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1 Bblography [1] L. D. Landau, Phys. Z. Sowejetunon 11, 6, (1937) ; reprnted n Colleted Papers of L. D. Landau, ed.d. Ter Haar (Pergamon Press, New York, 1965) [] V. L. Gnzburg and L. D.Landau, Zh. Eksp. Teor. Fz. 0, 1064, (1950) [3] R. Thom, Strutural Stablty and Morphogeness, (1975), (Benjamn, New york) [4] E. P. Wgner, Phys. Rev., 46, 100, ( 1934) [5] R. A. Coldwell-Horsfall and A. A. Maradudn, J. Math. Phys., 1, 395, (1960) [6] R. G. Palmer and P. W. Anderson, Phys. Rev. D 9, 381, (1974) [7] P. W. Anderson, Letures on the many body problem, edted by E. R. Caanello, (1964), (Aadem press, New York) [8] P. W. Anderson, Rev. Mod. Phys., 38, 9, (1966) [9] B. D. Josephson, Nobel Leture, Rev. Mod. Phys., 46, 50, (1974) [10] P. C. Hohenberg and P. C. Martn, Ann. Phys. 4, 91, (1965) [11] N. F. Mott, Metal-Insulator Transtons, (1974), (Taylor and Frans, London) [1] D. B. MWhan, P.M.Remeka, T. M. Re, W.F. Brnkmann, J. P. Mata and A. Menth, Phys. Rev. Letters, 7,941, (1971) [13] P. C. Hohenberg and B. I. Halpern, Rev. Mod. Phys. 49, 435, (1977) [14] J. Goldstone, Nuovo Cmento, 19, 1,(1961) [15] J. Goldstone, A. Salam and S. Wenberg, Phys. Rev. D 17, 965, (196) 97

2 Chapter 3 APPROXIMATIONS DE CHAMP MOYEN. 3.1 MÉTHODES VARIATIONNELLES. La plupart des transtons ne peuvent se dérre que dans la adre de théores approhées. Très souvent, l s agt d une varante de la méthode du hamp moléulare. On peut développer une formulaton de ette méthode qu met en lumère son aratère varatonnel. La méthode varatonnelle est une méthode d approxmaton ben onnue en méanque quantque ; elle est fondée sur la proprété suvante: pour toute fonton d onde d essa, la valeur moyenne de l hamltonen : E = < H > (3.1) est toujours supéreure ou égale à l énerge du fondamental exate E0. La melleure estmaton varatonnelle de E0 sera don obtenue à partr de la fonton d onde > qu mnmse E. Il exste un équvalent de ette méthode varatonnelle en méanque statstque Les théorèmes varatonnels S un système est en équlbre thermodynamque, la valeur moyenne d une grandeur physque, représentée par un opérateur A est donnée par : <A> = Tr A (3.) où est l opérateur densté tel que Tr =1. On s ntéresse aux systèmes en équlbre ave un thermostat. L expresson de s obtent en mnmsant l énerge lbre (vor Rappels ) : 99

3 100 On en dédut : F = T r H + T r Ln (3.3) F = 1 exp LnT r H (3.4) Premère méthode varatonnelle Comme on ne sat pas aluler exatement la fonton de partton Z = Trexp H (3.5) on se ontente d une expresson approhée Fv de l énerge lbre obtenue à partr d un opérateur densté approxmatf : F = T r H + T r Ln v (3.6) est l opérateur densté exat et 0 un opérateur densté approhé, dans l ensemble anonque, dérvant un système en ontat ave un thermostat à la température T, de façon que l énerge sot xée en moyenne : <H> = E (3.7) et 0 dovent tous les deux vér er deux ontrantes. La premère est une ontrante de normalsaton Tr = Tr = 1 0 (3.8) L autre ontrante exprme que la valeur moyenne de l énerge est E Tr H = Tr H = E 0 (3.9) Érvons mantenant le prnpe d entrope maxmum ou seond prnpe de la thermodynamque : quel que sot, 0 Comme T r Ln 0 0 T r Ln est l opérateur densté exat, dans l ensemble anonque: (3.10) L équaton (3.10) s ért : = 1 exp H Z (3.11) T r Ln T r [ LnZ + H] 0 0 (3.1)

