Une leçon de mathématiques en 399 BCE (Théétète, 147d2-7) A Mathematical Lesson in 399 BCE (Theaetetus, 147d2-7)

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1 Une leçon de mathématiques en 399 BCE (Théétète, 147d2-7) A Mathematical Lesson in 399 BCE (Theaetetus, 147d2-7) Abstract. We continue here the study of the double question of the origins of the theory of irrationality and its role in the geometric exposition of Plato s Theaetetus. Both questions are closely related, so that any misconception about one impacts on the other. In a previous article in this same review ([Ofman 2010]), we showed the usual reconstructions are at variance with textual evidences, essentially Aristotle s Analytics, and we gave another one, coherent with them. The second essential testimony concerning the irrationals is found in Plato s Theaetetus. Its so-called Mathematical part (147d-148b) has been considered since the Antiquity, both crucial and problematic, located at it is at the intersection of mathematical, philosophical and historical fields. In [Ofman 2013], we studied the mathematical lesson, as reported by Theaetetus (147d4-7), and we gave a reconstruction of the method of proof consistent with the texts. We complete here the reconstruction of this lesson, and to avoid the problem of circular argumentations, it is (mostly) independent of the translation. Surprisingly, a literal reading leaves very few possibilities. We study more in details the deficiencies of the two most usually accepted methods. Indeed, until now it seems no proposed method has verified all the criteria in Theaetetus account. We show how such a lesson can be done (almost) only through drawings, which goes again the prevalent conclusions in the field, since irrationality has been rightly closely connected to the unrepresentable impossible ( ajduvnaton ). And even though some historians of mathematics or mathematicians were interested in the practical problems of the lesson, e.g. its length of time or the needed area for the drawings, it seems no one tried to tackle them globally as parts of one and the same lesson. This study plus the one in [Ofman 2013] is such a try. It presents a complete and rigorous geometric lesson coherent with Plato s text (almost) entirely done through graphics. It means Theaetetus account can be considered as a faithful account of a geometrical lesson (real or written for the needs of the dialogue) about irrationality, around the time of Socrates death. As a consequence, it is certainly not, at least in Plato s view, an allegorical lesson of geometry, and its mathematics is representative of the ones of this period. Because of space requirements, we do not go into the difficult questions of interpretations of some extremely discussed terms, to be studied in another paper as an introduction to the socalled Theaetetus theorem. Résumé. Nous continuons ici l étude de la double question des origines de la théorie de l irrationalité et du rôle qu elle tient dans l exposition géométrique du Théétète de Platon. Les deux questions sont étroitement liées, en sorte que toute erreur sur l une a des répercussions sur l autre. Dans un article précédent de cette même revue, nous avons montré que les reconstructions usuelles ne s accordaient pas avec les écrits les plus anciens qui nous sont parvenus, essentiellement ceux des Analytiques d Aristote, et nous en avons donné une autre, en accord avec ceux-ci (cf. [Ofman 2010]). Le deuxième témoignage essentiel concernant l irrationalité mathématique se trouve dans le Théétète de Platon, plus particulièrement dans ce que l on appelle sa partie mathématique (147d-148b). Depuis l Antiquité, elle a été considérée à la fois comme cruciale et 1

2 problématique, située à l entrecroisement des domaines des mathématiques, de la philosophie et de l histoire des sciences. Dans [Ofman 2013], nous avons étudié la leçon mathématique (147d4-7), telle qu elle est rapportée par Théétète, et nous en avons proposé une preuve cohérente avec les témoignages textuels. Nous complétons ici son étude, et comme précédemment, afin d éviter le problème des argumentations circulaires, notre analyse est très largement indépendante des diverses traductions. De manière surprenante, une lecture littérale laisse très peu de libertés. Nous revenons plus en détail sur les défauts des deux méthodes les plus usuellement acceptées. De fait, parmi les nombreuses méthodes qui ont été proposée, il semble qu aucune ne vérifie la totalité des critères du compte-rendu de Théétète. Celle que nous présentons ici est un tel essai. Elle montre que cette leçon pouvait être faite (presque) exclusivement à partir des seules figures. Cela va à l encontre de l opinion générale dans ce domaine, l irrationalité étant, à juste titre, étroitement connectée à l impossible ( ajduvnaton ) irreprésentable. Quoique certains historiens des mathématiques ou mathématiciens se soient intéressés aux questions pratiques de cette leçon, e.g. sa durée ou l espace nécessaire pour tracer les dessins, il semble que l on n ait guère considéré globalement la totalité de ces problèmes à la fois, comme parties d une seule et même leçon. C est ce que nous voudrions faire ici. L ensemble formé avec notre article précédent ([Ofman 2013]) présente une leçon géométrique complète en accord avec le texte de Platon, rigoureuse et pourtant faite (presque) entièrement graphiquement. En conséquence, le récit de Théétète peut être considéré comme un fidèle récit d une leçon de géométrie (réelle ou écrite pour les besoins du dialogue) portant sur l irrationalité, au temps de la mort de Socrate. Cela montre que, au moins aux yeux de Platon, ce n était certainement pas un exposé géométrique allégorique, et que les mathématiques dont il est question étaient celles pratiquées à cette époque. Pour des raisons de place, nous n abordons pas les nombreuses et difficiles questions d interprétation de certains termes très discutés, qui feront l objet d un prochain travail, en introduction à ce qu on appelle le théorème de Théétète. 2

3 1. Introduction. i) Le prologue. Le dialogue proprement dit est précédé d un prologue entre deux personnages, Euclide 1 et Terpsion, que nous allons résumer rapidement. Euclide précise qu il a mis par écrit le récit que Socrate lui a fait d une rencontre entre luimême, un mathématicien Théodore et un jeune Athénien, que la tradition considère comme un futur mathématicien important, Théétète (142c8-d1, 143b5-8). Pour en faciliter la lecture, Euclide l a mis sous la forme d une discussion à trois personnages (143b-c), ce qui ne peut manquer de rappeler la forme théâtrale. Toutefois, à l encontre de celle-ci, le chœur est absent ainsi que toute indication de mise en scène et tout décor 2. Contrairement aux autres dialogues socratiques, il s agit d une simple succession de discours, l effacement du narrateur interdisant tout jugement extérieur sur ce qui est dit ou ceux qui parlent. C est essentiellement une suite de dialogues entre Socrate et l un des deux protagonistes, les rares fois où les trois paroles s entrecroisent, sont de brefs intermèdes qui précédent un changement d interlocuteur. De manière inhabituelle dans l œuvre de Platon, il semble se défausser ici du travail d écriture sur un autre. Le récit est de Socrate, sa rédaction d Euclide (142c-143d) 3. En réponse à Socrate lui demandant des nouvelles des jeunes Athéniens qui le fréquentent et suivent son enseignement, Théodore évoque un élève exceptionnellement doué, ouvert et généreux (144a4-b8) ; l apercevant près de là, il l appelle, pour qu il les rejoigne (144d5-7). Il s agit du très jeune Théétète. Socrate propose alors de discuter ce qu est la science ( ejpisthvmh ) qu on pourrait également traduire par connaissance ou savoir (146a). En réponse Théétète en énumère une série, dont la géométrie. Socrate se moque de lui et de sa générosité (146d4-5), car à la question ce qu est la science?, le jeune garçon répond par une multiplicité d exemples. Suite à cette admonestation, Théétète dit se souvenir soudainement d un problème similaire, que lui et l un de ses camarades 4, s étaient posés à la suite d une leçon de Théodore à laquelle ils avaient assisté. C est le début de la partie mathématique de l ouvrage. 1 Euclide de Mégare, et non le mathématicien Euclide d Alexandrie auteur des Éléments, est selon la tradition le fondateur d une école philosophique appelée les Mégariques. Si l on suit Hermodore cité par Diogène Laërce ([Genaille 1965], I, p. 142), on peut raisonnablement penser qu il est né à Mégare avant 435. Comme l attestent de nombreuses traductions des Éléments, il a été longtemps confondu avec le mathématicien d Alexandrie. 2 Cela n est en fait pas tout à fait exact. S il est vrai qu il n est aucun décor au sens d un arrière-fond théâtral, il en existe bien un aux discours, de par les personnages introduits dans le prologue. Le contexte ainsi planté est celui de la géométrie, l un des personnages étant présenté comme un géomètre connu et âgé, l autre très jeune mais devant s y faire un nom, et Socrate lui-même, avouant, ce qui est exceptionnel de sa part, sa compétence en ces matières (145d3-5). Ainsi le décor est planté non au moyen d images, mais de discours. 3 C est en ce sens qu on peut dire avec A. Diès qu il est écrit presque sous la dictée de Socrate ([Dies 1926], notice à sa traduction, p. 121). Si cela n interdit pas que le dialogue lui-même soit une invention, même dans ce cas l intention de Platon serait d exclure une telle interprétation. 4 Ce camarade est nommé Socrate, homonyme du philosophe (147d1), par Platon. Il est traditionnellement désigné dans la littérature par Socrate le jeune, afin de les différencier. 3

