ECRICOME 2007 S J.F. COSSUTTA Lycée Marcelin BERTHELOT SAINT-MAUR EXERCICE o(x2 ), et v(x) = ln(1 + x) = x x2

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1 ECRICOME 2007 S JF COSSUTTA Lycée Mrceli BERTHELOT SAINT-MAUR je-frcoiscossutt@wdoofr EXERCICE L foctio f : x l2 e x dmet pour domie de défiitio l itervlle I =], l 2[ De plus f = v u où u est l foctio x e x et v l foctio x l + x Rppelos qu u voisige de 0 : e x = + x + x2 2! + ox2 doc ux = e x = x x2 2 + ox2, et vx = l + x = x x2 2 + ox2 Aisi : u est défiie sur I et dmet u développemet limité d ordre 2 u voisige de 0 de prtie régulière le polyôme P = X 2 X2 v est défiie sur ], + [ et dmet u développemet limité d ordre 2 u voisige de 0 de prtie régulière le polyôme Q = X 2 X2 ui ], + [ et u0 = 0 Alors le cours idique que f = v u dmet u développemet limité d ordre 2 u voisige de 0 dot l prtie régulière est le polyôme oteu e e grdt que les termes de degré u plus 2 du polyôme Q P Notos que Q P = X 2 X2 X X2 = X X 2 2 X3 8 X4 Alors, u voisige de 0 : fx = x x 2 + ox 2 2 Soit k u élémet de [2, + [ Au voisige de 0 : l2 e x = x x 2 + ox 2 k pprtiet lors à l itervlle ] 0, ] ] ], doc e k pprtiet à, e e k pprtiet lors à l itervlle [ 2 e 2, [ Oservos que e < 4 doc e 2 < 2 et isi 2 e 2 > 0 Alors 2 e k est ie ds l itervlle ]0, [ Pour tout etier k supérieur ou égl à 2, o : 2 e k ]0, [ x ]0, [, lx < 0! Ce qui précède doe lors : pour tout etier k supérieur ou égl à 2, l 2 e k est strictemet égtif

2 c Au voisige de 0 : l2 e x = x x 2 + ox 2 Aisi l2 e x x Alors l2 e k x 0 k + k Nous vos doc : l2 e k divergete k + k ; k N, k 0 ; l série de terme géérl k 2 est ue série de Riem Les règles de compriso sur les séries à termes positifs motret lors que l série de terme géérl l2 e k diverge ; il e est de même pour l série de terme géérl l2 e k L série de terme géérl l2 e k diverge d L série de terme géérl l2 e k est à termes positifs et divergete doc l suite de ses sommes prtielles ted vers + suite croisste o covergete Pr coséquet lim V = + Alors lim V = et lim = 0 ev 3 Soit u élémet de [2, + [ [l2 e k l ] = V k k=2 k=2 lim V = et lim u = 0 k l = V k k=2 [l2 e k l ] = V + l = l e V + l = l e V = l u k [2, + [, l u = k=2 lk l k = V l l k=2 [l2 e k l ] k Au voisige de 0 : l2 e x = x x 2 + ox 2 et l x = x x2 2 + ox2 Aisi, u voisige de 0, l2 e x l x = x x 2 x x2 + ox 2 = x ox2 Alors l2 e x l x x 0 x2 2 Aisi : l2 e k l k k + 2 k 2 c Posos k [2, + [, w k = l2 e k l k w k k + 2 k 2 ; k N, ou presque covergete 2 k 2 0 ; l série de terme géérl est ue série de Riem 2 k2

