travail, énergie potentielle, énergie cinétique et énergie mécanique

Transcription

1 Eercices - écanique PTSI travail, énergie potentielle, énergie cinétique et énergie mécanique Bien regarder les fiches éthodes /3 E-3.1 Chute verticale avec frottement : Une masse ponctuelle m = 00 g est lancée vers le haut depuis le point avec une vitesse initiale v = 10 m.s 1. En supposant la force de frottement verticale, d intensité constante f = 0, 50 N, calculer (sans calculatrice) : 1) La hauteur h = B dont elle est montée ) sa vitesse v quand elle repasse par le point de lancement. Données : n oriente la verticale z vers le haut. g = 10 m.s et 3 5 0, 77. Rép : Corrigé complet sur le Blog v mg f Cf Blog 1) h = z B z = ( ) =, 0 m ; ) v g + f = v mg + f 7, 7 m.s 1. m E-3. Vitesse d un pendule n accroche une bille de masse m = 00 g au bout d un fil de masse négligeable et de longueur l = 1 m. n lâche la bille avec une vitesse nulle dans une position initiale faisant un angle θ 0 = 15 avec la verticale. 1) Quelle est la vitesse v m lors de son passage par la position verticale? ) Établir par deu méthodes puis calculer la période de ce pendule en suposant que le mouvement vérifie l hypothèse des petites oscillations. Rép : 1) v m = 0, 8 m.s 1 ; ) T 0 =, 0 s. E-3.3 Vitesse minimale Un point matériel soumis à la pesanteur et à une force de frottement fluide opposée à la vitesse est lancé avec une vitesse initiale inclinée d un angle α avec le plan horizontal. En appliquant seulement le théorème de la puissance cinétique (et sans aucun calcul de trajectoire), montrez que la vitesse (en norme) est minimale après le sommet de la trajectoire. E-3. Frottement fluide Un véhicule assimilé à un point matériel, est en mouvement circulaire (rayon r) uniforme (vitesse de norme v). La force de frottement fluide agissant sur le véhicule est du type : f = α v. r v 3 Déterminer le travail W de cette force lorsque le véhicule part de et arrive en B après n tours complets. Commenter le résultat obtenu. ( Rép : W = αvπr n + 1 ) E-3.5 Glissement d un solide sur un plan incliné Résoudre l eercice E-.9 par un raisonnement énergétique. Par ailleurs, on ajoute la question suivante lorsqu on tient compte du coefficient de frottement solide f : Quelle est la vitesse minimale v,min (eprimée en fonction de f, g, H et α) qu il faut communiquer au point matériel initialement placé en pou qu il puisse atteindre le point. Indication : Résoudre cet eercice en appliquant le ThE : - pour le mouvement de vers : ΔE, = W ( F et ) avec ΔE, = E, E, (Dans ce cas, que vaut la vitesse initiale en?) - comme pour le mouvement de et : ΔE, = W ( F et ) avec : ΔE, = E, E, jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 17 B

2 PTSI Eercices - écanique (Dans ce cas, que vaut la vitesse finale en lorsque v = v,min?) Rép : v,min = gh(1 + f.cotan α) E-3.6 Force élastique / stabilité d un équilibre Soit un référentiel galiléen R g de repère (, e, e y, e z ). Une perle quasi ponctuelle P, de masse est astreinte à se déplacer sans frottements le long d un demi-cercle de rayon a. Le point P est attaché à un ressort (, l 0 ) dont l autre etrémité est fiée en ( = a). le point P est repéré par l angle θ = (, P ). 1) a) Eprimer P en fonction de a et θ dans la base polaire. En déduire l epression du module P. b) eprimer la tension T du ressort en fonction de a,, l 0 et θ dans la base polaire. ) a) Comment s eprime la vitesse de P dans R g dans la base polaire? b) n note F la résultante des forces eercées sur P. Donner l epression de la puissance de cette résultante dans R g en fonction de θ et θ. En déduire l énergie potentielle E p (à une constante près) dont dérive la résultante. 