4 101 En utlsant les équatons (3.8) et (3.9), on peut érre d où : T r [ LnZ + H] = T r [ LnZ + H] 0 T r Ln T r [ LnZ + H] = LnZ + T r H (3.13) L négalté peut se réérre: v Sot : F = LnZ T r Ln + T r H v F F a = exp H Trexp H où F est l énerge lbre exate et Fv est l énerge lbre varatonnelle, dé ne par F = T r Ln + T r H (3.15) L énerge lbre approxmatve est toujours plus grande que l énerge lbre exate. La melleure énerge lbre approxmatve sera elle qu mnmse F ( ) par rapport aux varatons des paramètres de. 0 0 Deuxème méthode varatonnelle Au leu de rasonner sur un opérateur densté approhé 0, l est parfos plus ommode de rasonner sur un hamltonen approhé Ha qu permet de dé nr un opérateur densté. Ce as est, ben sûr, dfférent du as préédent. En effet, on onnaît de façon exate l hamltonen H (alors qu on ne onnassat pas exatement ). Par ontre, évdemment, on ne sat pas le résoudre. C est pourquo nous allons utlser un hamltonen approhé, qu lu sera exatement soluble. À et hamltonen approhé, orrespond un opérateur densté, dé nt par: : On dé nt F a a a v a (3.14) (3.16), l énerge lbre orrespondant à et hamltonen approhé F k T LnZ a B a F = LnT r exp H a = a (3.17) (3.18) Dans e as, on peut érre :

5 10 T r Ln = LnZ + T r H a a a a a Notre énerge lbre varatonnelle ne sera pas F, mas F dé ne par : a v (3.19) ou de façon équvalente : F = F + Tr ( H H ) v a a a (3.0) Fv = Fa + < H H a > a (3.1) où <A> a= Tr A a est dé n omme la valeur moyenne de l opérateur A alulée à partr de l hamltonen approhé Ha et, don, de l opérateur densté orrespondant a. En effet e hox de Fv permet de onserver la proprété varatonnelle Fv F. Ce peut se démontrer en utlsant la proprété vér ée par tout opérateur hermtque X : < exp X > exp < X > (3.) Pour la démontrer, on peut partr de la dé nton de l exponentelle d un opérateur : exp [ ] = 1 + [ ] + [ X < X > X < X > X < X > ] + (3.3) On en dédut, en prenant la valeur moyenne des deux membres, dé ne à partr de tout opérateur densté: < exp [ X < X > ] > < 1 + [ X < X > ] > (3.4) Cette négalté est vrae quelle que sot l opérateur densté utlsé pour aluler les valeurs moyennes. L négalté est vér ée pour tout salare réel X, mas auss, à ondton de prendre la valeur moyenne des deux membres, pour tout opérateur hermtque X. Don, en érvant ette négalté pour l opérateur X = ( H Ha) et en dé nssant les valeurs moyennes à l ade de l opérateur densté, a on obtent Tr[ exp ( H H )] exp[ Tr ( H Ha)] a a a et en supposant, pour smpl er, que H et H ommutent : exp Ln Tr H Trexp H a Tr ( H Ha) a a (3.5) (3.6)

6 103 d où la proprété varatonnelle annonée : F F = F + Tr ( H Ha) v a a (3.7) 3.1. Méthode de Bragg et Wllams - Champ moléulare Ce sont es onsdératons générales qu forment la base des méthodes du hamp moléulare et de Bragg et Wllams[?], que nous allons dsuter mantenant. Hstorquement, e sont les premères méthodes qu ont perms de rendre ompte des transtons du deuxème ordre. Nous allons montrer que e sont deux aspets de la théore générale préédente. Langevn avat donné une théore élémentare du paramagnétsme et avat déouvert qu en présene d un hamp magnétque H suffsamment pett, l amantaton M de moments magnétques ndépendants état donnée par une expresson de la forme M( T ) = CH/T où C est la onstante de Cure et T la température. Pour rendre ompte du ferromagnétsme, l fallat ntrodure l effet des nteratons entre amants atomques, néglgées dans la théore de Langevn. P. Wess[?] supposa qu l état possble, en premère approxmaton, d en tenr ompte en ajoutant au hamp H applqué le hamp Hm (hamp moléulare) réé par les vosns. Ce donne : m = ( + ) M C H H T En outre, l postula que e hamp moléulare état de la forme (3.8) H m = KM Cette hypothèse devat rendre ompte de la nature oopératve de l ordre. Il obtnt alors : KC CH M 1 = T T (3.9) est-à-dre : CH M = T T (3.30) où T = KC est la température d apparton d une amantaton spontanée, est-à-dre une valeur ne de M quand H 0. Voyons e plus présément.

