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1 PRESENTATION DU LOGICIEL F. SYMESAK

2 2 Mathematica9 INTRODUCTION Le but de ce document est de pré senter les notions de base pour l utilisation du logiciel Mathematica. Ce logiciel est un ensemble de primitives de calculs et un outil de calculs numé riques. Il possè de de trè s nombreuses fonctions dé dié es au calcul formel et à la visualisation graphique. C est enfin un langage de programmation procé durale et fonctionnelle. Dans le document pdf, les lignes de commande ne sont pas é valué es et les cellules en fond purple sont exé cutables dans la version notebook. De plus elle sont volontairement é crites le plus succintement possible sans options superflues. GENERALITES La problé matique é tant d'é tudier (et de ré soudre) des questions mathé matiques, la premiè re chose à envisager est la faç on d'é crire des "maths" avec Mathematica. Il n'y pas qu'une seule maniè re d'é crire des fonctions, des formules, des tableaux,...on peut soit s'inspirer de la faç on naturelle, c'est à dire de reproduire les formules, soit pré fé rer l'é criture en ligne "à la LaTEX" qui est moins visible. Lorsqu'on prend l'exemple de la racine carré e de 256 : 1. on peut é crire la commande Sqrt (square root) pour obtenir 2. on peut cré er le signe racine carré e via la palette : Palettes-> Basic Math Assistant, puis on clique sur l icone " : on peut aussi faire la combinaison Echap s q r t, Echap : on peut enfin cré er le symbole en combinant les touches Ctrl + 2 : 256 La seconde difficulté ré side dans la ré solution du problè me lui-même : è Peut-on ré soudre la question à l' aide d' un logiciel? et si oui è Quelles sont les commandes utiles? è Comment utiliser ces commandes pour traiter la question? è Ou trouver la syntaxe? è Comment exploiter les ré sultats? Il y a environ fonctions et options directement accessibles, ce qui permet, en thé orie, d'appré hender la quasi-totalité des questions (à condition de connaî tre la marche à suivre). Dans les cas plus complexes, il est né cessaire de recourrir aux capacité s algorithmiques du logiciel listecommandes := H*listecommandes*L Pour remé dier aux problè mes de syntaxe, il faut user et abuser de l' aide proposé e par le logiciel, qu on lance par la touche F1. Si on souhaite connaitre les proprié té s de la fonction racine carré e, on é crit Sqrt dans le bandeau supé rieur. On peut aussi faire pré cé der la commande Sqrt d un point d inté rrogation.

3 Pré sentation 3 Pour remé dier aux problè mes de syntaxe, il faut user et abuser de l' aide proposé e par le logiciel, qu on lance par la touche F1. Si on souhaite connaitre les proprié té s de la fonction racine carré e, on é crit Sqrt dans le bandeau supé rieur. On peut aussi faire pré cé der la commande Sqrt d un point d inté rrogation.? Sqrt Lorsque l on ne connait que le dé but du nom d'une fonction, on l é crit, puis le logiciel propose les suites possible. On peut aussi faire la combinaison Ctrl + k ( ou Complete Selection dans le menu Edit). Plo donne une liste de 18 commandes commenç ant par Plo entre Plot et PlotLayout. Pour utiliser correctement les commandes, c est à dire connaitre le nombre et le type d arguments demandé s, il est toujours possible de faire apparaitre le squelette grâce à (ou Make Template dans le menu Edit) Ctrl + Shift + k SumA f, 9 i, la combinaison de touche imax =E On peut aussi utiliser la fonction Names OPERATIONS DE BASE Les quatre opé rations de base sont noté es +, -, * ou espace et /. L é lé vation à une puissance est noté e ^. Exemples H2 ^ ^ 2L H4-5 6L * 51 2 Mathematica gè re les sommes ISum ou â M n ^ 2, 8n, 1, 25<D p 1 s=â n=1 n2 p := Infinity s et les produits IProduct ou äm ä 1- i=2 i2 - H1 i ^ 2L, 8i, 2, Infinity<D CALCULS SUR LES NOMBRES CALCULS SYMBOLIQUES Mathematica renvoie la valeur exacte des objets qu'on lui demande d'é valuer. Exemples

