Symétries dans les problèmes variationnels et applications harmoniques

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Symétries dans les problèmes variationnels et applications harmoniques"

Transcription

1 Symétries dans les problèmes variationnels et applications harmoniques Frédéric Hélein le 12 juin Introduction Certaines quantités fondamentales en physique (énergie, quantité de mouvement, charge électrique...) peuvent être identiées comme étant les quantités conservées, c'est à dire admettant une valeur constante au cours du temps, lorsque certaines hypothèses naturelles sont vériées. Considérons par exemple le mouvement d'une particule ponctuelle de masse m se déplaçant dans l'espace tridimensionnel, sous l'action d'une force dérivant d'un potentiel V : R 3 R. Désignons par x(t) = t (x 1, x 2, x 3 )(t) le vecteur position dans R 3 de cette particule à l'instant t ; la loi de Newton conduit à la relation bien connue : m d2 x i dt 2 = mẍi = V (x(t)), pour i = 1, 2, 3. xi Cette équation peut prendre la forme vectorielle mẍ = V (x), où V est le vecteur de composantes V x. Une manipulation très simple de cette équation i consiste à faire le produit scalaire des deux membres par le vecteur vitesse = ẋ et écrire dx dt Cette équation prend la forme m ẍ, ẋ = V (x), ẋ = d dt ( 1 2 m ẋ 2 + V (x) d(v (x)). dt ) = 0. La quantité 1 2 m ẋ 2 + V (x) émerge ainsi simplement des équations de Newton : c'est l'énergie totale de la particule dans le potentiel de force V, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Un raisonnement aussi élémentaire permettrait de montrer que si par exemple le potentiel du champ de force est invariant lorsque l'on fait subir à une particule une translation dans la direction des x 1 - ce qui signie simplement que la fonction V ne dépend pas de x 1, mais seulement de (x 2, x 3 ) - alors la quantité mẋ 1 est constante au cours du temps pour toute solution des équations de Newton. Dans ce cas-là, c'est une 1

2 des composantes du vecteur impulsion mẋ qui est conservée. De même, si on suppose que V ne dépend que de la distance à l'origine dans R 3, ce qui s'écrit V (x) = V (r), où r = x, on peut vérier par un calcul direct que le moment de rotation mx ẋ = m est constant au cours du temps. x 2 ẋ 3 x 3 ẋ 2 x 3 ẋ 1 x 1 ẋ 3 x 1 ẋ 2 x 2 ẋ 1 Ces trois exemples illustrent un principe mathématique général, qui associe à chaque symétrie innitésimale d'une équation diérentielle (en l'occurence l'équation de Newton) une quantité, de façon telle que pour toute solution de cette équation, cette quantité est conservée. Ainsi, dans l'exemple de l'équation de Newton, la conservation de l'énergie totale est due à l'invariance de l'équation de Newton par translation dans le temps, ce qui exprime le principe raisonable que les lois qui gouvernent le mouvement de la particule sont identiques à chaque instant. De même, toute symétrie spatiale du problème entraîne l'existence d'autres quantités conservées au cours du temps. Cette intéraction entre symétries et quantités conservée a, semble-t-il, été remarquée pour la première fois par Sophus Lie. Une des manifestations les plus importantes de ce lien symétrie-lois de conservation concerne les équations diérentielles variationnelles et est contenue dans le théorème d'emmy Noether. Nous verrons d'ailleurs un peu plus loin que les équations de Newton sont d'origine variationnelle (il s'agit du principe de Maupertuis). Exposons brièvement le théorème de Noether dans un cas simple, celui d'un problème variationnel supposé gouverner le mouvement d'une particule ponctuelle dans l'espace de dimension 3, R 3. A chaque trajectoire γ, vue comme application d'un intervalle de temps I vers R 3, nous associons une action A[γ] = L(t, γ, γ)dt, I où L est une fonction régulière de I R 3 R 3 vers R, appelée lagrangien et γ = dγ dt. Toute trajectoire γ rendant extrémale ou stationnaire l'action A est appelée point critique de A. Cela signie qu'une trajectoire γ+ɛβ qui a même point de départ et d'arrivée que γ (id est β est à support compact dans I), et qui est proche de γ (ce qui revient à supposer que ɛ est très petit) a une action A(γ+ɛβ) qui dière de A(γ) à l'ordre deux en ɛ (c'est à dire A(γ + ɛβ) A(γ) = O(ɛ 2 )). Exemple : Le principe de Maupertuis. Si on prend pour L : L(t, γ, γ) = m γ 2 2 V (γ), 2

