Module de Maths approfondies. Enoncés des exercices

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1 Module de Maths approfondies Enoncés des exercices Université Paul Sabatier - Toulouse 3 IUT de Toulouse 3 A Département GEA PONSAN Clement Rau clement.rau@iut-tlse3.fr

2 Systémes linéaires, Pivot de Gauss. Systémes linéaires basiques Exercice 1 Représenter graphiquement l ensemble des solutions des équations et inéquations suivantes. (E 1 ) : 2x = 3, (E 2 ) : 5x + 2y = 10, (E 3 ) : 3x + 4y + 3z = 12. (E 4 ) : 3x y 4 Exercice 2 Résoudre graphiquement les systèmes 2 2 suivants. (S 1 ) : x y = 2 x + 2y 7 = 0 ; (S 2 ) : 2x + y = 1 x 3 = 0 ; (S 3 ) : Exercice 3 (S 4 ) : x = 2y + 3 2y 4x = 6 ; (S 5 ) : 1. Résoudre par substitution les systèmes suivants 2x + y = 9 (S 1 ) : ; (S 2 ) : x y = 2 y 2x = 3 y = 2x + 1 2x y = 3 2y + 6 = 4x x + 2y 3 y 3x 1 2. Résoudre par combinaison les systèmes suivants 6x 5y = 15 (S 3 ) : ; (S 4 ) : 3x + 2y = 21 2x + y = 3 y + 2(x + 1) = 0 Pivot de Gauss sur les systèmes Exercice 4 Résoudre par la méthode de Gauss les systèmes suivants : (A 3 ) : (A 1 ) : x + y + z =2 3x + 2y =2 x + 4y + 3z=1 10x + 4y + 10z=4200 2x + y + z = x + 6y + 12z=5000 (A 2 ) : (A 4 ) (A 6 ) 2x + y =3 4x + 2y=3 x + 3y + 2z = 1 2x y + z = 6 3x + 2y + z = 1 x 2y + z = 4 2x 4y + 2z = x y z = 2 (A 2) :, (A 5 ) 2x + y =3 4x + 2y=6 x y + z = 5 x 2y z = 3 x 3y 3z = 1, 2

3 Des exemples d applications... Exercice 5 Résoudre les deux problèmes suivants par la méthode de votre choix. (On commencera par poser correctement le problème en termes de système linéaire.) 1. Un camp de vacance accueille 30 moniteurs et 204 enfants. On projette d organiser une course en canots ainsi qu une régate de voiliers pour célébrer le 10ième anniversaire du camp. Un canot doit contenir 4 enfants et 2 moniteurs et un voilier, 30 enfants et 3 moniteurs. Si les organisateurs désirent que tous participent aux célébrations, combien de canots et de voiliers seront nécessaires? 2. Un teinturier propose deux teintes de pourpre pour la période de Pâques. Un sachet de pourpre foncé est créé à partir d un mélange de 1g de poudre rouge et 2g de poudre bleue. Le pourpre pâle demande de 2g de poudre rouge et 3g de poudre bleue. Le teinturier possède une quantité de 5000g de poudre rouge et 8500g de poudre bleue. Quelle quantité de chacune des teintes devrait être produite si le teinturier espère utiliser toute sa poudre? 3. Une université doit répartir ses activités entre recherche et enseignement. Elle dispose pour cela de 6000 unités-enseignant et de unités-espace pour des classes et des laboratoires de recherche. L université désire calculer le nombre d unités-enseignant qui seront affectés à l enseignement et à la recherche. Pour chaque unité-enseignant assignée à la recherche, 50 unités-espace sont nécessaires et pour chaque unité-enseignant assignée à l enseignement, 75 unités-espace sont nécessaires. Si l université désire utiliser tout son personnel ainsi que tout l espace, combien d unités-enseignant doit-on assigner à l enseignement et à la recherche? Exercice 6 Pour fabriquer les trois produits P 1, P 2 et P 3, on doit leur faire subir successivement des opérations sur trois machines, M 1, M 2 et M 3. Les temps d exécution sur chacune des machines sont fournis dans le tableau suivant. M 1 M 2 M 3 P 1 11mn 12mn 16mn P 2 22mn 12mn 16mn P 3 11mn 24mn 16mn Par exemple on peut noter que le temps d exécution de la pièce P 1 sur la machine M 2 est de 12 minutes. On suppose que les machines n ont pas de temps mort par suite d une attente d un produit en opération sur une autre machine. Les heures disponibles de chaque machine pour une activité d un mois sont : 165 heures pour la machine M 1, 140 heures pour la machine M 2, 160 heures pour la machine M 3. Dans ces conditions, combien doit-on fabriquer mensuellement de produits P 1, P 2 et P 3 si l on désire utiliser les trois machines à pleine capacité? (Avant de commencer le problème assurez-vous que toutes vos données sont exprimées avec la même unité de mesure). 3