3) a) n suppose les relations suivantes entre les paramètres : a = g et l 0 = ( 3 a g ). Quelles sont les positions d équilibre θ 1 et θ pour θ positif? b) Étudier la stabilité des équilibres obtenus. c) Quelle est la période ( T des petites oscillations de P autour de la position d équilibre stable? Rép : 3.a) E p = ga cos θ 3 cos θ ) ( ) dep et chercher θ e tel que (θ e ) = 0 ; dθ 3.c) Poser θ = θ e +ε et montrer que ε vérifie ε+ω ε = 0 avec ω = π T, soit : ε(t) = ε m cos( t+φ) a avec T = π g. E-3.7 Force de gravitation et tunnel terrestre n démontre que pour tout point de masse m situé à l intérieur de la Terre, à la distance r du centre de la terre, l attraction terrestre est une force agissant en ce point dirigée vers le centre de la Terre et de valeur : r F = mg0 er R où R est le rayon de la Terre et r =. (R = 6,.10 6 m et g 0 = 10 m.s.) 1) Quelle est l énergie potentielle de (en supposant que E p = 0 pour r = 0)? ) n considère un tunnel rectiligne B, d ae (H) ne passant pas par et traversant la Terre. n note d la distance H du tunnel au centre de la Terre. Un véhicule assimilé à un point matériel de masse m glisse sans frottement dans le tunnel. Il part du point de la surface terrestre sans vitesse initiale. Quelle est sa vitesse maimale v m au cours du mouvement?.n. avec d = m. Eprimer H = en fonction du temps t par une méthode énergétique. Retrouver l epression de v m. 3) Représenter et commenter le graphe de E p () ; E p () étant l énergie potentielle de gravitation de. Décrire le mouvement de à partir de sa position initiale en. 18 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com H d B

3 Eercices - écanique PTSI Rép : 1) E p = 1 ( ) mg 0 R r ; ) v m = g 0 R d = m.s 1 et (t) = R R d cos(ω 0 t) avec ω 0 = g0 R ; E p = 1 mg 0 R (d + ) = a + b et E m = Cte = E p,ma = E p () = E p (B) ou encore E m = Cte = E,ma + E p,min = E m (H). scillations périodiques de période T = π. ω 0 E-3.8 Planeur : Un planeur et son pilote (masse totale m = 310 g) volent à vitesse constante (v 0 = 110 m.h 1 ) en air calme. 1) Calculer le travail W 0 des forces de frottements lorsque le planeur descend de 00 m d altitude à 700 m. ) La finesse du planeur est de 38 (la finesse est le nombre de ilomètre(s) parcouru(s) horizontalement pour une perte d altitude de 1 m en air calme). Calculer l intensité de la force de frottements f. n eposera clairement les hypothèses faites et les raisons de leurs choi. 3) Dans une «pompe» (courant ascendant qui permet au planeur de prendre de l altitude), le planeur monte de 700 m à 00 m d altitude. En supposant que W ( f ) = W 0, estimer le travail W a fourni par les forces des courants ascendants au système {planeur+pilote}. Cf Blog Rép : Corrigé complet sur le Blog 1) W 0 =, J ; ) f 80 N ; 3) W a = W 0 9, J. E-3.9 Toboggan Un point matériel se déplace sans frottements à l intérieur d une gouttière circulaire (toboggan terminé par un cercle de rayon a). Il est lâché en, d une hauteur h, sans vitesse initiale. n note g l intensité du champ de pesanteur. 1) Eprimer en fonction de a, h, g et θ la norme v de la vitesse du point lorsqu il est à l intérieur du demi-cercle. ) De quelle hauteur h min doit on lâcher le point matériel sans vitesse initiale en pour qu il arrive jusqu au point le plus haut du demi-cercle (θ = π). 3) Dans ces conditions, donner l epression de la réaction du support au point I d entrée du demi-cercle (θ = 0). ) Déterminer les limites h 1 et h telles que : a) si h < h 1, le point effectue des oscillations. b) si h 1 < h < h, quitte la gouttière et chute pour π < θ < π. c) si h > h, le point fait des tours complets (si le guide circulaire se poursuit). Conseil : problème unidimensionnel + question sur la vitesse utiliser le Thm de l E entre et. Rép : 1) v = g(h a(1 cos θ)) ; ) h min = 5a ; 3) R N(I) = 6mg ; ) h 1 = a et h = h min = 5a. E-3.10 Distance d immobilisation d une voiture sur autoroute Une voiture roule sur une autoroute à la vitesse de v 0 = 130 m.h 1. n suppose qu il y a des frottements solides entre la voiture et la route. n rappelle qu alors la réaction de la route se décompose en une composante normale R N et une composante tangentielle R T de sens opposé à la vitesse et dont la norme vérifie R T = f R N en notant f le cœfficient de frottement. Il faut D = 500 m pour que le véhicule s immobilise lorsqu on n eerce aucune force de freignage. 1) Calculer la distance de freinage D si la vitesse initiale était de v 0 = 110 m.h 1 jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 19

