MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

Transcription

1 MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0

2 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES)

3 TABLE DES MATIÈRES A. YALLOUZ 3

4 PREMIÈRE PARTIE ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE A. YALLOUZ 4

5 Chapitre DÉRIVATION A. YALLOUZ 5

6 Lcée Camille SEE Année 0-0 DÉRIVATION T le ES I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f() f(a) Lorsque le rapport admet une limite réelle quand tend vers a en restant dans I, on dit que la a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f f() f(a) (a)= lim a a TANGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A(a; f(a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d abscisse a. f(a) j 0 i a A PROPRIÉTÉ Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse a est : = f (a) ( a)+ f(a) EXEMPLE La courbe C f tracée ci-dessous est la courbe représentative d une fonction f définie sur R Par lecture graphique, déterminer f (0), f () et f (3). A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

7 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES. Le nombre dérivé f (0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0. Or cette droite passe par les points de coordonnées (0;3) et(;). Son coefficient directeur a est : Ainsi, f (0)= a= 3 0 =. La tangente à la courbe C f au point d abscisse est parallèle à l ae des abscisses. Donc f ()=0 3. La droite tangente à la courbe C f au point d abscisse 3 passe par les points de coordonnées (3;0) et (5;3). Son coefficient directeur a est a= = 3 Le nombre dérivé f (3) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 3. Donc f (3)= 3 REMARQUE La courbe représentative d une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a. La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d équation =0 en 0. Or la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0 en effet : 0 lim = lim = lim =+ 0 ce n est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0. j 0 i II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel appartenant à I, f est dérivable en, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel appartenant à I son nombre dérivé f () est appelée la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Elle est notée f. DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur... f() f () f dérivable sur... R k 0 R R a+b a R R n n n R pour n entier n R R n [0; + [ n n+ R R pour n entier n ]0; + [ A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

8 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES 3 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS Si et v sont deu fonctions dérivables sur I, alors il en est de même pour u+v, ku (k constante réelle), u v et u (si v() 0 sur I) v RÈGLES (u+v) = u + v (ku) = k u (uv) = u v+uv ( u v) = u v uv v EXEMPLES )(. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f()= (+ ). Calculer f (). 3 Sur ]0;+ [ f est dérivable comme produit de deu fonctions dérivables. f = uv d où f = u v+uv. Avec pour tout réel appartenant à l intervalle]0;+ [, u()=+ 3 d où u ()= 3 v()= d où v ()= Soit pour tout réel appartenant à l intervalle]0;+ [, f ()= ( 3 )+ ) (+ 3 = = Ainsi, f est la fonction définie sur]0;+ [ par f ()= Soit f la fonction définie sur R par f()= Calculer f (). Sur R f est dérivable comme somme et quotient de deu fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v. Avec pour tout réel, Soit pour tout réel, u()=4 3 d où u ()=4 v()= + d où v ()= f ()= 4( + ) (4 3) ( + ) = ( + ) = ( + ) Ainsi, f est la fonction définie sur R par f ()= ( + ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

9 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES 4 DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE THÉORÈME (admis) Soit u et g deu fonctions telle que la composée f = g u est définie sur un intervalle I. Si u est dérivable sur I et g est dérivable en u(), alors la composée f = g u est dérivable sur I et f ()=u () g [u()] EXEMPLE Soit f la fonction définie sur I =[ ;] par f()=. f = u avec u()=. La fonction u est dérivable sur I et la fonction racine carrée g(x)= X est dérivable sur ]0;+ [ donc f est dérivable pour tout réel de l intervalle I tel que u()>0. Soit f est dérivable sur l intervalle ] ;[. La dérivée de la fonction racine carrée est g (X)= X. D où f = u u. On a u ()=. D où pour tout réel de l intervalle] ;[, f ()= = Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur] ;[ par f ()= NOUVELLES FORMULES DE DÉRIVÉES Par application du théorème sur la dérivée d une fonction composée on obtient les formules suivantes : Si u est dérivable sur un intervalle I de R, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u nu n = nu u n. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et ne s annule pas sur I, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u n nu = un+ u n+. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et strictement positive sur I, alors la fonction f = u est dérivable sur I et f = u u = u u. EXERCICE Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes ( définies et ) dérivables sur R : f()=( +3) 3 f()= (5+) + + f()= + f()= + + ( +) 5 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION THÉORÈME Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R. Si f est constante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f ()=0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f () 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f () 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