3 on peut vérier que tout point critique de A satisfait l'équation de Newton. Supposons à présent qu'il existe une famille continue de déformations de l'espace R 3 qui laisse le problème variationnel invariant et prenons le cas où cette famille est un groupe à un paramètre Φ s, avec Φ 0 (x) = x. L'invariance signie que pour toute trajectoire γ, A[Φ s γ] = A[γ]. En supposant que Φ s dépende de façon régulière (C 1 ) du paramètre s, on a nécessairement pour s très petit Φ s (x) = x + sx(x) + o(s), où X est un champ de vecteur sur R 3. Réciproquement, la connaissance du champ de vecteur X sut à caractériser Φ s pour tout s R, dés que X est lipschitzien. Ainsi les groupes à un paramètre de symétrie sont reliés aux déformations innitésimales de l'espace. Et l'invariance de l'action par le groupe (Φ s ) s est équivalente à l'équation sur L 3 X i (γ) L γ i (t, γ, γ) + dxi (γ). γ L (t, γ, γ) = 0. γ i i=1 Nous avons alors le résultat suivant : Théorème 1.1 Soit L un lagrangien invariant sous l'action innitésimale de X et soit γ un point critique de A(γ), alors la quantité J = est constante au cours du temps. 3 i=1 X i (γ) L (t, γ, γ) γ i Ce résultat est une forme élémentaire du théorème de Noether. On peut également énoncer et prouver une version analogue, mais avec un groupe de symétrie qui agit sur l'espace de départ du problème variationnel, c'est à dire ici un groupe de diéomorphismes de l'intervalle I. Mieux encore, il est possible de "mélanger" l'espace et le temps, c'est à dire considérer des champs de vecteurs sur l'espace-temps, voire des champs de vecteurs qui font intervenir un nombre arbitraire de dérivées (cf [Olver]). De plus, ce théorème se généralise aux problèmes variationnels à plusieurs variables, mais alors on n'obtient pas une quantité scalaire constante, mais un champ de vecteurs sur le domaine de départ à divergence nulle. Dans ce qui suit, nous commencerons par énoncer plus précisement et démontrer quelques versions du théorème de Noether, et nous nous intéresserons ensuite à quelques applications. Notre propos est en eet d'illustrer les mérites 3

4 de ce résultat à travers ses applications. Elles sont bien connues en physique mathématique, où le théorème de Noether joue un rôle de "principe de correspondance" entre quantités physiques et symétrie. Ici, nous nous intéressons essentiellement à l'analyse d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Nous souhaitons montrer, à travers quelques exemples empruntés à la théorie des applications harmoniques entre variétés, que le théorème de Noether joue également un rôle clef, comme principe de correspondance entre les symétries d'un problème variationnels et les "bonnes quantités" à considérer. Ce phénomène n'est pas totalement nouveau et a déja été remarqué dans le cadre de la théorie de la compacité par compensation. 2 Le théorème de Noether Nous considérons à présent un problème variationnel à plusieurs variables du premier ordre en les dérivées. Dans ce qui suit, est un domaine ouvert de R m (m N ), nous considérons une classe d'applications E = {u : R n }, sans préciser pour l'instant la régularité de ces applications (on pourrait les choisir de classe C 2 ). A chaque u E nous associons l'action A[u] = L(x, u(x), du(x))dx. Ici, L est une fonction dénie sur R n M(R m, R n ), à valeurs dans R, M(R m, R n ) est l'ensemble des matrices réelles m n, que l'on identie avec l'ensemble des applications linéaires de R m vers R n. du(x) est la matrice jacobienne de u, ou diérentielle de u au point x : u 1 1 u 1 u 1 u m x 1 du =. 1 x. = m... u n 1 u n u n u m x n 1 x m Toute application u dans E est point critique de A si et seulement si, pour toute application v E qui soit à support compact dans et pour s R proche de 0, A[u + sv] = A[u] + o(s). On démontre aisément que u est point critique de A, si et seulement si u est solution du système d'équations d'euler-lagrange : m L u i = ( ) L x α u i, pour i = 1,..., n. α α=1 Nous allons envisager à présent ce qui se passe lorsque un tel problème variationnel est invariant sous l'eet d'un groupe de symétrie à un paramètre. 4

5 2.1 Symétrie agissant sur l'espace d'arrivée C'est le cas le plus simple à étudier. Nous supposons qu'il existe un champ de vecteurs U : R n R n agissant sur l'espace d'arrivée. Notons Φ s le ot engendré par U, c'est à dire la solution de Φ 0 (y) = y, y R n, dφ s (y) = U(Φ s (y)), y R n, s R. ds A partir de la famille de diéomorphismes Φ s, nous pouvons déduire une famille de déformations agissant sur les applications de vers R n. Ces déformations sont obtenues géométriquement en faisant agir Φ s sur le graphe d'une application u : le graphe de l'application ainsi déformée u s est l'image par (Id, Φ s ) du graphe de u. En fait il est immédiat que u s = Φ s u. Ainsi nous allons faire l'hypothèse que pour tout sous-domaine ω, et pour toute application u de ω vers R n, A ω [Φ s u] = A ω [u], où A ω [u] = L(x, u, du)dx. Cette condition entraîne en particulier que pour ω tout ω, A ω [u + su u] = A ω [u] + o(s). Cette dernière relation étant vraie pour tout ω, elle est équivalente à la condition (x, y, z) R n M(R m, R n ), L(x, y + su(y), z + sdu(y).z) = L(x, y, z) + o(s). (1) Théorème 2.1 Supposons que U soit une symétrie innitésimale de A, c'est à dire que (1) ait lieu. Soit u un point critique de A, alors le champ de vecteurs J sur de composantes : J α (x) = est à divergence nulle, id est n i=1 U i (u(x)) L u i (x, u(x), du(x)) α divj = m α=1 J α = 0. (2) xα Preuve L'idée est d'utiliser le fait que l'action A(u) de u est stationnaire sous l'eet d'une perturbation qui est une modulation de U(u). Nous choisissons donc une fonction φ C 1 c (, R) et nous déduisons du fait que u est point critique la relation 5

