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1 Notes de cours Séismes et Ouvrages D. Clouteau 7 mars 2008

2 Table des matières 1 Introduction to sismology Introduction Quantifying seismic events Mercalli s Intensity, Richter Magnitude and others seismic Moment Models of seismic sources failure mechanism in the fault Kinematical source model Finite size effects and corner frequency Conclusion The seismic motion for the engineers Introduction Seismic Regulation Peak Ground Acceleration Normalized Response Spectra Models for the local wave field Interaction sol-structure linéaire Géométrie et notations Introduction Elastodynamique dans le domaine des fréquences Fondation rigide Champ diffracté local et champs rayonnés Impédance de fondation Interaction cinématique Interaction inertielle Interaction entre bâtiments Fondation souple Variabilité du champ incident

3 2 4 Equations intégrales et éléments de frontière Introduction Rappels Notations Formule de Green-Maxwell Fonction de Green Équations integrales Théorème de représentation Équations intégrales Equations intégrales en domaines non bornés Application à des problèmes aux limites Méthode des éléments finis de frontière Discrétisation Assemblage Résolution Equations intégrales régularisées Domaines bornés Domaines non bornés Conclusion A 7ème Colloque National AFPS École Centrale Paris 50 A.1 Notations et hypothèses A.1.1 Données caractérisant le matériau A.1.2 Données caractérisant le séisme A.1.3 Hypothèses A.2 Rayon équivalent de la source sismique A.3 Calcul de l énergie sismique par le bilan d énergie A.4 Calcul directe de l énergie sismique A.5 Comparaison avec les lois empiriques de Gutenberg-Richter sur l énergie et de Wells-Coppersmith sur la géométrie des failles B Ondes élastiques dans un espace homogène 58 B.1 Introduction B.2 Equations générales B.3 Ondes de compression et de cisaillement B.3.1 Décomposition de Helmholtz B.3.2 Les ondes planes B.3.3 Ondes planes élastiques B.3.4 Impédance d une onde plane et conditions de radiation de Sommerfeld B.4 Champ créé par des forces de volume B.4.1 Calcul de la fonction de green de l espace homogène. 64 B.4.2 Fonction de Green stationnaire

4 3 B.4.3 Fonction de Green transitoire B.5 Conclusion B.6 Exercices C Réflexion et transmission d ondes planes sur des interfaces 73 C.1 Introduction C.2 Le problème de réflexion C.2.1 Trace d une onde plane sur un plan C.2.2 Vecteur contrainte associé à une onde plane C.2.3 Phase apparente d une onde plane sur le plan C.2.4 Flux d énergie associé à une onde plane C.3 Réflexion sur une surface libre et ondes de surface C.3.1 Les lois de la réflexion C.3.2 Angle critique et ondes de surface C.3.3 Coefficients de réflexion C.3.4 Amplifications C.3.5 Onde de Rayleigh C.4 Réflexion sur une interface et transmission C.4.1 Loi de Descartes et ondes réfractées C.4.2 Coefficients de réflexion C.4.3 Amplification et concentration de contraintes C.4.4 Ondes de Stoneley C.5 Couche sur un demi-espace, ondes de Love C.5.1 Résonances C.5.2 Ondes de Love C.6 Conclusion C.7 Exercices D Modeling SSI with a two DOF system 99 D.1 SSI with a 2DOF model D.1.1 Dynamical system D.1.2 Modal analysis E Rappels de dynamique des structures 103 E.1 Réponse quasi-statique E.1.1 Estimation d erreur E.2 Méthode de Rayleigh E.2.1 Estimation d erreur E.3 Décomposition spectrale E.3.1 Troncature E.3.2 Estimation d erreur E.3.3 Extension de la base modale E.4 Structure multi-supportée E.4.1 Solution pseudo-statique

