ETUDE DU PENDULE. - la loi d'inertie: un corps soumis à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme

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1 1 Expérience n 5 ETUDE DU PENDULE 1. RAPPEL Les lis fndamentales de la dynamique snt: - la li d'inertie: un crps sumis à aucune frce est en muvement rectiligne unifrme - la li d'actin = réactin: tut crps agissant sur un autre crps par une frce est sumis de la part de celui-ci à une frce égale, ppsée en directin - la li du muvement: pstulée par Newtn, elle s'exprime ainsi l'accélératin prduite par une frce F agissant sur un mbile de masse m, est inversement prprtinnelle à la masse: a = 1 F m u: d r dt = 1 F m d'ù l'n tire l'équatin du muvement: m d r dt = F Dans le cas d'un slide rigide pssédant un pint fixe, n définit: frce A: pint d'attache de la frce O: centre fixe le mment d'une frce extérieure F par rapprt au pint 0, cmme M 0 = r F prduit vectriel de la frce F et du vecteur supprt (entre le centre fixe et le pint d'applicatin de la frce) M 0 = F r sinα, M 0 est au plan cntenant r et F. Ce mment de frce M va engendrer (u faire varier) une rtatin de ce crps, dnc de sn mment cinétique B.

2 Le thérème du mment cinétique: db 0 = M dt 0 mntre que la variatin du mment cinétique est égale à la smme des mments extérieurs. Rappel: Dans le cas simple d'une masse pnctuelle turnant autur d'un centre 0, le mment cinétique vaut: b 0 = r m v Pur un slide rigide, en rtatin autur d'un axe z fixe à la vitesse angulaire ω, le mment cinétique vaut: b i = r i m i v i M = m i cmme v i = ω r i n peut écrire: B = [ ( r )] i i r i m i ω B = b i = i i r i m i Sus certaines cnditins de symétrie qui snt réalisées dans cette expérience, n truve que: B = B z = θ z ω z v i ù θ z = mment d'inertie par rapprt à l'axe z. Le mment cinétique B est dnc parallèle à ω lieu dans le cas général). (ce qui n'a pas

3 . APPLICATION AU PENDULE 3 Définitin: Un pendule est un crps slide puvant turner autur d'un axe hrizntal et qui scille sus l'effet de la gravitatin autur d'une psitin d'équilibre stable..1. Le pendule physique axe de rtatin G: centre de gravité θ: mment d'inertie du slide par rapprt à l'axe de rtatin. Le thérème du mment cinétique nus dnne: db dt = M => θ φ = - Mgsinφ u φ + Mg sinφ = 0 (I) θ équatin différentielle du muvement du pendule physique d'ù l'n tire l'équatin hraire du muvement: φ = φ(t) La slutin de l'équatin (I) est difficile si φ peut être grand; dans ce cas, la péride des scillatins varie avec l'amplitude. En revanche, si φ est petit, sinφ φ, et l'équatin (I) devient: φ + Mg θ φ = 0 (II) Cette équatin différentielle est du type: x +Ω x = 0 équatin différentielle de l'scillateur harmnique... Le pendule simple C'est le cas idéal du pendule cmpsé d'un pint de masse m suspendu à un fil sans pids de lngueur (pendule mathématique).

4 4 Ici, n a : θ 0 = m mment d'inertie M 0 = mgsinφ mment de frce et l'équatin du muvement devient: db 0 = M dt 0 u: d dt θ φ ( ) = mgsinφ d'ù: φ + g sinφ = 0 Si φ petit, sinφ φ, alrs: φ + g φ = 0 (III) (scillateur harmnique).3. Réslutin des équatins Les équatins II et III snt du même type; l'intégratin de ces équatins permet de truver la slutin générale pur φ = φ(t): φ( t) = A sin(ωt + α) (n peut vérifier en intrduisant cette slutin dans les équatins). avec: ω = g pur le cas du pendule simple ω = Mg θ pur le cas du pendule physique A et α snt des cnstantes d'intégratin qui dépendent des cnditins initiales. Par exemple, si le pendule est lâché à vitesse nulle avec un angle de départ φ, n btient: A = φ et α = π/ (sachant que φ(t=o) = φ et φ (t=0) = 0) sit: φ = φ 0 cs(ωt) C'est une scillatin harmnique sinusïdale dnt la péride vaut: T = π ω = π g dans le cas du pendule simple T = π ω = π θ Mg dans le cas du pendule physique