4 Exercice 7 Un hôtel veut renouveler une partie de son équipement. Il faut changer au moins 72 coussins, 48 rideaux et 32 jetés de lit. Deux ateliers de confection font des offres par lots : -L atelier Idéa : un lot de 12 coussins, 4 rideaux et 4 jetés de lit pour un montant de 200 euros. -L atelier Rénov : un lot de 6 coussins, 6 rideaux et 2 jetés de lit pour un montant de 150 euros. On notera x le nombre de lots Idéa achetés et y le nombre de lots Rénov achetés. 1. Traduire les contraintes du problème portant sur x et y par un système d inéquations. 2. Exprimer la dépense occasionnée par l achat de x lots Idéa et y lots Rénov. Matrices Opérations élémentaires sur les matrices Exercice 8 Soient les matrices suivantes : ( ) x y A =, B = C = et D x,y = 1 2 2y x Calculer les matrices suivantes : B + C, 2C B, AB. 2. Peut on effectuer BA? CA? Expliquer. 3. Peut on trouver x et y tel que D x,y + C = Id 3? Inverse d une matrice, pivot de Gauss Exercice 9 1. Ecrire les matrices associées aux systèmes de l exo 4 2. Calculer le déterminant de ces matrices. 3. Inverser (lorsque c est possible) ces matrices par la méthode du pivot de Gauss. Retrouver alors les solutions des sytèmes de l exo 4, à l aide de ces matrices inverses. Exercice 10 Une entreprise de vêtements fabrique des jupes, des robes et des pantalons. Pour fabriquer une jupe, il faut 0,75m de tissu, 4 boutons et une fermeture Éclair. Pour la fabrication d une robe, il faut 1,50m de tissu, 6 boutons et une fermeture Éclair. Enfin, la confection d un pantalon demande 1,25m de tissu, 2 boutons et une fermeture Éclair. On appelle respectivement x, y et z le nombre de jupes, de robes et de pantalons confectionnés et a, b et c les quantités de tissus (en m) de boutons et de fermetures Éclair utilisés pour leur réalisation. 4

5 On appelle M, A et X les matrices suivantes : 0, 75 1, 5 1, 25 x a M = X = y A = b z c 1. (a) Vérifier que MX = A. (b) Déterminer A pour la fabrication de 200 jupes, 120 robes et 320 pantalons. 2. On consière la matrice : (a) calculer MM. 1, 6 0, 1 1, 8 M = 0, 8 0, 2 1, 4 0, 8 0, 3 0, 6 (b) Ecrire la matrice X en fonction de M et de A. (c) En déduire les quantités de jupes, de robes et de pantalons fabriqués quand on a utilisé 735 mètres de tissu, 2400 boutons et 620 fermetures. 3. L entreprise a deux fournisseurs dont les prix de ventes des différents produits sont donnés dans le tableau suivant : On note les matrices : Tissu au mètre Bouton Fermeture Fournisseur Fournisseur ,5 5,5 C = ( ) , 5 5, 5 (a) Que représente la matrice produit CA? (b) Calculer CA. 735 A = Application de l intégration aux v.a continues Exercice 11 Soit X N (0; 1) et soit Y = X. Déterminer la loi de Y. (On pourra par exemple déterminer la fonction de répartition de Y) Exercice A l aide d IPP, trouver une primitive de f(x) = xe x puis de g(x) = x 2 e x. 2. Soit Z Exp(λ). Calculer E(Z) et V ar(z). 3. On admet que + e x2 dx = π 0 2. Soit X N (m, σ). Calculer V ar(x). Exercice 13 (Absence de mémoire pour la loi Exp) Soit X Exp(λ) et soient t, h R. Calculer, puis comparer P(X t + h X t) et P(X h). Interpretez votre résultat. 5