7 104 On onsdère une assemblée de spn d Isng (pour smpl er) sur un réseau de Bravas. Nous érrons, après un hangement de varables : H = J <,j> L nteraton est supposée ferromagnétque ( J > 0). Les sont des varables salares de nes en haque ste du réseau et qu peuvent prendre les valeurs 1. La sommaton est lmtée aux pares <,j > de stes premers vosns. j Premère méthode : Bragg et Wllams Nous allons applquer la méthode varatonnelle où la quantté varatonnelle est l opérateur densté. Nous onsdérons don un opérateur densté approhé. Les états propres de haque spn appartennent à un espae vetorel de dmenson,e. Les états du système de N spns ( 1,,,,, N) N appartennent à l espae produt tensorel, E, de dmenson. E = E1 E E EN (3.31) L opérateur densté approhé 0 est prs égal au produt tensorel des opérateurs denstés relatfs à un seul spn 0, haque 0 étant dé n dans le sous-espae E. 1 N 0 = (3.3) C est une approxmaton qu onsste à déoupler les dfférents spns. (Dans la sute, tous les stes seront équvalents ). Chaque opérateur densté partel, relatf à un seul spn est soums aux deux ontrantes: 0 0 Tr =1 et Tr = m Chaque 0 est don une matre, dagonale dans la base des états propres du spn 1+ m 0 0 = (3.34) 1 m 0 m est le paramètre d ordre aratérsant 0. L énerge lbre varatonnelle s ért : 1 = N F m m m m Ln Ln Jzm (3.33) (3.35)

8 105 Fgure 3.1: Dsusson graphque de la resoluton de l equaton de selfonsstene de la methode de Bragg et Wllams : l faut reherher les ntersetons du graphe de la fonton f(m) = (1/)Ln((1+m)/(1-m)) ave la drote de pente zj où z est le nombre des stes vosns d un ste donné. En érvant F/ m =0 on obtent : = 1 1+ m Jzm Ln (3.36) 1 m On peut dsuter graphquement l exstene des solutons ( gure 3.1) : Il faut reherher les ntersetons de la ourbe = ( ) = 1 1+ m y f m Ln 1 m ave la drote y = Jzm

9 106 Le omportement à l orgne de f ( m) est donné par: ( ) = 1 1+ m f m Ln 1 m m. La nature des solutons dépend de la pente de la drote. S Jz < 1, la seule soluton est m = 0. S Jz > 1, l y a tros solutons possbles m = 0 et m = m0 La transton entre les deux régmes s effetue quand la pente de la drote vaut 1, est-à-dre pour Jz = 1 Ce dé nt la température de transton : T = La dsusson de la stablté de es dverses solutons permet de dédure la ourbe donnant les varatons de m en fonton de la température ( gure (3.). S on veut étuder le vosnage de m =0, on peut développer l énerge lbre autour de e pont : F est une fonton pare de m. Le développement s ért 4 F = Ln+(1 zj) m + m + (3.38) 1 En posant Jz = kbt, on observe les dfférents omportements de F pour T>T et T<T. On en dédut auss le omportement de m, à partr de la ondton de mnmsaton de l énerge lbre F/ m = 0 : Jz k B (3.37) T T T Les solutons orrespondantes sont : 3 m + m =0 3 (3.39) T T m =0 et m0 =3 (3.40) T La soluton stable orrespond à un omportement parabolque. On peut auss ntrodure un hamp magnétque h. Il faut alors mnmser le potentel thermodynamque F mh : F B 3 = = B( ) + m h k T T m k T m (3.41) 3 Don, s on dé nt la suseptblté : m = h T (3.4)

10 107 Fgure 3.: Allure des varatons du parametre d ordre ave la temperature dans l approxmaton de Bragg-Wllams.

11 108 Fgure 3.3: Developpement de l energe lbre au vosnage de m=0 dans l approxmaton de Bragg-Wllams.

12 CHAPTER on obtent, en dérvant par rapport à h m 0 kb( T T) + kbtm = 1 (3.43) S T>T, on est dans la phase désordonnée, appelée paramagnétque : =0 1 = (3.44) k ( T T ) S T<T, on est dans la phase ordonnée, appelée ferromagnétque : m0 =0 1 = (3.45) kb( T T) T T Dans les deux as, dverge quand T T, omme : T ave =1 On peut aluler la haleur spé que à hamp h onstant : Ch = T S = T S m (3.46) T m T Dans la phase paramagnétque : m 0, don Ch = 0. Dans la phase ferromagnétque : m =0 On prévot don une dsontnuté de la haleur spé que à la transton ( gure (3.4)). On retrouve les résultats prévus par la théore d Ehrenfest. C, qu est une dérvée seonde du potentel thermodynamque G = F mh, dans le as présent est dsontnue, mas ne dverge pas à la transton. On notera la ontnuté de l entrope S, e qu mplque qu l n y a pas de haleur latente. Tous es résultats se retrouvent falement par la deuxème méthode varatonnelle B 0 h B Deuxème méthode : Champ moyen C 0 0 N = = 1 k T dm dt Dans le paragraphe préédent, est la proprété de déouplage : qu a perms d effetuer très smplement les aluls. Cette fos-, on suppose que : (3.47) 0 = 1 exp + h Z 0 (3.48)