10 Lcée Camille SEE Année 0-0 DÉRIVATION T le ES THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et 0 un réel appartenant à I.. Si f admet un etremum local en 0, alors f ( 0 )=0.. Si la dérivée f s annule en 0 en changeant de signe, alors f admet un etremum local en 0. a 0 b f () f() 0 + minimum a 0 b f () + f() 0 maimum REMARQUES. Dans la proposition. du théorème 3 l hpothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie sur R par f()= 3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur R par f ()=3. f (0)=0 et pour tout réel non nul, f ()>0. La fonction cube est strictement croissante sur R et n admet pas d etremum en 0.. Une fonction peut admettre un etremum local en 0 sans être nécessairement dérivable. Considérons la fonction f définie sur R par f()= +. f est une fonction affine par morceau, f admet un minimum f() = or f n est pas dérivable en. 0 0 POINT MÉTHODE En pratique, pour étudier les variations d une fonction f dérivable sur son ensemble de définition D f : on détermine la dérivée f de f ; on étudie le signe de f sur D f ; on applique le théorème sur chacun des intervalles de D f où le signe de f est constant ; on dresse le tableau des variations en indiquant les etremums, s il a lieu et éventuellement les limites au bornes de son ensemble de définition. A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

11 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES EXERCICE La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l ae des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( ; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l ae des abscisses ; l ae des abscisses est asmptote à la courbe C f. 3 B A C f À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f() et lim f() b) Déterminer f (0) et f ().. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle courbe C courbe C courbe C 3 EXERCICE Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f()= 8+7. On note f la dérivée de la fonction f. + Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée C f, est donnée en annee ci-dessous à titre indicatif.. Calculer f ().. Étudier le signe de f (). 3. Donner le tableau des variations de f. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Tracer sur le graphique donné en annee, la tangente T. A. YALLOUZ (MATH@ES)

12 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES ANNEXE (C f ) 0 EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par : f()= On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère.. Calculer la dérivée de la fonction f.. Étudier les variations de f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. EXERCICE 4 Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f()= +. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal. On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f ().. Étudier le signe de f (). 3. Donner le tableau des variations de f. EXERCICE 5 Soit C la fonction définie pour tout élément de l intervalle]0;6] par C()=0, La fonction C modélise le coût total de production, eprimé en euro, de centaines d articles fabriqués par jour. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée C T, est donnée en annee.. La recette totale en euros pour centaines d articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R()=00 3. a) Tracer sur le graphique joint en annee, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production pour qu il ait un bénéfice ; la production 0 pour laquelle le bénéfice est maimal.. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;6] par B()=R() C(). a) Calculer B (). b) Étudier les variations de la fonction B. A. YALLOUZ (MATH@ES)

13 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES c) En déduire la production 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maimal? ANNEXE 900 C T EXERCICE 6 PARTIE A. Vérifier que pour tout réel, =( 3)( + 6+8).. En déduire le signe du polnôme P()= PARTIE B Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de ]0;5]. Le pri de revient d une pièce, eprimé en euros, dépend de q et est donné par l epression : f(q)= q3 + 6q + q+08 q. Combien coûte, en moenne, à l euro près, la production de 400 pièces?. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (q). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f. c) En déduire le nombre d unités à fabriquer pour que le pri de revient d une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production? EXERCICE 7 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie Mars 0) L entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en mètre de large et pour une longueur eprimée en kilomètre, étant compris entre 0 et 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

14 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES Le coût total de production en euros de l entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur par la formule C()= Le graphique de l annee donne la représentation graphique de la fonction C. Les deu parties A et B de cet eercice sont indépendantes PARTIE A : Étude du bénéfice Si le marché offre un pri p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l entreprise CoTon pour la vente d une quantité est égal à R()= p.. Tracer sur le graphique de l annee la droite D d équation =400. Epliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le pri p du marché est égal à 400 euros.. Dans cette question on suppose que le pri du marché est égal à 680 euros. a) Tracer sur le graphique de l annee la droite D d équation =680. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l entreprise CoTon réalise un bénéfice si le pri p du marché est de 680 euros. b) On considère la fonction B définie sur l intervalle[0 ; 0] par B()=680 C(). Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle[0 ; 0] on a : B ()= c) Étudier les variations de la fonction B sur[0 ; 0]. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l entreprise CoTon est maimum. Donner la valeur de ce bénéfice. PARTIE B : Étude du coût moen On rappelle que le coût moen de production C M mesure le coût par unité produite. On considère la fonction C M définie sur l intervalle]0 ; 0] par C M ()= C().. Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle]0 ; 0] on a : C M()= 30( 5)( + +5 ).. a) Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle]0 ; 0], C M () est du signe de( 5). En déduire les variations de la fonction C M sur l intervalle]0 ; 0]. b) Pour quelle quantité de tissu produite le coût moen de production est-il minimum? Que valent dans ce cas le coût moen de production et le coût total? A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

15 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES ANNEXE EXERCICE 8 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition : 5. f est définie sur R par f ()= f est définie sur]0;+ [ par f ()= (+ ) 3. f 3 est définie sur R par f 3 ()= + EXERCICE 9 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f() =. Calculer f ().. Étudier les variations de la fonction f. ( ) 3 EXERCICE 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