5 4 E.4.2 Décomposition modale E.5 Résolution en fréquences E.6 Sollicitations aléatoires E.6.1 Aléa temporel E.6.2 Aléa spatial E.7 Dimensionnement E.7.1 Cas pseudo-statique E.7.2 Cas Dynamique E.7.3 Recomposition modale E.8 conclusion F Outils Mathématique 126 F.1 Introduction F.2 Cadre mathématique F.2.1 Analyse temporelle F.2.2 Analyse en fréquence F.2.3 Analyses spectrales F.2.4 Autres approches G Outils mathématique en vibration des structures 131 G.1 Principe des puissances virtuelles G.2 Approximation G.3 Estimation d erreur G.4 Quotient de Rayleigh H Transformations de Fourier 135

6 Chapitre 1 Introduction to sismology 1.1 Introduction It is now well known that earthquakes occur along seismic faults in the crust. These faults are located either along the major tectonic plate boundaries (Japan, California, Turkey) or inside these plates (Alpes..). Earthquake are due to a dynamic release of deformations in the crust. These deformations are accumulated during the very slow relative motions of the plates at a speed of a few centimeters per year. Depending on the tectonic context the depth of the fault ranges from 10 to 200 km ( See http ://www.mssmat.ecp.fr/- Sources-et-propagation-des-seismes,196-). Fig. 1.1 Earthquake location on the earth In this chapter we are only interested in quantifying seismic events in order to define the seismic loads to apply to structures. After a brief his- 5

7 6 Fig. 1.2 Left : San Andrea fault, right : faults reaching the free surface. torical summary on classical seismic scales, we will concentrate on models of seismic sources and on quantifying the leading parameters of the seismic loads (active fault size, mean slippage, corner frequency...) Quantifying seismic events Mercalli s Intensity, Richter Magnitude and others The Mercalli scale proposed in 1902 and modified ever since ranges from I to XII. It measures the amont of destruction due to an earthquake (see figure 1.3). This measure depends on the type of structure and the distance from the earthquake epicentre. It is thus partly improper to be used in the design of new structures or to quantify the power of an earthquake. From this sismological point of view, The Richter Magnitude scale has been proposed in 1935 based on experimental observations of the seismic motion in California. Basically this magnitude ML is the Logarithm of the observed maximum wave amplitude u measured by a given seismograph at a given distance D from the epicenter by : ML = log10 (max u(mm)) log10 (D(km)) 2.48 This measure depends on the instrument and on the type of earthquake considered (typically small to moderate Califonian earthquakes). As it will

8 7 Fig. 1.3 Mercalli s Intensity scale (from wikipedia) be analysed in the next section the seismic Moment M o or the released energy E given by 1 : log 10 (M o (Nm)) = 1.5M L = log 10 (E (J)) are often preferred since they directly relate to physical properties of the seismic fault. A magnitude 8 earthquake corresponds to an energy of Joules which is about the energy consumption of humain beings on Earth for one year. The equivalent magnitude of the 5Mt atomic bomb of Hiroshima is 6.7. The biggest earthquake recorded on earth (Chile 1960) is of 9.5 magnitude. From an engineering perspective once, for a given site, the Magnitude and the Distance from a design earthquake is known some statistical analyses lead to the average peak acceleration A. For instance for the Chichi earthquake in taiwan Ghang et al. get (CRAS Vol ) : ln(a(cms 2 )) = 0.78 ln(d(km)) These formula are often given in ergs as : log 10 (M o(dyne cm)) = 1.5M L = log 10 (E(ergs)) + 4.2

