Une leçon de mathématiques en 399 BCE (Théétète, 147d2-7) A Mathematical Lesson in 399 BCE (Theaetetus, 147d2-7)

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Une leçon de mathématiques en 399 BCE (Théétète, 147d2-7) A Mathematical Lesson in 399 BCE (Theaetetus, 147d2-7)"

Transcription

1 Une leçon de mathématiques en 399 BCE (Théétète, 147d2-7) A Mathematical Lesson in 399 BCE (Theaetetus, 147d2-7) Abstract. We continue here the study of the double question of the origins of the theory of irrationality and its role in the geometric exposition of Plato s Theaetetus. Both questions are closely related, so that any misconception about one impacts on the other. In a previous article in this same review ([Ofman 2010]), we showed the usual reconstructions are at variance with textual evidences, essentially Aristotle s Analytics, and we gave another one, coherent with them. The second essential testimony concerning the irrationals is found in Plato s Theaetetus. Its so-called Mathematical part (147d-148b) has been considered since the Antiquity, both crucial and problematic, located at it is at the intersection of mathematical, philosophical and historical fields. In [Ofman 2013], we studied the mathematical lesson, as reported by Theaetetus (147d4-7), and we gave a reconstruction of the method of proof consistent with the texts. We complete here the reconstruction of this lesson, and to avoid the problem of circular argumentations, it is (mostly) independent of the translation. Surprisingly, a literal reading leaves very few possibilities. We study more in details the deficiencies of the two most usually accepted methods. Indeed, until now it seems no proposed method has verified all the criteria in Theaetetus account. We show how such a lesson can be done (almost) only through drawings, which goes again the prevalent conclusions in the field, since irrationality has been rightly closely connected to the unrepresentable impossible ( ajduvnaton ). And even though some historians of mathematics or mathematicians were interested in the practical problems of the lesson, e.g. its length of time or the needed area for the drawings, it seems no one tried to tackle them globally as parts of one and the same lesson. This study plus the one in [Ofman 2013] is such a try. It presents a complete and rigorous geometric lesson coherent with Plato s text (almost) entirely done through graphics. It means Theaetetus account can be considered as a faithful account of a geometrical lesson (real or written for the needs of the dialogue) about irrationality, around the time of Socrates death. As a consequence, it is certainly not, at least in Plato s view, an allegorical lesson of geometry, and its mathematics is representative of the ones of this period. Because of space requirements, we do not go into the difficult questions of interpretations of some extremely discussed terms, to be studied in another paper as an introduction to the socalled Theaetetus theorem. Résumé. Nous continuons ici l étude de la double question des origines de la théorie de l irrationalité et du rôle qu elle tient dans l exposition géométrique du Théétète de Platon. Les deux questions sont étroitement liées, en sorte que toute erreur sur l une a des répercussions sur l autre. Dans un article précédent de cette même revue, nous avons montré que les reconstructions usuelles ne s accordaient pas avec les écrits les plus anciens qui nous sont parvenus, essentiellement ceux des Analytiques d Aristote, et nous en avons donné une autre, en accord avec ceux-ci (cf. [Ofman 2010]). Le deuxième témoignage essentiel concernant l irrationalité mathématique se trouve dans le Théétète de Platon, plus particulièrement dans ce que l on appelle sa partie mathématique (147d-148b). Depuis l Antiquité, elle a été considérée à la fois comme cruciale et 1

2 problématique, située à l entrecroisement des domaines des mathématiques, de la philosophie et de l histoire des sciences. Dans [Ofman 2013], nous avons étudié la leçon mathématique (147d4-7), telle qu elle est rapportée par Théétète, et nous en avons proposé une preuve cohérente avec les témoignages textuels. Nous complétons ici son étude, et comme précédemment, afin d éviter le problème des argumentations circulaires, notre analyse est très largement indépendante des diverses traductions. De manière surprenante, une lecture littérale laisse très peu de libertés. Nous revenons plus en détail sur les défauts des deux méthodes les plus usuellement acceptées. De fait, parmi les nombreuses méthodes qui ont été proposée, il semble qu aucune ne vérifie la totalité des critères du compte-rendu de Théétète. Celle que nous présentons ici est un tel essai. Elle montre que cette leçon pouvait être faite (presque) exclusivement à partir des seules figures. Cela va à l encontre de l opinion générale dans ce domaine, l irrationalité étant, à juste titre, étroitement connectée à l impossible ( ajduvnaton ) irreprésentable. Quoique certains historiens des mathématiques ou mathématiciens se soient intéressés aux questions pratiques de cette leçon, e.g. sa durée ou l espace nécessaire pour tracer les dessins, il semble que l on n ait guère considéré globalement la totalité de ces problèmes à la fois, comme parties d une seule et même leçon. C est ce que nous voudrions faire ici. L ensemble formé avec notre article précédent ([Ofman 2013]) présente une leçon géométrique complète en accord avec le texte de Platon, rigoureuse et pourtant faite (presque) entièrement graphiquement. En conséquence, le récit de Théétète peut être considéré comme un fidèle récit d une leçon de géométrie (réelle ou écrite pour les besoins du dialogue) portant sur l irrationalité, au temps de la mort de Socrate. Cela montre que, au moins aux yeux de Platon, ce n était certainement pas un exposé géométrique allégorique, et que les mathématiques dont il est question étaient celles pratiquées à cette époque. Pour des raisons de place, nous n abordons pas les nombreuses et difficiles questions d interprétation de certains termes très discutés, qui feront l objet d un prochain travail, en introduction à ce qu on appelle le théorème de Théétète. 2

3 1. Introduction. i) Le prologue. Le dialogue proprement dit est précédé d un prologue entre deux personnages, Euclide 1 et Terpsion, que nous allons résumer rapidement. Euclide précise qu il a mis par écrit le récit que Socrate lui a fait d une rencontre entre luimême, un mathématicien Théodore et un jeune Athénien, que la tradition considère comme un futur mathématicien important, Théétète (142c8-d1, 143b5-8). Pour en faciliter la lecture, Euclide l a mis sous la forme d une discussion à trois personnages (143b-c), ce qui ne peut manquer de rappeler la forme théâtrale. Toutefois, à l encontre de celle-ci, le chœur est absent ainsi que toute indication de mise en scène et tout décor 2. Contrairement aux autres dialogues socratiques, il s agit d une simple succession de discours, l effacement du narrateur interdisant tout jugement extérieur sur ce qui est dit ou ceux qui parlent. C est essentiellement une suite de dialogues entre Socrate et l un des deux protagonistes, les rares fois où les trois paroles s entrecroisent, sont de brefs intermèdes qui précédent un changement d interlocuteur. De manière inhabituelle dans l œuvre de Platon, il semble se défausser ici du travail d écriture sur un autre. Le récit est de Socrate, sa rédaction d Euclide (142c-143d) 3. En réponse à Socrate lui demandant des nouvelles des jeunes Athéniens qui le fréquentent et suivent son enseignement, Théodore évoque un élève exceptionnellement doué, ouvert et généreux (144a4-b8) ; l apercevant près de là, il l appelle, pour qu il les rejoigne (144d5-7). Il s agit du très jeune Théétète. Socrate propose alors de discuter ce qu est la science ( ejpisthvmh ) qu on pourrait également traduire par connaissance ou savoir (146a). En réponse Théétète en énumère une série, dont la géométrie. Socrate se moque de lui et de sa générosité (146d4-5), car à la question ce qu est la science?, le jeune garçon répond par une multiplicité d exemples. Suite à cette admonestation, Théétète dit se souvenir soudainement d un problème similaire, que lui et l un de ses camarades 4, s étaient posés à la suite d une leçon de Théodore à laquelle ils avaient assisté. C est le début de la partie mathématique de l ouvrage. 1 Euclide de Mégare, et non le mathématicien Euclide d Alexandrie auteur des Éléments, est selon la tradition le fondateur d une école philosophique appelée les Mégariques. Si l on suit Hermodore cité par Diogène Laërce ([Genaille 1965], I, p. 142), on peut raisonnablement penser qu il est né à Mégare avant 435. Comme l attestent de nombreuses traductions des Éléments, il a été longtemps confondu avec le mathématicien d Alexandrie. 2 Cela n est en fait pas tout à fait exact. S il est vrai qu il n est aucun décor au sens d un arrière-fond théâtral, il en existe bien un aux discours, de par les personnages introduits dans le prologue. Le contexte ainsi planté est celui de la géométrie, l un des personnages étant présenté comme un géomètre connu et âgé, l autre très jeune mais devant s y faire un nom, et Socrate lui-même, avouant, ce qui est exceptionnel de sa part, sa compétence en ces matières (145d3-5). Ainsi le décor est planté non au moyen d images, mais de discours. 3 C est en ce sens qu on peut dire avec A. Diès qu il est écrit presque sous la dictée de Socrate ([Dies 1926], notice à sa traduction, p. 121). Si cela n interdit pas que le dialogue lui-même soit une invention, même dans ce cas l intention de Platon serait d exclure une telle interprétation. 4 Ce camarade est nommé Socrate, homonyme du philosophe (147d1), par Platon. Il est traditionnellement désigné dans la littérature par Socrate le jeune, afin de les différencier. 3

