Mathématiques SPECIALITE Cours Chap. I : Divisibilité et congruence Page 1 sur 11

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1 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 1 su 11 I) Divisibilité dasz Défiitio : Soit a, b Z Die que b divise a sigifie qu il existe u etie q tel que a = b. q - q est le quotiet etie - a est u multiple de b - b est u diviseu de a Remaque : Tout etie o ul divise 0 mais 0 e divise aucu etie. Popiété : a, b et c des ombes eties 1. Si b divise a alos b divise tout multiple de a ( a c ) 2. Si b divise a alos b c divise a c 3. Si b divise a et a divise c alos b divise c. 4. Si b divise a et c alos b divise a + c et b divise a c Popiété : Si b divise a et c alos b divise toute combiaiso liéaie de a et c ( k a + k ' c, k et k ' Z ) Ex 32 p 25 Commet choisi pou que divise + 12, doit divise et 12? divise a = doc divise ( + 12) = 12 divise b = + 12 { 12; 6; 4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4;6;12} Ex 33 p 25 ( 1) divise ( 1) + 18 ( 1) doc ( 1) divise 17 ( 1) divise 18 ( 1) 18; 9; 6; 3; 2; 1;1; 2;3; 6;9;18 { } { 17; 8; 5; 2; 1;0; 2;3; 4; 7;10;19} Ex 34 p 25 ( 4) divise ( 4) doc ( 4) divise (3 + 24) 3( 4) = 36 ( 4) divise (3 + 24) = 3( 4) + 36) { } { 32; 12; 8; 5; 2;0;1; 2;3;5; 6;7;8;10;13;16; 22; 40} ( 4) 36; 18; 12; 9; 6; 4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4;6;9;12;18;36

2 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 2 su 11 Ex 29 p 25 ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b divise a + b 3 divise ( a + b) divise a + b A O sait aussi que 3 divise ( a b + ab ) x3 doc 3 divise A + B = ( a + b) 3 3 divise ( a + b) X 2 2 o 3 divise 3 a b + 3ab Y doc 3 divise X Y = a + b B II) Divisio Euclidiee a Z, b N * Défiitio : Effectue la divisio euclidiee de a pa b, c est touve u couple d eties (q ; ) tel que a = b q + avec 0 < b. Théoème : a Z, b N * Il existe u couple uique (q ; ) tel que a = b q + avec 0 < b avec = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ; b 1 Coséquece : Z = 2 p ou = 2 p + 1 = 3 k ou = 3k + 1 ou 3k + 2 = 4 k ou = 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3 etc. Ex 11 q x b + 11 = 5 x x x x 5 + 1

3 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 3 su 11 Execice : mote que ( + 1)(2 + 1) = a est divisible pa 3. Pa disjoctio de cas : = 3 k ou = 3k + 1 ou = 3k + 2 Das la divisio euclidiee de pa 3 les estes possibles sot 0 ; 1 ; 2 1 e cas : Si = 3k a = 3 k.(3k + 1).2(3k + 1) B a = 3B 2 ème cas : Si = 3k + 1 a = 3k + 1.(3k + 2).(2(3k + 1) + 1) C a = 3k + 1.(3k + 2)(6k + 3) a = 3 (3k + 1)(3k + 2)(2k + 1) a = 3C 3 ème cas : Si = 3k + 2 a = (3k + 2)(3k + 3)(2(3k + 2) + 1) a = 3 (3k + 2)( k + 1)(6k + 5) D a = 3D Ex 68 p 26 : Les estes possibles das la divisio euclidiee de pa = < < 2 5 < Pou 5 <, = + 11 Si = 0, = 1 Si = 1, = 2 Si = 2, = 5 Si = 3, = 3 Si = 4, = = 1