9 seismic Moment When considering an uniform failure with a constant slippage u along a given surface S in an elastic medium with a shear modulus µ, the seismic Moment is given by : M o = µ us It is thus the product of a force by a displacement which can indeed be compared to a work or an energy but should better be seen as a moment since µ is a shear modulus and not the actual stress. On the contrary one can define the released energy as the mechanical work dissipated on the fault : E = τ us with τ the mean shear stress on the fault during the earthquake. The above relationship E 10 4 M o suggests that the fault rupture occurs for shear strains reaching Models of seismic sources failure mechanism in the fault As many other materials, rocks can endure a limited amount of shear stress. The corresponding yield shear stress τ m is often related to the normal stress σ nn by mean of the Mohr-Colomb law. In the context of seismic fault, this means that the yield stress depends both on depth and on the regional stress field. Once the yield stress reached the material shows plastic deformations or plastic flow until the shear level goes down to a new yield stress τ o < τ m. This pecular constitutive behaviour implies that the plastic deformation are localized along shear bands : the seismic faults (see figure 1.2). Once the material has been soften along such shear bands the plastic deformation will always occur along these bands. In a time range of a few tenths of thousands years, earthquakes always occur along existing faults. Depending on regional condition the stress drop τ = τ m τ o ranges from 3 to 10MP a. Since the plastic deformation is localized on the fault it can be characterized by the resulting relative displacement along the fault denoted by u and also called the slippage. It satisfies u n = 0 with n the normal vector of the fault. The amplitude of this displacement depends both on the shear drop τ and on the elastic properties of the surrounding soil. The static or dynamic study of such a relationship is out of the scope of the course but developments in fracture mechanics lead to the following relationship for a penny-shape crack with diameter L in a purely elastic material : τ = 7π 16 µ u L

10 9 Fig. 1.4 Typical shear stress-distorsion curve This leads to the following approximate expression for the seismic moment as a function of the fault length : M o L3 τ 3MP a τ 10MP a 4 showing that the seismic moment is proportional to the length to the power 3. This means that increasing the active length by one order of magnitude adds 2 to the Richter magnitude. This lead to to simple formula : S(km 2 ) = 10 M L 4 Moreover, this leads to a linear relationship between the slippage and the fault length : u = 16 τ 7π µ L 10 4 L roughly observed in practice when the fault reaches the free surface as shown in figure 1.2. At last it is worth to notice that the corresponding released energy reads : E = τ us = τ µ M o u L M o Kinematical source model As already mentioned the seismic source can be seen as a displacement discontinuity [u] = d u in the earth along a given surface Σ with normal vector n. The generalized strain in a distribution sense associated to this displacement jump reads 2 : ɛ = ud s nδ Σ 2 Let us consider a fault of thickness h in direction n and let us denote by x o any point along the mean surface of the fault. Assuming a linear variation of the displacement along

11 10 Assuming such a discontinuity in an elastic medium lead to the corresponding equivalent force : f S = 2µdiv ( u d s nδ Σ ) Since d n = 0. Assuming a constant u on the fault gives : f S = m o grad (δ Σ ) with m o = 2µ u(d s n) the surface density of moment tensor. At last when observed far enough from the source one can write δ Σ = δ o S leading to the localized equivalent source : 1 f S = M o grad δ o = M o lim h 0 h (dδ( h2 n) dδ( h2 n) + nδ(h2 d) n(δ( h2 d) ) with M o = M o (d n+n d) the moment tensor corresponding to four forces applied around the epicenter : two opposite shear forces on both side of the fault and two forces on both side edge of the fault to balance the moment induced by the two firsts (figure 1.5). This model is useful to understand the shear wave pattern induced by the fault rupture. These four forces can also be seen as two extension and two compression forces giving some insight on the induced P wave pattern. We have now to consider the time evolution of the seismic tensor. Indeed, before the earthquake the slippage is zero and remains constant after the earthquake. The simplest model for it is the step or Heaviside function vanishing for negative times and equal to one for positive times. Let us write : M o (t) = M o H(t) with H(t) the normalized time-history of the slippage. Since the elastic solution for a single force f = δ(x y)a reads in the far field : u G (x, y, a, t) = e r(e r a) 4πρc 2 pr δ(t r ) + (a e r(e r a)) c p 4πρc 2 δ(t r ) sr c s with r = x y and e r = (x y)/r, the far field induced by a localized seismic moment reads : t u = M o (grad y u G (x, y, n, t τ)d + grad y u G (x, y, d, t τ)n)h(τ)dτ o n leads to : u(x o + ζn) = u(x o) + ud ζ ζ = (x x o) n h and an almost uniform strain tensor inside the fault : ɛ = 1 ud s n + o(1) h