4 ii) Géométrie et représentation. Les indices explicites concernant les méthodes utilisées dans la leçon mathématiques sont rares dans le texte de Platon, et sa reconstruction n'est pas tâche aisée. Pour évaluer et choisir parmi les nombreuses méthodes proposées, on s est intéressé très généralement aux questions de chronologie. Il s agissait de savoir si tel ou tel résultat nécessaire était connu ou pas à l époque du récit, une réponse négative conduisant soit à son rejet, soit à un changement adéquat dans cette méthode. Si une telle démarche a un sens pour un traité de mathématique, écrit par parties et dans la durée, elle est certes toujours nécessaire, mais insuffisante, pour un cours s adressant à des élèves. Il y a en effet des contraintes pratiques supplémentaires, de temps, de clarté, de simplicité et de lieu. Cela suppose aussi minimiser les appels à des résultats extérieurs et posséder un caractère aussi élémentaire que possible. Enfin, ce n est pas une simple accumulation de résultats, on ne peut se contenter de preuves partielles, d exemples, ou d affirmations à compléter par le lecteur 5. Cet idéal de rigueur est explicitement noté par Platon pour les mathématiques (162e8) 6. Une leçon a une cohérence, une durée et une manière de procéder qui la rend très largement autonome, et lui permet de figurer dans un ouvrage de philosophie. Nous allons montrer que, sous les conditions imposées par le texte, l ensemble des résultats rapportés par Théétète, pouvaient être rigoureusement établis dans le cadre des connaissances mathématiques de la fin du V ème siècle, et les démonstrations et les constructions graphiques nécessaires, réalisées dans le cadre d une leçon. Plutôt que de devoir supposer que cette partie mathématique soit symbolique ou encore réduite à un hommage à décrypter, il s agit, si ce n est d une leçon ayant réellement eu lieu peu avant la mort de Socrate, du moins une représentation fidèle, narrée par un participant 7, de ce qu un tel cours pouvait être. On a donc là un témoignage fiable des connaissances mathématiques au tout début du IVème siècle BCE, mais également des personnages qu elle décrit. 5 On retrouve ces trois cas dans les démonstrations des Éléments. 6 w/ eij ejqevloi Qeovdwro" h[ a[llo" ti" tw'n gewmetrw'n crovmeno" gewmetrei'n, a[xio" oujd! ejno;" movnou a]n ei[h. ( Si c était [de plausibilités] que voulait se servir Théodore ou quelqu un d autre parmi les géomètres pour parler géométrie, il ne vaudrait seulement rien, [Narcy 1995]). Il s agit certes ici de la rigueur en mathématiques, mais Socrate s adresse à Théétète qui approuve chaudement : Mais ce ne serait pas juste ( ouj divkaion ), Socrate [de se servir de plausibilités]. Toi-même le nierait, autant que nous pourrions le faire. ( ajll! ouj divkaion, w\ Swnkrate", ou[te su; ou[te a]n hjmei'" fai'men, 163a1). Le terme utilisé par Théétète ouj divkaion signifie contraire à la coutume, aux règles, et Théétète s insurge contre l idée même d une telle possibilité. L idéal de rigueur géométrique n était donc pas admis par les seuls géomètres, mais bien au-delà, et certainement par ceux qui apprenaient sérieusement les mathématiques comme Théétète, quelque jeune qu il fût (cf. aussi [Caveing 1998], p ). Il est encore plus inconcevable que leur professeur transgresse de quelque manière que ce soit cet idéal. En outre, si l on considère la leçon donnée par Socrate au jeune serviteur du Ménon (82a-85b) elle est rigoureuse (ou du moins pourrait facilement être rendue comme telle). Cela invalide la thèse de ceux qui considèrent que des jeunes garçons devaient se désintéresser des preuves et ne s occuper que des seuls résultats ([Szabo 1977], p. 65 ; et plus généralement le courant critique, cf. infra, paragraphe 2), ou se contenter d approximations ([Hultsch 1893]). Cela montre également l impossibilité de comprendre le passage mathématique en l isolant du reste de l ouvrage, et la nécessité de le réintroduire en tant que partie de celui-ci. 7 À savoir Théétète. Son récit étant toutefois, d après Platon, revu et corrigé par Socrate (143a3-4), pour finalement être mis en forme par Euclide (cf. supra i) et aussi note 3). 4

5 2. Le statut de la partie mathématique. Elle débute par le récit, rapporté par Théétète à Socrate, d une leçon de Théodore à laquelle il a assisté en compagnie de (l autre) Socrate 8. Elle a donné lieu à d innombrables controverses, et la littérature secondaire la concernant est immense. L un des problèmes les plus discutés est la démonstration de Théodore, absente du récit Une première question concerne l intérêt même de cette partie, à la fois pour l histoire des mathématiques et pour son rôle dans le Théétète. La mise en question de l importance mathématique et/ou de son exactitude, provient essentiellement d un petit nombre d historiens et de commentateurs, que nous regrouperons sous le terme de courant critique. C est la lecture d Arpad Szabo qui considère que les exposés des deux personnages sont triviaux, et les résultats dont ils parlent, bien connus à cette époque, la fin du V ème siècle BCE (cf. [Szabo 1977], p ). Ils considèrent qu il s agit d une sorte de compte-rendu d activité de deux mathématiciens (ou futur mathématiciens) Théodore et Théétète. Mais alors que Théétète et Socrate (le jeune) croient avoir fait de grandes découvertes, ils ont énoncé une suite de banalités, reprenant avec plus ou moins d intelligence la leçon de Théodore qui, elle-même, se ramène à la seule construction, sans démonstrations, de grandeurs irrationnelles. Leur scepticisme s étend naturellement à l importance philosophique de cette partie, Platon se contenterait de donner alors un simple exemple d unification d une multiplicité 9. Inversement, nombre de commentateurs, tel M. Burnyeat, pensent que cette partie est importante pour comprendre l histoire des mathématiques grecques, car elle retrace fidèlement les travaux, ou futures travaux, de Théodore et du jeune Théétète. Mais, en accord avec le courant critique, ils considèrent que si Platon ne donne pas les méthodes démonstratives, c est qu elles ne jouent aucun rôle dans la compréhension du dialogue, leur recherche étant inutile 10, ou un jeu pour mathématiciens 11. Si tel était le cas, ce serait certes dommage pour notre connaissance des mathématiques anciennes, mais ce n est pas ce qui importerait à Platon. Pourtant, on peut invoquer de nombreux témoignages extérieurs au texte, sur l importance tenue par cette partie, ainsi que l étroite communion entre mathématiques et philosophie platoniciennes 12. Mais le principal argument à l encontre cette thèse, est qu elle n est pas en accord avec le texte, son arrière-plan 8 Dans Le Politique, face à l Étranger, celui-ci prend la place tenue par Théétète dans le Sophiste. 9 Cette analyse, n est pas seulement celle du courant critique. Ainsi T. Heath partage au moins partiellement cette opinion, si ce n est qu il la restreint à la seule leçon de Théodore et non à la suite donnée par Théétète (cf. [Heath 1921], p. 205). 10 Myles Burnyeat débute d ailleurs son commentaire du livre de Platon ([Burnyeat 1998]) directement à partir de 151e1, c est-à-dire en sautant, entre autres, le passage mathématique, qu il étudie cependant, de manière indépendante, dans un article ([Burnyeat 1978]). S il insiste sur son importance et son exactitude pour l histoire des mathématiques grecques, il pense qu il ne joue aucun rôle relativement à l objectif platonicien consistant à amener le lecteur à réfléchir sur ce qu est le «savoir». Ce n est qu un autre exemple de définition, comme celui de la boue ( phlov" ) donnée précédemment par Socrate (147a, c), si ce n est qu il est plus complexe et étendu. Son inclusion aurait pour but de montrer l excellence de Théétète, annoncée dans la «prophétie» de Socrate, citée dans le prologue et détaillée par Théodore au tout début du dialogue. 11 Ou une fiction poétique dit H. Zeuthen, en accord sur ce point avec H. Vogt. Le but de Platon serait alors de donner les contributions respectives apportées par Théodore et Théétète à la théorie de l irrationalité finalisée chez Euclide ([Zeuthen 1910], p. 398). 12 Le plus connu, est la légendaire inscription (cf. [Saffrey 1968]) au fronton de l Académie, refusant son entrée aux nongéomètres, et sur laquelle K. Popper fonde une analyse de la conception mathématique de Platon ([Popper 1952], p , 253). 5

