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1 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6% e la volailié hisorique du fuure es esimée à 2%/an. 1. Calculez la valeur de la prime de l opion européenne d acha à parir du modèle de Cox, Ross e Rubinsein en supposan deux possibiliés d arbirage. Nous rappelons que nous avons ( τ u = exp σ n ), d = 1 u e π = 1 d u d 2. Quelle es la valeur de la prime de l opion américaine correspondane? Uilisez pour cela la echnique die de remonée de l arbre. 3. On rappelle que la prime de l opion d acha dans le modèle de Black es donnée par la formule suivane : C = F e rτ Φ (d 1 ) Ke rτ Φ (d 2 ) avec d 1 = 1 σ ln F + 1σ τ e d τ K 2 2 = d 1 σ τ. Calculez la valeur de la prime de l opion européenne précédene. 4. A parir de la formulaion, sous la probabilié neure au risque, des primes d opion d acha e de vene sur fuures, rerouvez la relaion de parié callpu. En déduire la valeur de la prime de l opion de vene dans le modèle de Black. 1.2 Valorisaion d un CAP e modèle de Ho e Lee 1. Jusifiez l uilisaion de la srucure par erme des coupons zéros pour valoriser les acifs coningens au aux d inérê. Expliciez la foncion d acualisaion P (n) i (τ). 2. Pourquoi Ho e Lee considèren--ils deux foncions perurbarices h (τ) e h (τ)? Présenez e expliquez les relaions enre les foncions perurbarices e la foncion d acualisaion. 3. On considère un CAP 4 mois sur aux PIBOR poran sur un emprun à aux variable de 1 francs. Le aux d exercice es 6.5%. Définissez la noion de CAP. 1

2 4. La srucure par erme des coupons zéros (de nominal 1 Franc) es la suivane :.995 (1 mois),.991 (2 mois),.986 (3 mois) e.979 (4 mois). On suppose que la probabilié neure au risque π vau 45 % e que le coefficien d inceriude δ es de.998. Les diagrammes d évoluion de la foncion d acualisaion son : P () (3) = (3) = (3) = (2) = (2) =.9931 P () (2) = (2) = (2) = (2) = 2 (1) = P (3) 3 (1) = (1) = P (3) 2 (1) =.9942 P () (1) = (1) =.9952 (1) =.9951 P (3) (1) =.9932 Trouvez les valeurs de 1 (1), 2 (1), 1 (2), 1 (2) e 1 (3). 1 (1) =.9922 P (3) (1) = La valeur de la prime du CAP es 229 francs. L évoluion du aux PIBOR 1 mois es la suivane : 6%, 6.5%, 7% e 6.5%. A poseriori, la couverure par ce CAP es--elle inéressane? 2

3 1.3 Les noions de prix du risque e de probabilié neure au risque 1. Après avoir rappelé les hypohèses du modèle d arbirage à une variable d éa, définissez l équaion fondamenale de la finance. 2. On considère un modèle, don la variable d éa es le prix d un acif S. On suppose que la dynamique du prix de ce acif es donnée par la différenielle sochasique suivane : ds = µs d + σs dw Ce acif disribue un revenu coninu proporionnel au prix de l acif, c esà-dire que nous avons b (S, ) = ds En déduire la valeur du prix du risque. Monrer, en uilisan le héorème de Girsanov, que nous avons sous la nouvelle probabilié de mesure [ ] E ds + b (S, ) d S F = r d Expliquez cee relaion. Pourquoi pouvons-nous assimiler la nouvelle mesure de probabilié à une probabilié neure au risque? 3. On suppose mainenan que la dynamique du prix es un processus d Ornsein-Uhlenbeck ds = α (β S ) d + σ dw e que ce acif ne disribue pas de dividendes. Soi r le aux d inérê sans risque. Monrez alors que la dynamique corrigée du risque du prix de l acif es ds = rs d + σ dw Nous supposons que le prix de l acif es connu en. En déduire, en uilisan le lemme d Iô, que le prix acualisé de l acif es une maringale sous la mesure de probabilié neure au risque. 1.4 Valorisaion d une opion d acha dans un modèle monofacoriel On considère que les hypohèses générales du modèle d arbirage en emps coninu son vérifiées. Le aux d inérê sans risque, noé r, es consan. Nous éudions un modèle monofacoriel, le faceur éan noé X. On suppose que la 3