4 PTSI Eercices - écanique ) Le résultat est-il modifié si la route fait un angle α avec l horizontale (la voiture montant ou descendant la pente)? ( ) v0 Rép : 1) D = D = 360 m ; ) Le résultat est identique que la route soit horizontale v 0 ou non! (Faire un schéma du plan incliné, eprimer R N et R T en fonction de m, g, α et f avant d appliquer le Thm de l E ). E-3.11 Vitesse minimale (*) Un solide ponctuel de masse m est lancé en sur une piste horizontale prolongée par un demi-cercle vertical de rayon R. n donne : B = 1 m ; R = 1 m ; m = 0, 5 g ; g = 9, 81 m.s. 1) Les frottements étant négligeables, calculer en la vitesse minimale v,min que doit avoir la masse pour qu elle atteigne le point C. C B θ R er e θ (m) ) ême question lorsque les frottements entre l objet et la piste sont assimilables à une force constante de norme f = 1 N. Rép : 1) v v,min avec v,min = 5gR 7, 1 m.s 1 (Bien entendu, c était la vitesse de au point I dans la question 3) de l eercice E-3.9) ; ) v,min = 5gR + f m (B + Rπ) 8, m.s 1. E-3.1 scillations dans un tube en U (**) Dans un tube en U de section constante, on place un liquide de masse volumique μ occupant une longueur totale L. Q : ontrer que si on écarte le liquide de sa position d équilibre et qu ensuite on le laisse évoluer librement, sans aucun phénomène dissipatif, le liquide effectuera des oscillations sinusoïdales de pulsation ω = g L. E-3.13 Saut à l élastique [P8/18] Un homme de masse m = 80 g saute à l élastique d un pont d une hauteur H = 11 m. Il est retenu par un élastique de raideur = N.m 1 et de longueur à vide l 0 = 80 m. Il quitte le pont avec une vitesse négligeable. Les frottements sont négligés et le poids s écrit P = mg e avec g = 9, 81 m.s (ttention : ici la verticale est descendante!) Le mouvement comprend deu parties distinctes : l une où la force de rappel élastique est absente (élastique non tendu), l autre où elle est présente. 1) Le système est-il conservatif? Si oui, quelle est la valeur de son énergie mécanique E m en prenant l origine des énergies potentielles au point de départ? ) Déterminer v 1, la vitesse atteinte par la personne lorsque l élastique commence à se tendre (quelle est alors la longueur du ressort et l altitude 1 correspondante?). 3) Déterminer et calculer la longueur l éq de l élastique à l équilibre lorsque la personne est suspendue dans le vide. À ce stade, que dire de la sécurité de ce saut? ) Déterminer et calculer l abscisse lorsque l allongement de l élastique est maimum. Conclusion? Rép : 3) l éq = 80, 8 m ; ) = 9 m E-3.1 Enroulement d un pendule autour d un clou [P8/150] Un pendule est constitué d un fil de longueur constante l attaché à un point fie. À son 0 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com L g

5 Eercices - écanique PTSI etrémité est attaché un point matériel de masse m. Son inclinaison par rapport à la verticale est notée α. n néglige tout frottement. Un clou est fié en B, sur la même verticale que à la distance d de ce point. Lorsque le pendule entre en contact avec le clou, on suppose qu aucun transfert énergétique ne se produit. Le pendule est lâché sans vitesse initiale depuis la position α = π. Déterminer la condition sur d et l pour que le pendule s enroule tout en restant tendu. Indications : Le mouvement est circulaire mais présente deu phases : - d abord de centre et de rayon l - puis de centre B et de rayon l d L absence de transfert énergétique lors du contact avec le clou implique que l énergie cinétique (et donc la vitesse) varient continûment au cours du choc. Rép : d > 3 5 l d l α B l-d θ d B DL n o 3 ouvement d un particule en contact avec une cuvette parabolique (*) CCP 1999 n désire étudier les mouvements possibles d un point matériel, de masse m, sous l action du champ de pesanteur g, à l intérieur d une cavité (P) z fie que l on suppose solidaire d un référentiel terrestre R supposé galiléen lié au repère cartésien H (, e, e y, ρ e z ). La surface etérieure de cette cavité est un paraboloïde de révolution P, d ae vertical ascendant z, dont l équation en coordonnées cylindriques g (ρ, φ, z) est ρ az = 0 avec a > 0. Cette surface étant parfaitement lisse, le point matériel glisse sans frottement sur P. y Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques de, ϕ P la base de projection étant celle des vecteurs de la base cylindrique locale ( e ρ, e φ, e z ). 