6 géométrique et la centralité qu y tiennent les notions mathématiques, en particulier l irrationalité 13. Elle serait acceptable si Platon écrivait pour nous autres modernes. Mais le texte est destiné à des lecteurs de la Grèce classique qui étaient au fait des résultats mathématiques de l époque, dont débattaient les Athéniens cultivés, et certainement les membres de l Académie 14. Ainsi Platon et Aristote se contentent d indiquer de manière si concise les exemples mathématiques, que les historiens des mathématiques ont les plus grandes difficultés à les reconstituer. Et pourtant, ils devaient être immédiatement intelligibles à leurs lecteurs. Platon en donne deux indications dans le Théétète : d une part, dans le prologue, Théodore, mathématicien venant de l autre bord de la Méditerranée 15, paraît parfaitement connu à la fois de Terpsion et d Euclide (143b9), et d autre part Socrate remarque, en passant, que Théodore était suivi d une troupe nombreuses de jeunes garçons désireux d apprendre la géométrie (143d8). La seule explication raisonnable à l absence d informations sur les preuves ne saurait être, de l avis de Platon, qu on puisse les négliger, mais au contraire qu elles étaient présentes aux yeux de tous. Comme pour les autres exemples mathématiques, aucun éclaircissement n était nécessaire. Si problème il y a, c est le nôtre, 2500 ans après 16. Comme cela a souvent été remarqué, de faibles indices suffisent à reconstituer une démonstration mathématique. Au vu de la multiplicité des méthodes proposées, les départager pourrait s avérer une tâche impossible. Toutefois, comme on va le voir, les indications données par Platon, couplées à ce que l on peut savoir des mathématiques de son époque, sont suffisamment discriminantes pour éliminer la plupart des constructions proposées, y compris les plus largement acceptées. Le problème n est pas de choisir entre elles, mais d en obtenir une compatible avec les textes. C est ce que nous allons tenter de faire ici. 13 Plus particulièrement l opposition lovgo"/ajlovgo". Voir aussi l analyse de Michel Narcy sur l aspect circulaire de l ouvrage dans l introduction à sa traduction ([Narcy 1995], en particulier p. 17). 14 Socrate, décrit par Platon, n est certainement pas un mathématicien. Et pourtant, Théétète s adresse à lui, sûr d être compris sans avoir même à détailler son sujet. Il en fait même le juge de la qualité du travail fait en commun avec son camarade, l autre Socrate. Un peu plus tard, Aristote souligne, dès le début de la Métaphysique, l importance que les mathématiques avaient prise dans l Académie, et plus largement chez les philosophes (A, 9, 992a35-b1). M. Burnyeat reconnaît d ailleurs que le dialogue devait être lu devant des gens compétents en mathématique en particulier les membres de l Académie : Un fois encore, rappelons-nous que l ensemble tout entier des réussites mathématiques de Théétète devaient être familier à beaucoup dans l assistance à l occasion de la première lecture du Théétète à l Académie ([Burnyeat 1978], p. 508). En outre, Platon ne pouvait écrire pour ses seuls disciples ou partisans. Il devait prendre en compte ses adversaires (cf. l anecdote rapportée par Diogène Laërce, [Genaille 1965], VI, 2, 40). Décrire des événements ou des personnages de manière totalement déformée, c était offrir ses thèses aux moqueries de ses détracteurs. 15 Il est originaire de Cyrène, une colonie grecque située sur la côte de l actuelle Lybie. Lorsque Socrate l aborde, il lui parle comme s il aurait été naturel de lui demander des nouvelles de Cyrène (143d1-4), ce qui indique qu il en était parti vraisemblablement peu de temps auparavant, 16 M. Burnyeat n ignore pas totalement cet aspect puisqu il écrit, il est vrai à propos de la contribution de Théodore aux mathématiques : le tableau serait naturellement plus claire au premier public du dialogue qui était contemporain de Théétète et de son travail ([Burnyeat 1978], p. 503). Et aussi un peu plus loin pour défendre sa position vis-à-vis de la valeur mathématique de cette partie, il remarque : La preuve, et les applications [de la théorie de l irrationalité] étaient encore à venir, comme le public de Platon devait le savoir, preuve ajoute-t-il en note, que naturellement nous ne possédons pas (ib., p. 511). 6

7 3. Retour sur la leçon de Théodore. i) La méthode de construction de Théodore. Pour les détails de la preuve de Théodore, nous renvoyons à [Ofman 2013]. Brièvement, il étudiait la rationalité ou l irrationalité des racines carrées des impairs compris entre 3 et 17. Sa méthode se fondait sur une propriété anciennement connue des carrés parfaits impairs 17, et par un procédé géométrique subtil, il en déduisait, en termes modernes, l irrationalité de la racine carrée des entiers impairs dont le reste de la division par 8 est différent de Nous avons vu que c était la seule méthode de démonstration compatible avec le texte de Platon (et les connaissances mathématiques du V ème siècle B.C.E.) 19. Nous allons étudier ici les figures ou diagrammes à partir desquelles seront établies ces démonstrations d incommensurabilité. C est un point essentiel pour décider si ce texte présente un véritable intérêt ou n est qu un jeu sans contenu mathématique réel, une figure de style prolongeant l exemple fourni précédemment par Socrate 20. Pour Théodore, il s agit tout d abord de montrer les objets sur lesquels il va travailler 21. D après le récit, cela est fait en deux étapes étroitement liées. En effet, Théodore, nous est-il rapporté, a dessiné quelque chose à propos (des côtés) des carrés d aire entière et montré que certains côtés étaient incommensurables relativement à celui d un pied de long (147d3-8). La construction a donc eu lieu soit, comme le suggère le texte 22, juste avant cette étude sur l incommensurabilité 23, soit dans un cours précédent. Dans ce cas, Théodore devait au moins répéter ces constructions, quitte à se borner au rappel des démonstrations. Pour de simples raisons de durée, ce serait impossible avec les méthodes usuelles. Il ne fait aucun doute que ces constructions passent, d une manière ou d une autre, par l utilisation du théorème de Pythagore 24. On a proposé une construction des côtés incommensurables à l unité en quelque sorte récursive, par son application directe, et on serait tenté de la suivre tant elle paraît simple et naturelle En termes modernes, tout carré parfait impair est congru à 1 modulo En termes plus savants, pour tout impair n non congru à 1 modulo 8, sa racine carrée est irrationnelle. 19 Cf. [Ofman 2013], 6. Outre expliquer le début au nombre 3 et l arrêt à 17, la preuve évite la théorie des entiers relativement premiers, car sinon, ainsi que l avait immédiatement remarqué T. Heath, ([Heath 1921], p ), on aurait une démonstration d irrationalité très générale, et non pas comme le rapporte le récit de Théétète au cas par cas ( kata; mivan ejkasthn ). Enfin, comme le veut Théétète, elle s expose sans difficulté dans le cadre d une unique leçon. 20 Il s agit du texte qui amène Théétète à se souvenir brusquement de la partie mathématique. Socrate y donne un exemple de ce qu il entend par définition (ce qu est la boue ou la glaise (phlov")) en opposition à la liste énumérative donnée par Théétète pour définir ce qu est la science (147a1-c5). 21 Plus loin, Théodore se vante d avoir abandonné les vaines paroles ( tw'n yilw'n lovgwn ) qu il oppose à la géométrie (165a2). Il est vrai que dans une longue note, T. Heath soutient que suivant le récit de Théétète, le géomètre n a pas dessiné de figures. Cela résulte d une analyse du terme e[grafev qui selon lui renverrait ici à une pure démonstration, ce qui est très disputé. Quoiqu il en soit, c est pour immédiatement ajouter qu il n a pas le moindre doute que Théodore dessinait effectivement des figures ([Heath 1921], p. 203, note 2 ; cf. aussi [Knorr 1975], p et et infra, 5.i)). 22 La ligne 147d3 insiste sur l aspect graphique de la leçon toute entière : peri dunavmewvn ti hjmi'n Qeovdwro" o{de e[grafe ( Théodore ici présent, nous dessinait quelque chose à propos des puissances ([Narcy 1995]) ; voir aussi infra, dernière partie. 23 Cf. [Knorr 1975], p La plupart des historiens des mathématiques s accordent sur ce point ; pour n en citer que quelques-uns, T. Heath, M. Caveing, W. Knorr. On trouve des traces très anciennes de ce théorème, par exemple chez les anciens Babyloniens. Cf. l étude de la tablette de Plimpton 322 (autour du 2ème millénaire B.C.E.) par Neugebauer et al. ([N-S-G 1945]) ou plus récemment Eleanor Robson ([Robson 2002]). 25 Elle est si populaire qu on lui a donné le nom de spirale de Théodore. On la trouve par exemple pour les premiers termes chez Hermann Schmidt ([Schmidt 1877], p ). C est aussi celle que retient van der Waerden ([Waerden 1963], p. 142), à la suite de son collègue J.H. Anderhub, et elle apparaît à la fois en couverture et dans le texte de l ouvrage. 7