6 A[u + sφu u] = A[u] + o(s). (3) Développons A[u + sφu u]. Comme nous allons le voir, il n'est pas nécessaire de développer totalement cette expression pour pouvoir exploîter la propriété de symétrie de A : A[u + sφu u] = = +s n L(x, u + sφu(u), du + sφdu(u) + sdφu(u))dx L(x, u + sφu(u), du + sφdu(u))dx m i=1 α=1 U i (u) φ L x α u i (x, u, du)dx + o(s). α Maintenant, nous utilisons l'hypothèse de symétrie et plus particulièrement la relation (1) en y substituant sφ à s. Nous en déduisons A[u + sφu u] = A[u] + s = A[u] + s n m i=1 α=1 m α=1 U i (u) φ L x α u i (x, u, du)dx + o(s) α φ x α J α dx + o(s). Si à présent nous comparons cette dernière expression avec la relation (3), nous en déduisons que m α=1 φ x α J α dx = 0, φ C 1 c (, R). Et c'est précisemment la formulation faible de la conclusion de notre résultat. CQFD. 2.2 Symétrie agissant sur l'espace de départ Nous avons un résultat analogue au précédent dans le cas où le problème variationnel est invariant par un groupe de diéomorphismes agissant sur l'espace de départ. Cependant, la description de cette action sur les applications de vers l'espace d'arrivée nécessite un peu plus de soin, car en général, le domaine de départ peut être modié par une telle transformation. Soit donc Ψ s une famille de diéomorphismes à un paramètre qui forme un groupe pour la composition. Ψ s est le ot d'un champ de vecteurs X déni sur un ouvert de R m contenant. Cela entraîne en particulier que pour s proche de 0, on a Ψ s (x) = x + sx(x) + o(s). (4) 6

7 L'image par Ψ s de est un ouvert s, diérent de en général. Considérons une application u de vers R n : quelle est l'action de Ψ s sur u? u est transformée en u s de façon telle que le graphe de u s est l'image du graphe de u par la transformation (Ψ s, Id) agissant sur R m R n. Donc le domaine de dénition de u s sera s = Ψ s (), et u s satisfait à u s Ψ s = u, s. (5) A présent nous dirons que le problème variationnel A est invariant par X si et seulement si pour tout sous-domaine ω, A Ψs(ω)[u s ] = A ω [u]. Une façon d'écrire cette relation est de faire le changement de variable x = Ψ s (ξ), pour ξ ω dans l'intégrale de gauche. Cela donne L (Ψ s (ξ), u s (Ψ s (ξ)), du s (Ψ s (ξ))) det(dψ s (ξ))dξ = A ω [u]. ω Or, en dérivant la relation (5), on obtient : d'où du s (Ψ s (ξ)).dψ s (ξ) = du(ξ), du s (Ψ s (ξ)) = du(ξ).[dψ s (ξ)] 1. Donc, en utilisant cette équation et (5), on obtient L ( Ψ s (ξ), u(ξ), du(ξ).[dψ s (ξ)] 1) det(dψ s (ξ))dξ = A ω [u]. (6) ω Nous pouvons déduire une version innitésimale de cette relation, en supposant que s est petit et en développant au premier ordre : A ω [u] = ω L (x + sx(x), u(x), du(x).[1l sdx(x)]) det(1l + sdx(x))dx + o(s). Et comme cette relation doit être valable pour tout ω, nécessairement, (x, y, z) R n M(R m, R n ), L (x + sx(x), y, z.[1l sdx(x)]) (1 + sdivx(x)) = L(x, y, z) + o(s). (7) Théorème 2.2 Supposons que X soit une symétrie innitésimale de A, c'est à dire que (7) ait lieu. Soit u un point critique de A, alors le champ de vecteurs J sur de composantes : J α (x) = n m i=1 β=1 est à divergence nulle. X β (x) ui x β L (x, u(x), du(x)) X α (x)l(x, u(x), du(x)) u i α 7

8 Remarque 1 On peut également noter J α sous la forme où H α β J α (x) = m X β (x)hβ α (x), β=1 est le tenseur hamiltonien déni par H α β (x) = n i=1 u i x β L (x, u(x), du(x)) δβ α L(x, u(x), du(x)). u i α Preuve Nous allons fabriquer une perturbation de u en "modulant" l'action de X par une fonction φ C 1 c (, R). Cela donne une application v s de vers R n telle que v s (x + sφ(x)x(x)) = u(x). Remarquons que si s est susamment petit, x x + sφ(x)x(x) est un diéomorphisme de dans lui-même. On peut donc faire le changement de variable x = ξ + sφ(ξ)x(ξ), an de calculer l'action de v s : A [v s ] = L(x, v s (x), dv s (x))dx = = L ( ξ + sφ(ξ)x(ξ), u(ξ), du(ξ).[1l + sd(φ(ξ)x(ξ))] 1) det[1l+sd(φ(ξ)x(ξ))]dξ L (ξ + sφ(ξ)x(ξ), u(ξ), du(ξ).[1l sd(φ(ξ)x(ξ))]) [1+sdiv(φ(ξ)X(ξ))]dξ+o(s). Développons cette expression et ensuite, utilisons l'hypothèse (7) (en remplaçant s par sφ(x)) : A [v s ] = L (x + sφ(x)x(x), u(x), du(x)..[1l sφ(x)d(x(x))]) [1+sφ(x)divX(x)]dx +s [ + m n α,β=1 i=1 m α=1 = A [u] s φ ui (x) xα x β (x)xβ (x) L u i (x, u(x), du(x)) α φ x α (x)xα (x)l(x, u(x), du(x))]dx + o(s). m α,β=1 φ x α (x)xβ (x)h α β (x)dx + o(s). Il ne reste plus maintenant qu'à utiliser le fait que u est point critique de A, et donc que A [v s ] = A [u] + o(s), pour en déduire que m α,β=1 φ x α (x)xβ (x)h α β (x)dx = 0. 8