1) Vitesse et accélération de la particule 1.a) Eprimer la vitesse v /R du point par rapport à R dans la base cylindrique. 1.b) En déduire l epression de l accélération a /R sous la forme : a /R = a ρeρ + a φeφ + a zez. Justifier que a φ s écrit : a φ = 1 d(ρ φ) ρ dt 1.c) La réaction R eercée par P sur est contenue dans le plan HP défini par les vecteurs de base e ρ et e φ. appliquer le P.F.D. au point dans R. par projection de l équation vectorielle obtenue sur la direction orthogonale au plan HP (direction du vecteur e φ ), montrer que : ρ φ = cte, cette constante du mouvement étant notée C. ) Énergie.a) Quelle est, en fonction des coordonnées et de leur dérivées, l epression de l énergie cinétique E de la particule dans R?.b) Justifier l eistence d une énergie potentielle E p dont dérivent les forces etérieures agissant sur. Eprimer E p en fonction de ρ en supposant que E p (0) = 0..c) Que peut-on dire de l énergie mécanique de? jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 1

6 PTSI Eercices - écanique ) Discussion générale du mouvement 3.a) Déduire de ce qui précède une équation du premier ordre, à une seule inconnue, de la forme : 1 m ρ G(ρ) + E p,ef (ρ) = E m où G(ρ) est positif et sans dimension et où E p,ef (ρ) est une énergie potentielle dite «effective». Epliciter G(ρ) et E p,ef (ρ). 3.b Représenter l allure du graphe E p,ef (ρ) en considérant les domaines ρ «faible» et ρ «élevé». ontrer que E p,ef (ρ) passe par un minimum pour une valeur ρ m de ρ que l on eprimera en fonction de C, m, a et g, intensité du champ de pesanteur. 3.c) Discuter, à l aide du graphe de E p,ef (ρ), la nature du mouvement de. En déduire que la trajectoire de sur P est nécessairement tracée sur une région de P limitée par deu cercles définis à l aide des constantes du mouvement et des données du problème. n se contentera d indiquer quelle équation il conviendrait de résoudre pour déterminer ces deu cercles. ) Étude d un mouvment particulier Une petite perturbation écarte légèrement la coordonnées ρ de la valeur ρ m pour laquelle E p,ef (ρ) est minimale. ontrer que ε = ρ ρ m oscille avec une période que l on calculera dans le cas où ρ m = 1 m et a = m. n rappelle que g = 9, 81 m.s 1. Rép :.a) E = 1 m ( ρ + ρ φ + z ) ;.b) E p = mg a ρ ; 3.a) G(ρ) = 1 + ρ a et E p,ef (ρ) = mg a ρ + 1 mc ( ) ac 1/ ( ) ρ ; 3.b) ρ m = ; ) ε + ω0 π a ε = 0 T = = π 1 + ρ m g ω 0 8g a scillateur harmonique en régime libre E-.1 Ressort incliné Soit un ressort de raideur et de longueur à vide l 0, dont les etrémités sont reliées à un point fie d un plan incliné et à un point matériel de masse m. Nous posons = et nous supposons qu il n eiste pas de frottements de glissement sur le plan incliné. 1) Déterminer e à l équilibre. ) À partir de la position d équilibre, est déplacé de D et relâché sans vitesse initiale. Eprimer en fonction de t. Rép : 1) e = l 0 + mg sin α E-. Deu oscillateurs Une masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un ae horizontal. Elle est soumise à l action de ressorts de même longueur à vide l 0 = 0 cm et de constantes de raideur différentes 1 et. ; ) (t) = e + D cos ω 0 t avec ω 0 = (m) d α m. 1 n donne : m = g ; 1 = 100 N.m 1 ; = 300 N.m 1 et d = 60 cm. 1) Déterminer les longueurs des ressorts à l équilibre. ) n écarte la masse m d une distance a 0 à partir de sa position d équilibre. Déterminer l équation différentielle du mouvement en prenant la position d équilibre comme origine des abscisses. Calculer la périodes des oscillations. Donner l epression de l énergie mécanique de la masse. 1 d (m) α e y http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com