8 Supposons en effet qu on ait construit le côté de longueur pieds. On trace alors à son extrémité un segment orthogonal de longueur un pied (cf. figure 1 ci-dessous). D après le théorème de Pythagore, en notant h la longueur de l hypoténuse du triangle rectangle ainsi formé, on a : h 2 = ( ) = n + 1, d où : h = 1 pieds, ce qui permet de procéder de proche en proche. En commençant par le segment de 1 pied, de long on obtient les racines carrées des entiers successifs, 2 pieds, 3 pieds,..., d où un dessin en spirale : 1 pied 1 pied 1 pied Figure 1 pied 1 À 17, on a fait un peu moins d un tour complet (cf. infra, note 28), et si l on veut continuer, le dessin déjà construit sera recouvert 26. Le géomètre n irait alors pas plus loin, et on comprendrait ainsi l arrêt en 17. Ce ne saurait être toutefois la méthode de Théodore. Tout d abord, comme cela a déjà été avancé 27, on ne la trouve dans aucun des textes qui nous sont parvenus. Cela n est toutefois pas décisif, car ce pourrait être une construction personnelle à Théodore, ou particulière à la période pré-euclidienne dont aucune trace ne subsisterait. Mais surtout, elle n est pas cohérente avec le texte platonicien. D une part cette construction débute nécessairement par la construction du côté de 1 pied de long, puis de 2 pieds, alors que d après le récit de Théétète elle commence directement par celui de 3 pieds. D autre part, elle doit nécessairement passer successivement par tous les entiers jusqu à 17, alors que le carré de côté 2 pieds (de surface 4, un carré parfait) n est pas considéré par Théodore qui passe directement de 3 à 5 (147d4). En outre, il devrait traiter le cas des grandeurs paires, ce qui peut être exclu (cf. [Ofman 2013], 6). 26 Dans la traduction française de l ouvrage de Szabo [Szabo 1977] (mais ni dans l édition originale en allemand, ni dans la traduction anglaise) le segment qui suit, donnant 18, est dessiné de manière erronée comme aligné avec le côté du premier triangle (figure 9, p. 61). 27 Cf. [Knorr 1975], p et

9 De plus, la raison qui l aurait l empêché de continuer, devoir effacer les premiers triangles, serait d ordre pictural, mais certainement pas mathématique 28, et la construction est bien trop longue pour participer d une seule leçon. Enfin, il serait très difficile de travailler sur ce dessin, pour des raisons mathématiques de superposition. Ou alors, il faudrait qu il y ait deux démonstrations sans relation entre elles, tandis que le texte suggère au contraire une unité de la présentation de Théodore 29. On peut en conclure que le géomètre n utilise pas directement le théorème de Pythagore, mais un résultat dérivé, lui permettant de construire les moyennes proportionnelles générales. En termes modernes, il s agit de la : Proposition A : Soit h la hauteur d un triangle rectangle construite sur l hypoténuse. Elle découpe celle-ci en deux segments de longueur respective a et b. Le carré de h est alors égal au produit de a et b i.e. h 2 = a b. Dans la terminologie de la proposition II.14, cela s exprime par : le carré construit sur h est égal au rectangle construit sur a et b. La démonstration suit immédiatement du théorème de Pythagore et de l identité additive : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 qui dans le langage des mathématiciens grecs s énonce : le carré de côté (a+b) est égal à la somme du carré de côté a et du carré de côté b augmenté de deux fois le rectangle de côtés a et b 30. La démonstration de la proposition est alors la suivante : 28 La spirale complète est en effet très esthétique. D un point de vue pictural, il serait en effet dommage de la gâcher en repassant sur elle. Par contre, mathématiquement ou pédagogiquement, on ne voit pas où se situerait le problème : Et comme cela avait été souligné par Socrate, Théodore n était pas un esthète en peinture (145a1-2). On peut également noter l aspect répétitif du traçage des côtés des triangles, qui n est guère adapté à un cours pour des enfants. 29 Par exemple [Knorr 1975], p Géométriquement, on a : C est le dessin accompagnant la proposition 4 du livre II des Éléments, si ce n est que la diagonale DF est tracée. En effet, il s agit dans cette proposition de prendre un point arbitraire G sur le segment CD, et de tracer tout d abord le carré de côté GD inclut dans le carré CDEF (correspondant dans notre dessin au carré (b,b)) puis le carré complémentaire (a,a). Plutôt que de les construire, il est beaucoup plus simple de remarquer que le sommet commun de ces deux carrés se trouve sur la diagonale DF, ce qui est soigneusement prouvé dans la démonstration. 9

10 C d a c H e A h b Figure 2 B Soit ABC un triangle rectangle et AH sa hauteur. On applique trois fois le théorème de Pythagore : a) Tout d abord au triangle ABC, d où : a 2 = b 2 + c 2 (1) b) Au triangle AHC, d où : c 2 = d 2 + h 2 (2) c) Au triangle AHB, d où : b 2 = h 2 + e 2 (3) En additionnant les égalités (2) et (3), on a : c 2 + b 2 = d 2 + h 2 + h 2 + e 2 = d 2 + 2h 2 + e 2. D après l égalité (1), on obtient: a 2 = b 2 + c 2 = d 2 + 2h 2 + e 2. Et puisque a = d + e, l identité additive donne : a 2 = (d + e) 2 = d 2 + 2de + e 2, d où a 2 = d 2 + 2de + e 2 = d 2 + 2h 2 + e 2, et donc : 2de = 2h 2, ce qui donne finalement : h 2 = de 31. Là encore, comme dans la note 30 supra, il faudrait traduire dans le langage des mathématiciens grecs où les carrés algébriques sont des carrés géométriques et les produits des rectangles, à la manière de la proposition 14 du livre II des Éléments d Euclide 32. Une autre façon d énoncer la proposition est de dire que h est la moyenne proportionnelle de a et b, puisque le résultat de la proposition s écrit encore : a/h = h/b. Les constructions se ramènent alors à tracer deux segments perpendiculaire et des cercles passant par un point fixe et de rayons croissants à chaque fois d une unité. Leurs intersections avec le segment vertical donnant le côté des carrés cherchés : Ainsi, la construction du côté de carré 3 pieds 33 se fait de la manière suivante : 31 T. Heath pour sa part, pense que la démonstration originale du théorème de Pythagore est une conséquence d une théorie pythagoricienne primitive des triangles semblables, formalisée au début du livre VI des Éléments ([Heath 1921], p Dans ce cas la proposition A, qui en est une conséquence évidente (cf. le porisme de la proposition VI.8) ne résulterait pas du théorème de Pythagore, mais le précéderait. 32 Son énoncé est toutefois différent, en tant qu il s agit de construire géométriquement le carré de surface égal à un rectangle donné (à savoir dans notre cas celui de côtés CH et HB). La preuve euclidienne est d une certaine manière plus économique (cf. note suivante) car elle n utilise qu une fois le théorème de Pythagore. En revanche elle nécessite la construction du cercle de diamètre CB et l identité soustractive : a 2 b 2 = (a b)(a+b), qui est un peu moins évidente que celle du carré d une somme. Il est bien sûr impossible de décider entre les deux démonstrations, et d ailleurs, rien n est moins sûr que Théodore ait démontré ce résultat dans la leçon dont il est question ici. 33 Dans cette partie, le pied qui est une unité de longueur (environ 30 cm), sert d unité de surface, ce que nous appellerions plutôt un pied carré. Les termes trivpodo", pentevpodo", ejptakaidekavpodo" (147d3-6) indiquent des carrés d aire respective 3, 5 et17 pieds (carrés). Les longueurs quant à elles, n y sont pas exprimées en pieds, mais indirectement comme les côtés de tels carrés de surface donnée. On pourrait donc penser qu il n est pas de confusion possible. Pourtant, l emploi du nom podiaiva (le pied ), par rapport auquel les autres côtés sont mis en rapport, peut prêter à controverse : s agit-il ici de la longueur d un pied ou de la surface du carré de côtés un pied, les traducteurs ne sont pas d accord. Cette ambiguïté ne facilite pas la compréhension du texte. On la retrouve également dans l argumentation de Socrate sur le doublement de la surface du carré dans le Ménon (82a-85b) (cf. [Canto 1993], note 138, p. 264). 10