13 110 Fgure 3.4: Allure des varatons ave la temperature de la haleur spe que dans l approxmaton de Bragg-Wlams. I, l n a pas ete tenu ompte de la ontrbuton de la haleur spe que de la phase desordonnee.

14 111 est-à-dre que le système est dért par un hamltonen approhé Ha, don par l opérateur densté : ave a = 1 exp H Z a H = h a Z = exp h+ exp h = osh h a Le paramètre varatonnel est le hamp moyen h. Il s agt enore d une méthode qu déouple les spns et par onséquent néglge toute orrélaton, pusque l hamltonen à N orps est approhé par une somme d hamltonen à un spn. Il y a don, omme dans la méthode préédente une fatorsaton de la fonton de partton à N spns. C est ben ette proprété de déouplage qu rend les méthodes équvalentes. La fonton de partton du ste orrespondant à et hamltonen approhé s ért : d où l énerge lbre approhée par spn: Fa = 1 Ln ( osh h) (3.5) N et pour l énerge lbre varatonnelle par spn: 1 v = 1 1 ( osh ) + N F Ln h zjm hm (3.53) Le premer terme orrespond à Fa ; les deux suvants orrespondent à <H H a > a, en gardant les notatons du paragraphe préédent. On a posé : a (3.49) (3.50) (3.51) m = < > = 1 Tr exp h Z = tanh h a (3.54) (3.55) On dot mnmser, ette fos-, F par rapport à h. Il vent : tanh h zjm m + m+ h m = 0 h h v (3.56) D où l équaton de self onsstene que dot vér er le hamp moyen : h = zj tanh h ave (3.57) m = tanh h

15 11 S on ért ette équaton en fonton de m, on retrouve la même ondton que dans la méthode de Bragg-Wllams du paragraphe préédent: zjm = arg tanh m (3.58) Remarquons qu on peut trater de façon élémentare le problème préédent, en dsant que H se omporte omme : H = h (3.59) ave et on fat l approxmaton : h h = J jv() = J jv() qu dot être ndépendant de j, d où : j (3.60) (3.61) h = zj < > (3.6) Mas nous savons qu en présene d un hamp extéreur effetf h, des spns ndépendants soums à e hamp effetf aquèrent un moment moyen : Par onséquent : < > = tanh h (3.63) < > = tanh[ zj< > ] (3.64) On dot résoudre une équaton dte de self-onsstene : on a remplaé le problème de spns en nteratons par un problème de spns ndépendants plaés dans le hamp moyen des autres spns. Ce hamp moyen, qu détermne l amantaton moyenne, est lu-auss xé par ette amantaton moyenne. D où un problème de ohérene nterne à résoudre. Cette méthode de hamp moyen self-onsstent est omplètement équvalente à la méthode varatonnelle. Il est toujours mportant, quand on utlse une méthode d approxmaton varatonnelle, de omprendre le sens physque de l approxmaton utlsée, notamment pour en détermner la lmte de valdté. Or e sens physque n est pas toujours transparent. Dans le as présent, l approxmaton varatonnelle résulte du hox de l opérateur densté d essa ou de l hamltonen