4 ii) Géométrie et représentation. Les indices explicites concernant les méthodes utilisées dans la leçon mathématiques sont rares dans le texte de Platon, et sa reconstruction n'est pas tâche aisée. Pour évaluer et choisir parmi les nombreuses méthodes proposées, on s est intéressé très généralement aux questions de chronologie. Il s agissait de savoir si tel ou tel résultat nécessaire était connu ou pas à l époque du récit, une réponse négative conduisant soit à son rejet, soit à un changement adéquat dans cette méthode. Si une telle démarche a un sens pour un traité de mathématique, écrit par parties et dans la durée, elle est certes toujours nécessaire, mais insuffisante, pour un cours s adressant à des élèves. Il y a en effet des contraintes pratiques supplémentaires, de temps, de clarté, de simplicité et de lieu. Cela suppose aussi minimiser les appels à des résultats extérieurs et posséder un caractère aussi élémentaire que possible. Enfin, ce n est pas une simple accumulation de résultats, on ne peut se contenter de preuves partielles, d exemples, ou d affirmations à compléter par le lecteur 5. Cet idéal de rigueur est explicitement noté par Platon pour les mathématiques (162e8) 6. Une leçon a une cohérence, une durée et une manière de procéder qui la rend très largement autonome, et lui permet de figurer dans un ouvrage de philosophie. Nous allons montrer que, sous les conditions imposées par le texte, l ensemble des résultats rapportés par Théétète, pouvaient être rigoureusement établis dans le cadre des connaissances mathématiques de la fin du V ème siècle, et les démonstrations et les constructions graphiques nécessaires, réalisées dans le cadre d une leçon. Plutôt que de devoir supposer que cette partie mathématique soit symbolique ou encore réduite à un hommage à décrypter, il s agit, si ce n est d une leçon ayant réellement eu lieu peu avant la mort de Socrate, du moins une représentation fidèle, narrée par un participant 7, de ce qu un tel cours pouvait être. On a donc là un témoignage fiable des connaissances mathématiques au tout début du IVème siècle BCE, mais également des personnages qu elle décrit. 5 On retrouve ces trois cas dans les démonstrations des Éléments. 6 w/ eij ejqevloi Qeovdwro" h[ a[llo" ti" tw'n gewmetrw'n crovmeno" gewmetrei'n, a[xio" oujd! ejno;" movnou a]n ei[h. ( Si c était [de plausibilités] que voulait se servir Théodore ou quelqu un d autre parmi les géomètres pour parler géométrie, il ne vaudrait seulement rien, [Narcy 1995]). Il s agit certes ici de la rigueur en mathématiques, mais Socrate s adresse à Théétète qui approuve chaudement : Mais ce ne serait pas juste ( ouj divkaion ), Socrate [de se servir de plausibilités]. Toi-même le nierait, autant que nous pourrions le faire. ( ajll! ouj divkaion, w\ Swnkrate", ou[te su; ou[te a]n hjmei'" fai'men, 163a1). Le terme utilisé par Théétète ouj divkaion signifie contraire à la coutume, aux règles, et Théétète s insurge contre l idée même d une telle possibilité. L idéal de rigueur géométrique n était donc pas admis par les seuls géomètres, mais bien au-delà, et certainement par ceux qui apprenaient sérieusement les mathématiques comme Théétète, quelque jeune qu il fût (cf. aussi [Caveing 1998], p ). Il est encore plus inconcevable que leur professeur transgresse de quelque manière que ce soit cet idéal. En outre, si l on considère la leçon donnée par Socrate au jeune serviteur du Ménon (82a-85b) elle est rigoureuse (ou du moins pourrait facilement être rendue comme telle). Cela invalide la thèse de ceux qui considèrent que des jeunes garçons devaient se désintéresser des preuves et ne s occuper que des seuls résultats ([Szabo 1977], p. 65 ; et plus généralement le courant critique, cf. infra, paragraphe 2), ou se contenter d approximations ([Hultsch 1893]). Cela montre également l impossibilité de comprendre le passage mathématique en l isolant du reste de l ouvrage, et la nécessité de le réintroduire en tant que partie de celui-ci. 7 À savoir Théétète. Son récit étant toutefois, d après Platon, revu et corrigé par Socrate (143a3-4), pour finalement être mis en forme par Euclide (cf. supra i) et aussi note 3). 4

5 2. Le statut de la partie mathématique. Elle débute par le récit, rapporté par Théétète à Socrate, d une leçon de Théodore à laquelle il a assisté en compagnie de (l autre) Socrate 8. Elle a donné lieu à d innombrables controverses, et la littérature secondaire la concernant est immense. L un des problèmes les plus discutés est la démonstration de Théodore, absente du récit Une première question concerne l intérêt même de cette partie, à la fois pour l histoire des mathématiques et pour son rôle dans le Théétète. La mise en question de l importance mathématique et/ou de son exactitude, provient essentiellement d un petit nombre d historiens et de commentateurs, que nous regrouperons sous le terme de courant critique. C est la lecture d Arpad Szabo qui considère que les exposés des deux personnages sont triviaux, et les résultats dont ils parlent, bien connus à cette époque, la fin du V ème siècle BCE (cf. [Szabo 1977], p ). Ils considèrent qu il s agit d une sorte de compte-rendu d activité de deux mathématiciens (ou futur mathématiciens) Théodore et Théétète. Mais alors que Théétète et Socrate (le jeune) croient avoir fait de grandes découvertes, ils ont énoncé une suite de banalités, reprenant avec plus ou moins d intelligence la leçon de Théodore qui, elle-même, se ramène à la seule construction, sans démonstrations, de grandeurs irrationnelles. Leur scepticisme s étend naturellement à l importance philosophique de cette partie, Platon se contenterait de donner alors un simple exemple d unification d une multiplicité 9. Inversement, nombre de commentateurs, tel M. Burnyeat, pensent que cette partie est importante pour comprendre l histoire des mathématiques grecques, car elle retrace fidèlement les travaux, ou futures travaux, de Théodore et du jeune Théétète. Mais, en accord avec le courant critique, ils considèrent que si Platon ne donne pas les méthodes démonstratives, c est qu elles ne jouent aucun rôle dans la compréhension du dialogue, leur recherche étant inutile 10, ou un jeu pour mathématiciens 11. Si tel était le cas, ce serait certes dommage pour notre connaissance des mathématiques anciennes, mais ce n est pas ce qui importerait à Platon. Pourtant, on peut invoquer de nombreux témoignages extérieurs au texte, sur l importance tenue par cette partie, ainsi que l étroite communion entre mathématiques et philosophie platoniciennes 12. Mais le principal argument à l encontre cette thèse, est qu elle n est pas en accord avec le texte, son arrière-plan 8 Dans Le Politique, face à l Étranger, celui-ci prend la place tenue par Théétète dans le Sophiste. 9 Cette analyse, n est pas seulement celle du courant critique. Ainsi T. Heath partage au moins partiellement cette opinion, si ce n est qu il la restreint à la seule leçon de Théodore et non à la suite donnée par Théétète (cf. [Heath 1921], p. 205). 10 Myles Burnyeat débute d ailleurs son commentaire du livre de Platon ([Burnyeat 1998]) directement à partir de 151e1, c est-à-dire en sautant, entre autres, le passage mathématique, qu il étudie cependant, de manière indépendante, dans un article ([Burnyeat 1978]). S il insiste sur son importance et son exactitude pour l histoire des mathématiques grecques, il pense qu il ne joue aucun rôle relativement à l objectif platonicien consistant à amener le lecteur à réfléchir sur ce qu est le «savoir». Ce n est qu un autre exemple de définition, comme celui de la boue ( phlov" ) donnée précédemment par Socrate (147a, c), si ce n est qu il est plus complexe et étendu. Son inclusion aurait pour but de montrer l excellence de Théétète, annoncée dans la «prophétie» de Socrate, citée dans le prologue et détaillée par Théodore au tout début du dialogue. 11 Ou une fiction poétique dit H. Zeuthen, en accord sur ce point avec H. Vogt. Le but de Platon serait alors de donner les contributions respectives apportées par Théodore et Théétète à la théorie de l irrationalité finalisée chez Euclide ([Zeuthen 1910], p. 398). 12 Le plus connu, est la légendaire inscription (cf. [Saffrey 1968]) au fronton de l Académie, refusant son entrée aux nongéomètres, et sur laquelle K. Popper fonde une analyse de la conception mathématique de Platon ([Popper 1952], p , 253). 5

