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1 DIVISIBILITE DANS Z - DIVISION DES ENTIERS - b divise a lorsqu il existe u etier k tel que a = kb O dit que a est multiple de b ; b est diviseur de a. Pour tout etier relatif (Z) a, b, c o a : -, a, - et a qui diviset a - a b et b a a = b ou a = -b - a b et b c a c Combiaisos liéaires avec a, b, α et β Z : - α a + β b est ue combiaiso liéaire de a et b - d a et d b d α a + β b L esemble des diviseurs d u etier aturel (N) a se ote Da = {,, } et o a : - Da et a Da - a b Da Db - Da = Db a = b - d a et d b Dd D(a + b) Dd D a - b Dd D α a + β b avec a, b, d N a, ß Z L esemble des multiples d u etier aturel (N) a se ote Ma = { ka / k N } et o a : - Ma et a Ma - a b Mb Ma - Ma = Mb a = b NOMBRE PREMIERS U ombre p est premier lorsqu il e possède que deux diviseurs : et lui-même. C est à dire que Dp = {, p}. L esemble des ombres premiers P est ifii. Soit u etier aturel : Tout autre que possède au mois u diviseur premier. Tout, o premier et autre que et, possède au mois u diviseur premier p tel que p². Tout autre que et se décompose de faço uique α sous la forme = p. p α.. p α m avec : m - p < p < < p m - p, p,, p m sot des ombres premiers - α, α,, α m sot des etiers aturels DIVISION EUCLIDIENNE Soit a N et b N*, il existe u couple uique (q, r) d etiers aturels tel que a = bq + r avec r < b. b a a = bq et r = r bq < a < b(q+) /7

2 - SYSTEMES DE NUMERATION - - PGCD ET PPCM - = * 7 + * 6 + * 5 + * 4 + * 3 + * + * + * = = 8 Pour covertir u ombre du système décimal e ue autre base, o fait plusieurs divisios euclidiees successives jusqu'à ce que le quotiet soit égale à. - CONGRUENCES - ALGORITHME D EUCLIDE Soit a et b deux etiers aturels o uls avec a > b, et r le reste de la divisio euclidiee de a par b : - si a est multiple de b, alors r = et l esemble des diviseurs commus de a et de b est égal à Db. - si r, alors l esemble des diviseurs commus de a et de b est égal à l esemble des diviseurs commus de b et de r. a = b.q + r r < b Da Db = Db Dr Soit deux etiers relatifs a, b et u etier aturel. a est cogru b modulo lorsque a et b ot le même reste das la divisio euclidiee par. O ote a b [] - a b [] (a-b) - a b [] et b c [] a c [] - a b [] et a b [] a + a' b + b' [] aa' bb' - a b [] et c Z ac bc [] - a b [] et p N a p b p [] - a r [] et r < r est le reste de a [] b = r.q + r r < r Db Dr = Dr Dr r = r.q 3 + r 3 r 3 < r Dr Dr = Dr Dr 3 r r = r.q + r r < r Dr Dr = Dr Dr = r.q + + < r Dr Dr = Dr Les divisios successives de a par b, b par r, r par r,, jusqu au derier reste o ul r est appelé Algorithme d Euclide. La suite (r ) est strictemet décroissate. L esemble des diviseurs commus de a et de b est égal à l esemble des diviseurs du derier reste o ul. O peut écrire l égalité suivate : Da Db = Dr q q q 3 q 4 a q r r r 3 r r r 3 = PGCD r 4 = /7

3 PGCD Soit a et b deux etiers aturels o uls, o appelle PGCD (a, b) le ombre δ vérifiat les propriétés : - δ divise a et b - si u ombre d divise a et b, alors d δ Si b divise a, alors PGCD (a, b) = b Il existe deux etiers relatifs u et v tels que au + bv = δ L esemble des diviseurs commus de a et de b est égal à l esemble des diviseurs de leur PGCD. a, b, k N* PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b) a b k a et k b PGCD, = PGCD (a, b) k k k PGCD (a, b) = PGCD (a + kb, b) avec a + kb > NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX PGCD (a, b) = a et b sot premiers etre eux PGCD (a, b) = δ δ a et δ b sot premiers etre eux Bézout : a et b sot premiers etre si et seulemet s il existe deux ombres relatifs u et v tels que au + bv = Gauss : si a et b sot premiers etre eux et si a divise bc alors a divise c. Coséquece : si u ombre aturel est divisible par deux ombres premiers etre eux alors il est divisible par leur produit. PGCD (a, b) = δ et PGCD (a, c) = PGCD (a, bc) = δ k Z PPCM Soit a et b deux etiers aturels o uls, o appelle PPCM (a, b) le ombre o ul µ vérifiat les propriétés : - a et b diviset µ - si a et b diviset u ombre m, alors µ m Si a divise b, alors PPCM (a, b) = b L esemble des multiples commus de a et de b est égal à l esemble des multiples de leur PPCM. Si a, b, k N* PPCM (ka, kb) = k PPCM (a, b) a b k a et k b PPCM, = PPCM (a, b) k k k PGCD (a, b) * PPCM (a, b) = a * b METHODES (a, b N*) Pour obteir ue fractio irréductible, o divise le umérateur et le déomiateur par leur PGCD. Pour calculer sur deux fractios, o choisit comme déomiateur commu le PPCM de leur déomiateurs. - Décomposer a et b e facteurs premiers. - Le PGCD est le produit des facteurs premiers commus, chaque facteur premier commu état affecté du plus petit des deux exposats. - Le PPCM est le produit des tous les facteurs premiers, chaque facteur premier état affecté du plus grad des deux exposats. 3/7

