III. Les représentations graphiques en géométrie. III. Les représentations graphiques en géométrie. III. Les représentations graphiques en géométrie

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1 III. Les représentations graphiques en géométrie 2. Le «vu» et le «su» d une représentation graphique Bernard Parzysz et François Colmez (1993) ont étudié l évolution du conflit du dessinateur entre le vu et le su. Des élèves de toutes les classes depuis le CE2 jusqu à la 2nde ont représenté sur une feuille de papier uni, la pyramide «squelettique» posée sur le bureau de leur professeur, elle était régulière et à base carrée Les élèves dessinent la pyramide en partant de sa vue d ensemble, en partant d une face ou en partant de la base. Les étapes suivantes du dessin résultent de choix différents des dessinateurs. En conséquence, les résultats obtenus sont très différents. III. Les représentations graphiques en géométrie 2. Le «vu» et le «su» d une représentation graphique Les représentations obtenues permettent aux auteurs de dégager trois types de productions graphiques : des productions où le su est insuffisant car le dessin ne rend pas compte de la tridimensionnalité, elles sont présente au CE2 surtout ; des productions qui rendent compte du su de manière compatible avec le vu qui est premier, ces productions sont présentes du CM à la 3e ; des productions résultant d une reconstruction mentale de l objet, le vu est représenté de manière compatible avec le su qui est premier, elles apparaissent en classe de 3e III. Les représentations graphiques en géométrie 3. Figure et dessin, une distinction nécessaire en didactique Parzysz (1988) propose de distinguer les dessins des figures : le dessin est la trace matérielle sur la feuille de papier ; la figure renvoie à l objet théorique représenté. Exemple : les dessins suivants représentent tous la figure composée d un triangle ABC et la hauteur issue du sommet A. 27 III. Les représentations graphiques en géométrie 3. Figure et dessin, une distinction nécessaire en didactique Laborde & Capponi (1994) réinterprètent cette distinction en introduisant la notion de référent et du système {référent ; signifiant ; signifié}. Un dessin est une entité matérielle. Il est signifiant s il y a un référent (une théorie géométrique) et le signifié dépend du référent. Sans théorie géométrique de référence un dessin n est donc pas signifiant. Gobert (2007) illustre ce point de vue avec un Un prisme à base triangulaire Un triangle isocèle Une pyramide à base carrée Un cornet de glace renversé Un chapeau de clown Un triangle 28

2 III. Les représentations graphiques en géométrie 3. Figure et dessin, une distinction nécessaire en didactique Dans cette approche, le rapport construit par un sujet entre un dessin et un référent constituent le signifié. Le signifié dépend du référent et donc des connaissances du sujet. Cela peut conduire à des malentendus entre le professeur et des élèves: Alain Lerouge (2000) a montré que : - ce dessin est interprété par les professeurs comme deux droites sécantes ayant un point commun et un seul - de nombreux élèves perçoivent deux droites sécantes en plusieurs points, le nombre de points étant indéterminé car dépendant de l épaisseur des droites et de leur inclinaison Entre le professeur et des élèves, le référent change, le signifié aussi! 29 Didactique de la géométrie - C - Multiplicité des signifiants en géométrie et situations pour l'enseignement 30 Il s agit dans ce cours d aborder la question des signifiants en géométrie et dans l enseignement de la géométrie : les représentations graphiques ou langagières des objets de l espace ou des objets théoriques. 2. Reproduction de solides : un exemple 1. Généralités La reproduction (ou copie) s effectue à partir de différents matériaux ou supports et nécessite éventuellement des outils. Les objectifs visés sont que l élève observe le modèle à reproduire et en tire des propriétés utiles pour réaliser la copie. Ces propriétés peuvent être à découvrir ou à appliquer. La copie peut nécessiter la mise en œuvre de savoirs géométriques, eux-mêmes à découvrir ou à appliquer. Les élèves doivent choisir les pièces à utiliser. Ils doivent les dénombrer. Ils doivent les accrocher pour réaliser le solide. Le dodécaèdre en pièces «Polydron» 31 32