9 Cela établit que J est à divergence nulle. CQFD. Remarque 2 Dans le cas particulier où le lagrangien L ne dépend pas de x mais est seulement une fonction de (u, du), le problème variationnel est invariant par les translations de R m et on déduit du théorème précédent que m α=1 H α β x α = 0, pour tout β = 1,...m. 2.3 Symétries agissant sur le produit de l'espace de départ par l'espace d'arrivée Nous pouvons aussi envisager des situations où le problème variationnel est invariant sous l'eet d'un groupe qui agit sur les variables de départs et d'arrivée. Soit un ouvert de R m contenant strictement. Nous considérons un champ de vecteurs (X, U) : R n R m R n dont le ot Ξ s (x, y) = (Ψ s (x, y), Φ s (x, y)) est une famille continue de déformations par diéomorphismes de R n à l'intérieur de R n, (si s est susamment petit). Toute application u dénie sur un ouvert ω et à valeurs dans R n est ainsi déformée en u s : ω s R n. On dénit u s en disant que son graphe est l'image par Ξ s du graphe de u. On obtient ainsi u s (Ψ s (x, u(x))) = Φ s (x, u(x)). L'hypothèse d'invariance de l'action A ω est : A ωs [u s ] = A ω [u]. Nous avons alors un théorème qui généralise simultanément les deux résultats précédents. Pour l'énoncer, nous dénissons l'impulsion généralisée Pi α (x, u(x), du(x)) := L u i (x, u(x), du(x)), α et nous utilisons également la notation du tenseur hamiltonien Hβ α le paragraphe précédent. déni dans Théorème 2.3 Supposons que (X, U) soit une symétrie innitésimale de A. Soit u un point critique de A, alors le champ de vecteurs J sur de composantes : J α (x) = est à divergence nulle. m X β (x, u(x))hβ α (x) + β=1 n U i (x, u(x))pi α (x) i=1 9

10 2.4 Un exemple d'une utilisation du théorème de Noether : le problème de Yamabe Nous allons montrer, à l'aide du résultat précédent, un résultat, dû à S. Pohozaev, sur la non-existence de solutions positives à l'équation : 4 u u m 2 u = 0 sur u = 0 sur. Nous supposons ici que est un ouvert de R m, avec m 3, dont le bord est de classe C 2 et u est dans C 1 (, R) (en fait on pourrait supposer seulement que u est dans H 1 (, R) = {u L 2 ()/ u x L 2 (), α = 1,..., m}). On dit que le α domaine est étoilé, s'il existe un point de, que par commodité nous noterons 0, tel que pour tout point x de, le vecteur 0x = x pointe vers l'extérieur de en x ; donc si n est le vecteur normal extérieur à en x, n, 0x 0. En 1965, S. Pohozaev démontra que si est étoilé, alors la seule solution positive ou nulle de (8) est la solution nulle [Pohozaev]. Preuve Rappelons que l'équation (8) est l'équation d'euler des points critiques sur C 1 0(, R) = {u C 1 (, R)/u = 0 sur } de la fonctionnelle A [u] = ( du 2 2 (m 2) u 2m m 2 2m )dx. Cette fonctionnelle possède plusieurs propriétés d'invariance. La plus facile à remarquer est l'invariance par translation sur R m. Une autre invariance est liée aux dilatation de R m. Nous pouvons remarquer en eet que pour tout s R, déni sur s = e s satisfait à u s (x) = e 2 m 2 s u(e s x) A s [u s ] = A [u]. C'est un simple calcul, où il sut de faire le changement de variable x = e s x. Nous pouvons exprimer cette propriété en disant que cette action est invariante sous l'eet du ôt (Ψ s, Φ s ) : R m R R m R (x, y) (e s x, e 2 m 2 y), engendré par le champ de vecteurs x α précédent s'applique. Nous obtenons que x + 2 m α 2 y y (8). Par conséquent le théorème J α = 2 m u u u u + xβ 2 xα x α x β xα ( du 2 m 2 2m u m 2 ) 2 2m est à divergence nulle si u est point critique. Appliquons la formule de Stokes, notant n la normale extérieure à, 10