7 Eercices - écanique PTSI 3) Les ressorts sont tendus le long d un plan incliné de α = 30 avec l horizontale êmes questions. Rép : l 1 = ( 1 )l 0 + d 1 + = 35 cm et l = d l 1 = 5 cm ; ) X + X = 0 avec 1 m m T = π et E m = ( 1 + )a 0 ; 3) l 1 = ( 1 )l 0 + d mg sin α = 3, 95 cm et 1 l = d l 1 = 5, 05 cm ; pour le reste, les résultats sont identiques à la situation précédente! E-.3 Portrait de phase d un oscillateur harmonique amorti n considère le portrait de phase d un oscillateur amorti composé d une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur ) et à une force de frottement fluide λ v ( v étant la vitesse de la masse m et est l écart à la position d équilibre). L étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. 1) Déterminer la nature du régime de l oscillateur. ) Déterminer par lecture graphique : la valeur initiale de la position 0 ; la valeur finale de la position f ; la pseudo-période T a ; le décrément logarithmique. 3) En déduire le facteur de qualité Q de l oscillateur, sa période propre ω 0, la raideur du ressort et le cœfficient de frottement fluide λ. pplications numériques pour ces quatre grandeurs. (t) Rép : ) δ = ln (t + T a ) : choisir la date t qui permet de déterminer à la fois (t) et (t + T a), π δ 0, 68 ; 3) Q = δ + 1 ; s eprime en fonction de m et de ω 0 ; λ s eprime en fonction de m, ω 0 et de Q. E-. scillateur amorti n considère un oscillateur harmonique amorti de pulsation propre ω 0 = 100 rad.s 1 et de facteur de qualité Q = 10 ; la masse m = 100 g de cet oscillateur est lâchée avec un écart à la position d équilibre de 0 = 10 cm sans vitesse initiale. 1) Calculer : a) la pseudo-période ; b) le décrément logarithmique ; c) l amplitude des oscillations au bout de, 5 et 10 pseudo-périodes ; d) l énergie mécanique initiale ; e) l énergie mécanique au bout de, 5 et 10 pseudo-périodes. ) Déterminer le nombre de pseudo-périodes au bout desquelles l amplitude des oscillations est divisées par 17. Rép : 1.a) T 6, 9 ms ; 1.b) δ 0, 31 ; 1.c) 5, 3 cm, 5, 08 cm, 10 0, 3 cm ; 1.d) E m (t = 0) = 5 J ; 1.e) E m (t = T ) 1, J, E m (t = 5T ) 0, J, E m (t = 10T ) 0, 01 J ; ) n = 9. E-.5 Sismographe on considère un capteur d amplitude constitué par un support et une masse m reliés par un ressort et un amortisseur en parallèle. L amortisseur eerce en : F = h ( v v B ) et le ressort eerce en C : T C = ( DC D 0 C 0 ). Le support, le ressort et l amortisseur sont de masse négligeable. Le ressort a pour constante de raideur et pour longueur à vide l 0 (notée D 0 C 0 ). n suppose que le support est solidaire du carter d une machine animée d un mouvement sinusoïdal vertical 1 = b sin ωt par rapport à un référentiel galiléen R 0 ((y) étant lié à R 0 ). jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 3

8 PTSI Eercices - écanique ) Déterminer l équation que vérifie e (position de la masse à l équilibre dans R 0 lorsque 1 = 0). ) Écrire l équation différentielle du mouvement de m dans R 0. Si on pose X = 1 e, montrer que l équation peut se mettre sous la forme : X + ω 0 Q X + ω 0X = sin ωt. e (t) D C G B h (t) 1 a y g Résoudre cette équation. (Rque : ceci est le principe du sismographe.) E-.6 Système de deu oscillateurs couplés (*) n considère le système suivant où les rois ressorts sont identiques et de constante de raideurs. Les positions des masses m sont repérées par leurs abscisses 1 et à partir des positions d équilibre 1 et, positions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus (ils sont alors àu repos ). carter m 1 1 n suppose qu on lâche les masses au abscisses 1m et m sans vitesse initiale. 1) Écrire les équations différentielles du mouvement des deu masses. ) En posant ω0 =, chercher à quelle condition portant sur ω il est possible d avoir des m solutions de la forme : 1 = a 1 cos(ωt + φ) et = a cos(ωt + φ)? 