L unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l échelle 1. Ne pas reproduire la figure. T

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1 UN PROLÈME GEOMETRIQUE L unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l échelle 1. Ne pas reproduire 2 la figure. T S (C ) R H + M Partie Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10. Soit T un point de (C) tel que RT = Démontrer que RMT est un triangle rectangle. 2. Démontrer que TM = 8. Partie Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM). On pose RS= x. 1. Donner un encadrement de x. 2. Démontrer que RH= 5 3 x et SH= 4 3 x. 3. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle RSH. 4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : x. Partie C On considère les fonctions affines f et g telles que : 1. Calculer f (0), f (6), g (0) et g (6). f : x 4x et g : x x. 2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement f et g dans un repère orthonormé origine du repère en bas à gauche de la feuille de papier millimétré ; unité le cm. 3. a. Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle f (x) = g (x). b. Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires. 4. Que représente la solution de l équation f (x) = g (x) pour la partie de ce problème? Lycée Claude Monet

2 VOTE PR SMS La chaîne de télévision France Direct I décide d organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l envoi de mini- messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s associer à trois sociétés de téléphone. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là : Société Pamplemousse : un forfait de 9 et 0,15 par SMS ; Société Triangle vert : 0,30 par SMS ; Société rique Mobile : 21 pour un nombre de SMS illimité. 1. Le temps de vote est fixé à 30 minutes. Sachant qu il faut 15 secondes pour écrire un SMS et l envoyer, combien de messages au maximum pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote? 2. On suppose qu un téléspectateur envoie 50 SMS pendant le temps de vote. Compléter le tableau suivant : Société Pamplemousse Triangle Vert rique Mobile Coût, en euros, pour 50 SMS 3. Ou appelle x le sombre de SMS envoyés par un téléspectateur. On note P(x) le coût pour x SMS s il choisit la société Pamplemousse, T (x) le coût pour x SMS s il choisit la société Triangle vert et (x) le coût pour x SMS s il choisit la société rique Mobile. Exprimer P(x), T (x) et (x) en fonction de x. 4. Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes : sur l axe des abscisses, 1 cm représente 10 SMS ; sur l axe des ordonnées 1 cm représente 3. On placera l origine du repère en bas à gauche de la feuille. Tracer les représentations graphiques des fonctions f, g et h définies, pour tout nombre x, par : f (x)=0,15x+ 9 ; g (x)=0,30x et h(x)= Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires. a. À partir de combien de SMS, la proposition de la société rique Mobile devient-elle intéressante? b. Les parents d rthur lui donnent 15 pour la soirée. Étant un fan de DJ Carmen, rthur veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée. Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra envoyer. 6. Le vote est terminé, les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats SMS ont été reçus. DJ Carmen l emporte avec 60 % des voix. Donner une valeur arrondie à l unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen. Lycée Claude Monet

3 LE CONFISEUR Un confiseur utilise une boîte de forme nouvelle pour emballer des dragées. Cette boîte a la forme d un solide SCDEFGH à neuf faces, qui se compose d un cube d arête 4 cm et d une pyramide régulière SCD de sommet S. On note O le centre du carré CD et I le milieu du segment [C]. (La pyramide SCD étant régulière, on rappelle que S = S = SC = SD et que [SO] est sa hauteur.) Partie Dans cette partie on pose SO = 2 cm. 1. On admet que le triangle SOI est rectangle en O. a. Quelle est la longueur du segment [OI]? S b. Démontrer alors que SI= 2 2 cm. 2. Calcul de l aire de la boite. D a. Justifier que (SI] est perpendiculaire à [C]. b. En déduire la valeur exacte de l aire du triangle SC, puis la valeur exacte de l aire des faces latérales de la pyramide SCD H O I C c. Calculer la valeur exacte de l aire totale des faces du solide SCDEFGH, puis en donner un arrondi au centième. E F G Partie Dans cette partie, on note x la longueur SO, exprimée en centimètres. 1. Montrer que le volume V du solide SCDEFGH vérifie l égalité V = 16 x On note f la fonction affine définie par f (x)= 16 x Représenter la fonction f pour x compris entre 0 et 4,5 cm dans un repère orthogonal. On prendra pour unités 4 cm sur l axe des abscisses et 2 mm sur l axe des ordonnées. Prendre l origine du repère en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré. 3. Le confiseur souhaite que le volume de sa boîte soit au moins égal à 80 cm 3. En utilisant la représentation graphique de la fonction f déterminer à partir de quelle valeur de x cette condition est remplie. 4. Retrouver le résultat précédent par le calcul. Lycée Claude Monet