12 11 Fig. 1.5 Equivalent forces for a seismic source since the derivatives of all terms except δ(t r c p,s ) will bring a 1/r term that will vanish at large distances the following approximate holds : ( 2er (e r d)(e r n) u M o 4πρc 3 H (t r ) pr c p + n(e r d) + d(e r n) 2e r (e r n)(e r d) 4πρc 3 H (t r ) sr c s ) (1.1) Since their is roughly a factor of 2 between c p and c s, one can easily conclude that the second term is highly predominant leading to the final approximate : u(x, t) u o (x)h (t r c s ) (1.2) u o (x) = M o n(e r d) + d(e r n) 2e r (e r n)(e r d) 4πρc 3 sr (1.3) As far as earthquake resistance of structure is concerned, the main quantity of interest is the acceleration. The previous formula shows that this acceleration is rather difficult to predict since it is given by the third derivative of the time evolution of the seismic moment i.e. the third derivative of the slippage time-history. The approximate H δ is too crude for this purpose Finite size effects and corner frequency Even if the detailed time-history of the seismic motion seems difficult to predict some global tendency of the frequency content of the seismic motion can be sought accounting for the fault size. Indeed considering a planar

13 12 rectangular fault Σ of size H L in the e 1 e 2 plane and centered on the reference frame. Accounting only for shear waves one has : u 1 u o (x y)h (t r )dy (1.4) S c s Σ Since a far field approximate is sought the first term in the integral is approximated taking its value for y = 0. Taking the Fourier transform of the last term with r r o e o y, r o = x and e o = x/r o leads to : û = û o (ω) 1 ( exp iω e ) o y dy S c s Σ with û o (ω) the frequency response for a localized seismic moment. Finally one gets : û = û o (ω)sinc(ωt 1 )sinc(ωt 2 ) with T α = eo eαlα 2c s and sinc(x) = sin(x) x. As a consequence, the finite size of the source has for some direction a high-frequency filtering effect. The proposed model accounts only for a ω 1 decay at high-frequencies whereas experimental results usually show a ω 2 decay which can be modeled using a more complex time-history of the slip. As a conclusion one can take the following expression for the Fourier amplitude of the far-field response : û = u o 1 + (ω/ω o ) 2 with ω o the corner circular frequency defined as : 1.4 Conclusion ω o 2c s 3 S Using simple source models we have been able to explain and to quantify basic relationships between wave amplitudes, fault length, slippage, seismic moment, energy, frequency spectrum. However these expressions are not always consistent with the original Richter scale. Moreover the proposed models do not seem able to predict the maximum acceleration. At last, the propagation medium has been considered as homogeneous whereas the seismic wave experience large velocity contrasts when reaching the free surface. As a consequence more detailed studies have to be conducted in order to quantify the local seismic field in the vicinity of structure to be designed.

14 Chapitre 2 The seismic motion for the engineers 2.1 Introduction 2.2 Seismic Regulation The seismic motion to account for in seismic analyses is defined in Regulation codes in seismic countries and in particular the Eurocode 8 for Europe. They mainly consist in prescribed Peak Ground Accelerations and Elastic Response Spectra at a given site Peak Ground Acceleration The PGA (Peak Ground Acceleration) is the first important parameter defined in the regulation since it is the essential parameter for a pseudostatic design. Since it hardly be given in term of source parameters, this parameter is obtained through statistical analyses of the following form : a g (m/s 2 ) = ce αm (R k + ae δm ) β e γ(rk +b) 1/k with M the magnitude, and R the epicentral distance in km. One of the most commonly used law is given by Joyner & Boore (1981) reads : a g = 10M/4 R o e 0.006Ro R o = R + 53km 2.3 Normalized Response Spectra Response Spectra S d (T, ξ) are defined as the Maximum displacement recorded on a Single Degree of Freedom dynamic system with prescribed natural Period T and damping coefficient ξ for a given input acceleration 13