6 géométrique et la centralité qu y tiennent les notions mathématiques, en particulier l irrationalité 13. Elle serait acceptable si Platon écrivait pour nous autres modernes. Mais le texte est destiné à des lecteurs de la Grèce classique qui étaient au fait des résultats mathématiques de l époque, dont débattaient les Athéniens cultivés, et certainement les membres de l Académie 14. Ainsi Platon et Aristote se contentent d indiquer de manière si concise les exemples mathématiques, que les historiens des mathématiques ont les plus grandes difficultés à les reconstituer. Et pourtant, ils devaient être immédiatement intelligibles à leurs lecteurs. Platon en donne deux indications dans le Théétète : d une part, dans le prologue, Théodore, mathématicien venant de l autre bord de la Méditerranée 15, paraît parfaitement connu à la fois de Terpsion et d Euclide (143b9), et d autre part Socrate remarque, en passant, que Théodore était suivi d une troupe nombreuses de jeunes garçons désireux d apprendre la géométrie (143d8). La seule explication raisonnable à l absence d informations sur les preuves ne saurait être, de l avis de Platon, qu on puisse les négliger, mais au contraire qu elles étaient présentes aux yeux de tous. Comme pour les autres exemples mathématiques, aucun éclaircissement n était nécessaire. Si problème il y a, c est le nôtre, 2500 ans après 16. Comme cela a souvent été remarqué, de faibles indices suffisent à reconstituer une démonstration mathématique. Au vu de la multiplicité des méthodes proposées, les départager pourrait s avérer une tâche impossible. Toutefois, comme on va le voir, les indications données par Platon, couplées à ce que l on peut savoir des mathématiques de son époque, sont suffisamment discriminantes pour éliminer la plupart des constructions proposées, y compris les plus largement acceptées. Le problème n est pas de choisir entre elles, mais d en obtenir une compatible avec les textes. C est ce que nous allons tenter de faire ici. 13 Plus particulièrement l opposition lovgo"/ajlovgo". Voir aussi l analyse de Michel Narcy sur l aspect circulaire de l ouvrage dans l introduction à sa traduction ([Narcy 1995], en particulier p. 17). 14 Socrate, décrit par Platon, n est certainement pas un mathématicien. Et pourtant, Théétète s adresse à lui, sûr d être compris sans avoir même à détailler son sujet. Il en fait même le juge de la qualité du travail fait en commun avec son camarade, l autre Socrate. Un peu plus tard, Aristote souligne, dès le début de la Métaphysique, l importance que les mathématiques avaient prise dans l Académie, et plus largement chez les philosophes (A, 9, 992a35-b1). M. Burnyeat reconnaît d ailleurs que le dialogue devait être lu devant des gens compétents en mathématique en particulier les membres de l Académie : Un fois encore, rappelons-nous que l ensemble tout entier des réussites mathématiques de Théétète devaient être familier à beaucoup dans l assistance à l occasion de la première lecture du Théétète à l Académie ([Burnyeat 1978], p. 508). En outre, Platon ne pouvait écrire pour ses seuls disciples ou partisans. Il devait prendre en compte ses adversaires (cf. l anecdote rapportée par Diogène Laërce, [Genaille 1965], VI, 2, 40). Décrire des événements ou des personnages de manière totalement déformée, c était offrir ses thèses aux moqueries de ses détracteurs. 15 Il est originaire de Cyrène, une colonie grecque située sur la côte de l actuelle Lybie. Lorsque Socrate l aborde, il lui parle comme s il aurait été naturel de lui demander des nouvelles de Cyrène (143d1-4), ce qui indique qu il en était parti vraisemblablement peu de temps auparavant, 16 M. Burnyeat n ignore pas totalement cet aspect puisqu il écrit, il est vrai à propos de la contribution de Théodore aux mathématiques : le tableau serait naturellement plus claire au premier public du dialogue qui était contemporain de Théétète et de son travail ([Burnyeat 1978], p. 503). Et aussi un peu plus loin pour défendre sa position vis-à-vis de la valeur mathématique de cette partie, il remarque : La preuve, et les applications [de la théorie de l irrationalité] étaient encore à venir, comme le public de Platon devait le savoir, preuve ajoute-t-il en note, que naturellement nous ne possédons pas (ib., p. 511). 6