4 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 4 su 11 Ex 65 p 26 : a) est u etie atuel quelcoque o ul, les estes possibles de la divisios euclidiee de pa 5 sot = 0 = 5k ou = 1 = 5k + 1 ou = 2 = 5k + 2 ou = 3 = 5k + 3 ou = 4 = 5k + 4 b) Pa disjoctio de cas, o va détemie les estes possibles de la divisio euclidiee 2 4 pa Si = 5k a = 4 = (5 k) 4 5k = 5(5k 4 k) + 0 Si = 5k = Si = 5k + 1 a = 4 = (5k + 1) 4 (5k + 1) = 5(5k 2k + 1) + 2 (3 = 5 + 2) Si = 5k + 1 = Si = 5k + 2 a = 4 = (5k + 2) 4 (5k + 2) = 5(5k 1) + 1 Si = 5k + 2 = Si = 5k + 3 a = 4 = (5k + 3) 4 (5k + 3) = 5(5k + 2k 1) + 2 Si = 5k + 3 = Si = = 4 = (5 + 4) 4 (5 + 4) = k a k k k k Si = 5k + 4 = 0 2 Pou tout, les estes possibles de la divisio euclidiee de 4 pa 5 sot 0 ; 1 ; 2. c) Les estes de la divisio euclidiee de 2 4 pa 5 est égal à 2 si = 5k + 1 ou = 5k + 3 ; k N Ex 66 p 26 : Le este de la divisio euclidiee de 4 3 pa ; 0 et il faut Pou 2, le este de la divisio euclidiee de pa est 2 4 Ex 67 p 26 :

5 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 5 su 11 Si 3, le este de la divisio euclidiee de pa + 3 est 6. Si = 0, = 0 Si = 1, = 2 Si = 2, = 1 Si = 3, = 0 III) PGCD 1) Défiitio : a et b sot 2 eties atuels o uls. Le plus gad commu diviseu de a et b est oté : PGCD (a, b). Remaque : Si b divise a alos PGCD (a, b) = b Lemme d Euclide : a, b deux atuels a > b > 0 PGCD ( a, b) = PGCD ( b, ) où est le este de la divisio euclidiee de a pa b ( a = b. q + ). Démostatio : Motos que les diviseus commus à a et b sot les diviseus commus à b et Soit b u diviseu commu à a et b O a : d divise a et d divise b doc d divise 1 a b q = Soit d ' u diviseu commu à a et doc d divise a = b q + Doc d ' est u diviseu commu à a et b. a b b 2) Algoithme d Euclide ւ ւ q 0 0 q ւ ւ q ւ ւ q PGCD ( a, b) = PGCD ( b, ), a = b q + PGCD ( a, b) = PGCD (, ) 0 1 PGCD ( a, b) = PGCD (, ) 1 2 PGCD ( a, b) = PGCD (, ) d divise et comme d divise b alos d diviseu commu à b et.

6 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 6 su 11 Le PGCD (a, b) = d : le deie este o ul. Exemple : a b PGCD PGCD (1636,1128) = PGCD (1128;508) PGCD (1636,1128) = PGCD (508;112) PGCD (1636,1128) = PGCD (112;60) PGCD (1636,1128) = PGCD (60;52) PGCD (1636,1128) = PGCD (52;8) PGCD (1636,1128) = PGCD (8; 4) PGCD est 4 Ex 69 p : PGCD (1414, 666) PGCD (666,82) PGCD (82,10) PGCD = 2 Ex 70 p : PGCD (44350, 20785) PGCD (20785, 2780) PGCD (2780,1325) PGCD (1325,130) PGCD (130, 25) PGCD est 5 PGCD PGCD (2378;1769) = 29 (202;102) = 2 Ex 71 p : PGCD PGCD (1730,519) = 173 (66105, 52884) = Ex 72 p : a b q a b b PGCD (175; 49) = 7 3 = 21 1 = b = 1+ 1 a = b 3+

