RHÉOLOGIE DES SUSPENSIONS NON-DILUÉES DE FIBRES AVEC INTERACTIONS ENTRE PARTICULES

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1 RHÉOLOGIE DES SUSPENSIONS NON-DILUÉES DE FIBRES AVEC INTERACTIONS ENTRE PARTICULES G. Ausias, J. Férec*, LIMATB, Université de Bretagne-Sud M.C. Heuzey, P.J. Carreau, CREPEC, Ecole Polytechnique de Montréal, Canada * X.J. Fan, R.I. Tanner, Rheology Group, University of Sydney, Australia 1

2 Introduction Modèles rhéologiques pour suspensions Simulation directe avec interactions Développement d'un modèle avec interactions Conclusions 2

3 Introduction Modèles rhéologiques pour suspensions Simulation directe avec interactions Développement d'un modèle avec interactions Conclusions 3

4 Introduction 1 Les thermoplastiques sont très souvent renforcés avec des fibres courtes Rapport de forme, r 1 1 Semi-dilué Dilué Concentré Composites industriels Diamètre : 1 µm Longueur moyenne : 2 µm Fraction volumique, φ Suspensions non-diluées 4

5 Introduction L écoulement déplace et fait pivoter les particules Les particules modifient l écoulement 4% 5% Akay & Barkley (1993) Modèles rhéologiques 5

6 Introduction Mouvement d'une particule Modèles rhéologiques pour suspensions Simulation directe avec interactions Développement d'un modèle avec interactions Conclusions 6

7 Hypothèses Fluide newtonien et incompressible Écoulement à très faible nombre de Reynolds Écoulement homogène (gradient de vitesse uniforme) Suspension diluée de particules Répartition uniforme des centres de gravité η : Viscosité de la matrice Les particules Ecoulement d l Ellipsoïde étiré p d l r = l / d r > 1 cylindre p Gradient de vitesse t κ = V Rotation du fluide Ω = 1/2( V) Vitesse de déformation t D= V+ V Vitesse de rotation t W = V V 7

8 Force hydrodynamique agissant sur la particule V p rg R Force R F = ζ q Vitesse relative q = r V ζ G Tenseur des frottements X A A = 3πηl Y A Y R Particule sans masse : F = q = La particule se déplace à la même vitesse que le fluide environnant 8

9 Moments agissant sur la particule Vitesse de rotation de la particule ω Vitesse de rotation relative Ω ω Moment séparé en deux termes ( ) T = ξ Ω ω 1 2 = T ς : D Rotation solide Déformation du fluide ξ X C 3 C = πηl Y C Y R 9

10 Moments agissant sur la particule Vitesse de rotation de la particule ω Vitesse de rotation relative Ω ω Moment séparé en deux termes ( ) T = ξ Ω ω 1 2 = T ς : D R V r G R Particule sans masse : p T = ( ) : ξ Ω ω + ς D= écoulement Gradient de vitesse t κ = V Rotation du fluide Ω = 1/2( V) Vitesse de déformation t D= V+ V Vitesse de rotation t W = V V Equation de Jeffery (1922) Jeffery dp p = = Wp +λ Dp D ppp dt (. : ) λ = + 2 ( r 2 1)/( r 1) 1

11 Fibre Ellipsoïde étiré r = 1 Vecteur d'orientation dans le plan de cisaillement Vecteur d'orientation hors du plan de cisaillement vorticité gradient vitesse E. Bertevas, University of Sydney 11

12 Un volume élémentaire représentatif p VER : Volume élémentaire représentatif Fonction de distribution des orientations ψp Tenseurs d'orientation d'ordre 2 et d'ordre 4 a p p p aij = 2 ψp d p aijkl = 4 ψp d p a p p p p p 3 2 ψp 1 a ij = ψp 1 a ij = 1 12

13 Un volume élémentaire représentatif p VER : Volume élémentaire représentatif isotrope fortement orientées à 45 parallèle à x 3 2 ψp 1 a ij = ψp 1 a ij = 1 13

14 Évolution du tenseur d'orientation Jeffery a a p p dp p = Wp +λ( Dp. D: ppp ) ij = 2 ψp p Équation de l'évolution de l'orientation da2 a = Wa a W +λ Da + a D Da dt (.. ) (.. 2 : ) Rotation du fluide Rotation des particules en suspension diluée (terme convectif) Déformation du fluide ( I a ) + 2CII 3 2 I Interactions entre particules en suspensions non-diluées (terme de diffusion) D C I : coefficient de diffusion Folgar & Tucker (1984) 14