16 Lcée Camille SEE Année 0-0 DÉRIVATION T le ES. Soit u la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par u()=+. Calculer u ().. Soit g une fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0;+ [. On note g la dérivée de la fonction g. On sait que g()= et pour tout réel >0, g ()=. Donner le tableau des variations de la fonction g. 3. On considère la fonction f définie sur]0; + [ par f() = g[u()]. On admet que f est dérivable sur ]0;+ [ et on note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f(). b) Calculer f (). c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. La tracer sur le graphique ci-dessous. 4 3 C f O 3 4 EXERCICE Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est eacte. Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On sait que : la droite D est tangente à la courbe C f au point A( ;) ; la courbe C f admet deu tangentes parallèles à l ae des abscisses au points d abscisse et 3. 4 D 3 A On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f alors : f ( )= f ( )= 3 f ( )> f (0) C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

17 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES. L équation f ()=0 admet : une solution deu solutions tois solutions 3. f est définie sur R par : f ()= 3( 3)( + ) +9 f ()= 3( 3) (+) +7 f ()= 3(3 )(+) Soit g la fonction définie sur R par g()=[ f()]. Au point d abscisse, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation : =9+9 = 6+3 = 6 EXERCICE. Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f()= +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f() suivant les valeurs du réel. b) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0.. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g()=[ f()]. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (). EXERCICE 3 Soient u la fonction définie pour tout réel par u()= et g une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] ;+ [. On note g la dérivée de la fonction g.. On sait que g(3)=0 et pour tout réel >, g ()= + a) Donner le tableau des variations de la fonction g. b) Étudier le signe de g().. On considère la fonction f définie sur]0;+ [ par f()=g[u()]. a) Calculer f(). b) On admet que f est dérivable sur]0;+ [ et on note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. 3 C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

18 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. La tracer sur le graphique précédent. EXERCICE 4 La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe (C) coupe l ae des ordonnées au point A(0;) ; la courbe (C) admet pour asmptote l ae des abscisses ; la tangente en A à la courbe (C) coupe l ae des abscisses au point d abscisse 4. 0 (C). À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f() et lim f(). + b) Déterminer f(0) et f (0).. Soit g la fonction définie sur R par g()= f(). Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 0. EXERCICE 5 Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur]0;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : La courbe C f admet pour asmptotes les aes du repère ; la courbe C f admet une tangente parallèle ( à l ae des abscisses au point A d abscisse ; la tangente à la courbe C f au point B ; 3 ) passe par le point de coordonnées (4;0) A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

19 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES A B (C f ) 0. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f() et lim f(). 0 + b) Déterminer f(), f(), f () et f ().. On considère la fonction g définie sur]0;+ [ par g()=[ f()]. a) Quel est le sens de variation de la fonction g sur]0;+ [? b) Déterminer les valeurs de g () et g (). c) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse. EXERCICE 6 Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la droite D d équation = 8 est asmptote à la courbe C f en + ; la courbe C f admet une tangente parallèle à l ae des abscisses au point A(3;). C f D A 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

20 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES À partir du graphique et des renseignements fournis :. Déterminer lim + f().. Déterminer f(3) et f (3). 3. Une seule des trois propositions suivantes est eacte, déterminer laquelle. a. f () f (4)<0 b. f () f (4)=0 c. f () f (4)>0 4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f? 0,5 0 0 Courbe C Courbe C 0 Courbe C 3 5. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C est-à-dire la fonction h définie sur R par h()= f(). a) Calculer h (3) b) Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h? A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

21 Chapitre CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS A. YALLOUZ (MATH@ES)

22 Lcée Camille SEE Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES I FONCTION CONTINUE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim a f()= f(a). Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I. Graphiquement, une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou) La fonction f est défine et continue sur R La fonction f n est définie sur [;3] f n est pas continue sur R La fonction f est défine sur R mais f n est pas continue en 3 THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. Si f est dérivable en a alors, f est continue en a. Démonstration Pour tout réel appartenant à I, a Par conséquent, lim f() f(a)= lim a a f() f(a)=( a) [ ( a) f() f(a) Or si f est dérivable en a alors, lim = f (a) a a donc si f est dérivable en a alors, f() f(a) a ] f() f(a) f() f(a) = lim( a) lim a a a a lim f() f(a)= lim ( a) a a f (a)=0 d où lim a f()= f(a), ce qui prouve que f est continue en a. CONSÉQUENCES On admettra les deu propriétés suivantes qui se déduisent du théorème précédent :. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie. REMARQUE La réciproque du théorème est fausse : Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par eemple la fonction f définie sur R par f() = est contine en 0 mais n est pas dérivable en 0. 0 A. YALLOUZ (MATH@ES)