11 A C 3 pieds P 1 pied 3 pieds B Figure 3 Il y a 4 étapes : i) Construction d un segment AB de longueur 4 pieds ii) Construction du point P sur ce segment le découpant en deux segments respectivement de longueur 1 et 3 pieds iii) Construction d un cercle de diamètre AB iv) Traçage de la perpendiculaire en P au segment initial. Le point C intersection de cette perpendiculaire avec le cercle donne un segment PC de longueur 3 pieds. Cela résulte de la proposition A ci-dessus, en remarquant que le triangle ACB est rectangle en C 34. C est la situation considérée par le commentateur anonyme du Théétète ([Diels-Schubart 1905]), et c est essentiellement, dans le cas particulier métrique de 3 pieds, la construction de la proposition 14 du livre II des Éléments (et du dessin l accompagnant) 35. La leçon complète conduit aux graphiques suivants : U U U P O A B C P O A B E P C D O A B C D E F G 3 pieds 5 pieds 1 pied Figure 4 7 pieds 34 Ce qui suit de la proposition III.31 des Éléments. Ce résultat est considéré comme très ancien, comme tous ceux utilisés ici, ainsi Diogène Laërce cite Pamphile qui attribue à Thalès cette propriété de l angle circonscrit dans un demi-cercle ([Genaille 1965], I, 1, 24, p. 52). 35 En fait, comme nous l avons remarqué à la note 32, la démonstration euclidienne est plus économique et élégante, en ce sens qu elle n emploie qu une fois le théorème de Pythagore et n utilise pas le résultat de l angle intercepté par le diamètre d un cercle (à savoir qu il est droit), c est-à-dire la proposition III.31. En notant O le centre du cercle (i.e. le milieu du segment AB), elle s écrit en termes modernes : OC 2 = OP 2 + PC 2 (théorème de Pythagore), d où puisque OB = OC, on a : OB 2 = OP 2 + PC 2, d où PC 2 = OB 2 - OP 2 = (OB+OP)(OB-OP) = BP (OB-OP) et puisque OB = OA, on obtient : PC 2 = BP (OA-OP) = BP AP. 11

12 On continue ainsi jusqu à 17 pieds. L'intersection X des cercles avec le segment vertical OU donne le côté des carrés cherchés (en termes modernes, les segments OX sont de longueurs respectives 3 pieds, 5 pieds,, 17 pieds). Le premier cercle est de centre A et passe par P ; son rayon est : PA = PO + OA = 2 pieds. Il intersecte la droite horizontale au point C, et le segment OU en un point X, en sorte que, d après la proposition A (cf. supra), h = OX est la moyenne géométrique de OP et OC i.e. h 2 = 1 3 pieds d où h = 3 pieds. Le second cercle que l on considère est celui de centre B passant toujours par P. Il est de rayon : PB = PA + AB = 3 pieds (une unité de plus que le précédent) et intersecte donc la droite horizontale au point E. En notant toujours X son point d intersection avec OU et h = OX, on aura : h 2 = 1 5 pieds d où h = 5 pieds. Et ainsi de suite jusqu à 17. On obtient ainsi les racines carrées, ou de manière moins anachronique, les côtés des carrés de surface entiers impairs, jusqu à 17. On est alors amené à tracer 8 figures successives (correspondant aux entiers impairs compris entre 3 et 17) d après notre construction (et entre 12 et 14 d après les autres, cf. [Ofman 2013], 6). On comprend le scepticisme de beaucoup sur la possibilité produire dans le temps d une seule leçon, la totalité de ces constructions, qui en outre ne sont que les préliminaires au sujet principal, l incommensurabilité des côtés de ces carrés par rapport à l unité. Il est heureusement possible de tracer la totalité de ces dessins sur un seul graphique en remarquant qu il s agit de trouver les intersections de cercles situés sur la même droite (l horizontale) avec une même droite (la verticale). On obtient alors la figure suivante : U P O A B C D E F G H I 1 pied Figure 5 Tous les cercles tracés passent par le point P où PO et tous les segments successifs OA, AB, BC, CD, EF, FG, GH et HI sont de longueur 1 pied. 12

13 ii) La construction des carrés. Dans le cadre d un cours de géométrie, où le dessin est le fondement des raisonnements, la construction des carrés est nécessaire. Néanmoins, d un point de vue pratique, il s agit de tracer 8 cercles de rayons de plus en plus grands, jusqu à un peu moins de 10 pieds, ce qui est certes possible, mais demande une grande surface et est peu pratique. De plus, gardant à l esprit le cadre, cette construction paraît longue et ennuyeuse, surtout pour une audience de jeunes garçons, aussi passionnés soient-ils par la géométrie. Il est donc improbable que Théodore ait construit de cette manière, les côtés puis les carrés associés, un à un (147d5). Comme on va le voir, cela n est pas nécessaire, et il est possible, sur la même figure, de tracer cercles (du moins les parties nécessaires) et les carrés, en remarquant que : a) On peut tracer des cercles en conservant la même droite pour diamètre de base et en gardant l extrémité P fixe, l autre extrémité variant. b) Pour passer d un impair au suivant, le centre du cercle à construire est déplacé d une unité. c) Il n est pas nécessaire de tracer le cercle tout entier mais seulement l arc de cercle à proximité de la perpendiculaire OU. On obtient alors la figure suivante : 4 pieds 3 pieds U pieds pied P O A B C D E F G H I Figure 6 1 pied Une fois les sommets des carrés 3, 5, 17 pieds tracés sur le segment OU, il s agit d obtenir les autres sommets pour compléter ces carrés. Ainsi pour le premier carré, correspondant au côté h = 3 pieds, ayant obtenu le premier côté OQ sur le segment OU, on trace le cercle ce centre O et de rayon h, et son intersection R avec le segment OI donne le deuxième côté. On a ainsi trois sommets du carré cherché (à savoir O, Q et R), il reste à en obtenir le quatrième. La stratégie d Euclide dans la démonstration de la proposition I.46 est complexe à mettre en œuvre. Mais il est d autres possibilités, ainsi tracer les deux cercles de rayon h et de centres 13

14 respectifs Q et R. Ils se coupent en deux points ; l un est O, l autre le quatrième sommet cherché. On peut procéder de même pour les autres carrés. Toutefois il est possible de la simplifier, une fois encore, en remarquant que, comme dans le dessin de la proposition II.4, les quatrièmes sommets de tous les carrés sont sur la diagonale passant par O du premier carré. Plutôt que d obtenir l intersection de deux cercles, ce qui est délicat lorsque le diamètre croît, on est ramené à celle d un cercle avec cette diagonale, ce qui est beaucoup plus simple 36. Ces constructions n exigent, en effet, que des petits arcs de cercles proches de ces droites, ce qui est aisé à faire de manière précise. Enfin les seuls instruments nécessaires pour tracer ces diagrammes sont extrêmement simples : un cordeau, un bâton pour tirer les lignes, et éventuellement pour simplifier le travail tout en étant plus précis, un gnomon 37 où serait marquée la longueur de 1 pied. 36 C est la stratégie adoptée dans la démonstration de la proposition II.4 des Éléments pour la construction des carrés (cf. supra, note 30). L intérêt est de remplacer le traçage de cercles par celui de droites. 37 Nom générique de toutes sortes d équerres très polyvalentes, instruments utilisés très tôt en particulier pour les observations astronomiques, puisqu on les fait remonter aux anciens Égyptiens et Babyloniens. 14