16 113 d essa. Dans l un et l autre as (Bragg-Wllams et hamp moyen), e hox revent à déoupler les varables de spn en les tratant omme ndépendantes, pusque on fatorse les opérateurs densté des dfférents spns (Bragg-wllams) ou qu on remplae un hamltonen de spns ouplés par une somme d hamltonens à un spn (hamp moyen). Il exste une autre façon, évdemment équvalente, de aratérser ette approxmaton : le hamp moyen est une approxmaton de plus bas ordre en utuatons, est à dre en éart à la valeur moyenne. En effet, développons l hamltonen en pussanes de termes utuatfs en érvant : = < > +( < > ) (3.65) où le terme entre parenthèse dért l éart à la valeur moyenne, supposé pett en valeur relatve. L hamltonen s ért : H= J [ < > + ( < > )] [ < > + ( < > )] (3.66) <,j> S on fat un développement de plus bas ordre en utuatons: H J < + J < >< > + O ( < > ) j= v( ) j j j j> <,j> (3.67) où la sommaton sur j porte sur les z stes j = v( ) premers vosns du ste et la sommaton sur <,j > porte sur les pares de stes premers vosns. À une onstante près : H h (3.68) ave h = J < j= v( ) j j> (3.69) On vot alors que la méthode varatonnelle de hamp moyen est également une méthode de lnéarsaton de l hamltonen, qu onsste à néglger les termes quadratques en utuatons. Dérre les spns omme des varables ndépendantes est équvalent à trater au plus bas ordre les utuatons par rapport à la moyenne. Ben entendu, la lnéarsaton de l hamltonen, qu résulte du fat qu on néglge les termes quadratques en utuatons, aboutt à un problème de self-onsstene. En effet l hamltonen lnéarsé dépend de la valeur moyenne de l amantaton < >, qu elle-même dot dépendre de l hamltonen approhé. Il faut que ette nterdépendane préserve la ohérene nterne de la théore.

17 114 Comme et que < > = tanh h (3.70) h = zj < > on aboutt ben à l équaton de self onsstene du ham moyen : (3.71) < > = tanh[ zj< > ] (3.7) 3. THÉORIE THERMODYNAMIQUE DE LANDAU Prnpes généraux Au haptre préédent, nous avons dégagé les prnpes du modèle de Landau des transtons de phase[?]. Il s agt, tout d abord, de transtons de phase du seond ordre, dans lesquelles une symétre est spontanément brsée. On adopte la démarhe suvante: 1) par une analyse des proprétés de symétre de la phase haute température on reherhe des paramètres d ordre possbles, varables extensves, nulles par symétre dans la phase haute température, mas qu devennent néessares pour dérre la phase basse température et la brsure spontanée de symétre. ) à partr des nvarants rrédutbles de la phase de haute température, on onstrut une fontonnelle de l énerge lbre[?], qu est nvarante dans les opératons de symétre de ette phase : le paramètre d ordre m() r est a pror une fonton de l espae. La donnée de ette fonton permet de dérre une on guraton donnée. La fontonnelle établt la orrespondane entre ette on guraton et l énerge lbre qu dot lu être assoée 3) on établt un développement de ette fontonnelle en pussanes de m pour m suffsamment pett, en supposant qu elle est analytque. 4) on alule la fonton de partton en prenant la trae de exp F [ m( r)], est-à-dre en alulant une ntégrale fontonnelle. Ben entendu, ette ntégrale fontonnelle est, en général, mpossble à aluler de façon exate et néesste don la mse en uvre d approxmatons plus ou mons sophstquées. Ce qu on appelle approxmaton de Landau, que nous avons tenu à dstnguer du modèle de Landau des transtons de phase, est présément une façon approhée de aluler ette

18 115 ntégrale fontonnelle. Il s agt, enore une fos, d une approxmaton de type hamp moyen, qu onsste à néglger les utuatons par rapport à la moyenne. On peut la présenter omme une approxmaton du ol dans le alul de la fonton de partton. 3.. Approxmaton du ol La fonton de partton dans l ensemble anonque s ért: Z = Trexp H qu l est ommode de réérre Z = exp E( C) { C} (3.73) Dans ette somme sur toute les on guratons C, on regroupe ensemble toute elles qu ont même énerge E Z = W ( C) exp E { CE} (3.74) où la nouvelle somme ne porte mantenant que sur les on guratons d énerge dstnte, ar on a regroupé ensemble toute les on guratons de même énerge, qu ont même pods statstque. W( E) est le nombre de on guratons mrosopques du système d énerge E. Ce nombre est relé à l entrope mroanonque du système : D où Z = exp [ E TS( E)] { CE} On ért E TS = F à l ade de la fontonnelle du paramètre d ordre mr () donnant la densté d énerge lbre orrespondant à la valeur de la fonton mr (). Les on guratons CE ( ) sont supposées entèrement détermnées par la donnée des fontons mr (). On ért alors d Z = Dm( r) exp F [ m( r)] d r (3.77) SE W( E) = exp ( ) k B (3.75) (3.76)