23 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES f(a) f(b) k k a j 0 i f(a) b a j f(b) 0 i b f est continue sur [a;b] Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f() = k admet une ou plusieurs solutions. f est définie sur [a;b] mais f n est pas continue sur [a;b] Il eiste des réels k compris entre f(a) et f(b) tels que l équation f() = k n admet pas de solution. THÉORÈME (admis) Si f est une fonction continue sur un intervalle[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f()=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deu réels appartenant à I, a<b. Si f est continue et strictement monotone sur[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f()=k admet une solution unique c appartenant à[a;b]. Démonstration Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Eistence Par hpothèse, f est continue sur [a; b] alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f()=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b].. Unicité Supposons que l équation f()=k admette deu solutions distinctes c et c appartenant à[a;b] Par hpothèse, f est strictement monotone sur[a;b] alors c c f (c ) f (c ) Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c )= f (c )=k Donc c = c, ce qui prouve que l équation f()=k admet une solution unique dans [a;b] REMARQUES. Si f est continue et strictement monotone sur [a; b] et f(a) f(b) < 0, alors l équation f() = 0 admet une solution unique dans [a;b]. Le théorème s applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[,]a;b],]a;b[,[a;+ [,]a;+ [,] ;b] ou] ;b[ : si une borne a ou b de l intervalle est ouverte, alors on remplace l image f(a) ou f(b) par la limite de f en cette borne ; si une borne de l intervalle est (ou + ) alors on considère la limite de f en (ou + ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

24 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction f est donné ci-dessous : f(). a) La fonction f est-elle continue sur] 3; + [? b) Donner un intervalle où f est continue mais pas monotone. c) Donner deu intervalles où f est continue et strictement monotone.. a) Déterminer le nombre de solutions de l équation f()=0. b) L équation f() = admet-elle une solution unique? 3. On note f la dérivée de la fonction f. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. a) L équation f ()=0 peut avoir plusieurs solutions sur]5;+ [ b) f ( ) f (0) 0 c) f ( ) f (3) 0 4. Parmi les cinq propositions suivantes, quelles sont celles qui sont eactes? a) lim f()= 3 b) lim f()= c) lim 3 f()=+ d) lim 5 + f()= e) lim f()=5 + EXERCICE Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f définie sur l intervalle[ ;3] et vérifiant les informations données. f est continue et décroissante sur[ ;3], et l équation f()= admet une infinité de solutions dans[ ;].. f est continue sur [ ;3] n est pas monotone sur [ ;3], et l équation f()=0 admet une solution unique dans [ ;3]. 3. f est continue sur [ ;3] avec f( ) = 3, f(3) = et l équation f() = 0 admet deu solutions dans [ ;3]. 4. f n est pas continue sur [ ;3] et pour tout réel k compris entre f( ) et f(3) l équation f()=k admet une solution unique dans [ ;3]. EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par f()= On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier le signe de f (). c) Donner le tableau des variations de f.. Montrer que l équation f()=7, admet une solution unique α dans l intervalle[ 4; 3]. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au diième près. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

25 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE 4 La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R O La représentation graphique permet-elle de déterminer le nombre de solutions de l équation f()=?. On admet dans cette question que l ensemble des solutions de l équation f ()=0 est S={0;4;6;8}. a) Si on suppose que f(6)= 53 quel est alors le nombre de solutions de de l équation f()=? 54 b) Si on suppose que f(6)= déteminer graphiquement une valeur approchée au diième près de chacune des solutions de l équation f() =. EXERCICE 5 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions est eacte, déterminer laquelle.. Si f est une fonction strictement croissante sur R alors, l équation f()=0 admet : a) Eactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution.. Si f est une fonction continue sur[a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f()=0 admet : a) Eactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 3. Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et telle que l équation f()=0 admette une solution unique c dans [a; b] alors : a) f(a) et f(b) sont de signes contraires. b) Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f est strictement monotone. c) Si la dérivée est de signe constant, alors f(a) f(b)<0. 4. Soit f une fonction continue sur I =[ ;3] et ne s annulant pas sur I. a) Pour tout réel a appartenant à I, f( ) f(a)>0. b) On peut avoir f( )+ f(3)=0. c) f est dérivable sur I. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

26 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES 5. Soit f une fonction dérivable sur I =[ ;] et telle que f( )=0, f( )= et f()=0. a) Il eiste un unique réel a appartennant à[ ;] tel que f(a)=. b) L équation f()= admet eactement deu solutions dans [ ;]. c) L équation f()= admet au moins deu solutions dans[ ;]. 6. Soit f la fonction définie sur R par f() = Sur l intervalle [ ;], l équation f()=0 admet : a) Eactement une solution. b) Eactement deu solutions. c) Eactement trois solutions. EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur l intervalle[0;+ [ par : f()= On note f la dérivée de la fonction f, calculer f ().. On admet que f () 0 équivaut à [;+ [ a) Donner le tableau des variations de la fonction f. b) Montrer que l équation f()=3, admet une solution unique 0. Donner un encadrement de 0 à 0 près. EXERCICE 7 PARTIE A On considère les fonctions f et g définies et dérivables pour tout nombre réel de l intervalle]0 ;8] par : f()= 3 + et g()= Les courbes représentatives respectives C f et C g des fonctions f et g, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d intersection E.. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l intervalle ]0 ;8] l équation g()= f(). Pour cela, on considère la fonction h définie sur l intervalle]0 ;8] par h()=g() f(). a) Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l intervalle]0 ;8]. b) Démontrer que l équation h()=0 admet une solution unique 0 dans l intervalle]0 ;8]. c) À l aide de la calculatrice, déterminer l arrondi de 0 au centième. A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