3 3 Les règles de compriso sur les séries à termes positifs motret lors que l série de terme géérl w k coverge ; il e est de même pour l série de terme géérl w k Aisi l suite de terme géérl w k coverge Notos L s limite L = Alors k=2 lim u = e L pr cotiuité de l foctio t e t e L lim k=2 L suite de terme géérl u coverge et s limite e L est o ulle doc : u Ceci doe ecore u e L Posos K = e L K est u réel strictemet positif et u K Il existe u réel strictemet positif K tel que u w k = el K lim l u u K ; N, K 0 ; l série de terme géérl K diverge Les règles de compriso sur les séries à termes positifs motret lors que l série de terme géérl u diverge L série de terme géérl u diverge 4 [2, + [, V + V = l2 e + < 0 d près 2 L suite V 2 est doc strictemet décroisste Comme l foctio expoetielle est strictemet croisste, l suite e V 2 est strictemet décroisste Aisi L suite u 2 est strictemet décroisste Soit ds N S 2+2 S 2 = 2+ u u 2+2 = u 2+ + u 2+2 < 0 S 2+3 S 2+ = 2+2 u u 2+3 = u 2+2 u 2+3 > 0 Aisi l suite S 2 est décroisste et l suite S 2+ est croisste u Alors K et lim K = 0 doc lim S 2+ S 2 = lim lim u = 0 2+ u 2+ = lim u 2+ = 0 Ceci chève de motrer que : les suites S 2 et S 2+ sot djcetes c Les suites S 2 et S 2+ sot lors covergetes et ot même limite Ce qui permet de dire que l suite S est covergete Pr coséquet :

4 4 l série de terme géérl u est covergete EXERCICE 2 Soiet A = ij et B = ij deux élémets de M R Posos C = t AB = c ij i, j [, ] 2, c ij = ki kj Alors ϕa, B = Tr t AB = c ii = ki ki k= i= i= k= A = ij M R, B = ij M R, ϕa, B = Motros que ϕ est u produit sclire sur M R Notos que ϕ est ue pplictio de M R M R ds R Soiet A, B, C trois élémets de M R et λ u réel i= k= ki ki ϕa, λ B + C = Tr t Aλ B + C = Tr λ t AB + t AC = λ Tr t AB + Tr t AC = λ ϕa, B + ϕa, C cr Tr est ue forme liéire sur M R A, B, C M R 3, λ R, ϕa, λ B + C = λ ϕa, B + ϕa, C Aisi ϕ est liéire à droite Soiet A et B deux élémets de M R Notos qu ue mtrice de M R et s trsposée ot même trce Aisi ϕa, B = Tr t AB = Tr t t AB = Tr t B t t A = Tr t BA = ϕb, A A, B M R 2, ϕa, B = ϕb, A ϕ est symétrique Soit A = ij u élémet de M R ϕa, A = ki ki = A M R, ϕa, A 0 ϕ est positive i= k= i= k= Soit A = ij u élémet de M R tel que ϕa, A = 0 2 ki = 0 et i, k [, ] 2, 2 ki 0 Aisi i, k [, ]2, 2 ki = 0 i= k= Alors i, k [, ] 2, ki = 0 Doc A = 0 MR A M R, ϕa, A = 0 A = 0 MR ϕ est défiie Ceci chève de motrer que : 2 ki Aisi ϕa, A 0 ϕ est u produit sclire sur M R

5 2 t AA est ue mtrice de M R et t t AA = t A t t A = t AA t AA est lors ue mtrice symétrique d ordre à coefficiets réels Aisi : il existe ue mtrice orthogole P de M R et ue mtrice digole D de M R telles que : P t AAP = t P t AAP = D t AAX = λ X E multiplit à guche pr t X o otiet t X t AAX = λ t XX = λ X 2 Ou t X t AAX = λ X 2 Soit ecore t AXAX = λ X 2 Filemet AX 2 = λ X 2 X étt ps ul X est u vecteur propre s orme e l est ps dvtge et : λ = AX 2 X 2 λ est doc u réel positif ou ul 5 Si λ est ue vleur propre de t AA, λ 0 c Motros rpidemet que deux mtrices semlles de M R ot même trce Soit M et N deux mtrices semlles de M R Il existe ue mtrice iversile Q de M R telle que M = Q NQ Alors TrM = Tr Q NQ = Tr NQQ d près le rppel proposé u déut de l exercice Aisi TrM = TrNQQ = TrN Notos lors que t AA et D sot semlles cr P t AAP = t P t AAP = D Aisi [ NA ] 2 = ϕa, A = Tr t AA = TrD De même ou presque B t B et S sot semlles cr S = t P B t BP = P B t BP Doc TrB t B = TrS Aisi [ NB ] 2 = ϕb, B = Tr t BB = TrB t B = TrS TrSD = Tr t P B t BP t P t AAP = Tr t P B t BP t P t AAP = TrP B t B t AAP cr t P = P P B t B t AAP et B t B t AA étt semlles il viet : TrSD = TrP B t B t AAP = TrB t B t AA Or TrB t B t AA = Tr t B t AAB Alors : TrSD = Tr t B t AAB = Tr t ABAB = ϕab, AB = [ NAB ] 2 Ou plus simplemet?! : [ ] 2 NAB = ϕab, AB = Tr t ABAB = Tr t B t AAB = Tr t B P D t P B = Tr t P B t BP D = TrSD Filemet : [ NA ] 2 = TrD [ NB ] 2 = TrS [ NAB ] 2 = TrSD d Posos U = SD = u ij TrSD = u ii = s ik d ki = s ii d ii = s ii λ i i= i= k= i= i=