7 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 7 su 11 IV) Popiétés du PGCD, ombes pemies ete eux 1) a, b et k eties atuels avec k 0 k PGCD( a, b) = PGCD( ka; kb) 2) PGCD das Z a, b Z PGCD( a; b) = PGCD( a ; b ) PGCD( 15; 12) = PGCD(15;12) = PGCD( 15;12) = 3 3) 2 ombes eties atuels o uls sot pemies ete eux sigifie que leu PGCD est égal à 1. Exemple : 4 et 5 sot pemies ete eux ca leu PGCD est =1. 4 et 9 sot pemies ete eux ca leu PGCD est =1 4) Popiété (tès impotate) : a, b 2 eties elatifs o uls, si PGCD (a, b) = d alos il existe 2 eties a et b pemies ete eux tels que a = a ' d et b = b' d. Démostatio : PGCD(15;12) = 3 15 = 3 5 PGCD(5; 4) = 1 12 = 3 4 PGCD( a; b) = d, d divise a, a = k d et d divise b, b = k ' d k et k ' sot pemies ete eux sio d e sea plus le PGCD ( a; b). 5) Applicatio : ab = 1452 Détemie tous les couples d eties atuels tels que PGCD( a; b) = 11

8 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 8 su 11 PGCD( a; b) = 11, il existe 2 eties atuels a ' et b ' eties ete eux tel que a = 11 a ' b = 11 b' 11 a ' 11 b ' = 1452 PGCD (11 a ';11 b ') = a ' b ' = = PGCD( a '; b') = 11 PGCD( a '; b') = 1 { } { } ( a '; b ') (1;12);(12;1); (3;4);(4;3) ( a; b) (11;132);(132;11);(33;44);(44;33) Ex 86 p : x + y = 144 PGCD( x; y) = x ' + 18 y ' = 144 PGCD ( x '; y ') = x ' y ' = = 8 18 ( x '; y ') (1;7);(7;1);(3;5);(5;3) { } { } ( a; b) (18;126);(126;18);(54;90);(90;54) V) Cogueces dasz Popiété (fodametales) : a, b 2 eties elatifs, N * Die que a et b ot le même este das leu divisio euclidiee pa sigifie que ( a b) est u multiple de. a q a = q + q ' b = q ' + b D où a b = q q ' ( a b) = ( q q ') et doc a b est u multiple. Hypothèse : a b est u multiple de a q a = q + ' q ' b = q ' + ' b

9 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 9 su 11 ( a b) = ( q q ') + ( ') O ( a b) est u multiple de doc ' = 0 alos = ' Défiitio : a, b Z, N * Die que a et b sot cogus modulo sigifie que a et b ot le même este das leu divisio euclidiee pa. Die que a et b sot cogus modulo sigifie que ( a b) est u multiple de. Notatio : a b mod( ) a b Lectue : a cogus à b modulo Exemple : Popiété : compatibilité des cogueces avec les opéatios + ; ; a, b, c, d eties elatifs et etie atuel o ul alos a b Si c d a + c b + d a c b d a c b d p p a b avec p N* k a k b avec k Z* Démostatio : 1) a b[ ] a b = k c d [ ] c d = k ' a b + c d = k + k ' 2) ( a + c) ( b + d) = ( k + k ') équivaut à ( a + c) ( b + d)

10 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 10 su 11 a b = k c d = k ' ( a b) ( c d) = k k ' ( a c) ( b d) = ( k k ') équivaut à ( a c) ( b d) 3) o veut mote a c b d = k a c b d = a c b d + a d a d = d ( a b) + a ( c d) = d k + a k ' = ( d k + a k ') équivaut a c b d 1) Citèe de divisibilité Popiété : U etie atuel est divisible pa 9 si la somme des ses chiffes est divisible pa 9. Démostatio : = a N* a = b 10 + b b 10 + b i i b 10 b b 10 b b 10 = b 9 ; b b Pa additio : a b + b + b b + b 9 d'où si a est divisible pa 9 alos la somme de ses chiffes est divisible pa ) Système de base a a N * Das le système décimal, tout etie atuel s écit avec les chiffes 0, 1, 2,, 9.

11 Cous Chap. I : Divisibilité et coguece Page 11 su 11 a = = 785 e base 10 se ote : a sigifie : x = ( a ) y = 234 a 4 sigifie : y = 4 a + 3 a + 2 a Exemple : z = = = 569 (pou la base 10, o 'est pas oblige de mette la base 10) =? = = = + + = + + = = = =