27 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES C f E 6 4 O C g PARTIE B Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l offre et la demande d un produit : f() est la quantité, eprimée en milliers d articles, que les producteurs sont prêts à vendre au pri unitaire de centaines d euros ; g() la quantité, eprimée en milliers d articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au pri unitaire de centaines d euros. On appelle pri unitaire d équilibre du marché la valeur de pour laquelle l offre est égale à la demande.. Quel est, eprimé à l euro près, le pri unitaire d équilibre du marché?. Quel nombre d articles, (arrondi à la centaine d articles près), correspond à ce pri unitaire d équilibre? EXERCICE 8 PARTIE A Soit f la fonction définie sur [0;0] par f()= 3 + 9,5 + 6,5.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier les variations de la fonction f.. Montrer que l équation f()=0 admet deu solutions a et b dans [0;0] 3. Étudier le signe de f sur[0;0] PARTIE B Une entreprise produit milliers de pièces, étant un réel de [0;0]. Le coût total de production C, eprimé en milliers d euros, dépend de et est donné par l epression : C()= 0,53, A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

28 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annee.. Le pri de vente d un article est de 8,50 C. En admettant que toute la production soit vendue, la recette totale eprimée en milliers d euros est donnée par R()=8,5. a) Tracer sur le graphique joint en annee, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer la production 0 (arrondie au millier d articles près) pour laquelle le bénéfice est maimal.. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;0] par B()=R() C(). a) Calculer B (). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction B. c) En déduire la production 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maimal? 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C T au point d abscisse 0. La tracer sur le graphique. ANNEXE 60 C T A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

29 Chapitre 3 LIMITES A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

30 Lcée Camille SEE Année 0-0 LIMITES T le ES En terminale ES, la notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d une fonction dans les cas suivants : Que se passe-t-il lorsque la variable est proche d une valeur a, sans pour cela l atteindre? Que se passe-t-il lorsque la variable s éloigne infiniment de 0 (limites en + ou en )? I NOTION DE LIMITE LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a. Dire que la fonction f a pour limite le réellen a signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour suffisament proche de a. On note : lim a f()=l l O a LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a à droite de a (resp. à gauche de a). Dire que la fonction f tend vers+ quand tend vers a avec >a (resp. avec <a) signifie que tout intervalle ]M;+ [, où M est un réel, contient toutes les valeurs de f() pour suffisament proche de a avec >a (resp. avec <a). On note : lim a >a + f()=+ ou lim a a <a + f()=+ (resp. lim f()=+ ou lim a f()=+ ) + f() f() M M O a a+h O a h a lim f()=+ a >a On a des définitions analogues lorsque la limite de f en a est lim f()=+ a <a a a+h O O a h a M M f() f() lim f()= a >a Autrement dit, lim f()=+ (ou lim a veut de 0 pourvu que soit suffisamment proche de a. lim f()= a <a a f()= ) signifie que l on peut rendre f() aussi éloigné que l on A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

31 Année 0-0 LIMITES T le ES INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim f()=+ ou lim f()=+ ou lim f()= ou lim f()=, on dit alors, que la droite a + a a + a d équation =a est une asmptote verticale de la courbe représentative de la fonction f. 3 LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN L INFINI. Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour suffisament grand. On note : lim f()=l + O m + f() l lim f()=l : f() est aussi proche que l on veut delàcondition de choisir >m +. Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour <0 suffisament éloigné de 0. On note : lim f()=l l f() m O lim f()=l : f() est aussi proche que l on veut delàcondition de choisir <m INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim + f() = l (resp. lim f() = l), on dit alors, que la droite d équation = l est une asmptote horizontale de la courbe représentative de la fonction f en + (resp. en ). REMARQUE Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation =l, il suffit d étudier le signe de f() l A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