4 dynamique de X es un processus de diffusion, donnée par l équaion différenielle sochasique suivane : { dx = µ d + σ dw X ( ) = x Soi S le prix d un acif. Nous supposons que le modèle es linéaire, c es-à-dire que S = αx + β 1. Soi C la valeur de la prime d une opion d acha don le sous-jacen es S. Conformémen au modèle d arbirage à un seul faceur, C dépend uniquemen des variables X e, c es-à-dire que nous avons C = C (X, ). Quelle es l équaion fondamenale que doi saisfaire la prime de l opion d acha d échéance T e de prix d exercice K? 2. Supposons que le prix du risque associé au faceur X soi consan. Nous avons λ (X, ) = λ. Monrez alors qu il exise une mesure de probabilié, que nous noons P, elle nous avons { dx = (µ λσ) d + σ dw X ( ) = x avec W un processus de Wiener. 3. Soi {F, } la filraion. En déduire, en appliquan le héorème de Feynman-Kac, que la soluion de l équaion fondamenale es C (, X ) = exp [ r (T )] E [max (, αx (T ) + β K) F ] (1) 4. Monrez que sous la mesure de probabilié P, X (T ) es une variable aléaoire gaussienne. Caracérisez X (T ) par ses deux premiers momens. 5. Soien la maurié de l opion τ = T e S la valeur acuelle du prix du sous-jacen. En déduire que la prime d une opion d acha es C = ασ ( τ e rτ exp 1 ) 2π 2 d2 1 (K d 2 ) e rτ Φ (d 1 ) avec Φ la foncion de répariion de la loi normale cenrée e réduie, d 2 = S + α (µ λσ) τ e d 1 = d 2 ασ τ 4

5 Remarque sur la quesion 5 : La soluion de l expression (1) peu êre facilemen obenue en remarquan que C (, X ) = e rτ E [max (, S (T ) K) F ] A parir des propriéés des variables aléaoires gaussiennes, il es alors aisé de définir S (T ). 1.5 Gesion des opions en Dela neure 1. Définissez le coefficien dela d une opion. Quel es son inérê dans la gesion du risque d un porefeuille d opions? 2. On considère un porefeuille consiué des acifs suivans : Acif Nombre Dela Acion A 1 Acion B 5 Opion d acha (acion A) 15.5 Opion de vene (Acion A) 2.25 Opion d acha (Acion B) 3.8 Opion de vene (Acion B) 8.2 Que doi-on faire pour que ce porefeuille soi dela-neure par rappor au prix de l acion A? 2 Annexes 2.1 Théorème de représenaion de Feynman-Kac Considérons la variable d éa x définie par dx = µ (, x) d + σ (, x) dw e A v le généraeur infiniésimal de la diffusion Sous les hypohèses suivanes : A v = 1 2 σ2 (, x) 2 v v + µ (, x) x2 x 1. Les foncions µ (, x), σ(, x), k (, x) e g (, x) son lipschiziennes, bornées sur [, T ] R. 2. La foncion f (x) es une foncion coninue e de classe C 2. 5

6 3. Les foncions g e f son à croissance exponenielle, c es-à-dire qu il exise K e ξ el que { g (x) K exp (ξx 2 ) f (x) K exp (ξx 2 ) e si v (, x) es une foncion à croissance polynomiale, alors il exise une soluion unique au problème suivan de Cauchy. { v + kv = A v + g (, x) [, T ] R v (T, x) = f (x) x R Cee soluion es donnée par la formule suivane ( T ) T ( v (, x) = E [f (x T ) exp k (θ, x θ ) dθ + g (s, x s ) exp 2.2 Théorème de Girsanov s ) ] k (θ, x θ ) dθ ds Soien W un processus de Wiener e P la mesure de probabilié. Si le processus φ () vérifie la condiion suivane E [ exp 1 2 ] φ 2 () ds < alors W défini par W () = W () φ () ds es un processus de Wiener sous la mesure de probabilié P. Le changemen de mesure es donné par le héorème de Radon-Nikodym : [ dp dp = exp φ () dw (s) 1 ] φ 2 () ds Foncion de répariion de la loi Normale cenrée e réduie 6

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