DS n o 12 Me

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1 DS n o 12 Me I Chauffage d une maison par pompe à chaleur [Agro 06] On étudie dans cette partie l utilisation d une pompe à chaleur pour maintenir constante la température à l intérieur d une maison. 1) On désire, dans un premier temps, évaluer les pertes thermiques à travers les ouvertures et les parois de la maison : on étudie l évolution de la température T(t) en fonction du temps, à l intérieur de la maison, lorsqu il n y a pas de chauffage, et que la température extérieure est égale à T 0 < T(t). À l instant t, la température à l intérieur de la maison est T. À l instant t+dt, elle vaut T +dt. La température extérieure est supposée constante égale à T 0 = 280 K. Le transfert thermique reçu par la maison pendant l intervalle de temps dt s écrit : δq = α.c.(t T 0 ).dt, où C est la capacité thermique de la maison et α une constante positive. 1.a) En appliquant le premier principe de la thermodynamique à la maison, établir l équation différentielle vérifiée par T. 1.b) À l instant initial t i = 0, la température de la maison est T i = 295 K. Exprimer la température T(t) de la maison à l instant t en fonction de T i, T 0, α et t. 2) Lorsque la pompe à chaleur fonctionne, elle maintient une température constante égale à T C = 295 K à l intérieur de la maison. Le transfert thermique reçu par la maison de la part de l atmosphère extérieure pendant l intervalle de temps dt s écrit alors : δq = α.c.(t C T 0 ).dt. Exprimer la puissance thermique P C que doit fournir la pompe à chaleur à la maison en fonction de α, C, T C et T 0. Calculer numériquement P C. On donne C = 10 7 J.K 1 et α = 10 4 s 1. Dans la suite, afin de compenser des pertes thermiques supplémentaires, on supposera que la puissance thermique à fournir par la pompe à chaleur vaut P C = 20 kw. La pompe à chaleur fonctionne entre deux sources : la source chaude, constituée de l intérieur de la maison à la température T C = 295 K; la source froide, constituée de l extérieur à la température T F = 280 K. Le fluide qui circule à l intérieur de la pompe à chaleur reçoit, au cours d un cycle : les transferts thermiques Q C et Q F de la part respectivement des sources chaude et froide; le travail mécanique W de la part d un système mécanique (compresseur). 3) On suppose, dans un premier temps, que la pompe à chaleur fonctionne de manière réversible. 3.a) Décrire et nommer le cycle ditherme idéal qui fonctionne de manière réversible entre les deux sources précitées. On décrira les différentes transformations de ce cycle et on tracera son allure dans le diagramme de Watt P = P(V). On précisera le sens de parcours du cycle. 3.b) Écrire les relations, déduites des premier et deuxième principes de la thermodynamique au cours du cycle, liant tout ou partie des variables suivantes : W, Q C, Q F, T C, T F. 3.c) On définit l efficacité thermodynamique de la pompe à chaleur comme e th = Q C W. Dans le cas du cycle réversible étudié, exprimer l efficacité correspondante e th,c en fonction de T F et de T C. Quelle particularité présente cette valeur de l efficacité? Application numérique : calculer e th,c. 3.d) La puissance thermique que doit fournir la pompe à chaleur à la maison est P C. Exprimer la puissance mécanique P M que doit fournir le compresseur en fonction de P C et e th,c. Calculer sa valeur numérique. 3.e) Exprimer les entropies échangées és C et és F par le fluide respectivement avec la source chaude et la source froide, en fonction de Q C, Q F, T C et (ou) T F.

2 DSn o 12 Me 16/05/12 é Exprimer le rapport k = SF é en fonction de Q C, Q F, T C et T F. S C Thermodynamique PTSI Quelle est la valeur particulière que prend k pour un fonctionnement réversible de la pompe à chaleur? 4) On suppose maintenant que la pompe à chaleur ne fonctionne plus de manière réversible. é On considère alors que le rapport k = SF é ne prend plus la valeur particulière obtenue à la S C question 3.e). 4.a) Exprimer l efficacité e th de la pompe à chaleur en fonction de k, T F et T C. Vérifier votre expression, sachant que pour k = 0,79, on doit obtenir e th = 4,0. 4.b) Montrer que 0 k 1. Indiquer à quels cas correspondent les valeurs extrêmes de k. 4.c) Exprimer l entropie produite (créée) p S au cours d un cycle en fonction de Q C, T C et k. Vérifier le signe de p S. 4.d) Calculer la puissance mécanique P M que doit fournir le compresseur pour la pompe à chaleur étudiée, avec P C = 20 kw et k = 0,79 (donc e th = 4,0). Comparer P M à P M et conclure. II Générateur à turbine à gaz [e3a 11] Le schéma simplifié du générateur à turbine est représenté ci-dessous : L énergie thermique est fournie dans la chambre de combustion et l énergie mécanique est récupérée sur l arbre de transmission de la turbine pour entraîner le compresseur et actionner l alternateur. Les éléments de la turbine à gaz (compresseur, chambre de combustion, turbine, échangeurs thermiques) traversés par le fluide en écoulement sont des systèmes ouverts. A / Premier principe pour un système ouvert Les hypothèses suivantes seront adoptées tout au long du problème : le régime de fonctionnement de la machine est permanent; les variations d énergie cinétique et d énergie potentielle de pesanteur du fluide traversant chaque partie du dispositif sont négligeables devant les autres formes d énergie. Schéma de principe : Le volume de contrôle A BCD définit le système machine ouvert Σ 0. La masse de fluide gazeux contenue dans ce volume est notée m 0 (t) à la date t et m 0 (t + dt) à la date t + dt. Le fluide s écoule du réservoir de pression P e au réservoir de pression P s (P e > P s ) : pendant la durée dt, 2