3) En déduire les deu pulsations propres possibles pour le système et écrire la solution générale du mouvement des deu masses. ) Quelles sont les solutions 1 (t)et (t) du problème? En déduire les conditions sur 1m et m pour que les mouvements des deu masses soient harmoniques et décrire ces mouvements. Rép : 1) m = et m + = 1 ; ) (ω0 ω ) = ω0 ; 3) ω = ω 0 ou ω = 3ω 0 ; ) 1 (t) = 1m + m cos(ω 0 t) + 1m m cos( 3ω 0 t) et (t) = 1m + m cos(ω 0 t) 1m m cos( 3ω 0 t) Pour que les mouvements soient harmoniques, soit 1m = m, soit 1m = m. E-.7 Ressort vertical soumis à des forces de frottements fluide (*) Une sphère de rayon r faible, animée d une vitesse v et plongée dans un liquide de cœfficient de viscosité η est soumise à une force de frottement qui a pour epression : f = 6π.η.r. v (loi de Stoces). Unje telle sphère de masse volumique ρ est suspendue à un ressort de constante de raideur et de longueur à vide l 0. La période des oscillations libres dans l air est T 0 (on néglige le frottement et la poussée d rchimède dans l air). Si l on plonge cette sphère dans un liquide de masse volumique ρ e < ρ, la pseudo-période des oscillations est T (dans ce cas, on ne néglige ni le frottement ni la poussée d rchimède dûs au liquide sur la sphère). 1) Retrouver l epression de la période T 0 en fonction des grandeurs, ρ et r. ) Lorsque la sphère est plongée dans le liquide, déterminer la longueur e du ressort à l équilibre. 3) n écarte la sphère de sa position à l équilibre et on l abandonne sans vitesse initiale. Soit la longueur du ressort à la date t. Donner l équation différentielle vérifiée par, puis la simplifier en posant X = e. ) À quelle condition sur le régime est-il pseudo-sinusoïdal? En déduire alors la pseudo-période T 1. 5) ontrer comment, à partir de la mesure de T 0 et de T 1, et sans connaître, on peut en déduire le cœfficient de viscosité η du liquide. Donner la dimension de η. http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com m e

9 Eercices - écanique PTSI πr 3 ρ Rép : 1) T 0 = π 3 ; ) e = l 0 + πr 3 g 3 (ρ ρ e) ; 3) 9η X + r ρ X + 3 πr 3 ρ X = 0 ; π ) T 1 = ; 5) η = 8πr ρ 1 3 πr 3 ρ 81η 9 T 1 0 T1 r ρ E-.8 scillateur harmonique spatial isotrope Il s agit d une particule, de masse m, élastiquement liée à un point fie (origine d un référentiel galiléen R g (, e, e y, e z )) par une force F du type F =, étant la constante de raideur. Le mouvement de a lieu dans le plan (y), avec les conditions initiales suivantes : 0 = 0 e et v0 = v 0 ey 1) n néglige tout frottement de type fluide et on pose ω 0 m. Quelles sont les équations paramétriques de la trajectoire du point? En déduire l équation cartésienne de cette trajectoire et représenter l allure de cette trajectoire en précisant le sens de parcours. ) n ne néglige plus le frottement fluide eercé sur le point au cours du mouvement. À présent, le point est soumis à l action des forces F = et f = α v, α étant le cœfficient de frottement. n suppose toujours que 0 = 0 e et v 0 = v 0 ey. Le point se déplace dans le plan (y). Déterminer la loi de variation du vecteur position (t) dans le cas où α = mω 0. Représenter l allure de cette trajectoire en précisant le sens de parcours. Solution E-3.13 L énoncé suggère via l epression du poids de paramétrer le mouvement suivant un ae s selon la verticale descendante. ttention donc au signe de l énergie potentielle de pesanteur! 1) Considérons l homme de masse m supposé ponctuel dans le référentiel R T terrestre supposé galiléen. Son énergie mécanique est conservée au cours du mouvement puisque les forces qui s eercent sont conservatives (le poids dans la première phase ou le poids et la force de rappel dans la seconde phase). Dans la première phase du mouvement : E m = 1 m mg = 1 mv 0 mg 0 = 0 en prenant l origine des énergies potentielles au point de départ ( 0 = v 0 = 0 à et 0 = 0 à l instant initial). ) Lorsqu il commence à se tendre, le ressort a pour longueur l 0 donc = l 0. Donc à l instant t l, la vitesse vaut donc v 1 = (t 1 ) = gl 0 = 39, 6 m.s 1 3) Le bilan des forces est modifiée puisque l élastique est tendu il faut ajouter la tension de l élastique F r = (l l 0 ) e. L équilibre des forces projeté sur l ae donne : (m g + F r = 0 ) e mg (l éq l 0 ) = 0 l éq = l 0 + mg = 80, 8 m L élastique est effectivement allongé à l équilibre, ce qui est cohérent avec l éq > l 0. Numériquement, nous constatons que l éq < H. Le saut paraît sans risque à ce stade de l eercice. ) Procédons comme au questions 1-, puisque le système est toujours conservatif. Son énergie mécanique est constante (nulle) et vaut à un instant quelconque ultérieur à t 1 : E m = 1 m mg + 1 (l l 0) = 0 L élongation maimale de l élastique, à l instant t, est obtenue lorsque la vitesse de chute s annule (le mouvement change de sens). Eprimons l énergie mécanique à cet instant : jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 5

