E.P.I.T.A. Corrigé de l'épreuve de mathématiques (3 h)

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1 4 EPITA Corrigé de l'épreuve de mathématiques (3 h) ) Calculs de probabilités coditioelles a) La probabilité P AB HAB +L est la probabilité, sachat que A et B sot face à face, que A et B ratet leurs cibles, et par idépedace des résultats des tirs, c'est 3 ä 3 = b) La probabilité P AB HA +L est la probabilité, sachat que A et B sot face à face, que A réussisse so tir et que B rate le sie Par idépedace des résultats des tirs, c'est ä = De même, o s'assurera que P AB HB +L = Efi, la probabilité P AB H«+L est la probabilité, sachat que A et B sot face à face, que A et B réussisset leurs tirs, et par idépedace des résultats des tirs, c'est ä = 3 3 c) Comme HAB, A, B, «L forme u système complet d'évéemets, la formule des probabilités totales motre que la probabilité P HAB + L est égale à : P AB HAB +L P HAB L + P A HAB +L P HA L + P B HAB +L P HB L + P «HAB +L P H«L Comme P A HAB +L = P B HAB +L = P «HAB +L = 0, il reste doc : P HAB + L = P AB HAB +L P HAB L = P HAB L E raisoat de même, et e 'écrivat que les termes o uls, o obtiet : P HA + L = P AB HA +L P HAB L + P A HA +L P HA L = 4 P HAB L + P HA L P HB + L = P AB HB +L P HAB L + P B HB +L P HB L = P HAB L + P HB L P H«+ L = P AB H«+L P HAB L + P «H«+L P H«L = P HAB L + P H«L Ces relatios se traduiset matriciellemet comme suit : E + = E Et par récurrece facile, o a doc E = E 0 M = H, 0, 0, 0L M où M est stochastique 4 ) Diagoalisatio de la matrice M a) La matrice M état triagulaire, o lit sur sa diagoale ses valeurs propres :,,, b) Le sous-espace propre associé à est clairemet la droite VectHe L où e = H, 0, 0, 0L E effet, si v est le vecteur de composates x, x, x 3, x 4 das la base caoique de C 4, alors l'égalité M v = v équivaut à x = x 3 = x 4 = 0

2 ) Diagoalisatio de la matrice M a) EPITA La matrice 05, M math état (3h) triagulaire, o lit sur sa diagoale ses valeurs propres :,,, 5 b) Le sous-espace propre associé à est clairemet la droite VectHe L où e = H, 0, 0, 0L E effet, si v est le vecteur de composates x, x, x 3, x 4 das la base caoique de C 4, alors l'égalité M v = v équivaut à x = x 3 = x 4 = 0 Le sous-espace propre associé à est l'hyperpla d'équatio 7 x - 4 x - x 3 - x 4 = 0 E effet, si v est le vecteur de composates x, x, x 3, x 4 das la base caoique de C 4, alors l'égalité M v = v équivaut à 7 x - 4 x - x 3 - x 4 = 0 Il est de dimesio 3 e tat qu'hyperpla de R 4, et la somme des dimesios des sousespaces propres de M état égale à + 3 = 4, la matrice M est diagoalisable c) O cosidère 3 réels x, y, z et la matrice P défiie par : x y z P = Le premier vecteur-coloe de P est vecteur propre associé à Les vecteurs-coloes suivats e peuvet être associés à la valeur propre /, et ils sot associés à s'ils vérifiet 7 x - 4 x - x 3 - x 4 = 0 C'est le cas si x = 4, y =, z = d) La matrice P obteue est iversible puisqu'elle est triagulaire avec dethpl = 7 3 ¹ 0 E désigat par He, e, e 3, e 4 L la base caoique de C 4, o observe que : P e = e, P e = 4 e + 7 e, P e 3 = e + 7 e 3, P e 4 = e + 7 e 4 Il e résulte que : 7 e = P e - 4 P e, 7 e 3 = P e 3 - P e, 7 e 4 = P e 4 - P e Puis e multipliat par P - : P - e = e, 7 P - e = e - 4 e, 7 P - e 3 = e 3 - e, 7 P - e 4 = e 4 - e La matrice iverse de P e résulte aussitôt : P = et P - = Sas faire aucu calcul, o observe que P est la matrice de passage de la base caoique à ue base de vecteurs propres associés à,,, Aisi, P - M P est la matrice de l'edomorphisme caoiquemet associé à M das la base de vecteurs propres précédete, et c'est doc la matrice suivate : D = P - M P = ) Probabilités pour que A ou B remportet le combat a) Par défiitio de la covergece d'ue suite de matrices das 4 HC L, o a :