3 PTSI Thermodynamique Me 16/05/12 DSn o 12 une masse δm e (contenue dans le volume AA D D) entre par l ouverture de section S e et une quantité de matière de masse δm s (contenue dans le volume BB C C) sort par l ouverture de section S s. Le système fermé Σ considéré pour cette étude occupe à l instant t le volume ABCD puis à l instant t+dt le volume A B C D. Pour les fluides entrant et sortant, u, h et v désignent respectivement l énergie interne massique, l enthalpie massique et le volume massique du fluide. L indice «e» est relatif aux grandeurs d entrée du secteur AA D D et l indice «s» aux grandeurs de sortie du secteur BB C C. Les grandeurs d échange massiques entre ce système et le milieu extérieur sont : le transfert thermique massique q; le travail massique d écoulement ou de transvasement w p = w amont +w aval qui est exercé par les forces pressantes à l entrée et à la sortie de la machine; le travail massique utile w u fourni à l intérieur de la machine par des pièces mobiles (ailettes ou pistons). 1) Établir un bilan de masse pour le système Σ entre les instants t et t+dt. En déduire une relation simple entre δm s et δm e. 2) Déterminer en fonction de P e, P s, v e et v s le travail massique de transvasement w p exercé par les forces de pression sur le système Σ entre les instants t et t+dt. 3) En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système Σ entre les instants t et t+dt, montrer que : h s h e = w u +q. B / Cycle de Brayton idéal Le fluide utilisé dans les générateurs à turbine à gaz est l air atmosphérique. Les étapes successives du cycle de Brayton réversible décrit par l air sont les suivantes : 1 2 : l air atmosphérique s engage en {1} dans le compresseur où il est comprimé de façon isentropique. 2 3 : l air frais est ensuite admis dans la chambre de combustion où le gaz naturel est injecté et s enflamme. Le fluide est porté à des températures très élevées de façon isobare, sans apport de travail. Sa composition n est pas modifiée. 3 4 : le gaz chaud subit dans la turbine une détente isentropique. Cette détente est utilisée pour produire un travail mécanique dont une partie sert à faire fonctionner le compresseur alors que l autre actionne l alternateur. A la sortie {4} de la turbine, les gaz d échappement sont évacués vers l atmosphère. 4 1 : le gaz chaud qui s échappe subit un refroidissement sans apport de travail au contact de la source froide (l air atmosphérique). Le transfert thermique est isobare. La puissance fournie par la turbine est modulée grâce au débit d air envoyé dans le compresseur à l entrée {1} du dispositif et à la quantité de gaz naturel injecté dans la chambre de combustion. L air atmosphérique, le mélange initial air-gaz naturel et les gaz brûlés d échappement sont assimilés à un même gaz parfait. Le rapport de ses capacités thermiques à pression et volume constants est supposé constant et égal à : γ = 1,4. Sa capacité thermique massique à pression constante est : c P = 1 kj.kg 1.K 1. Le cycle de Brayton est représenté ci-contre dans le diagramme entropique, où T est la température du gaz et s son entropie massique. T 1 = 300 K P 2 = 10 bar T 3 = 1300 K P 1 = 1 bar On pose pour simplifier : λ = ( P2 P 1 )γ 1 γ et τ = T 3 T 1 3

