Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

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1 Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

2 Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations (Weiss, Curie, 1907) : le champ local vu par chaque spin est la somme des valeurs moyennes (aimantations) des spins voisins. On définit Alors (modèle de spins indépendants)

3 On peut maintenant calculer la valeur moyenne du spin i : ce qui donne une équation implicite pour l'aimantation : Cas particulier : réseau hyper-cubique en dimension D NB : 1. analogie avec un modèle d'électeurs 2. autres manières d'introduire l'approximation de champ moyen?

4 Résolution de l'équation implicite sur l'aimantation : m 1 Pente à l'origine 0 ms(t) Solution : avec : NB : il y a aussi la solution m -m 2D β J m

5 f m ms(t) f +1 Tc -1 Pour m petit, on peut écrire : T 0 m

6 Exercice : montrer que γ = 1, δ = 3 (facile à partir des définitions) Valeur de α? Allure de la chaleur spécifique en dimension D = 3 CV Tc T Un peu subtil car la valeur moyenne de l'énergie est nulle à haute température (car m=0), donc la chaleur spécifique est nulle aussi. Pour T Tc, la chaleur spécifique tend vers J/2, donc il y a une discontinuité à Tc On considère donc que α = 0 en champ moyen

7 On va maintenant calculer les exposants ν et η associés à la fonction de corrélation spin-spin. Cela semble paradoxal car le champ moyen néglige les corrélations Pour mieux comprendre cela, il faut s'interroger sur la Validité du champ moyen : Premier point de vue : le champ moyen est exact lorsque la dimension D infini Comment s'en rendre compte? Il faut d'abord faire attention à ce que l'énergie et l'entropie soient du même ordre de grandeur lorsque la dimension D tends vers l'infini : (ordre N) (ordre N fois D = nombre de liens sur le réseau) Donc le couplage J doit être d'ordre 1/D

8 Couplage : Champ effectif en i : lorsque D infini Il n'y a plus de fluctuation et on peut remplacer chaque champ effectif par le champ moyen : Exercice : démontrer la première égalité (identité de Callen)

9 Donc les valeurs des exposants que nous avons calculées sont valides en dimension D infini Deuxième point de vue : le champ moyen est exact lorsque la dimension D 4 β 1/2? 4 Nous verrons plus tard pourquoi. D

10 Calcul des fonctions de corrélation en champ moyen : Point de départ : théorème fluctuation-dissipation qui relie la fonction de corrélation à la fonction de réponse Nous allons montrer que :

11

12 Pour calculer la fonction de réponse en champ moyen, on part de l'équation implicite sur les aimantations : où est la matrice d'adjacence sur le réseau. On obtient : On peut maintenant prendre tous les champs nuls, donc toutes les aimantations deviennent égales à m. En notation matricielle,

13 Donc G et ont les mêmes vecteurs propres et leurs valeurs propres sont reliées par Comment diagonalise-t-on?

14 est une matrice invariante par translation (matrice de Toeplitz) donc ses vecteurs propres sont les ondes planes sur le réseau : Ri a e2 e1 donc

15 Quelles valeurs peuvent prendre les vecteurs? L sites a L sites

16 On peut maintenant écrire l'expression de la fonction de corrélation : Que vaut cette corrélation dans la limite L infini d'abord, puis R = Ri -Rj >> a? On remplace la somme discrète par une intégrale : avec

17 On obtient : Nous allons examiner le comportement de l'intégrale pour R grand : On développe : terme isotrope

18 Dans la phase paramagnétique (m=0) : où : On trouve : se comporte comme (démonstration dans 4 minutes!)

19 On en déduit les valeurs des exposants critiques : Oui, mais les corrélations sont censées être nulles en champ moyen

20 Nous savons que l'approximation de champ moyen est exacte dans la limite de dimension D infini : réseau hyper-cubique de dimension D Mais : i j k

21 Vecteur de norme 1 Calcul de l'intégrale : On utilise : donc

22 Une formule très utile (à démontrer et à savoir par coeur) : Ici : Comment se comporte l'intégrale lorsque x infini (c'est-à-dire R>>ξ)?

23 La contribution dominante à l'intégrale vient du voisinage du minimum de f (méthode de Laplace)

24 où On trouve le résultat annoncé : NB : Il y a des corrections logarithmiques (proportionnelles à log x) Nous reviendrons sur ce calcul lors de l'étude du champ libre

25 Pourquoi le champ moyen est-il faux en dimension D plus petite que 4? Argument physique, heuristique dû à Ginzburg Le champ moyen néglige les fluctuations, voyons si cela est cohérent : Domaine ξ Aimantation moyenne :

26 Variance de l'aimantation : ~ 1 car u < ξ

27 Fluctuations relatives : Donc les fluctuations relatives sont négligeables proche de la température critique lorsque la dimension de l'espace est supérieure à 4 : l'hypothèse que les exposants ont les mêmes valeurs qu'en champ moyen est cohérente. En dimension inférieure à 4, l'hypothèse que les exposants ont les mêmes valeurs qu'en champ moyen est incohérente. On refait le calcul avec les «bons» exposants :

28 Fluctuations relatives : On s'attend à ce que ces fluctuations relatives soient d'ordre 1 proche de la température critique. On en déduit que : (en dimension D < 4) On peut montrer d'autres relations entre exposants en dimension inférieure à 4 (cf. TD). On trouve finalement que tous les exposants s'expriment en fonction de deux d'entre eux, par exemple :

29 Démontré précédemment! Ces relations sont vraies en dimension inférieure à 4. En dimension égale à 4, elles sont vérifiées par les exposants de champ moyen. Nous allons comprendre plus tard pourquoi il y a deux exposants indépendants!

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