Première ES IE7 suites numériques S1. Première ES IE7 suites numériques S2

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1 (u n) est une suite arithmétique telle que u 0 = -2 et u 1 = 5. 2) En déduire le treizième terme de la suite. 4) A partir de quel rang les termes u n sont-ils supérieurs à 1 000? Pour stocker des fichiers photos dans un appareil numérique ou sur un disque dur d ordinateur, on utilise des algorithmes de compression pour réduire la taille du fichier. On estime qu à chaque niveau de compression la taille du fichier diminue de 21,4%. Considérons un fichier de taille initiale 689 ko. On pose T 0 = 689, et pour tout entier naturel non nul n, T n désigne la taille de ce fichier après une compression de niveau n. 1) Déterminer T 1. 2) Exprimer T n+1 en fonction de T n. En déduire la nature de la suite (T n). 3) Déterminer l expression du terme général de la suite (T n), en déduire une valeur approchée de T 7. 4) A l aide de la calculatrice, déterminer le niveau minimal de compression qu il faudrait pour que la taille du fichier compressé soit inférieure à 40 ko. Première ES IE7 suites numériques S2 (u n) est une suite arithmétique telle que u 0 = 5 et u 1 = -1. 2) En déduire le onzième terme de la suite. 4) A partir de quel rang les termes u n sont-ils inférieurs à ? Le salaire annuel d embauche d un employé est de Son contrat prévoie une augmentation annuelle de 3%. On note u 0 = et pour n 1, u n le salaire annuel au bout de n années. 1) Calculer u 1. 2) Exprimer u n+1 en fonction de u n. En déduire la nature de la suite (u n). 3) Donner l expression de u n en fonction de n. 4) A l aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d années le salaire aura doublé. 1

2 (u n) est une suite arithmétique telle que u 0 = -2 et u 1 = 5. 2) En déduire le treizième terme de la suite. 4) A partir de quel rang les termes u n sont-ils supérieurs à 1 000? 1) Soit r la raison de la suite arithmétique (u n). On a r = u 1 u 0 = 5 (-2) = 7 L expression explicite de la suite arithmétique (u n) est : u n = u 0 + n r = n 2) u 12 = = = 82 3) (u n) est une suite arithmétique de raison strictement positive (r = 7). Donc la suite (u n) est croissante. 4) On résout l inéquation u n > u n > n > n > n > Donc c est à partir du rang 144 que les termes u n sont supérieurs à Vérification : u 143 = = 999 < 1000 et u 144 = = 1006 >

3 Pour stocker des fichiers photos dans un appareil numérique ou sur un disque dur d ordinateur, on utilise des algorithmes de compression pour réduire la taille du fichier. On estime qu à chaque niveau de compression la taille du fichier diminue de 21,4%. Considérons un fichier de taille initiale 689 ko. On pose T 0 = 689, et pour tout entier naturel non nul n, T n désigne la taille de ce fichier après une compression de niveau n. 1) Déterminer T 1. 2) Exprimer T n+1 en fonction de T n. En déduire la nature de la suite (T n). 3) Déterminer l expression du terme général de la suite (T n), en déduire une valeur approchée de T 7. 4) A l aide de la calculatrice, déterminer le niveau minimal de compression qu il faudrait pour que la taille du fichier compressé soit inférieure à 40 ko. 1) Une diminution de 21,4% correspond à un coefficient multiplicatif de 1 21,4 100 = 0,786. Donc T 1 = 0, = 541, ) On a T n+1 = 0,786 T n T n est donc la suite géométrique de premier terme T 0 = 689 et de raison q = 0,786. On a T n = T 0 q n = 689 0,786 n 3) T 7 = 689 0, ko 4) Il faut résoudre l inéquation, T n < 40 ; soit 689 0,786 n < 40. On ne sait pas résoudre cette inéquation en série ES. On va procéder par tâtonnement à l aide de la calculatrice ou bien d un tableur. n T(n) On lit dans ce tableau que T > 40 et T < 40. C est donc à partir du niveau 12 de compression que la taille du fichier sera inférieure à 40 ko., 3

4 Première ES IE7 suites numériques S2 (u n) est une suite arithmétique telle que u 0 = 5 et u 1 = -1. 2) En déduire le onzième terme de la suite. 4) A partir de quel rang les termes u n sont-ils inférieurs à ? 1) Soit r la raison de la suite arithmétique (u n). On a r = u 1 u 0 = -1 5 = -6 L expression explicite de la suite arithmétique (u n) est : u n = u 0 + n r = 5-6n 2) u 10 = = 5 60 = ) (u n) est une suite arithmétique de raison strictement négative (r = -6). Donc la suite (u n) est décroissante. 4) On résout l inéquation u n < u n < n < n < n > (changement du sens de l inégalité car -6 < 0) n > 335 (changement du sens de l inégalité car -6 < 0) 2 Or ,5 Donc c est à partir du rang 168 que les termes u n sont inférieurs à Vérification : u 167 = = -997 > et u 168 = = < Exercice 3 : (6 points) Le salaire annuel d embauche d un employé est de Son contrat prévoie une augmentation annuelle de 3%. On note u 0 = et pour n 1, u n le salaire annuel au bout de n années. 1) Calculer u 1. 2) Exprimer u n+1 en fonction de u n. En déduire la nature de la suite (u n). 3) Donner l expression de u n en fonction de n. 4) A l aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d années le salaire aura doublé. 4

5 Première ES IE7 suites numériques S2 1) Une augmentation de 3% correspond à un coefficient multiplicateur de = 1,03. Donc u 1 = ,03 = ) u n+1 = 1,03 u n (u n) est la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raison q = 1,03. 3) u n = u 0 q n = ,03 n 4) On doit résoudre l équation u n = 2 u 0 = Soit ,03 n = On ne sait pas résoudre cette équation en série ES. On va procéder par tâtonnement à l aide de la calculatrice ou bien d un tableur. n u(n) On lit dans ce tableau que u < et u > C est donc au bout de 24 années que le salaire aura doublé. 5

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