6 6 TrSD = i= λ i s ii e Ici i est u élémet de [, ] t BP E i 2 = tt BP E i t BP E i = t E i t P t t B t BP E i = t E i t P B t BP E i = t E i SE i t E i SE i = t BP E i 2 Rppelos que SE i est l ième coloe de S Aisi SE i = s ki E k Notos <, > le produit sclire coique de M, R et rppelos que E, E 2,, E est ue se ortoormée de M, R, <, > Alors t E i SE i =< E i, SE i >=< E i, s ki E k >= s ii k= k= t E i SE i = s ii s ii = t E i SE i = t BP E i 2 0 f λ i s ii = λ i s kk = i= i= λ i s ii = i= i= i= λ i s ii + i= k= λ i i= s kk k= k i Or i [, ], λ i 0 et k [, ], s kk 0 doc Aisi λ i s ii i= i= Doc [NAB] 2 = TrSD = λ i s ii i= s ii 0 i= λ i λ i i= k= s kk = s kk k= k i λ i s ii + λ i i= 0 λ i s ii λ i s ii i= i= i= s kk k= k i λ i s ii λ i s ii = TrD TrS = [NA] 2 [NB] 2 i= Alors : [NAB] 2 [NA] 2 [NB] 2 i= i=

7 7 Comme NAB, NA, NB sot des réels positifs ou uls il viet lors : NAB NA NB PROBLÈME Prélimiire Nous supposeros que l existece de l espérce de XY résulte de l existece de l vrice de X et de Y X EX Y EY = XY EX Y EY X + EX EY doc X EX X EX est comiiso liéire de qutre vriles létoires qui possèdet ue espérce ; isi X EX Y EY possède lors ue espérce Pr coséquet covx, Y existe Mieux, pr liérité de l espérce : covx, Y = E X EX Y EY = EXY EX EY EY EX + EX EY Aisi covx, Y = E X EX Y EY = EXY EX EY Ici les vriles létoires étt ps discrètes ous utiliseros ps l formule stdrd de l vrice d ue somme Nous redémotreros e utilist uiquemet l liérité de l espérce qui est u progrmme Soit λ u réel X et Y possède ue espérce doc λ X + Y possède ue espérce qui vut λ EX + EY λ X + Y Eλ X + Y 2 = λx EX + Y EY 2 λ X + Y Eλ X + Y 2 = λ 2 X EX λ X EX Y EY + Y EY 2 Or les vriles létoires X EX 2, X EX Y EY et Y EY 2 possèdet ue espérce doc λ X + Y Eλ X + Y 2 possède ue espérce De plus : [λ ] 2 E X +Y Eλ X +Y = λ 2 E [λ ] 2 E X + Y Eλ X + Y = λ 2 V X + 2 λ covx, Y + V Y X EX 2 +2 λ E X EX Y EY +E Aisi V λ X + Y existe et vut λ 2 V X + 2 λ covx, Y + V Y Y EY 2 Pour tout réel λ, λ X + Y possède ue vrice et V λ X + Y = λ 2 V X + 2 λ covx, Y + V Y 2 Posos λ R, P λ = V λ X + Y