7 3. Retour sur la leçon de Théodore. i) La méthode de construction de Théodore. Pour les détails de la preuve de Théodore, nous renvoyons à [Ofman 2013]. Brièvement, il étudiait la rationalité ou l irrationalité des racines carrées des impairs compris entre 3 et 17. Sa méthode se fondait sur une propriété anciennement connue des carrés parfaits impairs 17, et par un procédé géométrique subtil, il en déduisait, en termes modernes, l irrationalité de la racine carrée des entiers impairs dont le reste de la division par 8 est différent de Nous avons vu que c était la seule méthode de démonstration compatible avec le texte de Platon (et les connaissances mathématiques du V ème siècle B.C.E.) 19. Nous allons étudier ici les figures ou diagrammes à partir desquelles seront établies ces démonstrations d incommensurabilité. C est un point essentiel pour décider si ce texte présente un véritable intérêt ou n est qu un jeu sans contenu mathématique réel, une figure de style prolongeant l exemple fourni précédemment par Socrate 20. Pour Théodore, il s agit tout d abord de montrer les objets sur lesquels il va travailler 21. D après le récit, cela est fait en deux étapes étroitement liées. En effet, Théodore, nous est-il rapporté, a dessiné quelque chose à propos (des côtés) des carrés d aire entière et montré que certains côtés étaient incommensurables relativement à celui d un pied de long (147d3-8). La construction a donc eu lieu soit, comme le suggère le texte 22, juste avant cette étude sur l incommensurabilité 23, soit dans un cours précédent. Dans ce cas, Théodore devait au moins répéter ces constructions, quitte à se borner au rappel des démonstrations. Pour de simples raisons de durée, ce serait impossible avec les méthodes usuelles. Il ne fait aucun doute que ces constructions passent, d une manière ou d une autre, par l utilisation du théorème de Pythagore 24. On a proposé une construction des côtés incommensurables à l unité en quelque sorte récursive, par son application directe, et on serait tenté de la suivre tant elle paraît simple et naturelle En termes modernes, tout carré parfait impair est congru à 1 modulo En termes plus savants, pour tout impair n non congru à 1 modulo 8, sa racine carrée est irrationnelle. 19 Cf. [Ofman 2013], 6. Outre expliquer le début au nombre 3 et l arrêt à 17, la preuve évite la théorie des entiers relativement premiers, car sinon, ainsi que l avait immédiatement remarqué T. Heath, ([Heath 1921], p ), on aurait une démonstration d irrationalité très générale, et non pas comme le rapporte le récit de Théétète au cas par cas ( kata; mivan ejkasthn ). Enfin, comme le veut Théétète, elle s expose sans difficulté dans le cadre d une unique leçon. 20 Il s agit du texte qui amène Théétète à se souvenir brusquement de la partie mathématique. Socrate y donne un exemple de ce qu il entend par définition (ce qu est la boue ou la glaise (phlov")) en opposition à la liste énumérative donnée par Théétète pour définir ce qu est la science (147a1-c5). 21 Plus loin, Théodore se vante d avoir abandonné les vaines paroles ( tw'n yilw'n lovgwn ) qu il oppose à la géométrie (165a2). Il est vrai que dans une longue note, T. Heath soutient que suivant le récit de Théétète, le géomètre n a pas dessiné de figures. Cela résulte d une analyse du terme e[grafev qui selon lui renverrait ici à une pure démonstration, ce qui est très disputé. Quoiqu il en soit, c est pour immédiatement ajouter qu il n a pas le moindre doute que Théodore dessinait effectivement des figures ([Heath 1921], p. 203, note 2 ; cf. aussi [Knorr 1975], p et et infra, 5.i)). 22 La ligne 147d3 insiste sur l aspect graphique de la leçon toute entière : peri dunavmewvn ti hjmi'n Qeovdwro" o{de e[grafe ( Théodore ici présent, nous dessinait quelque chose à propos des puissances ([Narcy 1995]) ; voir aussi infra, dernière partie. 23 Cf. [Knorr 1975], p La plupart des historiens des mathématiques s accordent sur ce point ; pour n en citer que quelques-uns, T. Heath, M. Caveing, W. Knorr. On trouve des traces très anciennes de ce théorème, par exemple chez les anciens Babyloniens. Cf. l étude de la tablette de Plimpton 322 (autour du 2ème millénaire B.C.E.) par Neugebauer et al. ([N-S-G 1945]) ou plus récemment Eleanor Robson ([Robson 2002]). 25 Elle est si populaire qu on lui a donné le nom de spirale de Théodore. On la trouve par exemple pour les premiers termes chez Hermann Schmidt ([Schmidt 1877], p ). C est aussi celle que retient van der Waerden ([Waerden 1963], p. 142), à la suite de son collègue J.H. Anderhub, et elle apparaît à la fois en couverture et dans le texte de l ouvrage. 7

8 Supposons en effet qu on ait construit le côté de longueur pieds. On trace alors à son extrémité un segment orthogonal de longueur un pied (cf. figure 1 ci-dessous). D après le théorème de Pythagore, en notant h la longueur de l hypoténuse du triangle rectangle ainsi formé, on a : h 2 = ( ) = n + 1, d où : h = 1 pieds, ce qui permet de procéder de proche en proche. En commençant par le segment de 1 pied, de long on obtient les racines carrées des entiers successifs, 2 pieds, 3 pieds,..., d où un dessin en spirale : 1 pied 1 pied 1 pied Figure 1 pied 1 À 17, on a fait un peu moins d un tour complet (cf. infra, note 28), et si l on veut continuer, le dessin déjà construit sera recouvert 26. Le géomètre n irait alors pas plus loin, et on comprendrait ainsi l arrêt en 17. Ce ne saurait être toutefois la méthode de Théodore. Tout d abord, comme cela a déjà été avancé 27, on ne la trouve dans aucun des textes qui nous sont parvenus. Cela n est toutefois pas décisif, car ce pourrait être une construction personnelle à Théodore, ou particulière à la période pré-euclidienne dont aucune trace ne subsisterait. Mais surtout, elle n est pas cohérente avec le texte platonicien. D une part cette construction débute nécessairement par la construction du côté de 1 pied de long, puis de 2 pieds, alors que d après le récit de Théétète elle commence directement par celui de 3 pieds. D autre part, elle doit nécessairement passer successivement par tous les entiers jusqu à 17, alors que le carré de côté 2 pieds (de surface 4, un carré parfait) n est pas considéré par Théodore qui passe directement de 3 à 5 (147d4). En outre, il devrait traiter le cas des grandeurs paires, ce qui peut être exclu (cf. [Ofman 2013], 6). 26 Dans la traduction française de l ouvrage de Szabo [Szabo 1977] (mais ni dans l édition originale en allemand, ni dans la traduction anglaise) le segment qui suit, donnant 18, est dessiné de manière erronée comme aligné avec le côté du premier triangle (figure 9, p. 61). 27 Cf. [Knorr 1975], p et

9 De plus, la raison qui l aurait l empêché de continuer, devoir effacer les premiers triangles, serait d ordre pictural, mais certainement pas mathématique 28, et la construction est bien trop longue pour participer d une seule leçon. Enfin, il serait très difficile de travailler sur ce dessin, pour des raisons mathématiques de superposition. Ou alors, il faudrait qu il y ait deux démonstrations sans relation entre elles, tandis que le texte suggère au contraire une unité de la présentation de Théodore 29. On peut en conclure que le géomètre n utilise pas directement le théorème de Pythagore, mais un résultat dérivé, lui permettant de construire les moyennes proportionnelles générales. En termes modernes, il s agit de la : Proposition A : Soit h la hauteur d un triangle rectangle construite sur l hypoténuse. Elle découpe celle-ci en deux segments de longueur respective a et b. Le carré de h est alors égal au produit de a et b i.e. h 2 = a b. Dans la terminologie de la proposition II.14, cela s exprime par : le carré construit sur h est égal au rectangle construit sur a et b. La démonstration suit immédiatement du théorème de Pythagore et de l identité additive : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 qui dans le langage des mathématiciens grecs s énonce : le carré de côté (a+b) est égal à la somme du carré de côté a et du carré de côté b augmenté de deux fois le rectangle de côtés a et b 30. La démonstration de la proposition est alors la suivante : 28 La spirale complète est en effet très esthétique. D un point de vue pictural, il serait en effet dommage de la gâcher en repassant sur elle. Par contre, mathématiquement ou pédagogiquement, on ne voit pas où se situerait le problème : Et comme cela avait été souligné par Socrate, Théodore n était pas un esthète en peinture (145a1-2). On peut également noter l aspect répétitif du traçage des côtés des triangles, qui n est guère adapté à un cours pour des enfants. 29 Par exemple [Knorr 1975], p Géométriquement, on a : C est le dessin accompagnant la proposition 4 du livre II des Éléments, si ce n est que la diagonale DF est tracée. En effet, il s agit dans cette proposition de prendre un point arbitraire G sur le segment CD, et de tracer tout d abord le carré de côté GD inclut dans le carré CDEF (correspondant dans notre dessin au carré (b,b)) puis le carré complémentaire (a,a). Plutôt que de les construire, il est beaucoup plus simple de remarquer que le sommet commun de ces deux carrés se trouve sur la diagonale DF, ce qui est soigneusement prouvé dans la démonstration. 9