4 DSn o 12 Me 16/05/12 Thermodynamique PTSI L air est aspiré dans le compresseur à la pression P 1 = 1 bar et à la température T 1 = 300 K pour y être comprimé à la pression P 2 = 10 bar. 4) Démontrer la loi de Laplace relative au couple (P, T) en précisant ses conditions d utilisation. 5) En déduire T 2 et T 4 en fonction de λ, τ et T 1. Effectuer les applications numériques pour λ, τ, T 2 et T 4. 6) Exprimer puis calculer le travail massique de compression w 12 absorbé par le gaz (fourni au gaz par le compresseur) au cours de la transformation adiabatique 1 2, en fonction de c P, T 1 et λ. 7) À l issue de la combustion (étape 2 3), la chambre fournit au gaz une énergie thermique massique de combustion q 23 qui amène la température de celui-ci à la valeur T 3 = 1300 K. Exprimer q 23 en fonction de c P, T 1, λ et τ. Réaliser l application numérique. 8) Exprimer puis calculer le travail massique w T récupéré par la turbine (fourni à la turbine par le gaz) au cours de la transformation 3 4, en fonction de c P, λ, T 1 et τ. Le travail w C fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré au gaz par le compresseur au cours de la transformation 1 2 : w C = w 12. 9) Écrire le travail utile w a fourni par la turbine pour actionner l alternateur, puis l exprimer en fonction de c P, λ, T 1 et τ ; effectuer l application numérique. Pour quelle valeur λ max de λ (fonction de τ) ce travail w a est-il maximal? Comparer la valeur numérique de λ max à la valeur numérique de λ adoptée pour la turbine. 10) Calculer le rapport R = w C w a qui évalue la répartition entre le travail utile w C que fournit la turbine au compresseur et le travail utile w a qu elle fournit à l alternateur. Commenter. 11) Définir le rendement thermique η du générateur à turbine et l exprimer en fonction du paramètre λ. Calculer η pour le travail w a fourni par la turbine à l alternateur et le comparer à celui d un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes. 12) Exprimer puis calculer le transfert thermique massique q 41 reçu par le gaz au cours de la phase d échappement 4 1, en fonction de c P, λ, T 1 et τ. Cette énergie thermique est-elle une énergie récupérable? Commenter. C / Cycle de Brayton réel En réalité, des phénomènes irréversibles tant au niveau du compresseur qu au niveau de la turbine se produisent et des chutes de pression apparaissent dans les conduits et dans la chambre de combustion. Le cycle réel décrit par la turbine diffère alors du cycle idéal décrit précédemment. Il est représenté dans le diagramme entropique par le cycle comme schématisé ci-dessous : Les irréversibilités dans le compresseur et dans la turbine sont prises en compte grâce aux rendements isentropiques : η C = h 2 h 1 h 2 h 1 = 0,80 et η T = h 4 h 3 h 4 h 3 = 0, et 3 4 : adiabatiques irréversibles 2 3 et 4 1 : isobares 13) Déterminer la température réelle de sortie du compresseur T 2, puis la température réelle à la sortie de la turbine T 4, en fonction de λ, T 1, τ, η C et η T. Applications numériques. 14) Exprimerpuiscalculerletravailmassiquedecompressionw 12 absorbéparlegazenfonction de c P, T 1, λ et η C. 4

5 PTSI Thermodynamique Me 16/05/12 DSn o 12 15) Déterminer l énergie thermique massique de la combustion réelle q 2 3, puis le travail réel w T récupéré par la turbine au cours de la transformation 3 4, en fonction de c P, λ, T 1, τ, η C et η T. Applications numériques. 16) Le travail w C fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré au gaz par le compresseur au cours de la transformation 1 2. Déterminer, en fonction de c P, λ, T 1, τ, η C et η T, le travail utile w a fourni par la turbine pour actionner l alternateur. Application numérique. Pour quelle valeur λ max de λ (fonction de τ, η C et η T ), ce travail w a est-il maximal? Comparer la valeur numérique de λ max à la valeur numérique de λ adoptée pour la turbine. 17) Calculer le rapport R = w C w a qui évalue la répartition entre le travail w C = w 12 que fournit la turbine pour actionner le compresseur et le travail w a qu elle destine à la rotation de l alternateur. Calculer le rendement thermique η du générateur à turbine pour le cycle réel. Comparer R au rapport idéal R et η au rendement η du cycle théorique. Commenter. III Moteur de Diesel [d après ICNA 06 & 10] Dans le fonctionnement d un moteur de Diesel, tout se passe comme si un système fermé constitué de masse m correspondant à n moles de gaz parfait décrivait le cycle ABCDA. Les étapes successives du cycle sont les suivantes : A B : compression adiabatique réversible du gaz; B C : détente isobare du gaz se produisant lors de la combustion du carburant; C D : détente adiabatique réversible du gaz; D A : refroidissement isochore du gaz. Le gaz parfait est diatomique (γ = 1,4), de masse molaire M et de constante massique : r = R M = 287 J.kg 1.K 1. On pose : α = V A V B (taux de compression) et β = V A V C (rapport de détente) Données : P A = 10 5 Pa ; T A = 300 K ; T B = 1015 K ; V A = 2,50 L ; V C = 0,53 L 1) Représenter le cycle de Diesel dans le diagramme de Watt (diagramme de «Clapeyron»). 2) Calculer la masse m d air qui subit le cycle. 3) Calculer (avec trois chiffres significatifs) la pression P B (en Pa) et le volume V B (en L) dans l état {B}. 4) Définir le rendement ρ du moteur de Diesel. Démontrer que ce rendement peut s écrire sous la forme : Effectuer l application numérique. ρ = 1 1 γ.α γ β γ α 1 β 1 On suppose que, sur D A, l air échange au contact de l atmosphère (considéré alors comme une source à température constante égale à T A ) au cours d une transformation isochore. 6) Exprimer la variation d entropie S DA en fonction de m, r, γ, T D et T A. 7) Exprimer l entropie d échange é S DA en fonction de m, r, γ, T D et T A. 8) En déduire l entropie produite p S DA en fonction de m, r, γ, T D et T A. Effectuer l application numérique sachant que T D = 2436 K. Commentaire. 5

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