11 0 = = divjdx = ( 2 m 2 J.ndσ u u u + du(x) x, n ( du 2 n n 2 m 2 ) 2m u m 2 ) dσ. 2m Nous pouvons simplier cette expression en exploitant la relation u = 0 sur sous une forme brute et sous la forme du corollaire suivant. Décomposons x en x = x, n n + x où x est la projection de x sur le plan tangent à en x. L'hypothèse que u = 0 sur entraîne que du(x ) = 0. Ainsi du(x) = du(n) x, n + du(x ) = du(n) x, n. Nous en déduisons que (remarquant aussi que du = du(n) ) : x, n du(n)2 dσ = 0. 2 Or, puisque est étoilé, x, n 0 et la relation précédente n'est possible que si du(n) = 0 en au moins un point de. Il reste à en déduire que u = 0 partout. Dans un premier temps, grâce au principe du maximum fort, nous déduisons des hypothèses u = 0 sur, u 0 sur et u 0 sur que, soit u = 0 partout (auquel cas la démonstration est terminée), soit u > 0 sur. Plaçons-nous dans ce dernier cas. Le bord étant de classe C 2, nous pouvons appliquer le principe du maximum de Hopf, nous en déduisons que u n < 0 sur, ce qui contredit le fait qu'il existe un point de où du(n) = 0. CQFD. 3 Applications harmoniques Les applications harmoniques constituent une généralisation des fonctions harmoniques à valeurs réelles ou vectorielles et des géodésiques. Rappelons qu'étant donné un domaine de R m, une fonction f : R est dite harmonique si elle solution de l'équation de Laplace f = 0 sur, ou, de façon équivalente, si elle est point critique de l'action du 2 A[u] = 2 dx sur l'ensemble {u : R}. Cette action est la fonctionnelle de Dirichlet. De même, si on se donne une sous-variété diérentiable N, que nous supposerons plongée dans R N, une application γ dénie sur un intervalle I de R à valeurs dans N qui est solution de 11

12 γ(t) T γ(t) N, t I, est une paramétrisation à vitesse constante d'une géodésique de N. Une caractérisation variationnelle des solutions d'une telle équation est qu'elles sont les points critiques de la fonctionnelle A[γ] = sur l'ensemble des applications de I vers N. I γ 2 2 dt Nous remarquons que les deux fonctionnelles en question sont tout à fait similaires. En fait, il s'agit de deux cas particuliers du problème variationnel suivant. 3.1 Applications harmoniques régulières Considérons un domaine de R m et N une sous-variété diérentiable (de classe C), sans bord, de dimension n, plongée dans l'espace euclidien R N. Nous dénissons la fonctionnelle de Dirichlet E dénie sur l'ensemble E des applications u de vers N par du 2 E[u] = 2 dx. Nous appellerons application harmonique tout point critique de E sur E. Il convient de donner quelques précisions, premièrement sur du. Par le plongement de N dans R N, nous pouvons voir u aussi bien comme une application à valeurs dans N que dans R N. Ainsi, la matrice jacobienne du peut être vue comme la matrice d'une application linéaire de R m dans R N du = u 1 1 u 1 m.. u N 1 u N m = u 1 u x 1 1 x m.. u N u x N 1 x m. La notation du 2 désigne alors la norme de Hilbert-Schmidt de du du 2 = m α=1 i=1 N ( ) u i 2 x α. Deuxièment, il faut également dénir ce que l'on entend par point critique. Une application u : N est point critique de E si pour toute famille d'applications u s : N, paramétrée de façon C 1 par s ] ɛ, ɛ[ et telle que u 0 = u sur et u s = u en dehors d'un compact de, on a d ds E[u s] s=0 = 0. 12

13 Il y a deux façons naturelles de produire une telle famille de déformations u s. (1) La première consiste à dénir le voisinage tubulaire V δ N = {y R N /d(y, N ) < δ}, où δ > 0 est susamment petit pour que tout point y de V δ N admette une unique projection P (y) N, c'est à dire un point de N situé à la distance d(y, N ) de y. Cela détermine une application P : V δ N N qui est de classe C k 1 si N est de classe C k. Alors, pour toute fonction v C 2 c (, R N ), il existe ɛ > 0 tel que si s < ɛ, u(x) + sv(x) V δ N et nous pouvons dénir u s = P (u + sv). Si u est point critique de E par rapport à ce type de variations, nous dirons que u est harmonique. (2) Une deuxième méthode pour déformer u est de considérer un champ de vecteurs tangents X sur, à support compact, et construire le ôt Ψ s : de ce champ de vecteurs, c'est à dire la solution de l'équation d ds Ψ s(x) = X(Ψ s (x)) avec la condition initiale Ψ 0 (x) = x. On peut alors déformer u en u s = u Ψ s. Si u est point critique de E par rapport à ce type de variations, nous dirons que u est Noether harmonique. Equations d'euler-lagrange Pour un point critique par rapport au premier type de déformation, nous avons la caractérisation suivante Lemme 1 Une application u : N est harmonique si et seulement si elle satisfait l'équation Cette équation est équivalente à u(x) T u(x) N dans R N, x. u(x) + A(u)(du, du) = 0, x, où A est une forme bilinéaire dénie sur T u(x) N, à valeurs dans l'espace R N dans lequel est immergé N, à coecients dépendant de façon régulière de u : c'est la seconde forme fondamentale. Pour la preuve de ce résultat, voir [Hélein 4]. 13