4 LE RESERVOIR On transfère le pétrole contenu dans un réservoir vers un réservoir à l aide d une pompe. près démarrage de la pompe, on constate que la hauteur de pétrole dans le réservoir augmente de 3 cm par minute. Le réservoir est vide au départ. 1. Remplissage du réservoir a. Recopier et compléter le tableau suivant : Temps (en min) Hauteur du pétrole dans le réservoir (en cm) 0 60 b. On appelle x le temps (en minutes) de fonctionnement de la pompe et f (x) la hauteur du pétrole (en cm) dans le réservoir. Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction f : x 2x x 3x+ 20 x 3x? c. Représenter graphiquement la fonction f pour x variant de 0 à 40. Les unités : en abscisses 2 cm représenteront 5 minutes, en ordonnées 1 cm représentera une hauteur de 10 cm de pétrole dans la cuve. d. Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour obtenir une hauteur de pétrole de 105 cm dans le réservoir. On fera apparaître les tracés sur le graphique. 2. Vidage du réservoir Sur le graphique précédent, le segment tracé représente la hauteur (en centimètre) de pétrole dans la cuve en fonction du temps (en minute). a. Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le graphique précédent Temps (en min) Hauteur du pétrole dans le réservoir (en cm) b. On appelle x le temps (en minutes) de fonctionnement de la pompe et g (x) la hauteur du pétrole (en cm) dans le réservoir. Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction g : x 4x x 3x+ 20 x 5x+ 200? c. Déterminer par le calcul le temps au bout duquel les hauteurs de pétrole dans les cuves et sont égales. d. Expliquer continent on peut retrouver graphiquement ce dernier résultat. Lycée Claude Monet

5 CLCUL D IRES PREMIÈRE PRTIE Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle CD de largeur = 9 cm et de longueur C = 12 cm. 12 cm C 9 cm 15 cm 4 cm D 1. Déterminer l aire du triangle CD. 2. Calculer C. DEUXIÈME PRTIE Les distances sont exprimées en cm et les aires en cm 2. E est le point du segment [D] tel que E = 4 et F est un point de [CD]. 1. On suppose que CF = 3. Les droites (EF) et (C) sont-elles parallèles? Justifier la réponse. Dans la suite du problème, on pose CF = x. 2. Montrer que l aire du triangle EFD est 36 4x. 3. Pour quelle valeur de x l aire du triangle EFD est-elle égale à 24 cm 2? 4. Exprimer l aire du quadrilatère CFE en fonction de x. 5. Le plan est muni d un repère orthogonal. Les unités choisies seront les suivantes : sur l axe des abscisses, 1 cm représentera 1 unité ; sur l axe des ordonnées, 1 cm représentera 5 unités. Représenter sur du papier millimétré la fonction affine f : x 18+4x. 6. Retrouver sur le graphique la réponse à la question 3 (laisser apparents les traits de construction). TROISIÈME PRTIE On suppose que la largeur réelle du terrain est de 27 m. 1. Déterminer l échelle du plan. 2. Calculer l aire du terrain ( en m 2). Lycée Claude Monet

6 L PISCINE La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d un prisme droit dont la base CD est un trapèze rectangle. On donne : = 14 m, E = 5 m D = 1,80 m, C = 0,80 m. E F G H C D 1. Montrer que le volume de cette piscine est 91 m la fin de l été, M. Dujardin vide sa piscine à l aide d une pompe dont le débit est 5 m 3 par heure. a. Calculer le nombre de m 3 d eau restant dans la piscine au bout de 5 heures. b. On admet que le nombre de m 3 d eau restant dans la piscine au bout de x heures est donné par la fonction affine f définie par : f (x)=91 5x Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal dont les unités sont : en abscisse, 1 cm pour 1 heure et en ordonnée, 1 cm pour 5 m 3. c. Par lecture graphique, déterminer le nombre d heures nécessaires pour qu il ne reste que 56 m 3 d eau dans cette piscine et celui pour vider complètement la piscine. d. Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes. 3. Pour qu il ne reste que 56 m 3 d eau dans cette piscine, M. Dujardin aurait pu attendre que l eau s évapore sous l action du soleil. Mais cela aurait pris beaucoup de temps puisque par évaporation le volume ne baisse que de 5 % par semaine (et encore s il fait toujours beau!). eaucoup de temps, mais combien de semaines exactement? Lycée Claude Monet