4 4 Mathematica D 2D + CALCULS APPROCHES Pour les calculs approché s, le ré sultat est un nombre flottant lorsque l on dé clare les variables commes des nombres flottants (avec le. ) : H L ^ 15 2 ^ ^ 30 Une autre possibilité est le recours à la commande N (pour Numeric) ^ 30D 25D CONSTANTES Mathematica connait les constantes usuelle : Π, e,, nombre d' or,... 8Π, Infinity I GoldenRatio Il est trè s facile d utiliser les constantes physiques usuelles : la constante de gravité g, la constante de Planck K, le rayon de la terre (en mè tres), le nombre d'avogadro, le volume molaire... AccelerationDueToGravity PlanckConstant EarthRadius AvogadroConstant MolarVolume SpeedOfLight ENTIERS Les opé rations spé cifiques portant sur les nombres entiers sont implanté es dans Mathematica. On peut, entre autre, calculer les factorielles, effectuer le test de primalité ou obtenir la dé composition en facteurs premier. 10! 2 3 ^ 2 5 ^ 3 7!D Les commandes qui se terminent par Q sont des fonctions boolé ennes qui testent l' objet et renvoie vrai ou faux. La fonction Mod produit le reste de la division euclidienne 8D Mathematica dé termine aussi le PGCD et le PPCM de deux ou plusieurs entiers. 8D 3, 4, 5D

5 Pré sentation 5 NOMBRES COMPLEXES Mathematica sait travailler avec les nombres complexes. Le symbole complexe i s obtient par la lettre majuscule I ou en exé cutant au clavier Echap i i Echap. Par exemple ä z = 3+5I La fonction Head rencoie le type de l'objet, ici Complex. UNITES Il est autorisé de travailler avec des quantité s (physiques), comme l intensité, la ré sistance, la tempé rature,...ceci se fait avec la bibliothè que Units` << Units` 30 Volt H200 Milli AmpLD Volt H200 Milli AmpL, OhmD mais Volt + H200 Milli AmpL, OhmD EQUATIONS Mathematica peut ré soudre beaucoup d é quations et le fait par la commande Solve. Si on cherche les solutions de l é quation Hx - 1L Hx - al 2 = 0 On é crit - 1L Hx - al ^ 2 0, xd Le signe == signifie que l expression de gauche et l expression de droite sont identiques, x est l inconnue recherché e. De même, on peut chercher à ré soudre ( x -1) (y - 2)^2 = 0 qu' on é crit - 1L Hy - 2L ^ 2 0, 8x, y<d INEQUATIONS Pour les iné quations, on utilise la fonction Reduce x - 1 < 2, xd 4 < x ^ 2 < 1 && x > 0D Le symbole && autorise l' é numé ration des conditions. Ainsi la double condition 1 < x < 2 é quivaut à && x < 2. 1 < x SIMPLIFICATIONS La simplification des expressions mathé matiques est une question trè s difficile pour un logiciel de calculs formels. Mathematica propose plusieurs commandes. Les plus simples sont Simplify, FullSimplify. On peut leur associer les commandes Expand et Factor qui modifie les expressions.

6 6 Mathematica9 expression = Hx + y + 1L Hx + y - 1L Hx - y + 1L Hx - y - 1L Il existe aussi de nombreuses autres commandes : TrigFactor, TrigReduce pour la trigonomé trie La combinaison de commandes // TrigToExp // Expand//ExpToTrig liné arise les puissances de sinus et cosinus ^ 3 TrigToExp Expand ExpToTrig Il est même possible de pré ciser les rè gles, Lorsque l'on souhaite imposer le type pré cis de modification. Par exemple 2 2D FullSimplify On a utilisé l'é criture post-fixé e pour é crire la ligne de commande pré cé dente, elle est é quivalente à FullSimplify[2 ArcTan[1/2]]. On souhaite appliquer la formule 2x 2 Arctan HxL = Arctan 1 - x2 On é crit la rè gle regle = 82 xl H1 - x ^ 2LD<; Puis on l'applique, c est à dire qu on change l expression pré cé dente, ce qui se fait avec le symbole //.. 2 2D. regle On peut aussi utiliser la fonction Simplify pour effectuer des calculs sous condition. Si on souhaite retrouver la relation cos HnΠ L = H-1L n, la ligne PiD Ne rend pas la valeur attendue, car n n a pas é té dé claré comme entier. Il faut pré ciser le domaine de validité de n, pour cela on é crit PiD, 8 n > 0, n Î Integers <D On obtient le même ré sultat avec la fonction Assuming > 0, n Î Integers<, PiDDD FONCTIONS USUELLES FONCTIONS NUMERIQUES Mathematica connait les fonctions usuelles. Par exemple Sin, ArcCos, Log, Tanh, Floor... 5D 7D Pour dé finir la fonction

7 Pré sentation 7 f HxL = x x - 1, on é crit = x ^ x - 1 les parenthè ses sont remplacé es par des crochet et la variable est suivie d' un "_". L' é valuation f (2) se fait par, Le logiciel connait beaucoup de fonctions spé ciales, citons pour exemple, les fonctions hypergé omé triques ou les fonctions Gamma. 1 3 Hypergeometric2F1B, 5,, 5F 2 2 Il est possible de dé finir une fonction par morceaux. Pour dé finir la fonction ghxl = 1 - x 2 si x < -1 x -1 si -1 x < 0 x +1 si x ³ 0 on é crit := 1 - x ^ 2 ; x < - 1 := x - 1 ; - 1 x < 0 := x + 1 ; x ³ 0 2D On la dé finit aussi avec la commande Piecewise. = - x ^ 2, x < - 1<, 8x - 1, - 1 < x 0<, 8x + 1, x ³ 0<<D Pour des calculs plus avancé s (non abordé s ici), il est parfois né cessaire d'utiliser l'objet fonction dé fini d' une maniè re intrinsè que. La fonction f s é crit aussi ð1 ^ ð1-1 & L'expression pré cé dente est appelé e fonction pure, elle n a pas de nom, les variables sont remplacé es par #1, #2,... et elle se termine par &. On l utilise en é crivant son expression et en la faisant agir sur un argument ou sur une liste d arguments a l aide du ð1 ^ ð1-1 & 2 ð1 ^ ð1-1 ð1 ^ ð1-1 & 82, 3, 4< SUITES Les suites numé riques sont des fonctions dont les arguments sont des entiers. On les dé finies de maniè re analogue aux foncions numé riques = n ^ 2 + n + 1 Il est possible de construire des suites dont l image dé pend de la parité de n, comme la suite de Syracuse. Rappelons que cette suite Hsn L est donné e par sn = 3 n + 1 si n impair sn = n 2 si n pair.

8 8 Mathematica9 On é crit := n 2 ; 2D 0 := 3 n + 1 ; 2D 1 On peut aussi pré ciser le type de l arument dans la dé finition de la suite. EvenQD := n 2 OddQD := 3 n + 1 OPERATIONS SUR LES FONCTIONS Limites La limite de f (x) lorsque x tend vers a s obtient avec Limit[f[x], x -> a]. Par exemple x2-1 = Hx - 2L x x x x x 0D D - D 2, Direction - 1D 2, Direction 1D Dé rivation Dé rivé e : Pour dé river une fonction f (x), on é crit f [x] ou D[f[x],x] f xd Simplify Dé rivé e seconde : Pour dé river deux fois une fonction f (x), on é crit f [x] ou D[f[x],x,x] f x, xd Simplify Dé rivé es d ordres supé rieurs : Pour dé river n fois une fonction f (x), on utilise D[f[x],{x,n}] 8x, 3<D Simplify Inté gration La commande Integrate permet de trouver les primitives et de calculer les inté grales en toutes les dimensions. Pour le calcul des primitives, on pré cise la variable d inté gration = xdl ^ 4 = xd G Simplify et pour les calculs d'inté grales, on pré cise la variable d' inté gration et les bornes := 1 H1 + x ^ 6L :x, 1 3, 3 >F 8x, 1, Infinity<D La fonction h (x) n'apparait pas l'é cran car on a imposé une é valuation diffé ré e avec le symbole :=. La fonction est é valué e uniquement lorsqu'elle est appelé e (ici dans les deux autres lignes).

9 Pré sentation 9 Quand les calculs deviennent inextricables pour le logiciel, il y a toujours la possibilité d interrompre le calcul en cliquant sur Abort Evaluation dans le menu Evaluation. = ^ 2 + x ^ 4D Int = 8x, 0, Π 2<D Dé veloppements Dé veloppements limité s : Le dé veloppement limité de la fontion f(x) à l' ordre n au voisinage de a se calcule par la commande Series[f[x], {x, a, n}]. 8x, 0, 7<D Pour exploiter la partie polynô miale (et donc oter le terme de reste) on utilise la fonction Normal. Ainsi 8x, 0, 7<D Le signe % rapelle le dernier calcul é valué. Dé veloppements asymptotiques : On obtient un dé veloppement asymptotique en pré cisant la valeur dans la commande Series x2 + x3, 8x, Infinity, 5<F SeriesB 1 + x + 2 x2 FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES De la même maniè re que pour les fonction numé riques de la variable ré elle, on dé finit une fonction de plusieurs variables en faisant suivre chaque variable du signe _ : y_d = x 2 + y ^ 2 + x - 2 On calcule les dé rivé es partielles de tous ordres à l' aide de la commande D en pré cisant la ou les variables considé ré es. Ainsi yd, xd yd, yd yd, x, yd Si on souhaite calculer le gradient ou le lapacien d' une fonction, on pré cise le systè me de variables y_, z_d = x y + z ^ 2 y, zd, 8x, y, z<d Θ_, Φ_D = r ^ 2 ^ 3 Θ, ΦD, 8r, Θ, Φ<, "Spherical"D Pour calculer l inté grale double de f(x,y) sur un rectangle a < x < b et c < x < d, on utilise la commande Integrate. Par exemple 4 àà Ix 2 + y 3 M â x â On é crit y_d = Hx ^ 2 + y ^ 3L ^ 4 yd, 8x, 0, 1<, 8y, - 1, 2<D Pour calculer une inté grale double sur un domaine,le plus simple est de le dé finir dans une fonction boolé enne. Si on souhaite calculer

10 10 Mathematica à à Ix + y M â x â y, T = :M T x, x > 0, y > 0 et x + y 1> y On commence par dé finir le domaine y_d := > 0 && y > 0 && x + y < 1D La fonction dom ainsi cré é e vaut 1 si x y est dans le domaine et 0 ailleurs. 4, 1 4D 2D Il suffit alors d'inté grer f (x, y) dom (x, y) dans une boî te qui contient le domaine. yd yd, 8x, - 1, 1<, 8y, - 1, 1<D REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES Les commandes Plot permettent de faire des repré sentations graphiques, on obtient la liste des fonctions dé dié es au dessin par liste = Il y en a 77. COURBES Courbe y=f(x) Le graphe de la fonction y=f(x), pour a < x < b, s'obtient avec la commande Plot[f[x], {x, a, b}], ce qui donne = Hx ^ 2 + 1L xd 8x, - 2 Pi, 2 Pi<D Lorsqu' on é crit une liste de fonctions entre accolades, Mathematica dessine toutes les fonctions = Hx ^ 2 + 1L - 8x, - 2 Pi, 2 Pi<D Le logiciel contient une famille d options qui permettent de personnaliser les graphiques :

11 Pré sentation 11 = Hx ^ 2 + 1L xd 8x, - 2 Pi, 2 Pi<, PlotStyle RedD I1 + x2 M xd pour cré er une courbe rouge, 8x, - 2 Pi, 2 Pi<, PlotStyle 8Dashed, Purple, Thin<D pour modifier l'aspect et la couleur de la courbe, 8x, - 2 Pi, 2 Pi<, Filling AxisD pour griser la partie comprise entre la courbe et l' axe des abscisses. pour modifier l'aspect et la couleur de la courbe,

12 12 Mathematica9 8x, - 2 Pi, 2 Pi<, AspectRatio 2D pour modifier l hé chelle. Courbes paramé triques ou polaires Lorsqu' on souhaite repré senter des courbes paramé triques ou polaires, on utilise la fonction ParametricPlot ou PolarPlot + 2 td, td<, 8t, 0, 2 Pi<D ou ΘD + 3 ΘD - 5 8Θ, 0, 2 Π<D Pour les courbes gauches la commande est ParametricPlot3D td, td, - 2 td<, 8t, 0, 2 Pi<D Courbes de niveau Les courbes implicites du type f (x, y) = k sont obtenues avec la fonction ContourPlot ^ 4 + y ^ 6 2, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D SURFACES Surface représentative z=f(x,y) La surface repré sentative de la fonction z = f (x,y), pour a < x < b et c<y<d, s'obtient avec la commande Plot3D[f[x,y], {x, a, b},{y,c,d}]], ce qui donne ^ 2 + x y - y, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<D L' option Mesh -> None é limine le quadrillage ^ 2 + x y - y, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, Mesh NoneD L' option RegionFunction permet de repré senter la surface lorsque la fonction est dé finie sur un domaine et non sur un rectangle. Si on veut restreindre la surface pré cé dente aux points du disque centré en l' origine et de rayon 3, on é crit ^ 2 + x y - y, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, RegionFunction y, z<, x ^ 2 + y ^ 2 9DD Surface de révolution Il est possible de gé né rer une surface de ré volution autrour de l axe Oy à partir d une courbe y=f(x), on utilise la fonction RevolutionPlot3D, par exemple 8t, 0, 1<D, 8t, 0, 1<D< Domaine de R 2 On repré sente le domaine D = :M x, F Hx, y L < K > avec la fonction RegionPlot y ^ 4 + y ^ 6 < 4, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D Surface de niveau de R 3

13 Pré sentation 13 x On repré sente la surface de niveau D = :M y z, F Hx, y, zl = K > avec la fonction ContourPlot3D ContourPlot3DAx2 + y4 + z6 == 1, 8x, - 1, 1<, 8y, - 1, 1<, 8z, - 1, 1<E Surface paramétrique de R 3 On repré sente une surface paramé trique avec la commande ParametricPlot3D ParametricPlot3DA9Iv2-1M H1 - ul, Hv + 1L Iu2-1M, Iu2-1M I1 - v2 M=, 8u, - 1 2, 1 2<, 8v, - 1, 1<E VOLUMES x On repré sente le volume D = :M y, F Hx, y, zl < K > avec la fonction RegionPlot3D z RegionPlot3D Ax4 + y2 + z2 < 1, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<, 8z, - 2, 2<E On peut ajouter diffé rentes options RegionPlot3D Ax4 + y2 + z2 < 1, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<, 8z, - 2, 2<, Mesh NoneE RegionPlot3D Ax4 + y2 + z2 < 1, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<, 8z, - 2, 2<, PlotStyle Mesh NoneE CHAMPS DE VECTEURS Pour dessiner un champ de vecteurs dans le plan, on utilise la fonction VectorPlot ^ 2 + y, x - y<, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D La variante StreamPlot dé terminer les lignes de niveau 2

14 14 Mathematica9 ^ 2 + y, x - y<, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D La variante DensityPlot met en é vidence l intensité ^ 2 + y, x - y<, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D Pour les champs tridimentionnels, on utilise VectorPlot3D + y + z, x - y - z, z - 2 z<, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<, 8z, - 2, 2<D LISTES DE POINTS Pour repré senter des suites de points, on utilise les commandes ListPlot, ou ListLinePlot. liste = 881, 2<, 82, 4<, 83, 2<, 84, 5<< EQUATIONS DIFFERENTIELLES RESOLUTION EXACTE Rappelons qu ' une é quation diffé rentielle est une é quation fonctionnelle de la forme F Ix, y, y ',..., y HnL M = 0 et que les solutions sont des fonctions y (x). Pour ré soudre une é quation diffé rentielle, on utilise la commande DSolve. Si on cherche les solutions de l é quation y' + y = 1 on é crit + == 1, xd

15 Pré sentation 15 Dans la ligne pré cé dente, on a pré cisé la fonction y[x] recherché e et la variable x utilisé e Mathematica renvoie 1 + ã-x Il s' agit d' une rè gle de substitution exprimé e par le signe. Pour l'exploiter, il suffit de cré er une fonction dont la valeur est la solution de l é quation diffé rentielle. Ainsi, on peut é crire = 1 + ã-x On cré e la fonction ysol à partir de la fonction y[x] (qui est la fonction utilisé e dans la commande DSolve) à laquelle on affecte l unique rè gle de substitution proposé e. Pour cela, on utilise la commande /. et on extrait la rè gle de la liste avec [[1]] car ici, c est la premiè re (et unique) rè gle. Si on considè re une é quation diffé rentielle avec une condition initiale, on dé clare l'é quation et la condition dans la fonction DSolve sol2 = + == 1, 2<, xd Dans le cas pré cé dent il y une unique solution qu' on peut repré senter = courbeexacte = 8x, 0, 1<D RESOLUTION APPROCHEE Pour les é quations qui n'admettent pas de solution analytique, on peut donner une solution approché e avec la fonction NDSolve. Si on cherche une solution approché e le l é quation diffé rentielle pré cé dente, on a nsol = + == 1, 2<, y, 8x, 0, 30<D On ré cupè re la solution qui se trouve dans nsol = courbeapprochee = 8x, 0, 1<D On compare les deux courbes avec la commande Show courbeapprochee D Si on veut avoir une estimation L2 de l ' erreur, on é crit NIntegrate - ^ 2, 8x, 0, 1<D La commande NIntegrate renvoie une valeur numerique pour l' inté grale. Pour une estimation L, on utilise la fonction FindMaximum - 8x, 0, 1<D Pour obtenir le plus grand é cart. SYSTEMES DIFFERENTIELS Il est possible ré soudre des systè mes diffé rentiels. Dans ce cas on fait la liste des é quations diffé rentielles et la liste des fonctions recherché es. Par exemple

16 16 Mathematica9 system = 8x 2 + y == - 2 solution = td On ré cupè re les solutions de maniè re habituelle = On affecte la valeurs 1 à C[1] et-1 à C[2] avec la symbole /. et la directive -> = 1, - 1< Simplify Ce qui permet de repré senter la solution 8t, , 1 10<D OPERATEURS INTEGRAUX SERIES DE FOURIER Les coefficients de Fourier d une fonction dé finie sur [-Π,Π[ se calculent avec la commande FourierCoefficient ^ 3, t, 5D Pour les coefficients ré els, on utilise les fonctions FourierCosCoefficient et FourierSinCoefficient ^ 3, t, 5D ^ 3, t, 5D TRANSFORMEE DE FOURIER La transformé e de Fourier d une fonction s obtient à la aide de la fonction FourrierTransform t, pd La transformé e de Fourier inverse se calcule avec la commande InverseFourrierTransform p, p, td TRANSFORMEE DE LAPLACE La transformé e de Laplace d une fonction s obtient à la aide de la fonction LaplaceTransform 2 td, t, pd La transformé e de Fourier inverse se calcule avec la commande InverseLaplaceTransform H1 + p ^ 4L, p, td SUITES RECURRENTES Il existe plusieurs maniè res de dé finir une suite du type un+1 = f Hun L. La suite donné e par u0 = 0 et f HxL = se dé finit par 2-x

17 Pré sentation 17 = - xd = 0; := - 1DD N ou = - xd := 0, nd N Avec la fonction Nest qui calcule l ité ré e n de la fonction, ou = - xd = 0; := = - 1DD N Pour dé finir une suite ré cursive, on procè de de la maniè re suivante. Pour la suite donné e par f0 = 0, f1 = 1 et fn+2 = 2 fn+1-3 fn, n ³ 2, On é crit = 1; = 1; := = 2 - 1D D; Mathematica ne peut pas calculer les valeurs de la suite à partir d un certain rang mais il sait ré soudre ce genre d é quation et il le fait avec la fonction RSolve eq1 = + 2D D sol = 1, 0<, nd ComplexExpand On procè de de faç on analogue aux é quations diffé rentielles : = Expand Simplify Si maintenant, on considè re, g0 = 1, et gn+1 = 3 - gn, n ³ 1, on a + 1D <, nd POLYNÔ MES PROPRIETES Mathematica connait les polynô mes et les fonctions polynô mes. Si on considè re P HX L = 5 X X 2-3 X + 2 Il est facile de tester si P (X) est un polynô me en X, puis de dé terminer son degré et la liste de ses coefficients :

18 18 Mathematica9 = 5 X3 + 5 X2-3 X + 2 XD XD XD Dans un cadre plus gé né ral, on peut être contraint d' utiliser des objets de la forme 6 = â Xi i=0 XD XD XD ou n = â Xi i=0 XD qui peuvent entrainer certaines difficulté s car le dernier objet n est pas reconnu comme un polynô me. DIVISION EUCLIDIENNE La division euclidienne de deux polynô mes s'obtient avec les fonctions PolynomialQuotient et PolynomialRemainder ^ 8, x + 1, xd ^ 8, x + 1, xd ^ 8, x + 1, xd On regroupe les deux fonctions pré cé dentes en PolynomialQuotientRemainder ^ 8, x + 1, xd On obtient Le PPCM et le PGCD de deux polynô mes avec les commande PolynomialGCD et PolynomialLCM PolynomialGCD Ax2 Hx - 1L, x Hx - 1L2 E PolynomialLCM Ax2 Hx - 1L, x Hx - 1L2 E Par dé faut la factorisation des polynô mes s effectue dans Q. Si on souhaite factoriser dans un sur corps de Q, on utilise l option Extension ^ 4-4D ^ 4-4, Extension ^ 4-4, Extension I<D FRACTIONS RATIONNELLES Les fractions rationnelles sont des quotients de polynô mes et la principale transformation est la dé composition en é lé ments simples, elle se fait avec la commande Apart = H13 x - 1L HH2 x + 1L Hx - 2LL

19 Pré sentation 19 La ligne suivante donne la dé composition dans Q = 1 H2 - x ^ 2L Pour effectuer la dé composition dans le corps des ré els, on commence par factoriser la fonction dans une extension de Q obtenue avec les zé ros du dé nominateur (grace à la fonction Factor), puis on dé compose le ré sultat avec la fonction Apart. = 1 H2 - x ^ 2L Extension On procè de de même pour une dé composition dans le corps des complexes = 1 H1 - x ^ 4L Extension ID A l inverse, la fonction Together effectue une mise au dé nominateur commun. = 1 H1 - xl + 1 H2 - xl + 1 H3 - xl + 1 H4 - xl Sous la forme pré cé dente, le numé rateur et le dé nominateur d une fraction rationnelle s obiennent avec les fonctions Numerator et Denominator x2 + 3 x - 5 = x3 + 3 x2 - x + 4 De maniè re identique, les simplifications des fractions rationnelles se font dans Q. Si on souhaite simplifier dans dans un sur corps de Q, on utiliser encore l option Extension combiné à la fonction Cancel x4-4 = x - Extension MATRICES DEFINITION On cré e une matrice en donnant successivement, entre accolades, les lignes de la matrice, les diffé rents coefficients é tant sé paré s par des virgules. 1 2 La matrice s ' é crit 5-3 matrice = 881, 2<, 85, - 3<< Pour une sortie é cran plus conforme, on utilise les fonctions MatrixForm ou TraditionalForm Lorsque les coefficient sont donné es par une formule, on utilise Array ð2d &, 83, 3<D MatrixForm