15 iii) Les dessins mathématiques en Grèce ancienne. On voit sur la représentation de la Figure 6 ci-dessus apparaître une difficulté lorsqu il s agit de représenter un grand nombre de côtés, c est-à-dire de racines carrées d entiers. Lorsque n croît, il devient plus difficile au fur et à mesure, de distinguer les sommets les uns des autres (i.e. entre et 1 ). On aurait ainsi la raison qui avait amené Théodore à s arrêter à 17, les sommets des carrés sur le segment OU s accumulant autour de 19. La thèse d une interruption pour des considérations pratiques a d ailleurs été défendue par certains historiens. Le texte toutefois n indique pas de cause à cet arrêt, si ce n est un certain étonnement de la part de Théétète, difficilement explicable si la raison est si simple et expliquée par Théodore (147d7) 38. Il n est toutefois pas impossible de produire une traduction compatible avec cette thèse 39. Ce serait oublier que les techniques de dessins mathématiques étaient différentes des modernes, utilisant papier ou tableau. Il s agissait de construire des figures sur le sable ou la terre meuble, dans des endroits ad hoc, ainsi des stades, des jardins ou des plages 40. Il était donc possible de tracer des cercles ou des segments de droite beaucoup plus grands que ce à quoi les modernes sont habitués. Ainsi dessiner de nombreux petits arcs de cercles de rayon 3 mètres 41 ou plus ne pose aucune difficulté avec un cordeau 42. On est alors ramené pour le côté des 4 derniers carrés de Théodore ( 11 pieds, 13 pieds, 15 pieds, 17 pieds) au graphique de la Figure 7 ci-dessous, à l échelle 1:5. Certes, un dessin sur le sable, utilisant piquets ou bâtons, est bien moins précis que tracé avec de l encre sur du papier. Mais à une échelle réelle (cf. infra, note 44), il n y a aucun problème à distinguer les côtés entre eux, aussi bien que du suivant ( 19 pieds). 38 Ce qui va à l encontre d un arrêt purement aléatoire (soutenue par exemple dans [Szabo 1977], p , à la suite de Heinrich Vogt [Vogt 1909 et 1913]). Dans ce cas, Théodore par induction passerait de quelques exemples à la totalité infinie des cas. Cette ligne du Théétète est objet de nombreux débats parmi les commentateurs. Ils concernent les termes pw" ejnevsceto. Depuis une cinquantaine d années, la discussion porte essentiellement sur ejnevsceto, s il a le sens faible de s est arrêté ou plus fort s est arrêté à cause d un obstacle. Toutefois, et c est ce qui importe ici, le terme pw" ajoute cette composante de questionnement, souvent traduit par je ne sais pourquoi ([Dies 1926]), ou je ne sais comment cela se fit ([Robin 1950-a]) ou encore quelque chose l a arrêté là ([NAR 1995]), même s il est parfois supprimé, sans explication (ainsi [Fowler 1921]). 39 On a là un exemple des dangers d analyse circulaire, interpréter un texte afin qu il soit en accord avec la méthode mathématique, puis s appuyer sur cette méthode pour justifier cette interprétation.. 40 On dit que le philosophe Aristippe, disciple de Socrate, s'étant sauvé d'un naufrage sur les côtes de l'île de Rhodes, et ayant aperçu des figures géométriques tracées sur le sable, s'écria en s'adressant à ceux qui étaient avec lui : «Ne craignons rien, je vois des traces d'hommes!» ([Vitruve 1837], préface au livre VI). Cette anecdote rapportée de manière un peu différente (par exemple le naufrage aurait eu lieu à Syracuse et non Rhodes) apparaît également chez Galien ([Galien 2000], chap. 5). Voir aussi par exemple Aristote notant l habitude des mathématiciens de tracer des dessins sur le sol (Métaphysique, M 3, 1078a19). Le Ménon est moins explicite, car indirect : lorsque Socrate dessine des figures devant le jeune serviteur, il ne réclame ni instrument, ni support (82a-b). Soit il n en utilise aucun, soit ils sont disponibles à peu près partout, car ni Socrate, ni Ménon n étant mathématiciens, il n est aucune raison qu ils aient des instruments spécialisés. 41 C est à peu près la valeur du rayon du cercle qu il faut tracer pour obtenir le dernier carré correspondant à celui de côté 17 pieds. Il est possible de tracer au cordeau le cercle tout entier, mais cela est pénible, surtout s il faut répéter l opération plusieurs fois. Par contre tracer de petits arcs proches de trois droites données est aisé. 42 Des constructions circulaires extrêmement précises de plusieurs dizaines de mètres de rayon sont attestées très anciennement en architecture, ainsi dans certains sites celtiques datant d un millénaire BCE. 15

16 = 9 Figure 7 On pourrait alléguer d un arrêt pour une cause inverse : la démesure du dessin lorsque le nombre croît 43, considérant que les dessins sont à échelle réelle (1:1), ce qui ressort effectivement du texte 44, mais aussi une utilisation directe du théorème de Pythagore, à la manière de la spirale de la Figure 1, ce qui, on l a vu, va à l encontre du texte de Platon (cf. supra, i)). Si au contraire on suit la construction de la Figure 6, les dessins consistent à construire des segments de longueur au maximum 7 pieds (environ 2,20) ce qui est tout à fait raisonnable M. Paiow, s appuyant sur des textes de Vitruve et des données archéologiques, a soutenu que les dimensions du stade s opposaient à un tracé plus grand que 15 pieds (environs 4,5 m, [Paiow 1982], p. 95), et il a certainement raison de penser que Théodore est non seulement un excellent mathématicien mais aussi un excellent pédagogue pour attirer autant de jeunes. Mais il a certainement raison de penser que Théodore, tel que décrit par Platon, est considéré par les Athéniens, et sans doute les Grecs en général, non seulement un excellent mathématicien mais aussi un excellent pédagogue pour attirer autant de jeunes. Mais pas plus que l exclamation socratique a[ristav g! ajnqrwvpwn, w\ pai'de" en 148b3, cela n engage Platon (cf. [Ofman 2010], 7.ii). 44 Théodore ( ) faisait apparaître que [ces puissances] n étaient pas commensurables en longueur avec la ligne d un pied de long (147d3-6). En outre, il serait étrange de souligner la longueur d un pied de long et de dessiner une autre longueur, ce qui ne pourrait être qu un objet de confusion pour de jeunes élèves apprenant les mathématiques (cf. infra, note Erreur! Signet non défini.). 45 Dans le Ménon, Socrate trace quant à lui des figures toutes contenues dans un carré de 4 pieds de côté (cf. 82a-85b), donc d aire 16 pieds, c est-à-dire du même ordre de grandeur que les carrés de Théodore. F. Acerbi se demande si le pied ( podiavia ) utilisé en mathématiques pré-euclidiennes (et même pré-aristotéliciennes) était la mesure véritable ( un pied soit environ 30 cm) ou en réalité un nom symbolique d une unité graphique dépendant du choix du géomètre traçant un dessin. Un pied correspondrait alors à une longueur arbitraire encore appelée pied pour d obscures raisons ([Acerbi 2008], p. 121). L auteur penche pour la seconde possibilité. D après notre analyse, on ne peut utiliser la leçon de Théodore pour appuyer ce point de vue, ce qui ne va pas à l encontre de la thèse d Acerbi qui voit précisément un changement se produire à l époque d Aristote, où l on passerait du pied réel à un pied symbolique. La question a son origine chez Aristote qui pose le problème de savoir comment un mathématicien peut raisonner juste sur une figure fausse (Métaphysique, M 3, 1078a19-20 ; N 2, 1089a23-26 ; Premiers Analytiques, I, 41, 49b35-37 ; Seconds Analytiques, I, 10, 76b38-39). 16

17 4. Retour sur le procédé d anthyphérèse. i) Méthode et applications. Une autre proposition d un arrêt pour une difficulté pratique, mais fondée sur une raison plus théorique, a été défendue par certains historiens et mathématiciens 46. La méthode de Théodore serait celle de l anthyphérèse qui s avèrerait particulièrement difficile pour le cas 19, ce qui l aurait incité à s arrêter avant 47. Le terme anthyphérèse est une translittération, plus ou moins fidèle, du grec ajnqufaivresi", formé à partir de ujfaivrew ( soustraire ) et anti qui donne un sens de réponse, d alternance 48. Le substantif lui-même n apparaît pas chez Euclide, et dans les Éléments c est une forme verbale qui est utilisé pour introduire ce procédé au début des livres VII et X 49. Cette méthode générale a deux aspects, l un calculatoire, l autre arithmétique. Le premier permet d approximer certains rapports, l autre donne la plus grande mesure commune, koino;n mevtron, en termes modernes le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), de deux entiers. Dans les deux cas, il s agit d examiner deux nombres ou deux grandeurs inégales a et b. Si on a : a > b, on considère le nombre maximal m de fois qu on peut ôter b de a, d où un reste r tel que l on ait : a = mb + r, et r est nécessairement plus petit que b. On peut alors procéder de même avec le couple b et r, et itérer. Il s agit donc de soustractions alternatives, du plus petit ôté autant de fois que possible du plus grand. Dans les Éléments, le verbe ajnqufairei'n apparaît dans la proposition 1, sa démonstration et celle de la proposition 2 du livre VII et plus loin dans la démonstration de la proposition 3 du livre X. En voici un exemple. 1) Approximation. Soit à approximer le rapport 314/ ère étape : 314 = ème étape : 100 = On va alors utiliser l approximation de 100 par 7 14 (donnée à la 2 ème étape) : a) D après la première étape : 314 est approximé par 3 (7 14) + 14 = = 22 14, d où : b) 314/100 est approximé par (22 14)/(7 14) = 22/7. 2) Plus grande commune mesure. Soit à calculer la plus grande commune mesure des entiers 18 et 8. 1 ère étape : 18 = ème étape : 8 = 4 2 On est obligé de s arrêter à la 2 ème étape et la plus grande commune mesure à 18 et 8 est 2, ce qui se vérifie facilement car 18 = 9 2, 8 = 4 2, et 4 et 9 sont relativement premiers. 46 Ainsi H. Zeuthen ([Zeuthen 1910]), O. Becker ([Becker 1933]), H. Rademacher et O. Tœplitz (Rade-Toeplitz 1933], [Tœplitz 1949)], B. van der Waerden ([Waerden 1963]), et plus récemment D. Fowler ([Fowler 1999]). 47 Le très récent travail de S Negrepontis and G Tassopoulos ([Negre-Tasso 2012]) montre que cet intérêt ne faiblit pas. 48 Cf. l analyse de T. Heath, in [Heath 1998], p Ce sont les seuls endroits où il apparaît. 17