15 Loi de comportement τ = τ Μatrice + τ Ηydro = ηd + n r dfh Loi de comportement σ = PI+ηD + ηφ ( ) AD: a4 + B Da. 2 + a2. D + CD Contribution matrice Contribution particules P η A, BC, φ : Pression hydrostatique : Viscosité de la matrice : Coefficient rhéologique : Fraction volumique de particules Lipscomb, Denn, Hur & Boger (1997) Fibres : B =, C = 2 15

16 Modèle complet σ = σ κ + σ κ, a, a ( ) ( ) Matrice Hydro 2 4 a = a κ, a, a + a κ, a ( ) ( ) 2 Hydro 2 4 Diff 2 a = h Approximation de fermeture ( ) 4 a 2 A C I linéaire l a 4 l a ijkl q a 4 quadratique a = a q ijkl ij a kl hybride h 4 l 4 a = ca + ( 1 c) a a h ijkl q 4 Advani (1987) orthotrope Cintra and Tucker (1995) 16

17 Viscosité et différences de contraintes normales en démarrage PP3 - Aller PP3 - Retour PP ω γ =.1 s -1 η + (kpa.s) aller retour γ (N 1 -N 2 ) + (kpa) aller retour γ Polypropylène + fibres de verre courtes Sepehr, Ausias & Carreau, JNNFM (24) 17

18 Facteur de glissement La largeur des pics de viscosité est plus grande que celle prédit par le modèle En solution non-diluée le mouvement des particules est ralenti par les voisines Un facteur de glissement est introduit γ s = γt 3 paramètres ajustables : C I,, A 18

19 Confrontation modèle - expériences 1,2 PP2 1,4 PP3 Viscosité réduite 1,,8 exp - Aller exp - Retour cal - Aller cal - Retour Déformation Viscosité réduite 1,2 1,,8,6 exp - Aller exp - Retour cal - Aller cal - Retour Déformation C I =.2 =.2 A = 22 Sepehr, Ausias & Carreau, JNNFM (24) C I =.4 =.2 A = 8 19

20 Confrontation modèle - expériences (N 1 - N 2 ) réduit PP3 exp - Aller exp - Retour cal - Aller cal - Retour Déformation Sepehr, Ausias & Carreau, JNNFM (24) C I =.4 =.2 A = 8 2

21 Introduction Modèles rhéologiques pour suspensions Simulation directe avec interactions Développement d'un modèle avec interactions Conclusions 21

22 Hypothèses - Suspension non-diluée de fibres (ellipsoïdes) - Forces hydrodynamiques, forces de contact, forces de lubrification - Distribution de longueurs des fibres - Conditions aux limites périodiques Nombre de fibres Initial Presse à injection Mélangeur interne PP Longueur des fibres, µm Mobuchon & al. 24 Cellule de référence 22

23 Deux fibres en contact V F β R β s β p R r Gβ r G R s F β p β F c : force de contact (H = ) F lb : lubrification hydrodynamique ( < H < ε) T : force hydrodynamique 23

24 Equations (suspension diluée) Ausias, Fan & Tanner, JNNFM (26) V γy e = 1 Cisaillement simple y p r G = γy e Vitesse du centre de gravité 1 de la particule e 2 p r G x e 1 Rotation de la particule p = p Jeffery 24

25 Equations (suspension non-diluée) Ausias, Fan & Tanner, JNNFM (26) V = γy e1 Cisaillement simple y p r = γy e + q G 1 q = 1. ζ F β nβ β Rotation de la particule Vitesse du centre de gravité de la particule 1 1 p p p p n Jeffery Inter Jeffery = + = + sf 3 C β β πηl Y β e 2 e 1 p r G x 25

26 Écoulement transitoire 5 fibres Pas de temps :.5 s Orientation initiale isotrope Direction gradient Direction vitesse Direction vorticité 26

27 Régime stationnaire 5 fibres Pas de temps :.5 s Direction gradient Direction vitesse Direction vorticité 27

28 Les fibres voisines 28

29 Confrontation avec les expériences Ausias, Fan & Tanner, JNNFM (26) 5 6 η / η 4 3 exp. Laun φ w = 15% exp. Laun φ w = 25% exp. Laun φ w = 35% sim. φ w = 15% sim. φ w = 25%. N 1 / η γ exp. Laun φ w = 15% exp. Laun φ w = 25% sim. φ w = 15% sim. φ w = 25% déformation déformation Laun

30 Introduction Modèles rhéologiques pour suspensions Simulation directe avec interactions Développement d'un modèle avec interactions Conclusions 3

31 Un modèle macroscopique r df H p Volume Elémentaire Représentatif (VER) Simulation directe σ Mileu Homogène Equivalent (MHE) a2, a4,... Modèle macroscopique 31

32 Un modèle macroscopique Modèle macroscopique Méthode SPH σ = PI+ 2 η D+ AφηD: a2a2 a = Ωa a Ω +λ Da + a D D a a (.. 2 : )