15 14 time-history. Normalized Response Spectra are in fact envelops of actual Response Spectra normalized with respect to a reference maximum acceleration. They are usually given in terms of horizontal Pseudo-Spectral Accelerations : ( ) 2π 2 S P SA = S d T These Spectra are expressed in terms of a few parameters as shown in figure 2.1. These parameters depend on the type of soils (see figure 2.3) as given in figure 2.2. Fig. 2.1 Normalized PSA Response Spectra The analytical solution for these curves are : ( T T B : S P SA = a g S 1 + T ) (2.5η 1) T B T B T T C : S P SA = 2.5ηa g S T C T T D : S P SA = 2.5ηa g S T C T T D T 4s : S P SA = 2.5ηa g S T CT D T 2 (2.1) with S a soil coefficient and η = (10ξ + 0.5) 1/2 a normalized damping coefficient. These expressions lead to a constant Pseudo Spectral Velocity for T C T T D and a constant Spectral displacement for T D T. For large structures a g must be multiplied by a site amplification coefficient. At last, for a detailed dynamic analysis time-history acceleration are needed. Such functions can be either synthetic functions fitting a given spectra or recorded acceleration that are rescaled to a proper amplitude. At last for

16 15 Fig. 2.2 Values for the parameters of the Normalized PSA Response Spectra (in french) Fig. 2.3 Soil types in the Eurocode 8 (in french)

17 16 large structure the spatial correlation of the seismic wave field has to be accounted for. 2.4 Models for the local wave field When sites are located far enough from the seismic source and for deep seismic events (see figure 2.4), a typical seismic signal is composed of three parts : The P waves : with moderate amplitudes mainly in the vertical direction, The S waves : usually with the peak acceleration inside mainly polarized in the horizontal direction, The coda : made of low frequency surface waves. Fig. 2.4 Accelerations recorded during the Northridge earthquake As observed in figure 2.4, the P wave part is usually dominated by the vertical component whereas the horizontal ones are stronger in the S and coda parts. This observation suggests that the seismic motion can be seen as vertically incident plane waves. Moreover, it will be shown in the next chapter that this hypothesis tends to maximize the effect of the seismic motion on structures since all points of the foundation will move in phase. However this assumption has some drawbacks since such an uniform incident field does not directly load rocking or torsional modes of the structure. At last, for multi-supported structures such as bridges, such a assumption is not always conservative since out of phase displacements of the foundations are not accounted for.

18 17 This vertically incidence assumption can easily be justified by the strong wave velocity contrast between superficial and and deep geological formation. Indeed beneath a few hundreds of meters, the shear wave velocity reaches a constant value of about 3.5-5km/s whereas the P wave velocity is in the range 8-12km. As far as superficial geological formations are concerned the S-wave velocity ranges from 80 to 800 m/s and the P-wave one from 800 to 2000 m/s. For a horizontally layered media the Snell-Descartes law of refraction tells us that : sin θ = cst c with θ the incidence angle and c the wave velocity. The incident angle on the free surface reads : θ surf = arcsin ( ) csurf sin θ deep 0 c deep