14 Exemple Dans le cas où N est la sphère S 2 := {y R 3 / y = 1}, la condition d'orthogonalité ( u(x) T u(x) N ) se traduit par u(x)//u(x). Cela signie que l'on peut trouver une fonction k de vers R, telle que u(x) + k(x)u(x) = 0, x. La valeur de k est donnée par k = u, u. Mais k peut être calculée en fonction des dérivées premières de u en remarquant que 0 = 1 = u 2 = 2 u, u + 2 du 2, d'où l'on déduit que u satisfait à l'équation u + u du 2 = 0. L'équation d'euler-lagrange pour le deuxième type de variations sera explicitée plus loin, à l'aide du théorème de Noether. Remarquons toutefois que, pour ce type de variation, on a, à l'ordre 1 en s u s (x) = u(x + sx(x)) + o(s) = m u u(x) + s x α (x)xα (x) + o(s) α=1 = P (u(x) + sdu(x).x(x)) + o(s), et que donc, le deuxième type de déformation est, à l'ordre 1 en s, un cas particulier du premier type de variation, avec v(x) = du(x).x(x). Cela signie que toute application harmonique est Noether harmonique. En revanche la réciproque est fausse : par exemple, toute paramétrisation à vitesse constante d'une courbe quelconque d'une variété N est une application Noether harmonique d'un intervalle dans N, mais n'est pas harmonique en général, sauf si la courbe image est une géodésique. De même, toute paramétrisation conforme d'une surface de N est Noether harmonique, mais n'est pas harmonique en général, sauf si la surface image est minimale. De plus, nous verrons plus loin que lorsque l'on parle de solutions faibles (au sens des distributions) de ces problèmes, la distinction entre les deux types de variations est encore plus profonde, car il existe des applications faiblement harmoniques qui ne sont pas des applications faiblement Noether harmoniques. 3.2 Théorème de Noether pour les applications harmoniques Nous remarquons que la fonctionelle de Dirichlet pour des applications d'un ouvert de R m dans une variété quelconque est invariante sous l'eet des translations de R m (invariance au sens déni dans la section précédente). Nous sommes donc dans un cas où le théorème de Noether s'applique. Puisque le groupe de symétrie en question n'agit que sur l'espace de départ, nous n'avons même pas 14

15 besoin de supposer qu'une application est harmonique pour l'appliquer et l'hypothèse de Noether-harmonicité sut. Nous en déduisons le Théorème 3.1 Si u : N est Noether harmonique, alors son tenseur hamiltonien Hβ α = u u x α x β du 2 δα β 2 est à divergence nulle, id est, β = 1,..., m, m α=1 H α β x α = 0. Réciproquement, cette équation caractérise les applications Noether harmoniques. Remarque Il est possible de dénir une généralisation de ce tenseur pour des applications harmoniques dénies sur des variétés riemanniennes. Soit g la métrique sur la variété M de départ. A toute application u dénie sur un ouvert de M et à valeurs dans N, on associe le tenseur énergie-impulsion S αβ = du 2 2 g αβ u x α, u x β où du 2 = m α,β=1 gαβ (x) u x, u. Dans le cas où M coïncide avec R m, α x β alors on a S αβ = Hβ α. On peut alors démontrer une version "covariante" du théorème de Noether, qui est plus ou moins une conséquence de l'invariance de l'action de Dirichlet par changement de coordonnées sur la variété de départ (noter qu'un tel changement de coordonnée aecte à la fois l'application u et l'expression de la métrique g et n'est donc pas à proprement parler une symétrie du problème variationnel). On établit en eet que pour toute application (Noether) harmonique u, son tenseur énergie-impulsion est à divergence covariante nulle : γ = 1,..., m, m α,β=1 g αβ x α S βγ = 0 Ce résultat a été démontré dans [Baird, Eells]. Il ne s'agit pas véritablement d'une loi de conservation. Il est clair que, sauf dans les cas particuliers où il existe un groupe continu de diéomorphismes isométriques qui agissent sur M, le théorème de Noether ne peut pas s'appliquer aux applications harmoniques de M vers N. Il existe cependant une exception, qui est lorsque la dimension de M est égale à 2. Alors l'action de Dirichlet est invariante sous l'action du groupe des transformations conformes de M. Ce groupe est très gros en dimension deux, il s'agit essentiellement des transformations holomorphes et anti-holomorphes de M. Exemple Un théorème d'unicité pour les applications harmoniques. 15

16 En suivant une stratégie analoque à celle de Pohozaev, J. Wood a démontré le résultat suivant [Wood] : Théorème 3.2 Soit un domaine étoilé de R m, pour m 3 et u C 2 (, N ) une application harmonique telle que u = C ste sur. Alors u est constante sur. Preuve Nous allons exploiter le fait que le problème est invariant sous l'eet des translations de R m. Il en résulte que le tenseur hamiltonien Hβ α = u x α, u x β du 2 δα β 2 est à divergence nulle. Considérons le champ de vecteurs X α = m β=1 xβ Hβ α (l'origine O ayant été xée de façon à ce que soit étoilé par rapport à O). Sa divergence est divx = m Hα α = (1 m 2 ) u 2. α=1 Nous appliquons la formule de Stokes (1 m 2 ) u 2 dx = Et sur le bord de, divxdx = X α.n α dσ. X α.n α = u x α xα, u n xα n α u 2 = u 2, car u est constante sur (et donc en particulier ui x est proportionnel à n α ). α Donc 0 (1 m 2 ) u 2 dx = 1 2 u 2 0. Il en résulte que u 2 = 0 sur et donc que u est constante. CQFD. Remarque Le même résultat a été démontré en dimension deux par Luc Lemaire [Lemaire]. Un deuxième exemple d'application du théorème de Noether aux applications harmoniques correspond au cas où un groupe continu d'isométries agit sur la variété d'arrivée N. Supposons par exemple qu'il existe un champ de vecteurs U sur N dont le ot Φ s est une famille d'isométries de N. Un tel champ de vecteurs est appelé Champ de Killing et est caractérisé par l'équation U h = 0, où h est la métrique sur N. En appliquant le Théorème 2.1, on obtient immédiatement ce qui suit. 16