6 Exercice 14 Soit f la fonction définie par f(x) = 0 si x < x si 1 x 0 1 x si 0 x 1 0 si 1 < x 1. Montrer que f est une densité de probabilité. Soit X une v.a de densité f. 2. Déterminer la fonction de répartition F de X. 3. Calculer E(X) et V ar(x). Exercice 15 (Inégalités de Bienaymé Tchebychev) Soit X une v.a de densité f. Montrer que pour tout λ > 0, P( X E(X) λ) V ar(x) λ 2. Remarque : Ce type d inégalité n est pas propre aux lois à densité. Exo : l écrire pour une loi discréte. Application : Pour la v.a X de l exo 14, montrer que pour k > 0, on a : P( X > k) 1 6k 2. Exercice 16 Soit X une v.a suivant une loi uniforme sur [0; 1]. On pose Y = 2 ln(1 X). 1. Rappeler la valeur de P(X a) suivant les valeurs de a. 2. Expliquer rapidement pourquoi Y est une v.a. Préciser les valeurs que peut prendre Y 3. Calculer alors P(Y t) en fonction de t. 4. Soit h une densité de Y. A l aide de la question précédente, que doit vérifier h? Calculer h. Généralisation : Simuler une va de fonction de densité f avec un générateur aléatoire suivant une uniforme sur [0; 1], (cf TP info). Exercice 17 Soient X et Y deux v.a independantes, qui suivent une loi uniforme sur [0; 1]. On pose U = max(x, Y ) et Y = min(x, Y ). 1. U et V sont elles des v.a. Préciser les valeurs qu elles peuvent prendre. 2. Calculer P(U t) et P(V t) en fonction de t. 3. Soit h U [resp. h V ] une densité de U [resp. de V ]. A l aide de la question précédente, donner une expression de h U et de h V. 4. Faire le même travail avec W = min(x, 1 X). Optimisation Fonctions d une variable (d = 1) 6

7 Exercice 18 Trouver le ou les extremums des fonctions suivantes sur leur domaine de définition : a) f 1 (x) = x 2 8x + 17 b) f 2 (x) = 1 e x2 2 2π c) f 3 (x) = ln(1 + x 2 ) d) f 4 (x) = xe 4x2 5x. Retrouver les résultats du a) b) et c) par des arguments simples. Exercice 19 Répondre aux questions indépendantes suivantes. 1. Soit f une fonction C 1 sur un intervalle [a; b]. Soit x 0 [a; b], on suppose que f (x 0 ) = 0. Est ce que x 0 est un extremum? 2. Soit f une fonction C 1 sur un intervalle [a; b]. On suppose que pour tout x de [a; b], f (x) 0. La fonction f peut elle avoir un min sur ]a; b[? sur [a; b]? mêmes questions pour un max? 3. Soit g(x) = 1/x définie sur D =]0; + [. f admet elle un min sur D? Quelle est la meilleure constante C vérifiant, pour tout x > 0, f(x) > C? Exercice 20 Soit f(x) = ex x Précisez le domaine de définition D f de f. 2. Trouver les extremums (locaux ou globaux) de f sur l intervalle I dans les cas suivants : a) I = D f, b) I = R, c) I =]3/2; + [, d) I =]2; + [. 3. Extremum(s) de h(x) = 3 2x 2 x 3 et g(x) = (x 1)(x 2) x+1 sur leur domaine de définition. Exercice 21 Soit f(x) = x 4 + ax 3 + bx Déterminer a et b pour que A(1; 2) corresponde à un extremum local. Préciser la nature de cet extremum. Exercice 22 Une entreprise fabrique un article existant déjà sur le marché et dont le prix moyen est de 100 euros. Une étude montre que la fabrication de chaque article lui reviendra à 80 euros. Les coûts fixes de production sont de euros par an. Si le prix de vente est P (en euros), on estime qu on vendra un nombre d articles égal à P. Deux stratégies de ventes sont possibles : 1. Fixer le prix P = 85 euros pour affaiblir la concurrence. 2. Fixer le prix P tel que le bénéfice soit maximum. Calculer dans les deux cas le bénéfice au bout d un an. Exercice 23 Au mois d août, un magasin souhaite écouler son stock de crèmes solaires. Quand le prix de vente est de 10 euros, 2000 articles sont vendus par semaine. Quand le prix baisse de 20 centimes, 100 articles de plus sont vendus par semaine. Quel prix de vente faut-il choisir pour avoir un chiffre d affaire maximum en une semaine. (On supposera que le nombre d articles vendus est une fonction linéaire du prix de vente) Exercice 24 Une entreprise fabrique un nombre q de d articles par semaine à un coût total : C = 6q q