19 Chapitre 3 Interaction sol-structure linéaire Les interactions dynamiques sol-structure jouent un rôle prépondérant dans la justification sismique des grandes structures telles que des barrages ou des centrales nucléaires ou de structures plus petites fondées sur des sols souples (voir [49, 50, 19, 1, 78, 33, 43, 18, 48, 42, 51, 76, 68, 2, 3, 38, 77, 17, 71,?, 25, 16, 34, 35, 62, 72, 56]). Avant d étudier ce phénomène et les outils théoriques et pratiques pour l aborder, nous donnerons dans le chapitre E quelques rappels de dynamique des structures ainsi que les méthodes applicables lorsque cette interaction peut Ítre négligée, et en particulier les méthodes spectrales. Classiquement l interaction sol-structure est décomposée dans le cas linéaire en interaction inertielle prépondérante lorsque la structure est massive, et en interaction cinématique principalement mobilisée pour des fondations enterrées et des ondes à incidence inclinée. L analyse des phénomènes sera d abord réalisée dans le cas de fondations rigides (chapitre 3). Toutefois, avant d aborder ces différents thèmes nous donnerons quelque notation générales ainsi que quelques rappels de dynamique des structures (chapitre E). 3.1 Géométrie et notations Le domaine d étude Ω est constitué de trois sous-domaines : le sol Ω s non-borné, la structure Ω b bornée et la fondation Ω f. Ces domaines sont séparés par les interfaces Σ bf et Σ sf, sur le reste de leurs frontières respectivement notées Γ ba, Γ sa et Γ fa, des conditions de surface libre sont imposées. Les champs de déplacements permanents sur Ω s, Ω b et Ω f dus aux charges statiques notés u so (x), u bo (x) et u fo (x) sont supposés connus et on ne s interesse qu aux perturbations dynamiques notées u s (x, t), u b (x, t) et u f (x, t) et supposées petites. Ces perturbations sont dues au séisme représenté par un champ incident ou champ libre u inc (x, t), défini comme le champ qui 18

20 19 Ω b Γ ba Γ bf Ω f u inc Γ sf Ω s Γ sa Fig. 3.1 Géométrie et notations règnerait dans le sol en l absence de la structure et sa fondation. Ce champ est supposé connu. Dans la suite, σ s (u s ) et σ b (u b ) désignent les tenseurs des contraintes associées aux champs u s et u b dans chacun des domaines. On supposera que les contraintes se décomposent en une partie élastique linéaire σ e et une partie dissipative σ d. t s (u s ) et t b (u b ) représenteront les vecteurs contraintes s exerçant sur les interfaces orientées par la normale extérieure n, soit pour tout vecteur a : t s (u s ) a = σ(u s ) : (n a) (3.1) σ(u s ) = λ s (div u s )I d + 2µ s ɛ(u s ) (3.2) ɛ ij (u) = 1/2( i u j + j u i ) (3.3) : désignant la contraction de deux tenseurs, le produit scalaire et le produit tensoriel de deux vecteurs. Sous une hypothèse de petites perturbations, les champs u s, u inc satisfont les équations de Navier dans le sol, alors que le champ u b satisfait à ces mímes équations dans la structure : div σ b (u b ) = ρ b tt u b dans Ω b (3.4) div σ s (u s ) = ρ s tt u s, div σ s (u inc ) = ρ s tt u inc dans Ω s (3.5) En l absence de décollement entre la structure et la fondation et entre la fondation et le sol nous avons de plus les conditions cinématiques suivantes : u b = u f sur Σ bf (3.6) u s = u f sur Σ sf (3.7) auxquelles s ajouteront l équilibre de la fondation Ω f et des conditions initiales ad hoc.

