du mouvement pou la coodonnée. ) Monte qu'un tel dispositif est équivalent au schéma simplifié de la figue ; donne l'epession de Feq. 3) Dans l'hpothèse des faibles amotissements ( δ << ), tace et commente le gaphe de l'amplitude Y du déplacement vetical du lave-linge en fonction de la vitesse de otation. Λ α (t) (t)

19 8 4) Calcule l'amplitude de la foce tansmise au sol à la ésonance. M M (t) e (t) F eq m α α Figue Figue Eecice 8: Soit une masse m liée à un suppot P P pa un essot de constante de aideu K et pa (t) un amotisseu à fottement visqueu de coefficient α. 'aute etémité de la masse est K K' liée à un essot de constante de aideu K'. e s(t) point d'attache de K' est soumis à un α m déplacement s(t) sinusoïdal de pulsation et d'amplitude S. / Détemine l'équation difféentielle du mouvement de la masse m. En déduie la pulsation pope et la foce ecitatice agissant su m. / Touve le déplacement en égime pemanent de la masse m et établi l'epession de son amplitude de vibation X en fonction de la pulsation. 3/ Calcule le coefficient d'amotissement α pou que l'amplitude des mouvements de la masse m soit égale à S/ losque. A.N.: K K' N/m ; m, g ; S cm 4/ Détemine le module de l'amplitude de la foce tansmise au suppot P. 5/ On définit comme facteu de tansmission T, le appot ente le module de l'amplitude de la foce tansmise au suppot P et celui de l'amplitude de la foce ecitatice agissant su la masse m : T F tans Fec a/ Détemine T. b/ Calcule T pou A.N.: K K' N/m ; m, g et α g/s c/ Que devient T pou >>? Conclusion.

20 9 Eecice 9 : R e(t) C E u(t) -E e(t) T t e cicuit RC ci-dessus est alimenté pa un généateu délivant une foce électomotice péiodique e(t) telle que epésentée su le schéma. ) Donne le développement en séie de Fouie de e(t). ) Détemine la tension u(t) au bones du condensateu en égime pemanent. 3) Faie l'application numéique pou EV, f/t6hz, mh, C.µF, R Ω Que emaque-t-on? ce ésultat est-il valable pou d'autes valeus de la féquence du généateu?

21 OSCIATIONS IBRES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE Eecice : Soit le sstème mécanique epésenté pa la figue ci-conte, composé de deu oscillateus linéaies (m,) couplés pa un essot de aideu '.. Ecie le lagangien du sstème.. a) Mette ce agangien sous la fome:.. m ( + ) + C. ' Donne les epessions de ² et C (coefficient de couplage). b) En déduie les équations du mouvement. 3. a) Détemine les pulsations popes du sstème. b) Sachant que Tπ/,5s et C,3, calcule les valeus numéiques des péiodes popes. 4. e coefficient de couplage C étant faible, donne les solutions (t) et (t) avec les conditions initiales suivantes: à ts: ( ) X, & ( ) et ( ), & ( ). Quel phénomène phsique obseve-t-on? 5. a) Tace l'allue des coubes epésentatives de (t) et (t). b) Calcule le temps t au bout duquel l'énegie se touvant à l'instant ts dans le pemie oscillateu (donné pa ), est intégalement tansféée pou la pemièe fois au second m m Eecice : Soit le sstème mécanique epésenté figue ci-conte. es vaiables (t) et (t) epésentent les déplacements hoizontau (à pati de l'équilibe) des masses m et m dans le cas des petites oscillations. a tige de longueu est de masse négligeable. / K / m K m K 3 On se place dans le cas où: 3 et m m m. On posea: 5 g 4m + m. Calcule les pulsations popes. Détemine les appots des amplitudes de chacun des modes. 3. En déduie l'epession généale des mouvements de (t) et (t). 4. Donne les solutions de (t) et (t) si à ts, on a: ( ), & ( ) et ( ), & ( )

22 Eecice 3: Soit le sstème mécanique suivant compenant ente autes une bae hoizontale de masse négligeable et qui peut pivote sans fottement autou d'un ae passant pa son milieu. On penda Mm et 3. Etabli les équations égissant les petites oscillations.. Touve les pulsations popes et les appots des amplitudes pou les difféents modes. 3. Ecie les solutions généales (t) et θ(t). m 3 θ M 3 m Eecice 4: On considèe le sstème ci-conte constitué de deu clindes identiques, M M K/4 homogènes, de aon R, et de masse M. es clindes oulent sans glisse su une platefome hoizontale. es clindes oulent O O' sans glisse autou de leu ae O et O' auquels sont eliés les essots K. K K Dans le cas des faibles oscillations et en penant les déplacements (t) et (t) des centes O et O' des clindes comme paamètes, détemine:. e agangien du sstème.. es pulsations popes du sstème et les appots des amplitudes de chacun des modes. 3. es solutions généales du mouvement sachant qu'à ts: et & v, & v 4. Que deviennent ces solutions losque : a)v v et b) v -v? Eecice 5: Dans la figue ci-conte, M et R epésentent espectivement la masse et le aon de la poulie. et epésentent les écats des deu masses pa appot à leu position d'équilibe. On pend: M(m -m ) et m m;.. Ecie le agangien du sstème.. Détemine les pulsations popes et le appot des amplitudes de chacun des modes en fonction de m et. m M m

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