32 Année 0-0 LIMITES T le ES 4 LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN L INFINI Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M; + [ contient toutes les valeurs de f() pour M suffisament grand. On note : lim f()=+ + O m. Dire que la fonction f a pour limite en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f() pour suffisament grand. On note : lim f()= + Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M;+ [ contient toutes les valeurs de f() pour < 0 M suffisament éloigné de 0. On note : lim f()=+ m O. Dire que la fonction f a pour limite en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f() pour < 0 suffisament éloigné de 0. On note : lim f()= O M m m O M ASYMPTOTE OBLIQUE Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne+ ou, et D une droite d équation =a+b. Si lim [ f() (a+b)]=0 (ou lim [ f() (a+b)]=0), on dit alors que la droite d équation =a+b + est une asmptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en + (ou en ). =a+b O =a+b =a+b O O O =a+b lim f()=+ + lim f()= + lim f()=+ lim f()= REMARQUE Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation = a + b, il suffit d étudier le signe de la différence f() (a + b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

33 Année 0-0 LIMITES T le ES II LIMITES DE FONCTIONS USUELLES FONCTION CARRÉ FONCTION CUBE O O lim =+ ; lim + =+ lim 3 =+ ; lim + 3 =+ FONCTION INVERSE FONCTION RACINE CARRÉE O O lim = 0 ; lim 0 + =+ ; lim 0 =+ lim = 0 lim =0 ; 0 lim =+ + A. YALLOUZ (MATH@ES) 33 +

34 Année 0-0 LIMITES T le ES III RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES Dans tout ce paragraphe, u et v désignent deu fonctions, l et l désignent deu nombres réels, et α désigne + ou ou un nombre réel. LIMITE D UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS Si lim u()= α l l l + + et lim v()= α l + + alors par somme lim α l+l + + À ÉTUDIER EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()= +. Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. lim = et lim 0 0 >0 >0 f admet pour asmtote l ae des ordonnées. lim + =+ et =+ donc, par somme, lim f()=+. La courbe représentative de la fonction 0 >0 lim + = 0 donc, par somme, lim f()=+ + LIMITE D UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS Si lim u()= α l l ou et lim v()= α l + ou + ou + ou alors par produit lim α l l ± * À ÉTUDIER ± * (*) Lorsque la limite du produit est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. EXEMPLE ( ) Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()=. Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. lim 0 >0 = 0 et lim 0 >0 Or pour tout réel non nul, lim + =+ et =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0». lim + ( ) = et lim 0 >0 = donc, par produit, lim f()= 0 >0 = 0. Donc, lim f()=0 0 >0 3 LIMITE D UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS Si lim α u()= l l 0 l et lim α v()= l 0 0 alors par quotient u ) lim ()= α( v + ou + ou 0 l 0 + ou + ou l l ± * 0 ± * À ÉTUDIER À ÉTUDIER (*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

35 Année 0-0 LIMITES T le ES EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f()=. Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. lim =0 et lim =0. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0 0». > > Or pour tout réel, Comme lim + = > = (+)( ) = +, nous pouvons conclure que, lim f()= > lim =+ et lim + + =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée. Comme pour pour tout réel, = et que lim = 0, il s ensuit que lim f()= > La courbe représentative de la fonction f admet pour asmtote l ae des abscisses en +. 4 FORMES INDÉTERMINÉES Il quatre formes indéterminées du tpe ; «0» ; «0 0» ;. Lorsqu on rencontre une forme indéterminée, on essaie de trouver la limite demandée en étudiant la situation. On dispose cependant de deu règles, permettant de déterminer la limite d une fonction polnôme et la limite d une fonction rationnelle en l infini. RÈGLE En+ ou en, la limite d une fonction polnôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. EXEMPLE lim = lim + 33 = RÈGLE En + ou en, la limite d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. EXEMPLE lim = lim = 3 = 0 5 LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et v une fonction définie sur un intervalle J de R telles que pour tout réel appartenant à I, u() appartient à J. a, b et c désignent des réels ou+ ou. f est la fonction v u, composée de u suivie de v. EXEMPLE ( ) Déterminer lim. > lim = et lim > Si lim a u()=b et lim X b v(x)=c, alors lim a f()=c X =+, donc lim X > ( ) =+ A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

36 Année 0-0 LIMITES T le ES IV LIMITE PAR COMPARAISON Les théorèmes suivants sont admis THÉORÈME α désigne un réel ou+ ou. f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout appartenant à I, f() g() et lim g()=+, alors lim f()=+. α α EXEMPLE Déterminer lim Pour tout réel positif, d où pour tout réel positif, } {{ } f() + } {{ } g() Or lim +=+ donc d après le théorème sur les limites par comparaison, lim 9 + +=+. THÉORÈME α désigne un réel ou+ ou. f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout appartenant à I, f() g() et lim g()=, alors lim f()=. α α EXEMPLE Déterminer lim +. Pour tout réel, d où pour tout réel, + } {{ } f() + } {{ } g() Or lim += donc d après le théorème sur les limites par comparaison, lim += 3 THÉORÈME 3 (Théorème des gendarmes) α désigne un réel ou + ou. Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I de R etlun réel. Si pour tout appartenant à I, f() h() g() et lim f() = lim g() = l, α α alors lim h()=l. α l O m EXEMPLE Soit f une fonction définie sur]0;+ [ et telle que pour tout réel >0, 3+ f() Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. Pour tout réel > 0, f() 3+ or lim 3+ = +, donc d après le théorème sur les limites par comparaison, lim f()=+. 0 >0 Pour tout réel >0, 3+ f() or lim 3+ + = 3 et donc d après le théorème sur les limites par encadrement, lim f()= >0 lim = lim + = 3, A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