10 C d a c H e A h b Figure 2 B Soit ABC un triangle rectangle et AH sa hauteur. On applique trois fois le théorème de Pythagore : a) Tout d abord au triangle ABC, d où : a 2 = b 2 + c 2 (1) b) Au triangle AHC, d où : c 2 = d 2 + h 2 (2) c) Au triangle AHB, d où : b 2 = h 2 + e 2 (3) En additionnant les égalités (2) et (3), on a : c 2 + b 2 = d 2 + h 2 + h 2 + e 2 = d 2 + 2h 2 + e 2. D après l égalité (1), on obtient: a 2 = b 2 + c 2 = d 2 + 2h 2 + e 2. Et puisque a = d + e, l identité additive donne : a 2 = (d + e) 2 = d 2 + 2de + e 2, d où a 2 = d 2 + 2de + e 2 = d 2 + 2h 2 + e 2, et donc : 2de = 2h 2, ce qui donne finalement : h 2 = de 31. Là encore, comme dans la note 30 supra, il faudrait traduire dans le langage des mathématiciens grecs où les carrés algébriques sont des carrés géométriques et les produits des rectangles, à la manière de la proposition 14 du livre II des Éléments d Euclide 32. Une autre façon d énoncer la proposition est de dire que h est la moyenne proportionnelle de a et b, puisque le résultat de la proposition s écrit encore : a/h = h/b. Les constructions se ramènent alors à tracer deux segments perpendiculaire et des cercles passant par un point fixe et de rayons croissants à chaque fois d une unité. Leurs intersections avec le segment vertical donnant le côté des carrés cherchés : Ainsi, la construction du côté de carré 3 pieds 33 se fait de la manière suivante : 31 T. Heath pour sa part, pense que la démonstration originale du théorème de Pythagore est une conséquence d une théorie pythagoricienne primitive des triangles semblables, formalisée au début du livre VI des Éléments ([Heath 1921], p Dans ce cas la proposition A, qui en est une conséquence évidente (cf. le porisme de la proposition VI.8) ne résulterait pas du théorème de Pythagore, mais le précéderait. 32 Son énoncé est toutefois différent, en tant qu il s agit de construire géométriquement le carré de surface égal à un rectangle donné (à savoir dans notre cas celui de côtés CH et HB). La preuve euclidienne est d une certaine manière plus économique (cf. note suivante) car elle n utilise qu une fois le théorème de Pythagore. En revanche elle nécessite la construction du cercle de diamètre CB et l identité soustractive : a 2 b 2 = (a b)(a+b), qui est un peu moins évidente que celle du carré d une somme. Il est bien sûr impossible de décider entre les deux démonstrations, et d ailleurs, rien n est moins sûr que Théodore ait démontré ce résultat dans la leçon dont il est question ici. 33 Dans cette partie, le pied qui est une unité de longueur (environ 30 cm), sert d unité de surface, ce que nous appellerions plutôt un pied carré. Les termes trivpodo", pentevpodo", ejptakaidekavpodo" (147d3-6) indiquent des carrés d aire respective 3, 5 et17 pieds (carrés). Les longueurs quant à elles, n y sont pas exprimées en pieds, mais indirectement comme les côtés de tels carrés de surface donnée. On pourrait donc penser qu il n est pas de confusion possible. Pourtant, l emploi du nom podiaiva (le pied ), par rapport auquel les autres côtés sont mis en rapport, peut prêter à controverse : s agit-il ici de la longueur d un pied ou de la surface du carré de côtés un pied, les traducteurs ne sont pas d accord. Cette ambiguïté ne facilite pas la compréhension du texte. On la retrouve également dans l argumentation de Socrate sur le doublement de la surface du carré dans le Ménon (82a-85b) (cf. [Canto 1993], note 138, p. 264). 10

11 A C 3 pieds P 1 pied 3 pieds B Figure 3 Il y a 4 étapes : i) Construction d un segment AB de longueur 4 pieds ii) Construction du point P sur ce segment le découpant en deux segments respectivement de longueur 1 et 3 pieds iii) Construction d un cercle de diamètre AB iv) Traçage de la perpendiculaire en P au segment initial. Le point C intersection de cette perpendiculaire avec le cercle donne un segment PC de longueur 3 pieds. Cela résulte de la proposition A ci-dessus, en remarquant que le triangle ACB est rectangle en C 34. C est la situation considérée par le commentateur anonyme du Théétète ([Diels-Schubart 1905]), et c est essentiellement, dans le cas particulier métrique de 3 pieds, la construction de la proposition 14 du livre II des Éléments (et du dessin l accompagnant) 35. La leçon complète conduit aux graphiques suivants : U U U P O A B C P O A B E P C D O A B C D E F G 3 pieds 5 pieds 1 pied Figure 4 7 pieds 34 Ce qui suit de la proposition III.31 des Éléments. Ce résultat est considéré comme très ancien, comme tous ceux utilisés ici, ainsi Diogène Laërce cite Pamphile qui attribue à Thalès cette propriété de l angle circonscrit dans un demi-cercle ([Genaille 1965], I, 1, 24, p. 52). 35 En fait, comme nous l avons remarqué à la note 32, la démonstration euclidienne est plus économique et élégante, en ce sens qu elle n emploie qu une fois le théorème de Pythagore et n utilise pas le résultat de l angle intercepté par le diamètre d un cercle (à savoir qu il est droit), c est-à-dire la proposition III.31. En notant O le centre du cercle (i.e. le milieu du segment AB), elle s écrit en termes modernes : OC 2 = OP 2 + PC 2 (théorème de Pythagore), d où puisque OB = OC, on a : OB 2 = OP 2 + PC 2, d où PC 2 = OB 2 - OP 2 = (OB+OP)(OB-OP) = BP (OB-OP) et puisque OB = OA, on obtient : PC 2 = BP (OA-OP) = BP AP. 11

12 On continue ainsi jusqu à 17 pieds. L'intersection X des cercles avec le segment vertical OU donne le côté des carrés cherchés (en termes modernes, les segments OX sont de longueurs respectives 3 pieds, 5 pieds,, 17 pieds). Le premier cercle est de centre A et passe par P ; son rayon est : PA = PO + OA = 2 pieds. Il intersecte la droite horizontale au point C, et le segment OU en un point X, en sorte que, d après la proposition A (cf. supra), h = OX est la moyenne géométrique de OP et OC i.e. h 2 = 1 3 pieds d où h = 3 pieds. Le second cercle que l on considère est celui de centre B passant toujours par P. Il est de rayon : PB = PA + AB = 3 pieds (une unité de plus que le précédent) et intersecte donc la droite horizontale au point E. En notant toujours X son point d intersection avec OU et h = OX, on aura : h 2 = 1 5 pieds d où h = 5 pieds. Et ainsi de suite jusqu à 17. On obtient ainsi les racines carrées, ou de manière moins anachronique, les côtés des carrés de surface entiers impairs, jusqu à 17. On est alors amené à tracer 8 figures successives (correspondant aux entiers impairs compris entre 3 et 17) d après notre construction (et entre 12 et 14 d après les autres, cf. [Ofman 2013], 6). On comprend le scepticisme de beaucoup sur la possibilité produire dans le temps d une seule leçon, la totalité de ces constructions, qui en outre ne sont que les préliminaires au sujet principal, l incommensurabilité des côtés de ces carrés par rapport à l unité. Il est heureusement possible de tracer la totalité de ces dessins sur un seul graphique en remarquant qu il s agit de trouver les intersections de cercles situés sur la même droite (l horizontale) avec une même droite (la verticale). On obtient alors la figure suivante : U P O A B C D E F G H I 1 pied Figure 5 Tous les cercles tracés passent par le point P où PO et tous les segments successifs OA, AB, BC, CD, EF, FG, GH et HI sont de longueur 1 pied. 12