10 PTSI Eercices - écanique E m (t ) = 0 = 0 mg(t ) + 1 ((t ) l 0 ) Cela conduit à un polynôme en (t ) dont il ne faut retenir que la racine positive : (t ) = l éq + léq l 0 = 9 m Numériquement, (t ) < H : le saut est donc sans risque mais le frisson est garanti! Solution E-3.1 Le point est soumis à la tension du fil et à son poids. Seul le poids travaille. Le fil reste tendu si la tension du fil ne s annule pas. Une fois le fil en contact avec le clou, le pendule décrit un cercle de centre B et de rayon l d. La tension du fil s eprime par T = T ur. La projection du PFD sur u r, s écrit : mv mv = mg cos(θ) T T = mg cos(θ) + l d l d Le fil reste tendu si T > 0 sur tout le mouvement. C est pour cos(θ) > 0 que cette condition est la plus restrictive, donc pour θ = π (position verticale haute). La condition devient donc : T = mg + mv l d > 0 Utilisons le théorème de l énergie cinétique entre la position initiale et la position verticale haute. Prenons l altitude de la position initiale nulle. La position basse a pour altitude l et le diamètre de la trajectoire est (l d) donc l altitude de la position haute est : l + (l d) = l d D où le théorème : 1 mv 0 = mg(l d 0) v = g(d l) En combinant ces deu résultats, la condition devient : ( ) (d l) T = 1 + > 0 d > 3 l d 5 l DL n o 6 Comportement Routier d une utomobile (*) Concours EI 1999 [TS et TSI] odèle simplifié de la suspension La suspension d une automobile est habituellement assurée par quatre systèmes identiques indépendants montés entre le châssis du véhicule et chaque arbre de roue, et constitués chacun : - d un ressort métallique hélicoïdal de constante de raideur et de longueur à vide L 0 ; - d un amortisseur tubulaire à piston à huile fié parallèlement au ressort, eerçant une force résistante de frottement visqueu de cœfficient d amortissement a. n suppose que la masse du châssis est également répartie entre les quatre systèmes. Donc une suspension n agit que sur le quart de la masse totale du châssis. Les pneus, de rayon etérieur R, sont considérés comme entièrement rigides et n interviennent pas dans l étude. Tous les déplacements verticau seront comptés algébriquement vers le haut ( e z est le vecteur unitaire vertical). L automobile 6 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com C a z e z

11 Eercices - écanique PTSI 1) Le véhicule étant immobile, sans freins, sur un sol horizontal, quelle est la longueur L e des ressorts au repos et la garde au sol z 0 du véhicule correspondante? ) Lors d un essai dynamique à vide, le châssis est abaissé d une hauteur h, puis brusquement libéré sans vitesse initiale..a) Établir l équation différentielle de la position verticale z(t) du châssis par rapport au sol sous la forme : z + α z + β z = δ (E) α, β et δ étant des constantes que l on eprimera en fonction de a,, et z 0..b) n usine l amortisseur de manière à obtenir un retour à la position d équilibre final le plus bref possible. Quelle doit être alors la valeur de α en fonction de β? En déduire celle de a en fonction de et..c) Déterminer alors l epression complète de la solution z(t) en fonction de z 0, h et ω 0 =..d) Tracer avec soin le graphe z(t). (n prendra pour échelle z 0 = 1 ; h = z 0 ; ω 0 = 1). 3) n effectue de nouveau le même essai (c est-à-dire avec les mêmes conditions initiales), mais cette fois on fait un essai en charge nominale : le véhicule contient quatre masses identiques m également réparties sur les quatre systèmes {ressort-amortisseur}. À cause de cette masse m au niveau de chaque suspension, la garde au sol n est plus z 0 mais z 0. De même la longueur correspondante du ressort n est plus L e mais L e. 3.a) Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t), et l écrire sous la forme : z + α z + β z = δ (E ) en eprimant les nouvelles constantes α, β et δ en fonction de a,,, m et z 0. 