19 116 Cas d une transton du deuxème ordre. Dans l approxmaton de Bragg et Wllams, l énerge lbre d un système magnétque dért par le hamltonen d Hesenberg est une fonton analytque de la température T et de l amantaton m. Au vosnage de la température de transton T, m est pette et l sufft de onsdérer les premers termes du développement en pussanes de m : ( ) ( 0)+ 1 ( ) + b F T,m F T, a T T m m 4 4 (3.78) où 3 F B = = 4 k a m T m=0 T= T N 4 B = 1 F = 16 k T b 6 m 3N 3 N 4 m=0 T= T N mest omprs entre et + et T =. 4kB Ce dé nt, dans e as partuler très smple, e qu on appelle, de façon générale, pour une transton du seond ordre donnée aratérsée par un paramètre d ordre m, la fontonnelle de Landau de l énerge lbre F( T,m), analytque par rapport à m et à T au vosnage du pont de transton. La valeur du paramètre d ordre à l équlbre m0 est détermnée par la mnmsaton de F( T,m). Pus on fat l approxmaton que la fonton de partton du système à l équlbre, qu devrat s érre omme une ntégrale fontonnelle sur m() r, se rédut smplement à : d Z = Dm( r) exp F [ m( r)] d r = exp F ( m ) où m0 est la valeur du paramètre d ordre à l équlbre. Il s agt don d une approxmaton du ol qu néglge omplètement les utuatons par rapport à la valeur d équlbre m0. Cette approxmaton ekonnale est analogue à l approxmaton de l optque géométrque, où on ne onsdère que le rayon lumneux qu mnmse le hemn optque, ou à l approxmaton de la Méanque Classque, qu ne onsdère que la trajetore lassque, qu mnmse l aton. On onçot que ette approxmaton devenne de plus en plus mauvase à mesure que l on s approhe de la température rtque. En effet, le mnmum de F( m0) devent de mons en mons marqué et les utuatons de plus en plus mportantes. Il est équvalent de dre que l approxmaton onsste à onfondre l énerge lbre du système physque à l équlbre F ave la valeur de la fontonnelle F( m ), alulée pour la valeur de m( r) qu mnmse la fontonnelle. 0 zj 0 (3.79) (3.80)

20 117 Fgure 3.5: Allure de la fontonnelle de landau dans le as d une transton du seond ordre. Dans e paragraphe où nous dsutons le as d une transton du seond ordre, nous supposerons que le développement de l énerge lbre ne ontent que des termes de pussanes pares du paramètre d ordre et que le terme d ordre 4 est postf. Dans es ondtons, on peut érre, omme dans le as partuler préédent : 4 ( ) ( 0)+ 1 ( ) + 4 F T,m F T, a T T m b m Le sgne de a détermne le domane de stablté de la phase ordonnée. S a> 0, la phase ordonnée est stable pour T <T. En outre, la stablté de l équlbre exge que b sot postf. La valeur de m qu mnmse l énerge lbre est so- Paramètre d ordre. luton de l équaton : a( T T ) m + bm = 0, ave b > 0 3

21 118 S T>T, la seule soluton est m=0. Le paramètre d ordre est nul. Nous sommes dans la phase désordonnée. S T<T, l y a 3 solutons : m =0 m = = m at ( T) b La soluton m = 0est à rejeter, ar elle orrespond à un équlbre nstable. La soluton stable orrespond à une valeur non nulle du paramètre d ordre. Nous sommes dans la phase ordonnée (vor gure (3.5)). Ce onsttue le premer résultat de la théore de Landau : au vosnage 1/ de la température de transton T, le paramètre d ordre vare en ( T T). Au vosnage de T, l énerge lbre est nvarante quand on hange m en m, d où les deux solutons équvalentes m0. En réalté es deux états sont dentques. Le système peut être déomposé en sous-systèmes pour haun desquels m a un sgne dé n. Un tel sous-système onsttue un domane. 0 On peut aluler la haleur spé que par dérva- Chaleur spé que. ton de l énerge lbre : où l entrope S est donnée par : C = F F ( T, 0) 1 S = = am T T Dans la phase désordonnée m = 0et au vosnage de T, la haleur spé que s ért : F( T, 0) C = T (3.83) T T= T Dans la phase ordonnée, l faut tenr ompte du terme en m dans l entrope, et au vosnage de T, la haleur spé que est donnée par : F( T, 0) at C = T + (3.84) T b T S T T= T A la température de transton T, la haleur spé que est dsontnue. at C( T ) C( T+ ) = > 0 b (3.81) (3.8) (3.85)