18 Si le procédé est identique, l utilisation est différente. Le second cas est le plus complexe, puisqu il s agit non seulement de trouver une commune mesure, mais de prouver que c est la plus grande de toutes. En cela, elle est liée à la théorie des entiers relativement premiers, et se retrouve au livre VII des Éléments qui traite de cette question (propositions 1 et 2) 50. Dans son second aspect, l approximation, ce procédé n apparaît pas dans les Éléments 51. Quant au premier, son extension aux grandeurs intervient au tout début du livre X, pour ne plus être utilisée dans la suite. Si l on sait comparer les grandeurs, définir leurs rapports, les additionner et les soustraire, c est-à-dire si l on a une théorie des rapports des grandeurs, le second procédé, arithmétique, peut leur être appliqué. C est d ailleurs de cette façon qu elle apparaît au début du livre X. Par contre une application analogue à celui du premier exemple, le procédé d approximation, nécessite un résultat de convergence, au sens où il faut s assurer que cette méthode donne des rapports d entiers, de plus en plus précis du rapport des grandeurs dont on cherche l approximation. Le procédé d anthyphérèse pour les grandeurs est plus complexe à mettre en œuvre que pour les entiers, car étant données deux grandeurs, a et b, avec a > b, il n est pas toujours aisé de calculer le plus grand entier m en sorte que l on ait mb < a 52. Quoiqu il en soit, l utilisation d une telle méthode suppose, dans les deux cas, qu elle soit partie d une théorie générale des rapports de grandeurs. Au livre X, c est la proposition 1 qui fait très certainement le lien avec la théorie générale du livre V 53. La définition de grandeurs commensurables pose déjà des questions, par exemple de symétrie 54. Ces problèmes ne sont pas abordés par Euclide, qui ne semble pas y accorder grande importance. 50 Proposition VII.1 : Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand et en alternance, si le reste ne mesure jamais le précédent jusqu à ce qu il reste une unité, les nombres initiaux sont premiers entre eux. Proposition VII.2 : Étant donnés deux nombres non premiers entre eux, trouver leur plus grande commune mesure. (cf. [Vitrac 1991], II). 51 Ni explicitement chez les auteurs ultérieurs. Il peut néanmoins se déduire de calculs dont on a des témoignages plus tardifs, ainsi chez Archimède, mais comme allant de soi, ce qui peut laisser penser qu ils étaient anciennement connus (cf. [Itard 1962], p ). 52 En fait, prouver par cette méthode, la seule commensurabilité, peut être difficile. Déjà dans un cas très simple, où a = m 2 t et b = n 2 t (où m, n, t sont des entiers, i.e. en termes de la géométrie grecque ancienne, a et b sont les longueurs des côtés d un carré d aire m 2 t et n 2 t), la définition de la commensurabilité conduit à utiliser l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD de m 2 t et n 2 t, tandis que la méthode d anthyphérèse travaille directement avec les racines carrées, ce qui conduit à des calculs plus complexes (on aura à comparer des carrés là où l algorithme. Comme on le voit, le changement d unité n est pas neutre. Bien entendu, de nombreux procédés ont été proposés par les mathématiciens pour simplifier ces calculs (ainsi [Waerden 1963], p ), ou modifier la méthode ([Heller 1956], p ). Pour la complexité des constructions nécessaires par exemple dans le cas de ce dernier, cf. [Caveing, 1998], p , et aussi [Knorr 1975], p Cf. [Heath 1956], III, p. 15, [Vitrac 1991], III, p À strictement parler, b et a ne seraient pas commensurables, puisque l anthyphérèse (soustraction réciproque) ne s applique pas dans ce cas. 18

19 ii) Anthyphérèse et irrationalité. Nous avons dit en introduction qu il y a très peu de démonstrations qui ne soient pas en contradiction avec les témoignages des textes. Il est essentiellement deux méthodes, avec leurs nombreuses variantes, qui sont usuellement retenues. Il s agit d une part de celle proposée par Zeuthen ([Zeuthen 1910]) fondée sur l anthynérèse. C est en quelque sorte une réponse à celle de H. Vogt reprenant la preuve de la proposition (certainement interpolée) 117 du livre X ([Vogt 1909]). Rappelons brièvement (en termes modernes) la preuve de la proposition X.117 qui se démontre par l impossible (ou l absurde) 55. On suppose que 2 est rationnelle, donc il existe p et q des entiers que l on peut choisir, quitte à les diviser par un même nombre, premiers entre eux, tels que 2 = p/q. On a alors : 2 = p 2 /q 2, d où 2q 2 = p 2, ce qui implique que p 2 est pair, donc p est pair. Il existe donc un entier t tel que p = 2t. D où : 2q 2 = p 2 = (2t) 2 = 4t 2, et donc : q 2 = 2t 2. Ce qui implique q 2 est pair, donc q est pair. On a donc p et q sont pairs, ce qui est impossible puisqu on les a choisis premiers entre eux. Selon Vogt, Théodore dans sa leçon aurait montré de la même manière l irrationalité pour les racines carrées des autres entiers de 3 à 17, sauf 4, 9 et 16 qui sont des carrés parfaits. Il suffit de remplacer 2 par ces entiers, pour obtenir la contradiction. Pour soutenir son point de vue, Vogt est conduit à émettre plusieurs suppositions parmi lesquelles : - Théodore aurait commencé à étudier les mathématiques très tardivement, aux environs de 60 ans, et c est alors seulement qu il aurait prouvé l irrationalité décrite dans le récit de Théétète. - L incommensurabilité de la diagonale au côté du carré aurait été prouvée quelques années seulement avant le mort de Socrate Théodore dans sa leçon se contenterait de résultats bien connus, et choisirait quelques exemples pour s arrêter arbitrairement à 17. Il aurait alors généralisé, incorrectement par induction au cas de tous les entiers, pour obtenir, sans de véritable preuve que : la racine carrée d un entier non carré parfait est irrationnel. Cela lui permet de rendre compte de la proposition X.117 (cf. ci-dessus), comme origine de la découverte de grandeurs irrationnelles et la concilier avec l affirmation pythagoricienne, rapportée par Aristote, que toute chose était nombre 57. Pour Zeuthen au contraire, l irrationalité était connue bien auparavant, elle remonte aux anciens Pythagoriciens, voire Pythagore lui-même. La preuve n est pas la proposition X.117, mais la méthode d anthyphérèse pour les grandeurs générales, dont parlent les deux premières propositions du livre X. Elle serait donc très ancienne. 55 Pour les détails, nous renvoyons à [Ofman 2010]. 56 Jean Itard est d accord sur ce point, mais il remarque que le texte de Platon l infirme, car silencieux sur le cas de 2. D après lui, cette découverte faisant partie des mathématiques récentes, elle n avait pas été comprise par Platon ([Itard 1962], p. 34). 57 Métaphysique A, 6, 987b28 ; N, 3, 1090a22. 19

20 Zeuthen rejette la thèse de Vogt, et plus généralement celle qui voit l origine de l irrationalité dans la proposition X.117. Toute interprétation du texte platonicien doit rechercher une méthode vérifiant deux propriétés essentielles 58 - La démonstration doit être faite au cas par cas - La démonstration doit être suffisamment originale pour avoir été placée par Platon dans son ouvrage La méthode qu il propose se fonde sur la proposition X.2 59 : si la suite à laquelle conduit l anthyphérèse de deux grandeurs ne s arrête pas, elles sont incommensurables. Il peut sembler délicat de prouver positivement l infinité d un procédé, toutefois dans le cas des racines carrées d entiers, le développement en ce qu on appelle fractions continues montre qu on aboutit à une suite périodique, le processus ne s arrêtera donc jamais [Zeuthen 1910], p. 407, Proposition X.2 : Si de deux grandeurs la plus petite est retranchée de la plus grande de façon réitérée et en alternance, le dernier reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les grandeurs seront incommensurables. ([Vitrac 1991], III). 60 Considérons par exemple le couple ( 2, 1) et appliquons-lui l anthyphérèse. On aura donc les égalités successives : 2 = 1 + ( 2-1) (1 ère égalité) ; 1 = 2( 2-1) + (3-2 2) (2 ème égalité) ; ( 2-1) = 2(3-2 2) + (5 2-7) (3 ème égalité) ; - Point de vue approximation : En considérant nul le dernier terme de chaque égalité, on obtient les approximations successives pour 2 : 2 1 ; 2 3/2 ; 2 7/5 ; - Point de vue fraction continue : On obtient pour 2 la suite de fractions : 2 1 ; puis en négligeant (3-2 2) dans la deuxième égalité, on peut remplacer 2-1 par, on a : ; puis en négligeant dans la troisième égalité (5 2-7), on peut remplacer par ( 2-1)/2. D après la deuxième égalité, on obtient que 1 est presque égal à ( 2-1)(2 + ), c est-à-dire que ( 2-1) peut être remplacé par. La première égalité devient : = 1 + = 7/ 5 ; 20 On obtient ainsi pour 2 une fraction continue de la forme : 1 + où le terme suivant de la suite s obtient du précédent en rajoutant au dernier dénominateur. Il est clair que le processus ne s arrêtera jamais.

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

TROISI` EME PARTIE L ALG` EBRE

TROISI` EME PARTIE L ALG` EBRE TROISIÈME PARTIE L ALGÈBRE Chapitre 8 L algèbre babylonienne Sommaire 8.1 Présentation..................... 135 8.2 Résolution d équations du second degré..... 135 8.3 Bibliographie.....................