3.b) ontrer que, dans ces conditions, le véhicule oscille. 3.c) Déterminer l epression de la (pseudo-)période T des oscillations autour de la position d équilibre final en fonction de, et m. 3.d) n souhaite obtenir T = π s pour = g et m = 100 g. En déduire la valeur de 3 puis de a. Indications et réponses partielles : (résultats utilisables pour répondre au questions suivantes) 1) L e = L 0 g..a) α a = β = δ = z 0..b) a =..c) z(t) = z 0 h(1 + ω 0 t) ep( ω 0 t). 3.a) α a = β = δ z 0 = + m. 3.c) T = π + m m. 3.d) = 100 N.m 1. jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 7

12 PTSI Eercices - écanique Solution DL n o 6 Comportement routier d une utomobile 1) À l équilibre, la tension du ressort d une des quatre suspensions compense le quart du poids du châssis (le châssis n est soumis a aucun frottement visqueu puisque la vitesse relative d un amortisseur est nulle à l équilibre) : 0 = T + P selon e z : 0 = (L e L 0 ) g (1) Soit : L e = L 0 g et z 0 = L e + R = L 0 g + R..a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au quart du châssis associé à une suspension : a chassis/r = P T + + F frot avec a chassis/r = z e z (mouvement vertical), T = (L L 0 ) e z et F frot = a ( z C z ) e z = a z C ez = a z e z. Soit, en projection selon e z : z = (L L 0) g a z () Soit, en faisant () (1) : z = (L L e) a z = (z z 0 ) a z ; d où : z + α z + β z = δ (E) avec α = a β = δ = z 0.b) Pour que le retour à la position d équilibre soit le plus rapide possible, il faut qu il corresponde à un régime libre critique. Le régime critique est obtenu lorsque le discriminant de l équation caractéristique associé à l équation différentielle (E) est nul : δ = α β = 0 α = β 16 a = a =.c) La solution z(t) de (E) se décompose en une solution particulière de l équation avec second membre (z P ) et de la solution générale de l équation homogène (z G (t)). z P = z 0. L équation caractéristique de (E) (r + α r + β = 0) admet, pour le régime critique, une racine double : r = α = a = ω 0 lors, z G (t) = ( + Bt) e ω 0t. insi : z(t) = z G (t) + z P = ( + Bt) e ω 0t + z 0. Les constante d intégration se déduisent des conditions initiales : z(t = 0) = z 0 h = + z 0 = h ; z(t = 0) = 0 = ω 0 + B B = ω 0 = hω 0. z(t) = z 0 h (1 + ω 0 t) e ω 0t.d) z(t) = z 0 h (1 + ω 0 t) e ω 0t z(t) = hω 0 t e ω 0t > 0 z(t) = hω 0 (1 ω 0 t) e ω 0t. 8 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com

13 Eercices - écanique PTSI insi, z(t) est une fonction croissante dont la courbe admet : une tangente horizontale en t = 0 (car z(0) = 0), un point d infleion 1 pour z(t 1 ) = 0, soit 1 ( t 1 = 1 ω 0, z 1 = z 0 h e ), une asymptote horizontale d équation z = z 0 (retour à l équilibre) z t 3.a) La nouvelle équation traduisant l équilibre du véhicule en charge nominale est : 0 = (L e L 0 ) 0 ( + m) g (en introduisant la nouvelle longueur à l équilibre L e du ressort correspondant à la nouvelle garde au sol z 0 du châssis chargé par m). Tandis que l équation du mouvement du châssis chargé selon e z devient : (1 ) ( + m) z = (L L 0 ) Soit, en faisant ( ) (1 ), avec L L e = z z 0 : ( + m) g a z ( ) z + α z + β z = δ (E ) avec α = a + m β = + m δ = + m z 0 3.b) Le discriminant de l équation caractéristique associée à (E ) est (en se souvenant que a =!) : ( ) Δ = α a β = + m + m = 16a 16 ( + m) 6 m ( + m) = ( + m) < 0 Ceci correspond à des racines complees de l équation caractéristiques, donc à une solution pseudo-périodique de (E ), c est-à-dire à une oscillation sinusoïdale amortie eponentiellement. 3.c) Pour déterminer la pseudo-période, il faut déterminer la pseudo-pulsation qui est la partie imaginaire commune au deu racines r 1/ de l équation caractéristique : r 1/ = α Δ ± j = α ± jω Soit : ω π T = m + m. Donc : T = π + m m 3.d) n veut T = π + m m = π 3 s, soit : = 9 ( + m) m = 100 N.m 1 et donc : a = = g.s 1 jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 9