8 8 λ R, P λ = λ 2 V X + 2 λ covx, Y + V Y, λ R, P λ = V λ X + Y 0 et V X > 0 P est doc u polyôme du secod degré à coefficiets réels qui e pred que des vleurs positives ou ulles Aisi P e peut voir deux rcies réelles distictes Pr coséquet so discrimit est égtif ou ul 2 2 Doc 2 covx, Y 4 V X V Y 0 Aisi covx, Y V X V Y 0 Filemet : covx, Y 2 V X V Y Repreos les ottios de Supposos covx, Y 2 = V X V Y lors le discrimit de P est ul Aisi P dmet ue rcie réelle d ordre 2 que ous oteros λ 0 Alors V λ 0 X + Y = 0 Réciproquemet supposos qu il existe λ 0 ds R tel que V λ 0 X + Y = 0 Alors P dmet u mois ue rcie réelle So discrimit, qui est égtif ou ul e peut être strictemet égtif ; il est doc ul Alors 2 covx, Y 2 4 V X V Y = 0 doc covx, Y 2 = V X V Y Filemet covx, Y 2 = V X V Y si et seulemet si il existe u réel λ0 tel que V λ 0 X + Y = 0 covx, Y 2 = V X V Y si et seulemet si il existe u réel λ0 tel que V λ 0 X + Y = 0 Soit λ 0 u réel V λ 0 X + Y = 0 si et seulemet si λ 0 X + Y est presque sûremet costte Aisi : V λ 0 X + Y = 0 si et seulemet si il existe u réel tel que P λ 0 X + Y = = ou P Y = λ 0 X + = Alors : 2 covx, Y = V X V Y si et seulemet si il existe deux réels et tels que P Y = X + = Prtie I : Etude d ue foctio de deux vriles Nous supposeros ici que A est strictemet positif Notos que ]0, A[ ]0, + [ est u ouvert de R 2 comme produit de deux ouverts de R, est de clsse C sur ]0, A[ ]0, + [ comme foctio rtioelle, +S est de clsse C sur ]0, A[ ]0, + [ comme foctio rtioelle et t e t est de clsse C sur R ; pr compositio, e +S est de clsse C sur ]0, A[ ]0, + [ Alors pr produit, e +S est de clsse C sur ]0, A[ ]0, + [ Si A est strictemet positif, L est de clsse C sur l ouvert ]0, A[ ]0, + [

9 Supposos lors que L dmette u extremum e u poit, de l ouvert ]0, A[ ]0, + [ Alors, est u poit critique de L E prticulier L, = 0 Doc e +S = 0 ce qui est impossile 9 Si A est strictemet positif, L dmet ps d extremum sur l ouvert ]0, A[ ]0, + [ 2 Nous supposeros ds l première prtie de l questio que A est strictemet positif Soit u élémet de [0, A[ et u élémet de ]0, + [ étt strictemet positif : + > A + étt strictemet égtif : + S < A + S t e t étt strictemet croisste sur R : e +S < e A+S Alors : e +S < e A+S cr est strictemet positif Filemet : si A est strictemet positif, [0, A[, ]0, + [, L, < L A, Ici A est simplemet positif ou ul ]A, + [, ]0, + [, L, = 0 < e A+S = L A, Aisi : ]A, + [, ]0, + [, L, < L A, Filemet : [0, + [ {A}, ]0, + [, L, < L A, 3 g est dérivle sur ]0, + [ et ]0, + [, g = + e A+S + A + S 2 e A+S ]0, + [, g = +2 A + S e A+S ]0, + [, g > 0 A + S > 0 < S A ]0, + [, g < 0 A + S < 0 > S A Posos 0 = S A = S A et remrquos que 0 pprtiet à ]0, + [ cr > 0 et S > A O peut lors dire que g est strictemet croisste sur ]0, 0 ] et strictemet décroisste sur [ 0, + [ Aisi g dmet u mximum solu sur ]0, + [ rélisé e le seul poit 0 g dmet u mximum solu sur ]0, + [ rélisé e u poit 0 et u seul De plus 0 = S A