22 119 Suseptblté relatve au paramètre d ordre. Sot h le paramètre ntensf onjugué de m. Pour aluler la suseptblté sotherme : m T = (3.86) h Il faut onnaître la fonton m = m( T,h). On rasonne sur le potentel thermodynamque T G = F( T,m) hm Par mnmsaton de G, on obtent : (3.87) a( T T ) m + bm h = 0 dont la soluton est mt,h ( ). En dérvant par rapport à h, on obtent : 3 (3.88) T T a( T T ) +3bm 1 = 0 Dans la phase désordonnée, m =0et au vosnage de T : T 1 = a( T T ) (3.89) (3.90) Dans la phase ordonnée, m n est pas nul. Au vosnage de T et dans la lmte où h 0 : 1 T = (3.91) a( T T) 1 Don au vosnage de T, la suseptblté se omporte omme T T. On retrouve la lo de Cure-Wess. À T = T, la suseptblté sotherme n est pas dé ne et, en revenant à l équaton de mnmsaton, on trouve que pour T = T, m se omporte 1/ 3 omme h. En réalté, à part ertans as omme elu des supraonduteurs usuels, l expérene ne on rme pas, en général, la valeur de es exposants rtques. Cas d une transton du premer ordre. En prnpe, la méthode de Landau ne s applque qu aux transtons du seond ordre, au vosnage du pont rtque. Est-l possble de l étendre au as de ertanes transtons de phase du premer ordre? La premère ondton à remplr est, évdemment, qu l s agsse d une transton de phase à la Landau, est à dre montrant une brsure spontanée de symétre.

23 10 La deuxème ondton est d applquer ette méthode dans la régon où le paramètre d ordre reste suffsamment pett, pour que le développement de l énerge lbre en pussanes du paramètre d ordre reste valable, e qu est toujours possble s la transton est du seond ordre, mas ne l est en général pas s la transton de phase est du premer ordre. En réalté, l est souvent possble de l étendre au as des transtons très fablement du premer ordre, est à dre où la dsontnuté du paramètre d ordre reste très fable. En fat, nous supposerons que le omportement qualtatf reste valable, même quand la dsontnuté du paramètre d ordre est plus mportante, e qu est souvent vér é pour les proprétés très générales que nous dérvons. Ben entendu, les résultats quanttatfs ne dovent pas être prs au ped de la lettre. Nous dsuterons dans e paragraphe le as d une transton du premer ordre ndute par un terme d ordre 3 dans le développement de l énerge lbre. On obtent des résultats analogues dans le as où le premer ordre est ndut par un terme d ordre 4 négatf. Le développement de l énerge lbre s ért : 3 4 F( T,m)= 1 a1m + 1 am + 1 bm 3 4 Nous supposons que le oeffent du terme d ordre hange de sgne et que, suffsamment près de la transton, elu vare lnéarement ave T : a1 = a ( T To) ave a > 0 (3.9) La stablté de l équlbre mpose b> 0. Par alleurs, nous supposerons que a < 0. Cette dernère hypothèse ne restrent pas du tout la généralté du problème. Elle permet smplement de se restrendre aux valeurs postves de m. (Evdemment, dans le as ontrare, on étuderat le as m< 0). À l équlbre, la ondton de mnmsaton de l énerge lbre F/ m =0 nous permet de aluler mt ( ) à toute température : 1 3 0= am+ am + bm Cette équaton présente dans le as général, tros solutons réelles ou omplexes : m1 =0 (3.93) a a 4a1b m = b Dsutons les dfférents as selon les valeurs de T (vor gure (3.6)).

24 11 Fgure 3.6: Allure de la fontonnelle de l energe lbre dans le as d une transton du pemer ordre

25 CHAPTER 3. 1 er 1 as : eme as eme 3 as a 0 4 ba +, la seule soluton réelle est 1 Pour T>T + = T m = 0 Pour T + > T > T0: l apparaît tros solutons réelles, dont une nstable. Parm les deux autres, m1 =0 et m =0, l une est stable, ar elle orrespond au mnmum absolu de l énerge lbre, l autre est métastable, ar elle orrespond à un mnmum relatf. Les deux solutons orrespondent à des énerges lbres qu devennent égales pour une température T = T donnée par : T = T0 + a 9 ba. Au-dessus de T,la soluton stable est m1 =0. En-dessous de T, est m =0 qu devent stable, et m1 =0qu est métastable. Pour T<T0 : la seule soluton stable est m S on est onstamment à l équlbre thermodynamque, on prévot don le omportement du paramètre d ordre en fonton de la température shématsé en pontllé dans la gure (3.7) -dessous. En réalté, en rason des barrères de potentel séparant les solutons m1 et m, l exste une ertane nétque de mse à l équlbre thermodynamque. S l évoluton de la température est rapde par rapport à ette nétque, le système restera dans l état métastable. Ans, lors d un refrodssement très rapde, le système restera dans l état m1 jusqu à T = T0, température où l basulera dans le seul état stable m, jusqu à T =0. De même, s le système est réhauffé très rapdement, l restera dans l état m, non seulement jusqu à T, mas jusqu à T+, où l basulera dans l état m1. Ce est une soure d hysteress (en fat nous avons dért le yle d hysteress maxmum, shématsé dans la gure (3.7), en supposant une évoluton en température n nment rapde devant la nétque de mse à l équlbre du système) Cas trrtque. Dans e paragraphe, nous supposons qu l n exste pas de terme mpar dans le développement de l énerge lbre. La transton peut être du seond ordre. Comme d habtude, le oeffent du terme d ordre s annule pour une ertane température : ( ) ( 0)+ 1 ( ) + b F T,m F T, a T T m m m