37 Année 0-0 LIMITES T le ES EXERCICE Déterminer les limites suivantes : lim ( ) + lim + 3 lim EXERCICE ( ) lim + lim + lim + ( ) 4 ( lim 3 + lim 4 > ) lim > ( 3+ 3 lim lim 4 > ) lim 0 >0 La courbe C f ci-dessous, représente une fonction f définie sur R. Les droites D et sont les asmptotes à la courbe respectivement en et+. 3 D Déterminer lim f() et lim f(). +. Soit g la fonction définie sur R par g()= f()+ 3. Déterminer lim g() et 4 lim g(). + - EXERCICE 3. Soit P()= + 6 et Q()= 3 deu polnômes. a) Résoudre P() = 0 et Q() = 0. b) En déduire une factorisation de P() et Q().. Soit f la fonction définie sur];+ [ par f()= P() Q(). a) Déterminer lim f() et lim f(). + > b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? EXERCICE 4 La courbe C u ci-dessous représente une fonction u définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l ae des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( ; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l ae des abscisses ; l ae des abscisses est asmptote à la courbe C u. A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

38 Année 0-0 LIMITES T le ES 3 B A C u À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim u() et lim u(). + b) Déterminer u (0) et u (). -4. On considère la fonction f définie sur] ;+ [ par f()= u(). a) Étudier les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? b) Déterminer f (0) et f (). 3. On considère la fonction g définie sur R par g()=[u()]. a) Étudier les limites de la fonction g en et en+. La courbe représentative de la fonction g admet-elle des asmptotes? b) Déterminer g (0) et g (). EXERCICE 5 Soit f une fonction définie sur l intervalle I = 3 ] [ ;+ et telle que pour tout réel, on a f() On considère la fonction g définie sur I par g()= f(). C f Montrer que si alors, 0 g(). Que peut-on en déduire sur la limite de g en+? A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

39 Année 0-0 LIMITES T le ES EXERCICE 6 ] [ Soit f la fonction définie sur ;+ par : f()= On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal.. Déterminer lim f(), qu en déduit-on pour la courbe C f? +. Déterminer lim + f(). a) Déterminer les réels a, b et c tels que f()=a+b+ c 4. b) En déduire que la courbe C f admet pour asmptote la droite d équation = 3. c) Étudier les positions relatives de la courbe C f et de la droite d) Résoudre l inéquation 4 0,00. e) Calculer le plus simplement possible, une valeur approchée au millième près de l image par f de Calculer la dérivée de la fonction f. 4. Étudier les variations de f. 5. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. EXERCICE 7. Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f()= +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f() suivant les valeurs du réel. b) Déterminer, en justifiant avec soin, lim f() et lim f(). + + c) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0.. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g()=[ f()]. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. a) Déterminer lim g() et lim g(). En déduire l eistence d asmptotes à la courbe C g. + + b) On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C g au point d abscisse 0. EXERCICE 8 Afin de de réduire ses coûts de fabrication, un industriel décide d investir une certaine somme tous les mois dans la maintenance de l outil de production. Si est le montant en milliers d euros que l industriel investit, le pourcentage de réduction des coûts est modélisé par la fonction f définie sur[;+ [ par f()=0,3 +0, (+) 3.. Un investissement de 00 C est-il suffisant pour réduire les coûts de 5%?. On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier les variations de la fonction f. c) En déduire que l équation f()=0,5 admet une solution unique. 3. Selon ce modèle, est-il possible de réduire les coûts de 40%? 4. Quelle somme, arrondie à la centaine d euros près, faut-il investir pour réduire les coûts d au moins 5 %? A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

40 Année 0-0 LIMITES T le ES EXERCICE 9 Soit f la fonction définie sur R par f()= ( ) Étudier les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Donner le tableau des variations de la fonction f. c) En déduire le nombre de solutions de l équation f()=0. 3. Résoudre dans R l équation f() = 0. EXERCICE 0 Soit f la fonction définie sur [0;+ [ par : f()= On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. 0 C f PARTIE A. Étudier la limite de la fonction f en+.. Montrer que la droite d équation = est asmptote à la courbe C f en+. Tracer la droite 8 3. Résoudre l inéquation + 0,0. PARTIE B On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f ().. Étudier les variations de la fonction f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Représenter la tangente T sur le graphique. PARTIE C. Montrer que pour tout réel k positif, l équation f()=k admet une solution unique.. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième près du réel 0, solution de l équation f()=000. A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