10 4 Posos 0 = A et rppelos que 0 = S A Soit, u poit de [0, + [ ]0, + [ distict de 0, 0 Supposos 0 Alors A doc L, < L A, = g g 0 = L 0, 0 d près et 3 Doc L, < L 0, 0 Supposos = 0 Alors = A et 0 Aisi L, = L A, = g < g 0 = L 0, 0 d près 3 O ecore L, < L 0, 0 Filemet, [0, + [ ]0, + [ { 0, 0 }, L, < L 0, 0 Aisi : 0 L dmet u mximum solu sur [0, + [ ]0, + [ rélisé e u poit 0, 0 et u seul De plus 0, 0 = A, S A Prtie II : Etude d ue loi x x e est cotiue sur R doc f, est cotiue SUR [, + [ De plus f, est ulle sur ], [ doc f, est cotiue SUR cet itervlle Ceci suffit pour dire que f, est u mois cotiue sur R {} doc sur R privé d u omre fii de poits x [, + [, f, x = est positive sur R x e f, est ulle sur ], [ doc 0 Comme f, est ulle sur ], [ o peut doc ffirmer que f, Rppelos que f, est cotiue sur [, + [ x [, + [, Or Aisi lim x + e x lim x + Filemet f, t dt = = cr lim x + f, t dt = Alors f, t dt existe et vut 0 t e dt = x ] x [ e t = x e = puisque est strictemet positif f, t dt existe et vut f, t dt existe et vut Ce qui chève de motrer que : f, est ue desité de proilité 2 Notos F, l foctio de réprtitio de X x R, F, x = f, est ulle sur ], [ doc x ], [, F, x = f, t dt = 0 f, t dt

11 De plus x [, + [, F, x = f, t dt = { e x si x [, + [ Filemet : x R, F, x = 0 sio f, t dt = e x d près le clcul fit plus hut { e x si x [, + [ L foctio de réprtitio F, de X est défiie pr : x R, F, x = 0 sio 3 Soit G, l foctio de réprtitio de Y x R, G, x = P Y x = P X x + = F, x + Alors si x ], 0[ o : x + ], [ et G, x = F, x + = 0 Si x [0, + [ o : x + [, + [ et G, x = F, x + = e x+ = e x { e x si x [0, + [ Filemet x R, G, x = 0 sio O recoît lors l foctio de réprtitio d ue vrile létoire qui suit l loi expoetielle de prmètre Y = X suit l loi expoetielle de prmètre Le cours idique que Y possède ue espérce qui vut et ue vrice qui vut 2 Comme X = Y +, X possède ue espérce qui vut EY +, c est à dire +, et ue vrice qui vut V Y, c est à dire 2 EX existe et vut + V X existe et vut 2 4 Soit p u élémet de N EX p existe si et seulemet si Or t t p f, t est ulle sur ], [ et cotiue sur [, + [ t p f, t dt coverge et e cs d existece EX p = Motros lors pr récurrece que pour tout élémet p de N, L propriété est vrie pour p = 0 cr t p f, t dt coverge Aisi EX p existe si et seulemet si t p f, t dt f, t dt coverge et vut t p f, t dt coverge Soit p u élémet de N Supposos que l propriété est vrie pour p et motros l pour p Posos t [, + [, ut = t p et vt = e t u et v sot de clsse C sur [, + [ et t [, + [, u t = p t p et v t = f, t ] x Dès lors e itégrt pr prties il viet : x [, + [, t p f, t dt = [ t p e t +p t p e t dt

12 Aisi : x [, + [, Or, pr croissce comprée, t p f, t dt = p x p e x lim x + t p f, t dt cr p est ps ul Pr hypothèse de récurrece s chève Notos ecore que l existece de mis doe églemet l églité : + p p x p e x = p doc t p f, t dt coverge, doc + t p f, t dt 2 t p f, t dt est de même ture que : t p f, t dt coverge et l récurrece t p f, t dt doe o seulemet l existece de t p f, t dt = p + p Ce qui précède motre que, pour tout élémet p de N, de N, EX p existe De plus p N, EX p = t p f, t dt = p + p Pour tout élémet p de N, EX p existe t p f, t dt t p f, t dt t p f, t dt coverge, doc pour tout élémet p t p f, t dt = p + p EX p Pour tout élémet p de N, EX p = p + p EX p Exercice Motrer que : p N, EX p = p p! p k=0 k k k! 5 Posos Z = l U + Notos F Z l foctio de réprtitio de cette vrile létoire dixit le texte 0 si x ], 0[ Notos F U l foctio de réprtitio de U x R, F U x = x si x [0, [ si x [, + [ x R, F Z x = P Z x = P l U + x = P l U x cr est strictemet positif x R, F Z x = P U e x = P U e x = F U e x Si x est u réel de l itervlle ], [, e x est strictemet égtif et : F Z x = F U e x = 0 Si x est u réel de l itervlle [, + [, e x pprtiet à [0, [ et : F Z x = F U e x L foctio de réprtitio de Z = l U + est l même que celle de X Pr coséquet : = e x l U + suit l loi E,