26 13 Fgure 3.7: Varatons shematques du parametre d ordre ave la temperature dans le as d une transton du premer ordre. Les ehes ndquent le sens de varaton de la temerature. La lgne pontlle represente le as deal d une varaton n nment lente de la temperature, de faon que le systeme reste onstamment a l equlbre thermodynamque.

27 14 dans un plan (pres- Fgure 3.8: Dagramme de phase shematque, son,temperature), montrant un pont trrtque. La stablté de l équlbre mpose > 0. Le fat nouveau est que le oeffent b, qu habtuellement vare peu au vosnage de la transton, peut lu auss s annuler et hanger de sgne sous l effet d un paramètre extéreur omme, par exemple, la presson. - Pour b> 0, la transton est du seond ordre. - Pour b< 0, on a une transton du premer ordre. Le pont où, sous l effet de la presson et de la température, on parvent à annuler smultanément les oeffents a( p,t) et b( p,t) est un pont de transton trrtque. Cette ondton très partulère vent de e que pour b> 0, la lgne de transton est du deuxème ordre et pour b< 0, du premer ordre (vor gure (3.8)). Dans e as trrtque, on obtent, dans le modèle de Landau, les ndes rtques suvants : pour la haleur spé que, =1/ pour T < T, =0pour T > T ; pour le paramètre d ordre, =1/ 4; 1 / pour la suseptblté =1 et pour, dé n par m h, =5.

28 THÉORIE D ORNSTEIN-ZERNIKE. AP- PROXIMATION GAUSSIENNE. La théore thermodynamque de Landau prévot une dvergene en 1 T T de la suseptblté relatve au paramètre d ordre. Ce résultat ompromet la ohérene nterne de la théore : elle- suppose que les utuatons sont néglgeables et trouve qu en réalté elles jouent un rôle mportant. On herhe don une théore auss smple que elle de Landau, mas qu tenne ompte, même partellement, des utuatons du paramètre d ordre Modèle Gaussen S on veut dérre, même de façon approhée, les utuatons, nous devrons prendre en ompte des on guratons où les degrés de lbertés ms en jeu dans la transton (les spns dans le as magnétque) sont orrélés sur un volume n (dont la talle dvergera à T). Nous devons don tenr ompte, dans le alul de la fonton de partton, des on guratons où le paramètre d ordre n est pas ontrant à rester égal à sa valeur moyenne à l équlbre thermodynamque < m 0 >. Ces on guratons seront dértes par des fontons m () r, suseptbles de varer spatalement. Cette fonton m() r est une varable statstque qu sut une dstrbuton de probablté exp F. Pusque le paramètre d ordre est mantenant une fonton de la poston m() r, l faut don prendre en ompte, dans l expresson de l énerge lbre, le oût d énerge de es varatons spatales. Ce néesste de prendre en ompte un terme supplémentare dans la fontonnelle de Landau. On onsdère une fontonnelle de l énerge lbre de la forme : d 1 4 F= dr a( T T) m ( r)+ 1 bm ( r)+ 1 m() r (3.94) 4 est le volume du système. C est e terme en gradent qu assure que l équlbre thermodynamque est réalsé pour des on guratons où le paramètre d ordre est unforme. Pour réalser, à partr d un état unforme, une on guraton où l ordre vare loalement, l est néessare de dépenser une énerge de déformaton. C est ette énerge qu est responsable du phénomène de rgdté généralsée, évoqué au hapte préédent. Le oeffent du terme en gradent est lé à la portée de nteratons. Cette fontonnelle de Landau-Gnzburg est onstrute dans le même esprt que elle du paragraphe préédent : on suppose qu au vosnage du

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