8 On suppose qu elle a le monopole, et que le prix p n est fixé que par le nombre q d articles fabriqués et est donné par p = q. Montrer que le bénéfice est maximal lorsque q = 50. Fonctions de deux variables (d = 2 ), sans contraintes Exercice 25 Dans chacun des exemples suivants, f est une fonction de R 2 critiques et leur nature. a) f(x, y) = y 1 + x 2 b) f(x, y) = 3x 3 y xy + y 2 4 c) f(x, y) = e x xy d) f(x, y) = x 3 + y 2 e x. Exercice 26 Soit f(x, y) = x ln(y) + y ln(x) x 2 y 2 + x + y. 1. Déterminez et représentez graphiquement le domaine de définition D f de f. 2. Montrer que (1, 1) est un point critique. Nature de ce point? Exercice 27 Soit f(x, y) = x 2 + y 2 + 6x 2y + 15 définie sur R Extremum(s) de f? R. Déterminez les points 2. Ecrire f comme la somme de carrés. Retrouvez trivialement le résultat de la question précédente. [On trouvera f(x, y) = (x + 3) 2 + (y 1) ] Exercice 28 Une firme fabrique un produit qu elle vend sur deux marchés différents. Soit q 1 (resp. q 2 ) le nombre de produits vendus sur le premier (resp. le second) marché. On suppose que les prix du produits sont donnés par les fonctions p 1 = 60 2q 1 et p 2 = 80 4q 2. Le coût de production est donné par la fonction C = q, où q est le nombre total de de produits. Calculer q 1 et q 2 pour que le bénéfice soit maximal. Exercice 29 Soit f une fonction de plusieurs variables. En économie, on définit l élasticité de f par rapport à la variable x, notée E x comme étant le rapport de la variation relative de f et de la variation relative de x : si x varie d une quantité x (la variation relative de x est x/x), alors f varie d une quantité f (la variation relative de f est f/f). On en déduit que E x = f/f x/x Du point de vue mathématique, E x peut être approché par : E x = x f f x. Ainsi, si x varie de 1%, alors f varie de E x %. On considère ici la fonction de production Q = 16K 1/2 L 1/8 où Q est la quantité produite, K représente le capital et L le travail (fonction de Cobb Douglas). Calculer les élasticités de la fonction Q(K, L). Calculer la variation relative de Q si la variation relative de K est 1, 5% et celle de L est 0, 9%. 8

9 Optimisation sous contraintes Contraintes se ramenant à l étude d une fonction d une variable Exercice Trouver max x+y=p x,y 0 xy 2. Quels sont les rectangles d aire maximale ayant un périmétre donné. 3. Trouver min x=e y 2 e xey Exercice 31 Déterminez et précisez la nature des extrema éventuels de la fonction définie par : f(x, y) = x 2 /9 + (y 1) 2, sous la contrainte x 2 + 2y = 3, par la méthode la plus simple. Exercice Déterminez le minimum de la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 sous la contrainte 2x + y = 5, en remplaçant une des deux variables par l autre dans f. en utilisant les multiplicateurs de Lagrange. 2. Tracer la droite 2x + y = 5 et quelques courbres de niveaux de la surface z = f(x, y). Interpréter le min. Exercice 33 Un firme fabrique dans deux usines différentes un produit. Soit q 1 (resp. q 2 ) le nombre de produits fabriqués dans la première (resp. la seconde) usine. Le coût de production pour chaque usine est donné par la fonction C 1 = q 1 + 0, 03q 2 1 pour la première usine et C 2 = q 2 + 0, 02q 2 2 pour la seconde. L entreprise veut livrer 100 unités de son produit. La livraison lui coûte 4 euros par article depuis la première usine et 2 euros depuis la seconde usine. Quelles sont les quantités q 1 et q 2 pour minimiser le coût total. Exercice 34 Un investisseur achète 2 types d actions pour un montant de 400 euros. Soit X 1, X 2 les montants achetés pour chaque action. Une étude montre que le rendement moyen du placement est : R = 0, 2X 1 + 0, 15X 2, et le risque du placement est : V = 1 5 X X Trouver X 1 et X 2 qui minimise le risque. Quel est le rendement associé? 2. Trouver X 1 et X 2 qui minimise le risque, sous la contrainte R = 60. Comparer les résultats. Contraintes d égalité (générales) Exercice Optimiser la fonction f(x, y) = 2x+y, sous la contrainte x 2 +y 2 = 5. Interpréter géométriquement la valeur de f en cet extremum. 9