13 3 Tout est dit ds! fuctio tirge,:rel:rel; 2 egi 3 tirge:=-*l-rdom+; 4 ed; Prtie III : Estimtio des prmêtres et Voici l totlité d u progrmme qui simule S = X + X X et Y = MiX, X 2,, X progrmme Ecricome2007; 2 3 fuctio tirge,:rel:rel; 4 egi 5 tirge:=-*l-rdom+; 6 ed; 7 8 vr i,:iteger;,,x,s,y:rel; 9 0 egi rdomize; 2 write Doer = ;redl; 3 write Doer = ;redl; 4 write Doer = ;redl; 5 6 S:=tirge,;Y:=S; 7 8 for i:=2 to do 9 egi 20 X:=tirge,; 2 S:=S+X; 22 if X<Y the Y:=X; 23 ed; writel S_,, pris l vleur :,S; 26 writel Y_,, pris l vleur :,Y; 27 ed 2 Soit u élémet de [2, + [ X, X 2,, X sot vriles létoires qui possèdet ue espérce qui vut + doc S = X + X X possède ue espérce qui vut EX + EX EX c est à dire + X, X 2,, X sot vriles létoires idépedtes qui possèdet ue vrice qui vut 2 doc S = X + X X possède ue vrice qui vut V X + V X V X c est à dire 2 Pour tout ds [2, + [, S possède ue espérce qui vut + et ue vrice qui vut 2

14 3 Soit u élémet de [2, + [ X, X 2,, X sot vriles létoires idépedtes qui suivet l loi E, doc X, X 2,, X sot vriles létoires idépedtes qui suivet l loi expoetielle de prmètre Le cours motre lors que : X + X X suit l loi gmm de prmètres et, ceci pour tout ds [2, + [ Posos T = X + X X T Γ, e t t Posos t R, f T t = si t ]0, + [ Γ f T est ue desité de T 0 sio Comme S = T +, S est ue vrile létoire à desité dmettt pour desité f S : t f T t e t t Notos que t R, f S t = si t ], + [ Γ et rppelos que Γ =! 0 sio Pour tout ds [2, + [, S est ue vrile létoire réelle à desité dmettt pour desité l foctio f S défiie pr : t R, f S t = e t t! 0 sio si t ], + [ 4 4 Soit u élémet de [2, + [ Notos F Y l foctio de réprtitio de Y = MiX, X 2,, X et oservos que Y pred ses vleurs ds [, + [ x ], [, F Y x = 0 Soit x u élémet de [, + [ F Y x = P MiX, X 2,, X x = P MiX, X 2,, X > x F Y x = P {X > x} {X 2 > x} {X > x} = P X > x P X 2 > x P X > x cr X, X 2,, X sot idépedtes Notos que i [, ], P X i > x = P X i x = e x Aisi F Y x = e x Filemet x R, F Y x = dire que Y suit l loi E, = e x / { 0 si x ], [ e x / si x [, + [ E prticulier EY existe et vut +, V X existe et vut = e x cr x pprtiet à [, + [ Comme / est strictemet positif o peut 2

15 5 Pour tout élémet de [2, + [, Y suit l loi E,, EY = + et V Y = 2 5 Soit ds [2, + [ Notos que Y possède u momet d ordre 2 doc o peut prler du iis resp du risque qudrtique de Y e tt qu estimteur de Nous oteros Y ce iis et r Y ce risque qudrtique Y = EY = + = Pour tout ds [2, + [, le iis de Y = MiX, X 2,, X e tt qu estimteur de est : r Y = E Y 2 r Y vut ecore V Y + Y Aisi r Y = + = 2 Pour tout ds [[2, + [, le risque qudrtique de Y = MiX, X 2,, X e tt qu estimteur de 2 est : 2 Rppelos l iéglité de Mrkov pour ue vrile létoire dmettt u momet d ordre 2 Si W est ue vrile létoire réelle discrète ou à desité qui possède u momet d ordre 2 : ε R +, P W ε EW 2 ε 2 Soit u élémet de [2, + [ Soit ε u élémet de R + Y possède u momet d ordre 2 qui vut r Y = 2 2 Le rppel permet d écrire : 0 P Y ε E Y 2 lim ε 2 = r Y ε 2 = 2 2 ε ε 2 = 0 doc pr ecdremet o 2 lim positif Alors l suite Y coverge e proilité vers l vrile létoire certie égle à De plus lim EY = lim + = Les deux poits précédets motret lors que : P Y ε = 0 et ceci pour tout réel ε strictemet Y est ue suite d estimteurs de symptotiquemet ss iis, covergete