13 ii) La construction des carrés. Dans le cadre d un cours de géométrie, où le dessin est le fondement des raisonnements, la construction des carrés est nécessaire. Néanmoins, d un point de vue pratique, il s agit de tracer 8 cercles de rayons de plus en plus grands, jusqu à un peu moins de 10 pieds, ce qui est certes possible, mais demande une grande surface et est peu pratique. De plus, gardant à l esprit le cadre, cette construction paraît longue et ennuyeuse, surtout pour une audience de jeunes garçons, aussi passionnés soient-ils par la géométrie. Il est donc improbable que Théodore ait construit de cette manière, les côtés puis les carrés associés, un à un (147d5). Comme on va le voir, cela n est pas nécessaire, et il est possible, sur la même figure, de tracer cercles (du moins les parties nécessaires) et les carrés, en remarquant que : a) On peut tracer des cercles en conservant la même droite pour diamètre de base et en gardant l extrémité P fixe, l autre extrémité variant. b) Pour passer d un impair au suivant, le centre du cercle à construire est déplacé d une unité. c) Il n est pas nécessaire de tracer le cercle tout entier mais seulement l arc de cercle à proximité de la perpendiculaire OU. On obtient alors la figure suivante : 4 pieds 3 pieds U pieds pied P O A B C D E F G H I Figure 6 1 pied Une fois les sommets des carrés 3, 5, 17 pieds tracés sur le segment OU, il s agit d obtenir les autres sommets pour compléter ces carrés. Ainsi pour le premier carré, correspondant au côté h = 3 pieds, ayant obtenu le premier côté OQ sur le segment OU, on trace le cercle ce centre O et de rayon h, et son intersection R avec le segment OI donne le deuxième côté. On a ainsi trois sommets du carré cherché (à savoir O, Q et R), il reste à en obtenir le quatrième. La stratégie d Euclide dans la démonstration de la proposition I.46 est complexe à mettre en œuvre. Mais il est d autres possibilités, ainsi tracer les deux cercles de rayon h et de centres 13

14 respectifs Q et R. Ils se coupent en deux points ; l un est O, l autre le quatrième sommet cherché. On peut procéder de même pour les autres carrés. Toutefois il est possible de la simplifier, une fois encore, en remarquant que, comme dans le dessin de la proposition II.4, les quatrièmes sommets de tous les carrés sont sur la diagonale passant par O du premier carré. Plutôt que d obtenir l intersection de deux cercles, ce qui est délicat lorsque le diamètre croît, on est ramené à celle d un cercle avec cette diagonale, ce qui est beaucoup plus simple 36. Ces constructions n exigent, en effet, que des petits arcs de cercles proches de ces droites, ce qui est aisé à faire de manière précise. Enfin les seuls instruments nécessaires pour tracer ces diagrammes sont extrêmement simples : un cordeau, un bâton pour tirer les lignes, et éventuellement pour simplifier le travail tout en étant plus précis, un gnomon 37 où serait marquée la longueur de 1 pied. 36 C est la stratégie adoptée dans la démonstration de la proposition II.4 des Éléments pour la construction des carrés (cf. supra, note 30). L intérêt est de remplacer le traçage de cercles par celui de droites. 37 Nom générique de toutes sortes d équerres très polyvalentes, instruments utilisés très tôt en particulier pour les observations astronomiques, puisqu on les fait remonter aux anciens Égyptiens et Babyloniens. 14

15 iii) Les dessins mathématiques en Grèce ancienne. On voit sur la représentation de la Figure 6 ci-dessus apparaître une difficulté lorsqu il s agit de représenter un grand nombre de côtés, c est-à-dire de racines carrées d entiers. Lorsque n croît, il devient plus difficile au fur et à mesure, de distinguer les sommets les uns des autres (i.e. entre et 1 ). On aurait ainsi la raison qui avait amené Théodore à s arrêter à 17, les sommets des carrés sur le segment OU s accumulant autour de 19. La thèse d une interruption pour des considérations pratiques a d ailleurs été défendue par certains historiens. Le texte toutefois n indique pas de cause à cet arrêt, si ce n est un certain étonnement de la part de Théétète, difficilement explicable si la raison est si simple et expliquée par Théodore (147d7) 38. Il n est toutefois pas impossible de produire une traduction compatible avec cette thèse 39. Ce serait oublier que les techniques de dessins mathématiques étaient différentes des modernes, utilisant papier ou tableau. Il s agissait de construire des figures sur le sable ou la terre meuble, dans des endroits ad hoc, ainsi des stades, des jardins ou des plages 40. Il était donc possible de tracer des cercles ou des segments de droite beaucoup plus grands que ce à quoi les modernes sont habitués. Ainsi dessiner de nombreux petits arcs de cercles de rayon 3 mètres 41 ou plus ne pose aucune difficulté avec un cordeau 42. On est alors ramené pour le côté des 4 derniers carrés de Théodore ( 11 pieds, 13 pieds, 15 pieds, 17 pieds) au graphique de la Figure 7 ci-dessous, à l échelle 1:5. Certes, un dessin sur le sable, utilisant piquets ou bâtons, est bien moins précis que tracé avec de l encre sur du papier. Mais à une échelle réelle (cf. infra, note 44), il n y a aucun problème à distinguer les côtés entre eux, aussi bien que du suivant ( 19 pieds). 38 Ce qui va à l encontre d un arrêt purement aléatoire (soutenue par exemple dans [Szabo 1977], p , à la suite de Heinrich Vogt [Vogt 1909 et 1913]). Dans ce cas, Théodore par induction passerait de quelques exemples à la totalité infinie des cas. Cette ligne du Théétète est objet de nombreux débats parmi les commentateurs. Ils concernent les termes pw" ejnevsceto. Depuis une cinquantaine d années, la discussion porte essentiellement sur ejnevsceto, s il a le sens faible de s est arrêté ou plus fort s est arrêté à cause d un obstacle. Toutefois, et c est ce qui importe ici, le terme pw" ajoute cette composante de questionnement, souvent traduit par je ne sais pourquoi ([Dies 1926]), ou je ne sais comment cela se fit ([Robin 1950-a]) ou encore quelque chose l a arrêté là ([NAR 1995]), même s il est parfois supprimé, sans explication (ainsi [Fowler 1921]). 39 On a là un exemple des dangers d analyse circulaire, interpréter un texte afin qu il soit en accord avec la méthode mathématique, puis s appuyer sur cette méthode pour justifier cette interprétation.. 40 On dit que le philosophe Aristippe, disciple de Socrate, s'étant sauvé d'un naufrage sur les côtes de l'île de Rhodes, et ayant aperçu des figures géométriques tracées sur le sable, s'écria en s'adressant à ceux qui étaient avec lui : «Ne craignons rien, je vois des traces d'hommes!» ([Vitruve 1837], préface au livre VI). Cette anecdote rapportée de manière un peu différente (par exemple le naufrage aurait eu lieu à Syracuse et non Rhodes) apparaît également chez Galien ([Galien 2000], chap. 5). Voir aussi par exemple Aristote notant l habitude des mathématiciens de tracer des dessins sur le sol (Métaphysique, M 3, 1078a19). Le Ménon est moins explicite, car indirect : lorsque Socrate dessine des figures devant le jeune serviteur, il ne réclame ni instrument, ni support (82a-b). Soit il n en utilise aucun, soit ils sont disponibles à peu près partout, car ni Socrate, ni Ménon n étant mathématiciens, il n est aucune raison qu ils aient des instruments spécialisés. 41 C est à peu près la valeur du rayon du cercle qu il faut tracer pour obtenir le dernier carré correspondant à celui de côté 17 pieds. Il est possible de tracer au cordeau le cercle tout entier, mais cela est pénible, surtout s il faut répéter l opération plusieurs fois. Par contre tracer de petits arcs proches de trois droites données est aisé. 42 Des constructions circulaires extrêmement précises de plusieurs dizaines de mètres de rayon sont attestées très anciennement en architecture, ainsi dans certains sites celtiques datant d un millénaire BCE. 15