41 Chapitre 4 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

42 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES MODÉLISATION PAR UNE FONCTION AFFINE Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre de milliers d emploi en France dans deu secteurs d activités «Industrie pharmaceutique» et «Activités financières et d assurance». Trimestres 008 T 008 T 008 T3 008 T4 009 T 009 T 009 T3 009 T4 Rang i du trimestre Industrie pharmaceutique 89, 89, ,5 88, 87,4 87, 86,8 Activités financières et d assurance 89,6 88,5 80,7 8 84,7 86,5 85, 86,8 On cherche à étudier de manière conjointe, l évolution de l emploi dans ces deu secteurs. On désigne par : i le nombre de milliers d emploi dans l industrie pharmaceutique, le trimestre de rang i. i le nombre de milliers d emploi du secteur «Activités financières et d assurance», le trimestre de rang i.. Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées ( i ; i ) , , , ,5. Le point moen du nuage est le point G(;) où est la moenne des i et est la moenne des i. Calculer les coordonnées du point G, le placer dans le repère précédent. PARTIE A : Ajustement affine du nuage des points par la droite de Maer Les points M i du nuage sont rangés dans l ordre croissant des abscisses : i 86,8 87, 87,4 88, 88, , 89,6 i 86,8 85, 86,5 84,7 8 80,7 89,6 88,5 N désigne le nuage correspondant au quatre premiers points et N le nuage correspondant au quatre derniers points.. Calculer les coordonnées du point moen G du nuage N et celles du point moen G du nuage N.. Donner une équation de la droite (G G ) (arrondir les coefficients à 0 près), et la tracer dans le repère précédent. 3. Vérifier que la droite(g G ) passe par le point moen G du nuage de points. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

43 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B : Un deuième ajustement affine du nuage des points. L objet de cette partie est d effectuer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Soit la droite d ajustement d équation =a+b. On note δ i l écart entre le point M i du nuage et le point M de même abscisse i i appartenant à la droite : δ i = i = i (a i + b) a i + b M i =a+b δ i M On cherche à déterminer une équation de la droite telle que la somme des résidus S= 8 i= [ i (a i + b)] soit minimale. O. a) Dans un premier temps, on suppose connu le coefficient directeur a de la droite, on développe chaque terme de la somme S sous la forme d un trinôme du second degré en b : i i [ i (a i + b)] =[( i a i ) b] =( i a i ) b ( i a i )+b 89, 89,6 (89,6 89,a) b (89,6 89,a)+b 89,6 88, ,7 88,5 8 88, 84,7 87,4 86,5 87, 85, 86,8 86,8 S= 8 i= [ i (a i + b)] S= 8 i= ( i a i ) b ( )+8b b) Montrer que la somme S est minimale pour b = 8,865 88,a. En déduire que le point moen G appartient à la droite.. a) En remplaçant b par 8,865 88,a, développer chaque terme de la somme S sous la forme d un trinôme du second degré en a. i i [ i (a i + b)] = ( i 8,865) ( i 88,) ( i 8,865) a+a ( i 88,) 89, 89,6 ( 3,65) (,9365) a+0,9 a 89,6 88, ,7 88,5 8 88, 84,7 87,4 86,5 87, 85, 86,8 86,8 S= 8 i= [ i (a i + b)] S= 8 i= ( i 8,865) a ( )+7,3a b) Montrer que la somme S est minimale pour a 3,06 (valeur arrondie au centième près). c) Donner une équation de la droite δ, la tracer dans le repère précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 43 i

44 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES I AJUSTEMENT AFFINE D UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES NUAGE DE POINTS On s intéresse à deu variables quantitatives discrètes sur une population. À chaque individu de cette population, on associe un couple ( i ; i ), où i est la valeur de la première variable et i la valeur de la seconde. L ensemble des couples ( i ; i ) forme une série statistique à deu variables. Soit ( i ; i ) une série statistique à deu variables. Dans le plan muni d un repère, l ensemble des points M i ( i ; i ) est appelé le nuage de points de la série statistique. Le point moen du nuage est le point G(;) où est la moenne des i et est la moenne des i. EXEMPLE Le graphique ci-dessous, présente le nombre de milliers d emploi dans le secteur «hébergement et restauration» (série i ) et dans la «construction» (série i ) en France entre le er trimestre 009 et le e trimestre 00. Le point G(868,7;350,4) est le point moen du nuage G AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS Lorsque les points M i ( i ; i ) sont approimativement alignés, on peut penser qu une relation du tpe =a+b «résume» correctement une corrélation entre les deu variables et δ G δ i =a+b δ n Or pour chaque valeur i observée, la valeur calculée correspondante =a i +b diffère de la valeur observée i d un écart résiduel δ i qui peut être positif ou négatif. On a donc pour chaque couple d observation i, la relation suivante : δ i = i (a i + b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 44