33 Un modèle macroscopique r df H Volume Elémentaire Représentatif (VER) Simulation directe p σ Mileu Homogène Equivalent (MHE) a2, a4,... Modèle macroscopique On étudie un à un le comportement de centaines de fibres et on moyenne On étudie tous les cas possible en pondérant par la probabilité de l'évènement 33

34 Introduction Objectif : développer un modèle rhéologique pour les suspensions de fibres en prenant en compte les interactions entre particules V F β R β s β p R r Gβ r G R s F β p β 34

35 Rotation et moment 3 moments V F β ( ) T = ξ Ω ω 1 2 = T ς : D T = s p F 3 β R r Gβ r G R β s β R s F β p p β Particule sans masse : T = Fonction de pondération ( s : ) ω ξ p F ς D 1 = β + 35

36 Probabilité de contact Probabilité de cet évènement : V F β Il est proportionnel à : -, n - φ ψp β dp β 1 R r Gβ r G R β s β R s F β p p β - p p β PC = 2nd p pβ ψp dp dsds β β β p β 36

37 Étape d'intégration On intègre : - le long de s - le long de sβ - suivant toutes les directions p β p p p p β On obtient alors l'évolution de Jeffery p = p + p Inter Ensuite on intègre : - suivant toutes les directions p p V p β F β R β p β β s β p β p β p On obtient alors l'évolution de a 2 R r Gβ r G R s F β p β 37

38 Tenseurs d'interaction ( ) ( 2 : ) ( Wa 2 a 2 W) ( Da 2 a 2 D 2Da : 4 ) 2 f ( Ι 3a ) a = W a a W + D a + a D D a φμ + +φμγ 2 Hydrodynamique Nouveaux tenseurs Interactions Diffusion Tenseurs d'interaction a 2 = p p p p ψ ψ dp dp β p p β β p p β V F β R β s β p a = pppp p p ψ ψ dpdp β 4 β p p β p p β R r Gβ r G R s F β p β 38

39 Loi de comportement τ = τ + τ + τ = η D+ n r df + n r df Μatrice Ηydro Inter H i I r 4r σ= PΙ+η D+η φ X D a +η φ D a 6π 3π 2 2 A 2 : 4 k : 2 4 Dinh & Armstrong 1984 Djalili & Toll 25 V F β R β s β p R r Gβ r G R s F β p β 39

40 Modèle complet a σ = σ κ + σ κ, a, a + σ κ, a, a = h ORT = h ORT ( a ) ( a ) 4 2 ( ) ( ) ( ) Matrice Hydro 2 4 Inter 2 4 a = a κ, a, a + a κ, a, a + a κ, a a ( ) ( ) ( ) 2 Hydro 2 4 Inter 2 4 Diff 2 3π a = a a a ( : ) Potentiel de Maier-Saupe (1959)

41 Comparaison Polybutène + fibres de verre Écoulement retour η (Pa.s) simulation expériences exp. PB1 exp. PB15 exp. PB2 exp. PB25 matrice γ 41

42 Comparaison Polybutène + fibres de verre Écoulement retour 4 simulation expériences PB1 PB15 PB2 PB25 matrice N 1 - N 2 (Pa) γ 42

43 Modèle corrigé ( ) ( 2 : ) ( Wa 2 a 2 W) ( Da 2 a 2 D 2Da : 4 ) 2 f ( Ι 3a ) a = W a a W + D a + a D D a φμ + +φμγ 2 Objectivité matérielle Rotation solide du fluide D= 43

44 Modèle corrigé r 4r σ= PΙ+η D+η φ X D a +η φ D a 6π 3π 2 2 A 2 : 4 k : 2 4 ( ) ( 2 : ) ( Da 2 a 2 D 2D: a 4) 2 f ( Ι 3a 1 ) a = W a a W + D a + a D D a φμ + +φμγ η [Pa.s] def 44

45 Introduction Modèles rhéologiques pour suspensions Simulation directe avec interactions Développement d'un modèle avec interactions Conclusions 45

46 Conclusions Les composites industriels sont des suspensions concentrées en fibres Les interactions entre fibres ont une influence importante dans le comportement rhéologique Une simulation directe a permis de bien comprendre ces interactions Un modèle rhéologique macroscopique avec interactions entre fibres est proposé Définition des tenseurs d interactions Utile pour calculer des modules, des conductivités électriques? 46

47 RHÉOLOGIE DES SUSPENSIONS NON-DILUÉES DE FIBRES AVEC INTERACTIONS ENTRE PARTICULES G. Ausias, J. Férec*, LIMATB, Université de Bretagne-Sud M.C. Heuzey, P.J. Carreau, CREPEC, Ecole Polytechnique de Montréal, Canada * X.J. Fan, R.I. Tanner, Rheology Group, University of Sydney, Australia 47