3 3. Reproduction de dessins Dessin simple Sur papier uni : l objectif majeur est l acquisition de compétences quant au repérage des propriétés et à leur réalisation grâce aux instruments géométriques. Mesurer un segment Reporter une longueur Tracer une ligne droite ou un cercle Tracer un angle droit etc. 3. Reproduction de dessins Dessin complexe Le dessin est composé de plusieurs figures géométriques de bases (segments parallèles ou perpendiculaires, triangles, rectangles, arcs de cercle, etc.) La copie est à effectuer avec certains instruments. L élève doit repérer les «sous-figures», leurs propriétés et leur organisation relative. Sur papier quadrillé : l objectif majeur est le repérage de la position des points sur les nœuds, il n y pas d autres instruments à utiliser que la règle et éventuellement le compas, ni à identifier les propriétés du dessin à reproduire Reproduction de dessins Dessin complexe L élève peut avoir à repérer des «sur-figures» pour réaliser la reproduction. Rappel : Le passage de l espace physique à l espace graphique met en concurrence le «vu» et le «su». En conséquence, il y a obligation pour le dessinateur d abandonner certaines propriétés «sues» de l objet et donc il y a nécessité de procédés conventionnels. Exemples : - les perspectives axonométriques ; - la perspective à points de fuite ; - le dessin technique ; - le développement des polyèdres

4 Perspectives axonométriques Les fuyantes sont parallèles Perspective à points de fuite (ou conique, ou euclidienne) Les fuyantes se rejoignent en des points appelés «points de fuite» qui sont alignés sur la «ligne d horizon». Perspective à points de fuite (ou conique, ou euclidienne) Les fuyantes se rejoignent en des points appelés «points de fuite» qui sont alignés sur la «ligne d horizon». 37 Le miracle de l'hostie, Paolo Uccello ( ) 38 Le dessin technique L objet à représenter est projeté sur r trois plans : le plan frontal, le plan horizontal et le plan de profil, les dessins obtenus sont appelés des «vues»

5 Exemple d exercice proposé en 5e en technologie : Nommer les quatre vues ci-dessous. Le développement des polyèdres Un développement, ou patron, d un polyèdre est une représentation plane de toutes les faces du polyèdre de telle sorte que chaque face soit reliée à une autre au moins par une arête commune, que l ensemble ainsi formé soit d un seul tenant et qu il puisse reconstituer le polyèdre par pliage uniquement Représentations langagières d un objet ou d un dessin La production d un texte représentant un objet de l espace physique ou un dessin (objet de l espace graphique) est une description. Les situations de description qui sont proposées aux élèves visent l acquisition du vocabulaire et des propriétés géométriques, ainsi que leur utilisation adéquate. L objectif de la description peut être de reconnaître l objet parmi un ensemble d objets ou de réaliser cet objet. 2. Représentations langagières d un objet ou d un dessin Décrire pour reconnaître L auteur de la description raisonne sur les propriétés qui différencient l objet qu il décrit des autres objets. S il s agit par exemple d une situation du type «émetteur récepteur» où l émetteur commande une pièce «Polydron» pentagonale à un récepteur, il suffira à l émetteur d indiquer que sa pièce possède cinq côtés

6 Situation «émetteur récepteur» L émetteur et le récepteur sont un élève, soit un groupe d élèves. L émetteur envoie un message (un texte ou un dessin) à propos d un objet de l espace physique ou de l espace géométrique pour que le récepteur puisse identifier ou construire l objet. Cette situation de communication vise la mise en place d un langage mathématique. La validation fait partie intégrante de l activité et s effectue par comparaison entre l objet à l origine du message et celui qui a été produit. La principale limite de la situation «émetteur récepteur» est que les élèves peuvent se comprendre alors même que les moyens qu ils utilisent pour communiquer ne sont pas suffisants. 2. Représentations langagières d un objet ou d un dessin Décrire pour construire La description doit être complète, elle porte sur : - les éléments ; - leurs dimensions ; - leur organisation relative. Elle comporte une chronologie de la construction pour permettre au destinataire de la description de procéder étape après étape Pour des élèves en fin de CM1. Dessine un quadrilatère et rédige un message permettant au récepteur de dessiner le même quadrilatère. Le dessin et le message de Rudy Pour des élèves en fin de CM1. Dessine un quadrilatère et rédige un message permettant au récepteur de dessiner le même quadrilatère. Le message de Rudy et le dessin de Jeremy