3 6 3 ) Probabilités pour que A ou B remportet le combat a) Par défiitio de la covergece d'ue suite de matrices das 4 HC L, o a : lim Ø + D = Et par cotiuité des opératios matricielles, o a : lim M = Ø + lim Ø + D P - = P K lim Ø + D O P = = b) Comme E = H, 0, 0, 0L M, o a lim E = H, 0, 0, 0L lim M = J0, 4 7, 7, 7 N Doc A et B remportet le combat avec les probabilités 4 et, tous deux état élimiés 7 7 avec la probabilité 7 4 ) Durée moyee du combat a) O a clairemet P HT = L = P HA B «L, et ces trois évéemets état deux à deux icompatibles, il viet P HT = L = P HA L + P HB L + P H«L = = 7 b) Pour tout etier aturel, o a AB AB AB = HT > L car : - si l'évéemet AB AB AB a lieu, le combat 'est pas fii à la ème épreuve - si le combat 'est pas fii à la ème épreuve, A et B sot ecore e présece à ce momet et l'évéemet AB AB AB est bie réalisé Il e résulte qu'o a : P HT > L = P HAB AB AB L = P HAB L P AB HAB L P AB AB - HAB L Il e résulte que P HT > L = J N et comme HT > - L = HT = L HT > L, o a : P HT = L = P HT > - L - P HT > L = O recoaît ue loi géométrique de paramètre / - - = 7 - c) U simple calcul faisat iterveir la série géométrique coduit à : + + P HT = L = 7 = 7 - ê = = = De même, u calcul calcul faisat iterveir la série-dérivée de la série géométrique doe : E HTL = P HT = L = 7 = = - = 7 H - ê L = 7

4 b) Pour tout x e C, o a compte teu de la positivité des coefficiets m i j de M : EPITA 05, math (3h) 7 Partie II 5 ) Premiers résultats de covergece a) Cosidéros deux matrices A, B e et motros que C = AB e : les coefficiets c i j = k= a i k b k j sot positifs puisque les a i k et b k j le sot les sommes des liges de C = AB valet puisqu'o a pour i : k= c i j = a i k b k j = a i k b k j = a i k b k j = a i k = k= Il e résulte aussitôt que les puissaces d'ue matrice stochastique sot stochastiques b) Si HM k L est ue suite de matrices stochastiques covergeat vers M, o sait que les coefficiets m HkL i j de M k coverget vers les coefficiets m i j de M, et doc : les coefficiets m i j = lim k Ø + m HkL HkL i j sot positifs puisque les m i j le sot les sommes des liges de M valet puisque les liges des M k valet : " i e P, T, m i + m i + + m i = lim Im HkL i + m HkL i + + m HkL i M = k Ø + c) Si la suite IM k M coverge vers L, la suite IM k M coverge aussi vers L e tat que suite extraite de IM k M, et elle coverge vers L e remarquat que M k = M k ä M k Par uicité de la limite, o a L = L et L est ue matrice de projectio 5d) Il s'agit doc d'établir que la suite k ö C k coverge vers L = lim M k, autremet dit que la suite réelle C k - L coverge vers 0 A cet effet, remarquos d'abord que : C k - L = + IM k - LM k=0 Par ailleurs, comme L = lim M k, o a par défiitio : k= + k=0 k= ±M k - Lµ H" ε > 0L, H$ N e N L, H" e N L : N ï ±M k - Lµ ε Pour N, o a doc : C k - L + ±M k - Lµ = + ±M k - Lµ + + ±M k - Lµ k=0 k=0 k=n La première somme N- k=0 ±M k - Lµ est ue costate C La secode somme compte mois de + termes, tous iférieurs à ε O e déduit que : C k - L C + + ε Le premier terme ted vers 0 et est aussi iférieur à ε pour C - ε N- Aisi doc, o a C k - L ε pour maxjn, C ε - N Comme ε > 0 est arbitraire, cela sigifie par défiitio que lim C k = L 6 ) L'espace C est somme directe de KerHM - I L et de ImHM - I L a) Si M est stochastique, o a M v = v car la somme des liges de M vaut