17 Théorème 3.3 Si u : N est harmonique et si U est une champ de Killing sur N, alors le champ de vecteurs J, déni sur, de composantes est à divergence nulle. J α (x) = u x α, U(u(x)) Exemple La sphère S n = {y R n+1 / y = 1}. Pour tout 1 i, j n + 1, le champ de vecteurs U ij := y i y j yj y i est un champ de vecteurs tangents à la sphère, de Killing. Le ot d'un de ces champs de vecteurs est une famille à un paramètre de rotations de R n+1 qui, bien entendu, laisse la sphère invariante. L'espace vectoriel engendré par ces champs de vecteurs est de dimension n(n+1) 2 (puisque U ij + U ji = 0) et forme une algèbre de Lie pour le crochet de Lie des champs de vecteurs qui n'est pas autre chose que so(n + 1), algèbre de Lie du groupe SO(n + 1) des rotations de R n+1. Si maintenant nous considérons un ouvert de R m, alors pour toute application u : S n et pour toute rotation R SO(n + 1), E [R.u] = E [u]. Appliquons le théorème 2.1 : pour toute application harmonique u : S n, est à divergence nulle, id est m α=1 J α ij = u i u j α u j u i α ) (u i uj ui x α uj xα x α = 0. Démystions le théorème de Noether Sur l'exemple précédent - une application harmonique à valeurs dans la sphère - le théorème de Noether conduit à une conclusion très simple, en comparaison avec la complexité des théorèmes généraux 2.1 et 2.2. En particulier, il est bien plus simple dans cette situation de retrouver le résultat à la main, à savoir écrire m α=1 ) (u i uj ui x α uj xα x α = u i u j u j u i = 0, car u est parallèle à u. En somme, il est parfois plus facile de vérier directement la loi de conservation directement, plutôt qu'en appliquant mécaniquement le théorème. L'intérêt de ce résultat ne réside donc pas dans la puissance de sa preuve, mais dans son 17

18 caractère prédictif. Un des buts des notes qui suivent est de convaincre le lecteur qu'il existe une sorte de principe philosophique qui accompagne le théorème de Noether, à savoir que les lois de conservations doivent être utilisées. 3.3 Applications faiblement harmoniques L'obtention d'applications harmoniques par des techniques d'analyse passe par la construction d'un espace fonctionnel d'applications de dans N sur lequel la fonctionnelle de Dirichlet est dénie. Nous utilisons l'espace suivant : H 1 (, N ) := {u H 1 (, R N )/u(x) N p.p.}. Ici N est supposé être plongé isométriquement dans R N, muni du produit scalaire standard.,.. Cette dénition peut paraître assez curieuse au début, car nous sommes obligés d'utiliser un plongement isométrique de la variété riemannienne N dans un espace euclidien - opération non intrinsèque, mais qui est toujours réalisable sur le plan "pratique" grâce au théorème de Nash-Moser. Cependant la théorie qui en résulte ne dépend pas du plongement utilisé (cf [Hélein 4]). Exemple L'ensemble H 1 (B 3, S 2 ), où ici, B 3 = {x R 3 / x < 1}. Un exemple intéressant d'application dans H 1 (B 3, S 2 ) est u : B 3 S 2 x x x. (9) Cette application est régulière en dehors de 0 et son énergie de Dirichlet, u B 3 2 dx est nie. On remarque que, pour toute sphère Sa,r 2 = a+rs 2 B 2 qui ne rencontre pas 0, la quantité deg(u, Sa,r) 2 := 1 u 1 du 2 du 3 + u 2 du 3 du 1 + u 3 du 1 du 2 4π Sa,r 2 vaut 1 si 0 est intérieur à S 2 a,r et 0 si 0 est extérieur à S 2 a,r ; deg(u, S 2 a,r) est le degré topologique de u restreint à la sphère S 2 a,r et compte algébriquement le nombre de fois que la restriction de u à la sphère S 2 a,r recouvre S 2. On dit que 0 est une singularité de degré 1 de u. Par ailleurs, on pourrait imaginer utiliser d'autres dénitions telles que l'adhérence de C 2 (, N ) dans H 1 (, R N ), c'est à dire l'ensemble des applications de H 1 (, R N ) qui sont limites dans la topologie H 1 d'applications dans C 2 (, N ). Dans certains cas, cette adhérence coïncide avec H 1 (, N ), comme par exemple si m = 2 [Schoen, Uhlenbeck 1].. Mais c'est faux en général si m 3 [Bethuel, Zheng], [Bethuel 1]. De fait, C 2 (, N ) H1 n'est pas utilisé pour plusieurs raisons : cet ensemble n'est pas fermé pour la topologie faible de H 1 (, R N ) en général (comme par exemple si est de dimension 3 et N est la sphère S 2, [Bethuel 18