5 5 Remarque: On appelle lngueur réduite du pendule physique la lngueur L du pendule simple ayant la même péride, sit: θ Mg = L L = θ g M et la péride vaut alrs: T = π L g.4. Exemple de pendule physique 3. EXERCICES Cnsidérns le cas d un pendule cmpsé d une sphère K de rayn R suspendue à un fil de masse négligeable. Le mment d inertie θ 0 de la sphère par rapprt à l axe 0 s btient par la règle de Steiner θ 0 = θ G + M θ G étant le mment d inertie par rapprt à un axe passant par le centre de gravité (vir l intrductin du TP gyrscpe). Pur une sphère θ G = MR /5 (démnstratin vir appendice). Dans ces cnditins: L = 5 MR + M 1 M L = + 5 R = + ε 1) Déterminer la péride du petit pendule en fnctin de l amplitude pur des amplitudes cmprises entre 0 et 90. Mesurer tris fis la durée de 0 scillatins pur la même amplitude. Sit T la péride pur une petite amplitude; n a vu qu il y a un défaut d ischrnisme si l amplitude augmente. On peut exprimer cette variatin par une série (vir appendice): T(φ) = T sin φ sin 4 φ T(φ) /T 0 = sin φ sin 4 φ Calculer et tracer la curbe T(φ) /T 0 en fnctin de φ et cmparer avec la curbe déterminée par les mesures T(φ) /T(5 ) en fnctin de φ.

6 6 ) Déterminer la lngueur réduite du grand pendule en mesurant la lngueur = OB + R et en ajutant ε, après avir mesuré R avec le pied à culisse. On fait varier entre 70 cm et 1.0 m et n mesure pur chaque lngueur la péride T du pendule. Déterminer au chrnmètre la durée de 0 scillatins cmplètes et répéter tris fis cette mesure. Tracer le graphique T = f(l) et en tirer g. Cmparer la valeur truvée à la valeur g = 980,65 cm s -, valable pur Neuchâtel. APPENDICE A) Pur l'étude exacte de la péride en fnctin de l'amplitude (défaut d'ischrnisme), n a avantage à partir d'une relatin équivalente à l'équatin du muvement qu'n btient par le thérème de l'énergie: Ept = 1 mv Ept = mgh = mg (csφ-csφ ) r: v = dφ dt dnc: ( dφ dt ) = g On en tire: dt = g dφ cs φ cs φ (csφ-csφ ) La péride T s'btient en intégrant de φ = 0 à φ, ce qui crrespnd à T/4 dnc: T = 4 g φ dφ (1) cs φ cs φ L'intégrale se simplifie par la substitutin: sin φ = sin φ sinε () avec ε cmme nuvelle variable d'intégratin à prendre entre les limites 0 et π/. En appliquant la frmule trignmétrique cnnue sin φ = 1 cs φ

7 On btient d'abrd: 1 cs φ = sin φ sin ε et 1 cs φ En sustrayant la première de la secnde relatin: 7 = sin φ csφ - csφ = sin φ (1 - sin ε) = sin φ cs ε D'autre part, en différenciant (): et 1 cs φ dφ= sin φ csεdε dφ = sin φ cs ε 1 sin φ dε = sin φ cs ε 1 sin φ sin ε dε Avec ces substitutins (1) devient: T = 4 g π / dε 1 sin φ sin ε L'intégrale s'btient sus frme d'une série de termes successifs si l'n remarque que l'intégrant (1-sin φ sin ε) -1/ est un binôme (1-x) -1/ ù x<1. On peut dnc appliquer le dévelppement généralisé du binôme pur btenir: (1-x) -1/ = 1 + x x x3 +..ù x = sin φ sin ε série unifrmément cnvergente qui peut s'intégrer terme à terme, ce qui dnne: T = 4 g π / (1 + 1 sin φ sin ε sin4 φ sin ε +...)dε L' intégrale π / sin n εdε = π (n 1) n (frmule de Wallis) L'intégrale terme à terme se fait dnc aisément et dnne le résultat fin: T(φ) = π g (1 + ( 1 ) sin φ + (1.3.4 ) sin 4 φ +...) avec π g =T (série du pendule)

8 8 Cette frmule mntre bien que T dépend de l'amplitude et permet de calculer les déviatins de l'ischrnisme. En prenant la frmule simple: T = π g n cmmet une erreur ne dépassant pas 1% pur φ <3 tandis qu'en prenant les deux premiers termes de la série l'erreur se réduit à 0,1%. B) Mment d'inertie d'une sphère Le mment d'inertie θ G par rapprt à un axe passant par le centre de gravité G est égal par définitin à δ dm. δ représente la distance de l'élément de masse dm à l'axe cnsidéré. Par raisn de symétrie, 0G est le même pur tut axe passant par G, en particulier pur les tris axes rectangulaires x, y et z. On peut dnc écrire indifféremment: θ G = δ dm = (x +y ) dm = (y +z ) dm = (z +x )dm dnc mais 3θ G = (x +y +z ) dm θ g = (x +y +z ) dm = r dm s'appelle le mment d'inertie plaire par rapprt au pint G. Il s'ensuit que: θ G = (/3)θ g Or θ g s'btient facilement en prenant pur dm la masse d'une curnne sphérique d'épaisseur dr, sit: dm = 4πr drρ (ρ = densité suppsée cnstante) ainsi θ G = 8 3 πρ r4 dr = (8/15)πρR 5 puisque M = (4/3)πρR 3 R 0 θ G devient θ G = 5 MR /GG