21 Introduction Dans le chapitre E nous avons étudié les vibrations d une structure soumise à un déplacement imposé à sa base. Nous allons à présent traiter l interaction entre le sol et la structure en essayant de réutiliser les outils déjà développés. Nous proposerons ainsi une méthode de sous-structuration dynamique incluant trois domaines : la structure, le sol et la fondation. On notera toutefois une différence majeure entre ces domaines, le premier étant borné et déformable, le second également déformable mais infini, le troisième pouvant être en première approximation considéré comme rigide. En utilisant cette décomposition nous montrerons dans la section 3.4 que l analyse se résume à une équation d interaction sol-structure dont nous détaillerons les différents éléments et en particulier les impédances 3.5, l interaction cinématique 3.6, ainsi de l interaction inertielle 3.7. Ces résultats seront étendus au cas de l interaction entre plusieurs bâtiments à la section 3.8 et au cas de fondations souples à la section 3.9. Nous aborderons à la section 3.10 la variabilité du champ incident. Avant d aborder ces différents points nous rappelons quelques résultats concernant les équations de l élastodynamique écrites dans le domaine des fréquences ainsi que la notion de champ incident, champ diffracté, d amortissement ainsi que le principe de réciprocité. 3.3 Elastodynamique dans le domaine des fréquences La principale difficulté d un point de vue mathématique est le caractère non borné du sol, la présence de la surface libre apportant une difficulté supplémentaire ainsi que l existence d une éventuelle d une stratification. Un élément majeur pour la validité de l analyse est le caractère borné de l interface Σ sf, la prise en compte d un amortissement nous permettra de lever le reste des difficultés. Nou travaillerons dans le domaine des fréquences où le champ u s (x, ω) 1, doit satisfaire à toute fréquence ω : div σ s (u s ) = ρ s ω 2 u s dans Ω s (3.8) t s (u s ) = 0 sur Γ sa (3.9) u s = u f sur Σ sf (3.10) Ce champ est créé par un champ incident u inc (x, ω) venant de l infini que l on supposera connu au moins dans un premier temps, et qui satisfera toujours : div σ s (u inc ) = ρ s ω 2 u inc dans Ω s (3.11) t s (u inc ) = 0 sur Γ sa (3.12) 1 dans ce chapitre toutes les équtions seront écrites dans le domaine des fréquences et nous omettrons donc les b. pour alléger les notations.

22 21 Ainsi on pourra définir sur Ω s le champ diffracté u d = u s u inc qui satisfera alors : div σ s (u d ) = ρ s ω 2 u d dans Ω s (3.13) t s (u d ) = 0 sur Γ sa (3.14) u d = u f u inc sur Σ sf (3.15) En presence d amortissement, u inc de sera pas borné, mais par contre sa restriction à Σ sf le sera. De plus on pourra supposer u d d énergie finie sur Ω s tandis que l énergie dissipée E d sera strictement positive et bornée : E p (u d ) + E c (iωu d ) = 1 ) 2 (Ω R σ b (u d ) : ɛ(u d )dv (3.16) b Ω ω2 ρ b u d u d dv < + (3.17) ( b ) 1 0 < E d (u d ) = I σ b (u d ) : ɛ(u d )dv < + (3.18) 2 Ω b Principe de réciprocité Considérons deux champs u d et u d satisfaisant les équations (3.13) et (3.14), alors, par intégration par parties de ces équations nous obtenons le principe de réciprocité suivant : {t s (u d ) u d t s(u d ) u d}ds = 0 (3.19) Σ sf et notons que ce résultat serait faux si nous avions utilisé les conjugués, les opérateurs associés étant symétriques mais non hermitiens. Cette propriété ajoutée au fait que le domaine est non borné, nous empêche d effectuer une décomposition spectrale de u d comme cela avait été fait pour la structure. La fait que le sol soit infini implique également que les mouvements de corps rigide ne sont pas d énergie finie sur Ω s. 3.4 Fondation rigide Dans un premier temps, nous considérons la structure séparée du sol par une fondation rigide Ω f dont le champ de déplacement u f se décompose sous la forme : u f (x, ω) = 6 c k (x)ψ k (x) (3.20) k=1 les ψ k (x) étant six modes de corps rigides indépendants, dans l ordre trois translations suivant trois axes orthogonaux et trois rotations autour de ces trois mêmes axes. L équilibre de cette fondation se résume à l équilibre des

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