19 1]) et l'application u est dans H 1 (B 3, S 2 ), mais n'est pas dans C 2 (B 3, S 2 ) H1 [Bethuel 1]. Or cette application joue un rôle très important, dans la mesure où nous verrons qu'elle est faiblement harmonique, c'est à dire point critique de la fonctionelle de Dirichlet (et même minimisante). La fonctionnelle de Dirichlet est dénie et est manifestement continue sur H 1 (, N ). On aurait envie qu'elle soit aussi dérivable, si il n'y avait pas la dif- culté suivante : H 1 (, N ) n'est pas une variété diérentielle et il n'existe pas de systèmes de cartes sur cet espace. Par conséquent, l'espace tangent à une application u en H 1 (, N ) n'est pas bien déni, comme illustré par ce qui suit. Le voisinage d'une application u dans H 1 (, N ) Il est assez instructif de chercher à se représenter un tel voisinage. A cet eet, envisageons quelques courbes continues γ :] ɛ, ɛ[ H 1 (, N ) telles que γ(0) = u. (1) Courbes du premier type Nous choisissons v H 1 L (, R N ) et, comme dans la section 3.1, nous utilisons la projection P du voisinage tubulaire V δ N sur N. Alors, pour s susamment petit, nous considérons γ(s) = u s = P (u + sv). Et alors dus ds s=0 = dp u(v) H 1 L (, R N ). Exemple En u H 1 (B 3, S 2 ). Si v H 1 L (, R N ), u s = u + sv u + sv possède toujours une singularité de degré 1 en 0. Mais on ne peut pas déplacer cette singularité par de telles déformations. (2) Courbes du deuxième type Soit X un champ de vecteurs à support compact sur et soit Ψ s : son ot. On considère γ s = u s = u Ψ s. Alors dus ds s=0 = du.x L2 (, R N ) (une telle courbe n'est pas dérivable dans la topologie H 1 ). Exemple a) u = u H 1 (B 3, S 2 ). Alors u s possède une singularité de degré 1 en Ψ s (0). On remarque donc que ce type de déformation permet de déplacer les singularités. b) u H 1 (B 3, S 2 ) est déni par u(x) = cosx 3 sinx 3 0 Alors toutes les déformations de u du deuxième type sont à valeurs dans le cercle équatorial S 1 S 2. On ne peut donc pas changer l'image de u par cette déformation.. 19

20 (3) Eclatement de singularités de degré multiple Plaçons-nous dans H 1 (B 3, S 2 ). Soit u (x) = 1 x 2 + (x 3 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 2x 1 x 2 2x 3 x. (10) Cette application est homogène : u (λx) = u (x), x 0, λ ]0, + [ et a une singularité de degré 2 en 0, au sens où deg(u, S 2 a,r) est égal à 0 si 0 est extérieur à S 2 a,r et à 2 si 0 est intérieur à S 2 a,r. (En fait, si on note Π : S 2 C { } x x1 + ix x 3 la projection stéréographique, la restriction de u à S 2 coïncide avec Π 1 [(Π(x)) 2 ]). Construisons une déformation de u. Soit (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 φ(x) = 2x 1 x 2 2x 3 x, et soit V R 3 \ {0} un vecteur orthogonal à Alors u s (x) = φ(x)+sv φ(x)+sv H 1 (B 3, S 2 ) coïncide avec u en s = 0 et possède deux singularités (en (± sv 1 isv 2, 0) de degré 1 chacune. La singularité située en 0, de degré 2, éclate en deux singularités de degré 1. (4) Annihilation et création de dipôles de singularités Dans H 1 (B 3, S 2 ), soit u s déni de la façon suivante.. Nous posons ψ(x) = (x 1 ) 2 1 x 2 et V = 0 et x 3 0 ψ(x) + sv u s = ψ(x) + sv. Alors, pour s > 0, u s est régulière, pour s = 0, u 0 = possède une singu- larité de degré 0 en 0 et pour s < 0, u s possède une paire de singularités (en s 0 et s 0 respectivement) de degrés respectifs +1 et 1 (un 0 0 dipôle). ψ ψ 20

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en

Plus en détail

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé Jusqu'à présent Nous avons déjà abordé Vers l'inni David Teller 23/01/2007 Les ensembles Le regroupement de valeurs caractérisées par des critères. Informatique Types. Physique Unités. Logique Domaines.

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

Construction de l'intégrale de Lebesgue

Construction de l'intégrale de Lebesgue Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Groupes symétriques et alternés

Groupes symétriques et alternés Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe S n 2 2 Cycles 4 2.1 Dénition.................................. 4 2.2 Décomposition d'une permutation..................... 5 3 Classes de conjugaison

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

D'UN THÉORÈME NOUVEAU

D'UN THÉORÈME NOUVEAU DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent

Plus en détail

PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE

PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE 1 PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE Cette première partie se divise en cinq chapitres : Le chapitre 1 donne quelques généralités sur l'état cristallin. Le chapitre est consacré aux calculs dans

Plus en détail

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Eléments de. pour la mécanique analytique et la gravitation

Eléments de. pour la mécanique analytique et la gravitation Eléments de géométrie différentielle pour la mécanique analytique et la gravitation Document préliminaire. N hésitez en aucune façon à faire part à l auteur de toute remarque, suggestion, coquille, faute,

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Retournement Temporel

Retournement Temporel Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire

Plus en détail

Introduction à la méthode des éléments finis

Introduction à la méthode des éléments finis ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

Compte rendu des TP matlab

Compte rendu des TP matlab Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN

LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail