- le nombre choisi est 5. 1) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est -2, on obtient 0.

Transcription

1 Exercice 1 : (Brevet National 010) On considère le programme de calcul ci-dessous : multiplier ce nombre par (-) ajouter au produit multiplier le résultat par 1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est, on obtient. b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on? ) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0? 3) Arthur prétend que, pour n importe quel nombre de départ, l expression ( x ) x permet d obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison? Exercice : (Brevet Nationale 008) multiplier ce nombre par 3 ajouter le carré du nombre choisi multiplier par écrire le résultat obtenu 1) Montrer que si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 60. ) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : - le nombre choisi est - - le nombre choisi est 3 - le nombre choisi est 3) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0? Exercice 3 : (Brevet National 007) On considère le programme de calcul ci-dessous : lui ajouter multiplier la somme par le nombre de départ ajouter à ce produit 1) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est -, on obtient 0. ) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi au départ est. 3) a) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d un autre nombre. b) En est-il toujours ainsi lorsque l on choisit un nombre entier au départ de ce programme? Justifier. ) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quel(s) nombre(s) peut-on choisir au départ?

2 Problème : Programme calcul n 1 : prendre son double ajouter calculer le carré du résultat. Programme calcul n : prendre son double ajouter multiplier le résultat par le triple du nombre de départ prendre l opposé du résultat. 1 ère partie : Etude des programmes de calcul. 1) Effectuer chaque programme de calcul en prenant comme nombre de départ. ) Soit x le nombre de départ. a) Exprimer le résultat final en fonction de x pour le programme de calcul n 1. On notera ce résultat f (x). b) Exprimer le résultat final en fonction de x pour le programme de calcul n. On notera ce résultat g (x). ième partie : Cas d égalité des deux programmes. 1) Factoriser E = (x + ) + 3x(x + ). ) Montrer que déterminer les nombres pour lesquels les deux programmes de calcul donnent le même résultat revient à résoudre l équation (x + ) + 3x(x + ). 3) Résoudre cette équation. ) Pour quels nombres les deux programmes de calcul donnent-ils le même résultat?

3 Corrigé 1 : 1) a) Il suffit de suivre le programme de calcul : ( ) = + = 1 1 = Si le nombre de départ est, on obtient. b) 3 ( ) = = 1 ( 1) = Si le nombre de départ est 3, on obtient -. ) Soit x le nombre choisi au départ. On a ( x + ) = 10x +. Si le nombre de départ est x, on obtient 10 x +. Résolvons 10 x + 10x + 10x = 10 Pour que le résultat obtenu soit 0, il faut donc choisir. 3) On a ( x ) x x + 10x +. Arthur a donc raison. Corrigé : 1) Il suffit de suivre le programme de calcul : 10 3 = = 60 = = 130 Si le nombre de départ est 10, on obtient 60.

4 ) ( ) 3 = ( ) 10 = 1 + = 10 Si le nombre de départ est -, on obtient 0. 3 = = = + 3 = + = 18 + = Si le nombre de départ est 3, on obtient. 3 = ( ) = 3 + ( 3 + ) = Si le nombre de départ est, on obtient ) Soit x le nombre de départ. On a ( x 3 + x ) = (3x + x ) = x + 6x. Résolvons x + 6x x + 6x ( x + 6) 0 Or si A B alors A ou B. Donc soit x soit x + 6 x = Pour que le résultat obtenu soit 0, on peut choisir 0 ou -3.

5 Corrigé 3 : 1) Il suffit de suivre le programme de calcul : + = ( ) = + Si le nombre de départ est -, on obtient 0. ) + = = + = Si le nombre de départ est, on obtient. 3) a) Essayons avec. On obtient 16 c est-à-dire. Essayons avec 3. On obtient, c est-à-dire. b) Soit x le nombre de départ. Le programme nous donne : ( x + ) x +. On a ( x + ) x + = x + x + = x + x + = ( x + ) Ainsi, on obtient toujours un résultat qui peut s écrire sous la forme d un carré. ) Il faut résoudre ( x + ) = 1 ( x + ) ( x + ) ( x + ) = ( x + 1)( x + + 1) ( x + 1)( x + 3) Or si A B alors A ou B. On a donc soit x soit x Ainsi, pour obtenir 1 comme résultat, on peut choisir les nombres 1 et 3.

6 Remarque : Dans la question, on remarquera qu il est écrit : «Quels nombres». Si vous n en trouvez qu un, c est qu il y a un problème quelque part! Corrigé Problème : 1 ère partie : 1) Programme n 1 : Programme n : = = 1 1 = 16 = = = 10 Si le nombre de départ est, on obtient 16. Si le nombre de départ est, on obtient -10. ) a) On a ( x + ) = (x + ) = ( x) + x + = x + 16x + 16 On a donc f ( x) = ( x + ) = x + 16x + 16 b) On a [( x + ) 3 x] = (x + ) 3x = 6x 1x On a donc g( x) = 3x(x + ) = 6x 1x. ième partie : 1) E = (x + ) + 3x(x + ) E = (x + )(x + + 3x) E = (x + )(x + ) ) Les deux programmes de calcul donnent le même nombre lorsque f ( x) = g( x). f ( x) = g( x) ( x + ) ( x + ) = 3x(x + ) + 3x(x + ) On obtient bien le résultat voulu.

7 3) (x + ) + 3x(x + ) ( x + )(x + ) (d après la question 1) Or si A B alors A ou B. On a donc soit x + soit x + x = x = Les solutions de l équation sont donc - et. ) On en déduit que les deux programmes de calcul donnent le même résultat final lorsque l on choisit au départ - ou.