16 = 9 Figure 7 On pourrait alléguer d un arrêt pour une cause inverse : la démesure du dessin lorsque le nombre croît 43, considérant que les dessins sont à échelle réelle (1:1), ce qui ressort effectivement du texte 44, mais aussi une utilisation directe du théorème de Pythagore, à la manière de la spirale de la Figure 1, ce qui, on l a vu, va à l encontre du texte de Platon (cf. supra, i)). Si au contraire on suit la construction de la Figure 6, les dessins consistent à construire des segments de longueur au maximum 7 pieds (environ 2,20) ce qui est tout à fait raisonnable M. Paiow, s appuyant sur des textes de Vitruve et des données archéologiques, a soutenu que les dimensions du stade s opposaient à un tracé plus grand que 15 pieds (environs 4,5 m, [Paiow 1982], p. 95), et il a certainement raison de penser que Théodore est non seulement un excellent mathématicien mais aussi un excellent pédagogue pour attirer autant de jeunes. Mais il a certainement raison de penser que Théodore, tel que décrit par Platon, est considéré par les Athéniens, et sans doute les Grecs en général, non seulement un excellent mathématicien mais aussi un excellent pédagogue pour attirer autant de jeunes. Mais pas plus que l exclamation socratique a[ristav g! ajnqrwvpwn, w\ pai'de" en 148b3, cela n engage Platon (cf. [Ofman 2010], 7.ii). 44 Théodore ( ) faisait apparaître que [ces puissances] n étaient pas commensurables en longueur avec la ligne d un pied de long (147d3-6). En outre, il serait étrange de souligner la longueur d un pied de long et de dessiner une autre longueur, ce qui ne pourrait être qu un objet de confusion pour de jeunes élèves apprenant les mathématiques (cf. infra, note Erreur! Signet non défini.). 45 Dans le Ménon, Socrate trace quant à lui des figures toutes contenues dans un carré de 4 pieds de côté (cf. 82a-85b), donc d aire 16 pieds, c est-à-dire du même ordre de grandeur que les carrés de Théodore. F. Acerbi se demande si le pied ( podiavia ) utilisé en mathématiques pré-euclidiennes (et même pré-aristotéliciennes) était la mesure véritable ( un pied soit environ 30 cm) ou en réalité un nom symbolique d une unité graphique dépendant du choix du géomètre traçant un dessin. Un pied correspondrait alors à une longueur arbitraire encore appelée pied pour d obscures raisons ([Acerbi 2008], p. 121). L auteur penche pour la seconde possibilité. D après notre analyse, on ne peut utiliser la leçon de Théodore pour appuyer ce point de vue, ce qui ne va pas à l encontre de la thèse d Acerbi qui voit précisément un changement se produire à l époque d Aristote, où l on passerait du pied réel à un pied symbolique. La question a son origine chez Aristote qui pose le problème de savoir comment un mathématicien peut raisonner juste sur une figure fausse (Métaphysique, M 3, 1078a19-20 ; N 2, 1089a23-26 ; Premiers Analytiques, I, 41, 49b35-37 ; Seconds Analytiques, I, 10, 76b38-39). 16

17 4. Retour sur le procédé d anthyphérèse. i) Méthode et applications. Une autre proposition d un arrêt pour une difficulté pratique, mais fondée sur une raison plus théorique, a été défendue par certains historiens et mathématiciens 46. La méthode de Théodore serait celle de l anthyphérèse qui s avèrerait particulièrement difficile pour le cas 19, ce qui l aurait incité à s arrêter avant 47. Le terme anthyphérèse est une translittération, plus ou moins fidèle, du grec ajnqufaivresi", formé à partir de ujfaivrew ( soustraire ) et anti qui donne un sens de réponse, d alternance 48. Le substantif lui-même n apparaît pas chez Euclide, et dans les Éléments c est une forme verbale qui est utilisé pour introduire ce procédé au début des livres VII et X 49. Cette méthode générale a deux aspects, l un calculatoire, l autre arithmétique. Le premier permet d approximer certains rapports, l autre donne la plus grande mesure commune, koino;n mevtron, en termes modernes le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), de deux entiers. Dans les deux cas, il s agit d examiner deux nombres ou deux grandeurs inégales a et b. Si on a : a > b, on considère le nombre maximal m de fois qu on peut ôter b de a, d où un reste r tel que l on ait : a = mb + r, et r est nécessairement plus petit que b. On peut alors procéder de même avec le couple b et r, et itérer. Il s agit donc de soustractions alternatives, du plus petit ôté autant de fois que possible du plus grand. Dans les Éléments, le verbe ajnqufairei'n apparaît dans la proposition 1, sa démonstration et celle de la proposition 2 du livre VII et plus loin dans la démonstration de la proposition 3 du livre X. En voici un exemple. 1) Approximation. Soit à approximer le rapport 314/ ère étape : 314 = ème étape : 100 = On va alors utiliser l approximation de 100 par 7 14 (donnée à la 2 ème étape) : a) D après la première étape : 314 est approximé par 3 (7 14) + 14 = = 22 14, d où : b) 314/100 est approximé par (22 14)/(7 14) = 22/7. 2) Plus grande commune mesure. Soit à calculer la plus grande commune mesure des entiers 18 et 8. 1 ère étape : 18 = ème étape : 8 = 4 2 On est obligé de s arrêter à la 2 ème étape et la plus grande commune mesure à 18 et 8 est 2, ce qui se vérifie facilement car 18 = 9 2, 8 = 4 2, et 4 et 9 sont relativement premiers. 46 Ainsi H. Zeuthen ([Zeuthen 1910]), O. Becker ([Becker 1933]), H. Rademacher et O. Tœplitz (Rade-Toeplitz 1933], [Tœplitz 1949)], B. van der Waerden ([Waerden 1963]), et plus récemment D. Fowler ([Fowler 1999]). 47 Le très récent travail de S Negrepontis and G Tassopoulos ([Negre-Tasso 2012]) montre que cet intérêt ne faiblit pas. 48 Cf. l analyse de T. Heath, in [Heath 1998], p Ce sont les seuls endroits où il apparaît. 17