10 2. Refaire l exercice 31 avec le Lagrangien. Exercice 36 Soit f la fonction définie par f(x, y) = x 2 + y 2 + 4x 2y + 1. On considère f sous la contrainte (C) 4x 2 y 2 = 0. Montrer que A = ( 4/5; 8/5) est un point stationnaire du Lagrangien. A est-il un extremum de f sous la contrainte (C)? Exercice 37 On cherche à optimiser la fonction f qui à tout couple (x; y) associe f(x; y) = xy sous la contrainte x 2 + 4y 2 = Trouver les points stationnaires du lagrangien. 2. Donner la nature de ces points à l aide de la matrice Hessienne. 3. Etudier si ces extrema sont globaux, en calculant f(a + h, b + k) où (a; b) est un extremum et h, k petits. Contraintes d inégalité (simples) Exercice 38 Calculer les extrema suivants : 1. min ab 5 a2 + b 2. [Prouver au préalable que pour tout nombre a, b, on a : ab 1 2 (a2 + b 2 ).] On pourra s aider d un dessin pour les questions suivantes. 2. max 3x + y. x 2 +y max 5x 4y. y x 2 +2x 4. max x + y et min x y. x,y 0 x,y 0 x+3y 3 x+3y 3 4x+y 6 4x+y 6 Exercice Dans un repère orthonormé où 1 cm représente 50 unités, construire (on se limitera aux points d abscisses positives) les droites D 1, D 2 et D 3 d équations respectives : x + y = 500, x + 2y = 750, x + 1, 5y = 600. Déterminer par un calcul les coordonnées du point d intersection I des droites D 1 et D Un service de restauration rapide propose deux types de sandwiches au fromage : le mini composé de : 1 pain rond, 40 g de steak hache et 1 tranche de fromage de 20 g, le maxi composé de 1 pain rond, 60 g de steak haché et 2 tranches de fromage de 20 g chacune. On note x le nombre de mini sandwiches et y celui de maxi sandwiches vendus par jour. 3. (a) Exprimer à l aide d inégalités la contrainte suivante : on dispose chaque jour au maximum de 500 pains, de 24 kg de steak et de 15 kg de fromage. (b) Déterminer graphiquement l ensemble des points vérifiant ces inégalités. Justifier la démarche. (c) Peut-on vendre chaque jour : 10

11 350 mini sandwiches et 125 maxi? 300 mini sandwiches et 200 maxi? 250 mini sandwiches et 250 maxi? (d) On réalise un bénéfice de 6 euros sur un mini sandwich et de 8 euros sur la vente d un maxi. Exprimer en fonction de x et de y le bénéfice total réalisé par jour B(x, y). (e) Représenter les droites correspondant respectivement à un bénéfice de : 2400 euros, 3400 euros, et 3600 euros. En déduire en justifiant le nombre de mini sandwiches et de maxi sandwiches à vendre par jour pour obtenir un bénéfice maximal que l on calculera. Exercice 40 Un restaurateur veut acheter des tables et des chaises pour son restaurant. Il veut au moins 15 tables et 70 chaises. Un fournisseur A lui propose un lot de 1 table et 6 chaises pour 75 euros. Un fournisseur B lui propose un lot de 1 table et 4 chaises pour 60 euros. On désigne par x le nombre de lots A et y le nombre de lots B achetés par le restaurateur. 1. On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal. (On ne prendra que les abscisses et les ordonnées positives). Tracer les droites D 1 et D 2 d équations respectives y = x + 15 et y = 1, 5x + 17, 5. x + y 15 3x + 2y Soit le système (S) : x 0 y 0 Vérifier que les contraintes sur x et y, pour qu il y ait suffisamment de tables et de chaises, se traduisent par le système (S) avec x et y entiers. 3. Déterminer l ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) en hachurant la partie du plan qui ne convient pas. 4. On note C le coût de x lots A et y lots B. (a) Exprimer C en fonction de x et de y. (b) Montrer que y = 5 x + 19 est une équation de la droite D correspondant à un coût C 4 de 1140 euros. (c) Tracer D. (d) Déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B à acheter pour que le coût soit minimum. Quel est ce coût minimum? 11