PARTIE NUMERIQUE. Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11. Exercice 1. 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles

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1 Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11 PARTIE NUMERIQUE Exercice 1 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles A= B= A= A= B= B= A= 3 B= A=1 B= B= ) Ecrire l écriture scientifique du nombre C C= ( 10 2 ) -2 C= C= C= C=1,12 C=1,12 Exercice 2 On considère l expression E=(3x 1) 2 +(3x 1)(2x 3) 1) Développer et réduire E. E= (3x)² 2 3x 1+1²+6x² 9x 2x+3 E= 9x² 6x+1+6x² 11x+3 E= 15x² 17x+4 2) Calculer E pour x=0, pour x=-2 et pour x= 1 3. Pour x=0, E= 15 0² =4 Pour x= -2, E= 15 (-2)² 17 (-2)+4= =109 Pour x= 1 3, E= ² = = ) Factoriser E. +4= =-4+4=0

2 E=(3x 1)[(3x 1)+(2x 3)] E=(3x 1)[5x 4] Exercice 3 On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre de départ Multiplier ce nombre par (-4) Aouter 8 au produit Multiplier le résultat par 2 Ecrire le résultat obtenu. 1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4, on obtient (-4)= =-8-8 2=-16 Le résultat obtenu est -16 b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on? 3 3 (-4) -12+8=-4-4 2=-8 Le résultat obtenu est -8 2) On choisit x comme nombre de départ. Exprimer le résultat en fonction de x. x x (-4) -4x+8 2 (-4x+8) Le résultat obtenu est 2(-4x+8) 3) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0? Pour que le résultat fasse 0, il faut que x=2. En effet 2(-4 2+8)=0 4) Un élève prétend que, pour n importe quel nombre de départ x, l expression (x 4) 2 x 2 permet d obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison? Développons et réduisons l expression (x 4) 2 x 2 ainsi que l expression 2(-4x+8) (x 4) 2 x 2 =x² 8x+16 x²=-8x+16 Or 2(-4x+8)=-8x+16 donc les deux expressions sont égales. L élève a raison. PARTIE GEOMETRIE Exercice 4 Soit ABC un triangle tel que AB=10,4 cm AC=9,6 cm BC=4 cm. 1) Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure.

3 2) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. D une part AB²=10,4²=108,16 D autre part, AC²+BC²=9,6²+4²=92,16+16= Ainsi d après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en C 3) Soit D le point du segment [AB] tel que AD=7,8 cm. Le cercle de diamètre [AD] recoupe le segment [AC] en E. a) Préciser la nature du triangle AED. Le démontrer. On sait que [AD] est un diamètre du cercle passant par le point E Or Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour coté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle Donc le triangle AED est rectangle en E b) Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. On sait que les droites (DE) et (AE) sont perpendiculaires et que les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires. Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles Donc les droites (BC) et (DE) sont parallèles 4) Calculer DE. On sait que les droites (BC) et (DE) sont parallèles et que les droites (EC) et (DB) sont sécantes en C D après le théorème de Thalès, nous pouvons affirmer que AE AC = AD AB = DE BC En particulier AD AB = DE BC 7,8 10,4 = DE 4 DE= 7,8 4 10,4 DE=3 cm Exercice 5 Dans le triangle ABC de hauteur [AH] représenté ci-contre, on donne AC=4 cm. BH=1,5 cm 1) Calculer la longueur CH. Dans le triangle BCH rectangle en H Tan BCH= BH HC tan 30 = 1,5 HC= tan30 1,5 HC HC 2.60 cm 2) En déduire la longueur AH. A, H et C sont alignés donc AH=AC-HC AH=4-2,60=1,40cm 3) Calculer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l angle. Déterminons en premier la mesure de l angle ABH. Dans le triangle ABH rectangle en H: tan ABH = AH BH tanabh= 1,40 1,5 ABH=43

4 Déterminons ensuite la mesure de l angle HBC: Dans le triangle HBC, la somme des angles est égale à 180 donc HBC+HCB+BHC=180 De plus BHC=90 et HCB=30 donc HBC+30+90=180 Ainsi HBC= HBC=60 Ainsi ABC=ABH+HBC ABC= ABC=103 Exercice 6 ABCD est une pyramide de sommet A. La base BCD est un triangle rectangle en C. L arête [AC] est perpendiculaire au plan BCD. Le point E est situé sur l arête [AB] et le point F sur l arête [AC]. On donne : AE=3 m, AC=6 m, AB=9 m et AF=2 m. (Un schéma de la pyramide est fourni en annexe). 1) Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles. Comparons les rapports AE AF et AB AC AE AB = 3 9 = 1 3 et AF AC = 2 6 = 1 3 ainsi AE AB = AF AC De plus les points A,E,B et A, F et C sont alignés dans cet ordre, On peut donc conclure à l aide de la réciproque du théorème de thalès que les droites (EF) et( BC) sont parallèles. 2) On coupe cette pyramide suivant un plan parallèle à la base BCD et passant par le point E. Quelle est la nature de la section obtenue? Quand on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la section obtenue est une réduction de la base. La base étant un triangle rectangle, on peut affirmer que la section est un triangle rectangle. 3) a)sur la feuille en annexe, placer le point F. (Attention la figure n est pas à l échelle). b) Dessiner la section plane parallèle à la base passant par E. PROBLEME Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m et la hauteur sous plafond est 2,80 m. Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large.

5 Première partie : Peinture des murs et du plafond Les murs et le plafond doivent être peints. L étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie. Peinture pour mur et plafond Séchage rapide Contenance : 5 Litres Utilisation recommandée : 1 litre pour 4 m² 1) a) Calculer l aire du plafond. A plafond =L l=6,40 5,20=33,28 L aire du plafond est de 33,28 m² c) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond? Q Quantité de peinture = 33,28 4=8,32 Il faudra 8,32 L de peinture pour peindre le plafond. 2) a) Prouver que la surface de mur à peindre est d environ 54 m² La surface de mur à peindre est composée de deux rectangles (de longueur 6,40 et de largeur 2,80) ainsi que de deux rectangles ( de longueur 5,20et de largeur 2,80) à laquelle il faudra retirer la surface de la porte ainsi que la surface des deux porte-fenetre. S surface à peindre= (2 5,20 2,80+2 6,40 2,80) 2 0, ,60=53,76 S surface à peindre 54 m² b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs? Q Quantité de peinture =54 4=13.5 IL faudra 13.5L de peinture pour peindre les murs 3) De combien de pots de peinture faut-il pour peindre les murs?

6 1 pot contenant 5L, il nous faudra 3 pots pour peindre 13.5 L Deuxième partie : Pose d un dallage sur le sol 1) Déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520. Déterminons le PGCD(640,520) à l aide de l algorithme d Euclide 640= = =3 40 Le PGCD étant le dernier reste non nul, on peut conclure que le plus grand diviseur commun de 640 et 520 est 40 2) Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension. L entreprise a le choix entre les dalles dont le côte mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm. a) Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être posées sans découpe? L entrprise pourra choisir des dalles de 20 cm car 20 est un diviseur commun de 640 et de 520. Elle pourra aussi choisir des dalles de 40 cm car 40 est un diviseur commun de 640 et 520. b) Dans chacun des cas trouvés combien faut-il utiliser de dalles? Dans le choix des dalles de 20cm: Il faudra soit 32 dalles en longueur et soit 26 dalles en largeur soit au total: 32 26=832 dalles. Dans le choix des dalles de 40cm, il faudra soit 16 dalles en longueur et soit 13 dalles en largeur. Soit au total 16 13=208 dalles. Annexe 1 (à rendre avec la copie)

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