20 20 Mathematica9 La somme de deux matrices se fait avec le signe + et le produit de matrices se fait avec le signe. matrice + 88a, b<, 8c, d<< matrice.88a, b<, 8c, d<< On calcule les puissances d une matrice avec la commande MatrixPower. Pour obtenir le cube de la matrice pré cé dente, on é crit 3D Un vecteur se dé finit comme un liste. Pour le vecteur 3, on é crit -2 vecteur = 83, - 2< Le produit devient -2 matrice.vecteur OPERATIONS Dé terminant : Det Transposition : Transpose % MatrixForm Matrice inverse (quand c' est possible) : Inverse % MatrixForm Pour extraire un é lé ment d'un vecteur, on fait suivre le vecteur de [[i]], i repré sentant la coordonné e cherché e. Pour extraire une ligne d'une matrice, on procè de de faç on analogue, [[i]] repré sentant, l' indice de la ligne Pour extraire l ' é lé ment aij d ' une matrice, on ajoute jdd à la matrice 1DD 2DD 1DD 2DD Pour calculer le polynô me caracté ristique, on utilise la commande CharacteristicPolynomial matrice, xd les valeurs propres et les vecteurs propres s'obtiennent avec les fonctions Eigenvalues et Eigenvectors

21 Pré sentation 21 matrice D matrice D Les deux fonctions sont regroupé es en Eigensystem matrice D MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES Lorsqu on considè re l application liné aire associé e à une matrice par rapport aux bases canoniques, on dé termine le rang, le noyau et l image à partir de la matrice à l aide des fonctions MatrixRank, RowReduce et NullSpace. mat1 = 881, 2, 1<, 82, - 1, 3<, 81, 0, 1<< mat2 = 881, 2, 1<, 81, 0, 1<< et, en combinant avec la commande Transpose car les matrices sont donné es en lignes, on a mat3 = 881, 2<, 81, 2<, 81, 2<< % MatrixForm MATRICES ET ORTHOGONALITE La fonction Norm calcule la norme du vecteur et la fonction Normalize le normalise vecteur = 81, 2, 2< La fonction Orthogonalize orthonormalise une famille de vecteurs vec1 = 823, - 56, - 39< vec2 = 872, 63, - 81< fon = vec2<d on vé rifie en é crivant w1 = w2 = w2d Simplify On peut tester si une matrice est dé finie positive, symetrique,... matricebis = 881, - 1<, 8-1, 1<< EXTENSIONS Les vecteurs sont en fait des liste et les matrices des listes de listes. Une liste est une collection d'oblets sé paré s par des virgules et rassemblé s entre deux accolades. Il y a plusieurs possiblité s. La plus simple est d é crire les é lé ments liste1 = 8a, b, c, d, e<

22 22 Mathematica9 Certains vecteurs sont implanté s, par exemple les vecteurs des bases canoniques, on les obtient par la fonction UnitVector et 1D 2D 3D Il est possible de calculer le rotationnel et la divergence d un champ de vecteurs + y, x y z, x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2<, 8x, y, z<d + y, x y z, x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2<, 8x, y, z<d De même, on obtient la matrice identité de Rn avec la fonction IdentityMatrix MatrixForm MatrixForm Lorsque les é lé ments satisfont à une proprié té, on utilise la commande Table : ^ n, 8n, - 2, 5<D fournit la liste des puissances de 2 comprises entre 1 4 et 32. L ' exemple suivant renvoie les 5iè me, 10iè me et 100iè me nombres premiers 8q, 85, 10, 100<<D Lorsqu'on veut é numé rer les premiers entiers, il suffit d' utiliser la fonction Range Si on souhaite extraire certains é lé ments d une liste suivant un critè re, on utilise la commande Select. PrimeQD 13D 0 &D SYSTEMES LINEAIRES Pour ré soudre un systè me liné aire, on utilise la commande LinearSolve avec la matrice associé e au systè me. Pour le systè me 2x + y - z = 5 x - y + 3z = 8 3x + 4y - 3z = 9 on a matrice = 882, 1, - 1<, 81, - 1, 3<, 83, 4, - 3<< vecteur = 85, 8, 9< matrice, vecteurd DIVERS Pour utiliser les capacité s graphiques du logiciel, on utilise la commande Graphics qui permet de 1 rendre repré sentables des objets graphiques : Par exemple, on souhaite repré senter un disque de centre 1 et de rayon 1/5. On commence par cré er le disque avec la commande Disk

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