Plus en détail

Une nouvelle démonstration d irrationalité de racine carrée de 2 d après les Analytiques d Aristote

Une nouvelle démonstration d irrationalité de racine carrée de 2 d après les Analytiques d Aristote Une nouvelle démonstration d irrationalité de racine carrée de 2 d après les Analytiques d Aristote Résumé. Pour rendre compte de la première démonstration d existence d une grandeur irrationnelle, les

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Brevet Amérique du sud novembre 2011

Brevet Amérique du sud novembre 2011 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1 Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L absence

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2 ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Rappel : Présenter les parties de l'épreuve sur feuilles

Plus en détail

La géométrie du cercle. Durée suggérée: 3 semaines

La géométrie du cercle. Durée suggérée: 3 semaines La géométrie du cercle Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Dans le présent module, les élèves étudieront les propriétés des cercles. Ils découvriront la relation entre la

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels. Ordre des opérations. Nombres premiers. Opérations sur les fractions 7. Puissances entières 0.7 Notation scientifique.8

Plus en détail

CORRECTIONS. Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures

CORRECTIONS. Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures * Calculatrice autorisée pour les deux parties mais en précisant les étapes des calculs. A] Nombres et Calculs : Exercice n 1 : Compléter

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Méthode universitaire du commentaire de texte

Méthode universitaire du commentaire de texte Méthode universitaire du commentaire de texte Baptiste Mélès Novembre 2014 L objectif du commentaire de texte est de décrire la structure argumentative et de mettre au jour les concepts qui permettent

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

NOM : Prénom : Date de naissance : Ecole : CM2 Palier 2

NOM : Prénom : Date de naissance : Ecole : CM2 Palier 2 NOM : Prénom : Date de naissance : Ecole : CM2 Palier 2 Résultats aux évaluations nationales CM2 Annexe 1 Résultats de l élève Compétence validée Lire / Ecrire / Vocabulaire / Grammaire / Orthographe /

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Exercice 2. Exercice 3

Exercice 2. Exercice 3 Feuille d eercices n 10 Eercice 1 Une voiture parcours 150 km. Elle effectue une première partie du trajet à la vitesse moyenne de 80 km/h. On notera la longueur de cette partie, eprimée en km Suite à

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende Que faire en algorithmique en classe de seconde? BEGIN Que dit le programme? Algorithmique (objectifs pour le lycée) La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l

Plus en détail

Attestation de maîtrise des connaissances et compétences au cours moyen deuxième année

Attestation de maîtrise des connaissances et compétences au cours moyen deuxième année Attestation de maîtrise des connaissances et compétences au cours moyen deuxième année PALIER 2 CM2 La maîtrise de la langue française DIRE S'exprimer à l'oral comme à l'écrit dans un vocabulaire approprié

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Principe et règles d audit

Principe et règles d audit CHAPITRE 2 Principe et règles d audit 2.1. Principe d audit Le principe et les règles d audit suivent logiquement l exposé précédent. D abord, comme dans toute branche de l activité d une entreprise, l

Plus en détail

Synthèse «Le Plus Grand Produit»

Synthèse «Le Plus Grand Produit» Introduction et Objectifs Synthèse «Le Plus Grand Produit» Le document suivant est extrait d un ensemble de ressources plus vastes construites par un groupe de recherche INRP-IREM-IUFM-LEPS. La problématique

Plus en détail

Chapitre 14. La diagonale du carré

Chapitre 14. La diagonale du carré Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait

Plus en détail

Triangle rectangle et cercle

Triangle rectangle et cercle Objectifs : 1 Savoir reconnaître et tracer une médiane. 2 Connaître et savoir utiliser la propriété qui caractérise le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle. 3 Connaître et savoir

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Strasbourg pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Strasbourg pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Strasbourg pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

LE CADRE COMMUN DE REFERENCE LA CONVERGENCE DES DROITS 3 e forum franco-allemand

LE CADRE COMMUN DE REFERENCE LA CONVERGENCE DES DROITS 3 e forum franco-allemand LE CADRE COMMUN DE REFERENCE LA CONVERGENCE DES DROITS 3 e forum franco-allemand Guillaume Wicker Professeur à l Université Montesquieu - Bordeaux IV 1 Je commencerais par cette interrogation : est-il

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer

Plus en détail

Rapport du Jury du Concours 2010 Épreuve Pratique d Algorithmique et de Programmation (EPAP)

Rapport du Jury du Concours 2010 Épreuve Pratique d Algorithmique et de Programmation (EPAP) Rapport du Jury du Concours 2010 Épreuve Pratique d Algorithmique et de Programmation (EPAP) Loris Marchal, Guillaume Melquion, Frédéric Tronel 21 juin 2011 Remarques générales à propos de l épreuve Organisation

Plus en détail

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 5 et 6 mai 004 SÉRIE COLLÈGE Durée heures MATHEMATIQUES Rédaction, présentation, orthographe (4 points) PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Dans

Plus en détail

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. :

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. : Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et

Plus en détail

Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2

Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Le seul ami de Batman

Le seul ami de Batman Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Programme de Mathématiques Années 1-3 du Secondaire

Programme de Mathématiques Années 1-3 du Secondaire Schola Europaea Bureau du Secrétaire Général Ref. : 2007-D-3310-fr-3 Orig. : EN Programme de Mathématiques Années 1-3 du Secondaire APPROUVE PAR LE CONSEIL SUPERIEUR DES ECOLES EUROPÉENNES DES 22 ET 23

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

O b s e r v a t o i r e E V A P M. Taxonomie R. Gras - développée

O b s e r v a t o i r e E V A P M. Taxonomie R. Gras - développée O b s e r v a t o i r e E V A P M É q u i p e d e R e c h e r c h e a s s o c i é e à l ' I N R P Taxonomie R. Gras - développée Grille d'analyse des objectifs du domaine mathématique et de leurs relations

Plus en détail

La médiatrice d un segment

La médiatrice d un segment EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE

Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Primaire. analyse a priori. Lucie Passaplan et Sébastien Toninato 1

Primaire. analyse a priori. Lucie Passaplan et Sébastien Toninato 1 Primaire l ESCALIER Une activité sur les multiples et diviseurs en fin de primaire Lucie Passaplan et Sébastien Toninato 1 Dans le but d observer les stratégies usitées dans la résolution d un problème

Plus en détail

Une bien jolie curiosité

Une bien jolie curiosité Une bien jolie curiosité Roland Dassonval et Catherine Combelles Tracez un polygone régulier à n sommets inscrit dans un cercle de rayon 1, puis les cordes qui joignent un sommet donné aux n-1 autres.

Plus en détail

Le système d évaluation par contrat de confiance (EPCC) *

Le système d évaluation par contrat de confiance (EPCC) * André ANTIBI Le système d évaluation par contrat de confiance (EPCC) * * extrait du livre «LES NOTES : LA FIN DU CAUCHEMAR» ou «Comment supprimer la constante macabre» 1 Nous proposons un système d évaluation

Plus en détail

LIVRET PERSONNEL DE COMPÉTENCES

LIVRET PERSONNEL DE COMPÉTENCES Nom... Prénom... Date de naissance... Note aux parents Le livret personnel de compétences vous permet de suivre la progression des apprentissages de votre enfant à l école et au collège. C est un outil

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette

Plus en détail

Proposition de programmes de calculs en mise en train

Proposition de programmes de calculs en mise en train Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Fibonacci et les paquerettes

Fibonacci et les paquerettes Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au

Plus en détail

Cours de Numération. Il utilise exclusivement les deux symboles 0 et 1.

Cours de Numération. Il utilise exclusivement les deux symboles 0 et 1. Cours de Numération A). Introduction : I ). Généralités : Le système binaire (Base 2) a été conçu au 17 ème siècle par le mathématicien LEIBNITZ. Il présente l'avantage de ne comporter que deux symboles

Plus en détail

Représentation d un entier en base b

Représentation d un entier en base b Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Sommaire de la séquence 8

Sommaire de la séquence 8 Sommaire de la séquence 8 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon départ.......................................................................................

Plus en détail

# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list =

# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun> 94 Programmation en OCaml 5.4.8. Concaténation de deux listes Définissons maintenant la fonction concat qui met bout à bout deux listes. Ainsi, si l1 et l2 sont deux listes quelconques, concat l1 l2 constitue

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

PREMIÈRE PARTIE LES NOMBRES DANS L ANTIQUITÉ

PREMIÈRE PARTIE LES NOMBRES DANS L ANTIQUITÉ PREMIÈRE PARTIE LES NOMBRES DANS L ANTIQUITÉ Chapitre 2 La Mésopotamie et l Égypte Sommaire 2. Mésopotamie..................... 9 2.2 Égypte......................... 4 2.3 Activité proposée pour les classes

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

D'UN THÉORÈME NOUVEAU

D'UN THÉORÈME NOUVEAU DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent

Plus en détail