4 GENERALITES - ISOMETRIES DU PLAN - Ue isométrie est ue bijectio du pla qui coserve les distaces. Les isométries coservet le parallélisme, l orthogoalité et les agles o orietés. La composée de deux isométries est ue isométrie. La réciproque d ue isométrie est ue isométrie. DEPLACEMENT U déplacemet est ue isométrie qui coserve les agles orietés (ex : traslatio, rotatio, idetité). La réciproque d u déplacemet est u déplacemet. ANTIDEPLACEMENT U atidéplacemet est ue isométrie qui trasforme u agle orieté e so opposé (ex : réflexio). La réciproque d u atidéplacemet est u atidéplacemet. PROPRIETES Toute isométrie est soit u déplacemet soit u atidéplacemet. Ue isométrie fixat trois poits o aligés est ue idetité du pla. Ue isométrie disticte de l idetité du pla, fixat poits A et B est u réflexio d axe (AB). Ue isométrie e fixat qu u seul poit O est ue rotatio de cetre O. - COMPOSITION D ISOMETRIES - COMPOSITION DE DEUX DEPLACEMENTS La composée de déplacemets est u déplacemet. La composée de deux traslatios est ue traslatio de vecteur la somme des vecteurs. La composée d ue traslatio et d ue rotatio est ue rotatio de même agle. La composé de deux rotatios d agle σ et σ est : - ue rotatio d agle σ σ σ + σ π + si [ ] - ue traslatio si σ + σ = [ π ] 4/7

5 COMPOSITION DE DEUX ANTIDEPLACEMENTS La composée de atidéplacemets est u déplacemet. Soiet deux réflexios s D et s D : - si D et D sot parallèles avec t ( D ) u = D, alors s s est la traslatio de vecteur u - si D et D sot sécates e O, alors s s est v v avec la rotatio de cetre O et d agle ( ) v et v des vecteurs directeurs de D et D Toute traslatio est la composé, d ue ifiité de maières, de deux réflexios d axes parallèles. Toute rotatio de cetre O est la composé, d ue ifiité de maières, de deux réflexios d axes sécats e O. COMPOSITION D UN DEPLACEMENT ET D UN ANTI La composé d u déplacemet et d u atidéplacemet est u atidéplacemet. La composé d ue traslatio de vecteur u et d ue réflexio d axe D est : - ue réflexio d axe parallèle à D si u est ormal à D - la composé d ue réflexio d axe parrallèle à D et d ue traslatio dot le vecteur est directeur de D si u est pas ormal a D, - ISOMETRIES ET PLAN COMPLEXE - ECRITURE COMPLEXE D UN DEPLACEMENT L écriture complexe d u déplacemet est de la forme : σ = [ π ] z z + b La traslatio de vecteur d affixe b : σ [ π ] z = z + b La rotatio de cetre Ω d affixe z z z b = e + z z et d agle σ : i ( z z ) z z e z z + b σ ECRITURE COMPLEXE D UN ANTIDEPLACEMENT L écriture complexe d u atidéplacemet est de la forme : e b +b = z z + b La réflexio d axe passat par le poit d affixe z, et de : vecteur directeur d affixe ayat pour argumet σ [ π ] z z e b +b z + i ( z z ) z z e z + z z b σ La composé d ue traslatio et d ue réflexio. 5/7

6 - HOMOTHETIES ET SIMILITUDES - HOMOTHETIE Ue homothétie de cetre O et de rapport k u ombre réel o ul est ue trasformatio qui a tout poit M du pla, associe le poit image M tel que O M = kom. La réciproque de l homothétie h de cetre O et de rapport k est l homothétie h ( O, ). SIMILITUDE DIRECTE FIXANT UN POINT O Ue similitude directe de cetre O, de rapport k et d agle σ est la composée commutative d ue homothétie de cetre O et de rapport k>, et d ue rotatio de cetre et d agle σ. k OM ' = kom ( OM, OM ') = σ π [ ] La similitude directe, comme l homothétie, multiplie : - les distaces par k - les aires par k² La similitude directe, comme l homothétie, coserve : - les agles orietés - les cotacts - les barycetres La réciproque d ue similitude directe est ue similitude directe de rapport l iverse et d agle l opposé. AUTRES COMPOSITIONS La composé d ue traslatio et d ue homothétie est ue homothétie de même rapport. La composé de deux homothéties de rapport k et k est : - ue homothétie de rapport k k si k k - ue traslatio si k k = La composé de deux similitudes directes de même cetre est ue similitude directe de rapport le produit des rapports et d agle la somme des agles. s ECRITURE COMPLEXE ( Ω, k, σ ) s ( Ω, k, σ ) = s( Ω, k k Ω + Ω ), L écriture complexe d ue homothétie de rapport k et de cetre le poit d affixe b k z = kz+ b est de la forme : La similitude directe de cetre d affixe z, de rapport k > et d agle σ : ( z z ) z = ke z ke z + z z = az + b z z = ke 6/7

7 A mettre quelque part Soit f, g et h trois applicatios quelcoques : - ( h g) f = h ( g f ) (associativité) - ( ) g f = g f 7/7

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