16 6 Soit ds [2, + [ S et Y possèdet ue espérce doc Z = S Y possède ue espérce Nous pouvos isi prler du iis de Z e tt qu estimteur de Nous le oteros Z Z = EZ = ES EY = + + = 6 Notos que Pour tout ds [2, + [, le iis de Z = S Y e tt qu estimteur de est : lim Z = 0 doc lim EZ = Soit ds [2, + [ S et Y possèdet ue vrice doc Z = S Y possède ue vrice Aisi Z possède u momet d ordre 2 et ous pouvos prler du risque qudrtique de Z e tt qu estimteur de Nous le oteros r Z Notos que V Z = Doc V Z = 2 2 covs, Y V S 2 covs, Y + V Y = covs, Y + r Z = V Z + Z 2 = 2 2 covs, Y = covs, Y Pour tout ds [2, + [, le risque qudrtique de Z = S Y e tt qu estimteur de est : c Soit ε u élémet de R + Soit ds [2, + [ covs, Y Z possèdt u momet d ordre 2, ous pouvos écrire comme ds 5 : 0 P Z ε E Z 2 ε 2 = r Z ε 2 = 2 2 ε covs, Y Or 2 covs, Y 2 covs, Y 2 V S V Y d près le prélimiire Aisi 2 covs, Y 2 V S V Y = = 2 2 Alors 0 P Z ε 2 2 ε Comme lim ε = 0, il viet pr ecdremet lim P Z ε = 0 et ceci pour tout réel ε strictemet positif L suite Z coverge e proilité vers l vrile létoire certie égle à Rppelos que lim EZ = Aisi :

17 7 Z est ue suite d estimteurs de symptotiquemet ss iis, covergete 7 Nous supposeros ds l suite que x, x 2,, x sot des réels positifs ou uls Soit, u élémet de [0, + [ ]0, + [ Supposos que Mi{x, x 2,, x } pprtiet ps à [, + [ ; c est à dire que > Mi{x, x 2,, x } Alors il existe u élémet i 0 de [, ] tel que x i0 doe L, = 0 pprtieet à ], [ doc tel que f, x i0 = 0 ce qui Supposos que Mi{x, x 2,, x } pprtiet à [, + [ ; c est à dire que Mi{x, x 2,, x } Alors i [, ], x i [, + [ doc i [, ], f, x i = x e i Doc : x i L, = e = x i e i= = e x i i= = e i= Cocluos Pour cel posos S = x i et A = Mi{x, x 2,, x } i= + { Nous veos de prouver que, [0, + [ ]0, + [, L, = e +S si 0 A 0 si > A Oservos que pprtiet à N et que A et S sot deux réels positifs ou uls Motros que S > A S = i= x i i= Mi{x, x 2,, x } = A doc S A Notos que si S = A lors i [, ], x i = Mi{x, x 2,, x } Mi{x, x 2,, x } = Mx{x, x 2,, x } ce qui cotredit l hypothèse Ceci chève de motrer que : i= x i Doc x = x 2 = = x et lors L est l foctio L de I vec A = Mi{x, x 2,, x } et S = L estimtio de oteue sur l échtillo x, x 2,, x à prtir de Y = MiX, X 2,, X est : Mi{x, x 2,, x } c est à dire A doc 0 L estimtio de oteue sur l échtillo x, x 2,, x à prtir de Z = S Y est x + x x Mi{x, x 2,, x } c est à dire S A doc 0 Les estimtios de et oteues sur l échtillo x, x 2,, x à prtir de Y et Z sot les vleurs 0 et 0 oteues ds l prties I Les spécilistes dirot que les estimteurs Y et Z de et ot été oteus e utilist le mximum de vrisemlce i= x i