5 8 6 ) L'espace C est somme directe de KerHM - I L et de ImHM - I L a) Si M est stochastique, o a M v = v car la somme des liges de M vaut b) Pour tout x e C, o a compte teu de la positivité des coefficiets m i j de M : " i e P, T, m i j x j m i j x j m i j x = x Cette majoratio état valable pour tout i, o e déduit que M x x E particulier, si l est ue valeur propre de M et x u vecteur propre associé (doc o ul), o a M x = l x = l x x, d'où l O e déduit que DetHM L puisque DetHM L est le produit des valeurs propres de M, et o a par iégalité triagulaire TrHM L puisque TrHM L est leur somme Ajoutos que la matrice I est stochastique et réalise les égalités ci-dessus c) Si y = M x - x e ImHM - I L KerHM - I L, o a M y = y, et e composat par M : y = M x -x, y = M x - M x,, y = M k- x - M k- x, y = M k x - M k- x Par additio, o obtiet k y = M k x - x, et puisque M k e (qui est stable par produit) : y = k ±M k x - xµ k I±M k xµ + x M x k d) E faisat tedre k vers +, o e déduit y = 0 O a doc ImHM - I L KerHM - I L = 80< Aisi, la somme ImHM - I L Å KerHM - I L est directe, et comme le théorème du rag motre que sa dimesio est, o a établi que ImHM - I L Å KerHM - I L = C 7 ) Etude de la covergece de la suite k ö C k a) Pour tout x e C, posos x = x + x où x e KerHM - I L et x e ImHM - I L O a doc M x = x et il existe z e C tel que x = M z -z, ce qui doe : C k x = k k + M j x = x + k k + IM j+ z - M j zm = x + k + IM k+ z - zm j=0 j=0 Compte teu de M k e (qui est stable par produit) et de la questio 6, o e déduit : C k x - x = k + ±M k+ z - zµ k + I±M k+ zµ + z M z k + Comme x = Px, o obtiet e faisat tedre k vers + : lim C k x = Px b) Quitte à appliquer ceci aux vecteurs e,, e, o observe que C k e j, qui 'est autre que la j ème coloe de C k, coverge vers Pe j, qui 'est autre que la j ème coloe de P Aisi, chaque élémet de C k a pour limite l'élémet correspodat de P, ce qui sigifie que la suite HC k L coverge vers P au ses de (ou de toute autre orme, qui est équivalete puisque l'espace vectoriel HC L est de dimesio fiie) c) Si la suite IM k M coverge vers L, o a démotré que HC k L coverge aussi vers L, et comme o viet de voir que HC k L coverge vers P, ceci implique que si IM k M coverge, c'est vers la matrice de projectio P sur KerHM - I L das la directio ImHM - I L

6 EPITA 05, math (3h) c) Si la suite IM k M coverge vers L, o a démotré que HC k L coverge aussi vers L, et comme o viet de voir que HC k L coverge vers P, ceci implique que si IM k M coverge, c'est vers la matrice de projectio P sur KerHM - I L das la directio ImHM - I L 8 ) Etude de la covergece de la suite k ö M k a) Si l ¹ est valeur propre de M et si x est vecteur propre associé, o a M x = l x x Doc HM - I L x = Hl - L x, d'où x = HM - I L e ImHM - I L l- Il e résulte que KerHM - l I L Õ ImHM - I L pour l valeur propre de M disticte de b) Par coséquet, la somme directe des sous-espaces propres associés aux valeurs propres l ¹ est bie icluse das ImHM - I L Et comme M est diagoalisable, la somme directe des sous-espaces propres de M est C : KerHM - I L Å KerHM - l I L Å Å KerHM - l p I M = C p O e déduit que i= dimhkerhm - l i I L = - dimhkerhm - I LL = dimhimhm - I LL Et comme la somme directe des sous-espaces propres associées aux valeurs propres autres que est icluse das ImHM - I L, cette égalité des dimesios doe le résultat voulu : KerHM - l I L Å Å KerHM - l p I M = ImHM - I L c) Comme M diagoalisable, tout vecteur x peut s'écrire x = x + x + + x p où chaque x i appartiet au sous-espace propre KerHM - l i I L et vérifie doc M x i = l i x i Notos que x état la projectio sur KerHM - I L das la directio de la somme des autres sous-espaces propres dot o a vu qu'elle est égale à ImHM - I L, c'est la projectio sur KerHM - I L das la directio ImHM - I L, de sorte qu'o a bie x = P x Par ailleurs, comme o a M x i = l i x i pour i p avec l =, il est clair que : " k e N, M k x = x + l k x + + l p k x k O e déduit que M k x - Px = M k x - x = l k x + + l p k x k Par iégalité triagulaire, o a alors : ±M k x - Pxµ l k x + + l p k x k Les valeurs propres l,, l p autres que état ici de module strictemet iférieur à, cette expressio ted bie vers 0 quad k ted vers +, ce qui implique lim M k x = P x Quitte à appliquer ceci aux vecteurs e,, e, o observe que M k e j, qui 'est autre que la j ème coloe de M k, coverge vers Pe j, qui 'est autre que la j ème coloe de P Aisi, chaque élémet de M k a pour limite l'élémet correspodat de P, ce qui sigifie que la suite IM k M coverge vers P au ses de (ou de toute autre orme) d) Comme la suite k ö M k coverge dès lors que M est diagoalisable et que est sa seule valeur propre de module, cosidéros la matrice suivate dot les valeurs propres sot ± : M = 0 0 Cette matrice M est clairemet stochastique, et o voit que M = I, doc M 3 = M, etc O a aisi M k = I et M k+ = M pour tout etier aturel k Et comme M ¹ I, il est clair que la suite IM k M est alors divergete