18 Si le procédé est identique, l utilisation est différente. Le second cas est le plus complexe, puisqu il s agit non seulement de trouver une commune mesure, mais de prouver que c est la plus grande de toutes. En cela, elle est liée à la théorie des entiers relativement premiers, et se retrouve au livre VII des Éléments qui traite de cette question (propositions 1 et 2) 50. Dans son second aspect, l approximation, ce procédé n apparaît pas dans les Éléments 51. Quant au premier, son extension aux grandeurs intervient au tout début du livre X, pour ne plus être utilisée dans la suite. Si l on sait comparer les grandeurs, définir leurs rapports, les additionner et les soustraire, c est-à-dire si l on a une théorie des rapports des grandeurs, le second procédé, arithmétique, peut leur être appliqué. C est d ailleurs de cette façon qu elle apparaît au début du livre X. Par contre une application analogue à celui du premier exemple, le procédé d approximation, nécessite un résultat de convergence, au sens où il faut s assurer que cette méthode donne des rapports d entiers, de plus en plus précis du rapport des grandeurs dont on cherche l approximation. Le procédé d anthyphérèse pour les grandeurs est plus complexe à mettre en œuvre que pour les entiers, car étant données deux grandeurs, a et b, avec a > b, il n est pas toujours aisé de calculer le plus grand entier m en sorte que l on ait mb < a 52. Quoiqu il en soit, l utilisation d une telle méthode suppose, dans les deux cas, qu elle soit partie d une théorie générale des rapports de grandeurs. Au livre X, c est la proposition 1 qui fait très certainement le lien avec la théorie générale du livre V 53. La définition de grandeurs commensurables pose déjà des questions, par exemple de symétrie 54. Ces problèmes ne sont pas abordés par Euclide, qui ne semble pas y accorder grande importance. 50 Proposition VII.1 : Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand et en alternance, si le reste ne mesure jamais le précédent jusqu à ce qu il reste une unité, les nombres initiaux sont premiers entre eux. Proposition VII.2 : Étant donnés deux nombres non premiers entre eux, trouver leur plus grande commune mesure. (cf. [Vitrac 1991], II). 51 Ni explicitement chez les auteurs ultérieurs. Il peut néanmoins se déduire de calculs dont on a des témoignages plus tardifs, ainsi chez Archimède, mais comme allant de soi, ce qui peut laisser penser qu ils étaient anciennement connus (cf. [Itard 1962], p ). 52 En fait, prouver par cette méthode, la seule commensurabilité, peut être difficile. Déjà dans un cas très simple, où a = m 2 t et b = n 2 t (où m, n, t sont des entiers, i.e. en termes de la géométrie grecque ancienne, a et b sont les longueurs des côtés d un carré d aire m 2 t et n 2 t), la définition de la commensurabilité conduit à utiliser l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD de m 2 t et n 2 t, tandis que la méthode d anthyphérèse travaille directement avec les racines carrées, ce qui conduit à des calculs plus complexes (on aura à comparer des carrés là où l algorithme. Comme on le voit, le changement d unité n est pas neutre. Bien entendu, de nombreux procédés ont été proposés par les mathématiciens pour simplifier ces calculs (ainsi [Waerden 1963], p ), ou modifier la méthode ([Heller 1956], p ). Pour la complexité des constructions nécessaires par exemple dans le cas de ce dernier, cf. [Caveing, 1998], p , et aussi [Knorr 1975], p Cf. [Heath 1956], III, p. 15, [Vitrac 1991], III, p À strictement parler, b et a ne seraient pas commensurables, puisque l anthyphérèse (soustraction réciproque) ne s applique pas dans ce cas. 18

19 ii) Anthyphérèse et irrationalité. Nous avons dit en introduction qu il y a très peu de démonstrations qui ne soient pas en contradiction avec les témoignages des textes. Il est essentiellement deux méthodes, avec leurs nombreuses variantes, qui sont usuellement retenues. Il s agit d une part de celle proposée par Zeuthen ([Zeuthen 1910]) fondée sur l anthynérèse. C est en quelque sorte une réponse à celle de H. Vogt reprenant la preuve de la proposition (certainement interpolée) 117 du livre X ([Vogt 1909]). Rappelons brièvement (en termes modernes) la preuve de la proposition X.117 qui se démontre par l impossible (ou l absurde) 55. On suppose que 2 est rationnelle, donc il existe p et q des entiers que l on peut choisir, quitte à les diviser par un même nombre, premiers entre eux, tels que 2 = p/q. On a alors : 2 = p 2 /q 2, d où 2q 2 = p 2, ce qui implique que p 2 est pair, donc p est pair. Il existe donc un entier t tel que p = 2t. D où : 2q 2 = p 2 = (2t) 2 = 4t 2, et donc : q 2 = 2t 2. Ce qui implique q 2 est pair, donc q est pair. On a donc p et q sont pairs, ce qui est impossible puisqu on les a choisis premiers entre eux. Selon Vogt, Théodore dans sa leçon aurait montré de la même manière l irrationalité pour les racines carrées des autres entiers de 3 à 17, sauf 4, 9 et 16 qui sont des carrés parfaits. Il suffit de remplacer 2 par ces entiers, pour obtenir la contradiction. Pour soutenir son point de vue, Vogt est conduit à émettre plusieurs suppositions parmi lesquelles : - Théodore aurait commencé à étudier les mathématiques très tardivement, aux environs de 60 ans, et c est alors seulement qu il aurait prouvé l irrationalité décrite dans le récit de Théétète. - L incommensurabilité de la diagonale au côté du carré aurait été prouvée quelques années seulement avant le mort de Socrate Théodore dans sa leçon se contenterait de résultats bien connus, et choisirait quelques exemples pour s arrêter arbitrairement à 17. Il aurait alors généralisé, incorrectement par induction au cas de tous les entiers, pour obtenir, sans de véritable preuve que : la racine carrée d un entier non carré parfait est irrationnel. Cela lui permet de rendre compte de la proposition X.117 (cf. ci-dessus), comme origine de la découverte de grandeurs irrationnelles et la concilier avec l affirmation pythagoricienne, rapportée par Aristote, que toute chose était nombre 57. Pour Zeuthen au contraire, l irrationalité était connue bien auparavant, elle remonte aux anciens Pythagoriciens, voire Pythagore lui-même. La preuve n est pas la proposition X.117, mais la méthode d anthyphérèse pour les grandeurs générales, dont parlent les deux premières propositions du livre X. Elle serait donc très ancienne. 55 Pour les détails, nous renvoyons à [Ofman 2010]. 56 Jean Itard est d accord sur ce point, mais il remarque que le texte de Platon l infirme, car silencieux sur le cas de 2. D après lui, cette découverte faisant partie des mathématiques récentes, elle n avait pas été comprise par Platon ([Itard 1962], p. 34). 57 Métaphysique A, 6, 987b28 ; N, 3, 1090a22. 19

20 Zeuthen rejette la thèse de Vogt, et plus généralement celle qui voit l origine de l irrationalité dans la proposition X.117. Toute interprétation du texte platonicien doit rechercher une méthode vérifiant deux propriétés essentielles 58 - La démonstration doit être faite au cas par cas - La démonstration doit être suffisamment originale pour avoir été placée par Platon dans son ouvrage La méthode qu il propose se fonde sur la proposition X.2 59 : si la suite à laquelle conduit l anthyphérèse de deux grandeurs ne s arrête pas, elles sont incommensurables. Il peut sembler délicat de prouver positivement l infinité d un procédé, toutefois dans le cas des racines carrées d entiers, le développement en ce qu on appelle fractions continues montre qu on aboutit à une suite périodique, le processus ne s arrêtera donc jamais [Zeuthen 1910], p. 407, Proposition X.2 : Si de deux grandeurs la plus petite est retranchée de la plus grande de façon réitérée et en alternance, le dernier reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les grandeurs seront incommensurables. ([Vitrac 1991], III). 60 Considérons par exemple le couple ( 2, 1) et appliquons-lui l anthyphérèse. On aura donc les égalités successives : 2 = 1 + ( 2-1) (1 ère égalité) ; 1 = 2( 2-1) + (3-2 2) (2 ème égalité) ; ( 2-1) = 2(3-2 2) + (5 2-7) (3 ème égalité) ; - Point de vue approximation : En considérant nul le dernier terme de chaque égalité, on obtient les approximations successives pour 2 : 2 1 ; 2 3/2 ; 2 7/5 ; - Point de vue fraction continue : On obtient pour 2 la suite de fractions : 2 1 ; puis en négligeant (3-2 2) dans la deuxième égalité, on peut remplacer 2-1 par, on a : ; puis en négligeant dans la troisième égalité (5 2-7), on peut remplacer par ( 2-1)/2. D après la deuxième égalité, on obtient que 1 est presque égal à ( 2-1)(2 + ), c est-à-dire que ( 2-1) peut être remplacé par. La première égalité devient : = 1 + = 7/ 5 ; 20 On obtient ainsi pour 2 une fraction continue de la forme : 1 + où le terme suivant de la suite s obtient du précédent en rajoutant au dernier dénominateur. Il est clair que le processus ne s arrêtera jamais.

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