Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION

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1 Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION Les doées se présetet sous la forme d ue suite de couples de valeurs umériques(x i, y i ), umérotés de à i =. O ote m x, s x ², m y, s y ² les moyees et les variaces des séries (x i ) et (y i ). Il s agit doc de doées quatitatives. 1. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES. 1.1 Covetios élémetaires. L origie du repère est fixée au poit moye oté G caractérisat les moyees m x et m y ; les axes défiisset quatre quadrats de la faço suivate : 1.2 Tableau de corrélatio. Représetatio graphique des couples (x i, y i ) E abscisse : x i, e ordoées : y i Défiitio : o appelle tableau de corrélatio des couples (x i, y i ),, le tableau d effectifs obteu par répartitio des uités statistiques das des itervalles fixés pour chaque série (x i ),, et (y i ),. Représetatio d u tableau de corrélatio : chaque couple (c k, d l ) d effectif k,l est représeté par u disque dot l aire est proportioelle à l effectif et le rayo défii par : r = l [ k,l / ] 1/2 où l est la plus petite dimesio du rectagle coteat le graphique.

2 Chapitre 3 page 2 Régressio corrélatio 1.3 Autres procédures. axes orthoormés (variables cetrées réduites ou homogèes) ; échelle (semi) logarithmique (e cas de croissace expoetielle) 2. COEFFICIENT DE CORRÉLATION LINÉAIRE 2.1 Covariace. Les quatre quadrats défiis par les axes cotieet des uités statistiques telles que : quadrat I : (x m x ) (y m y ) > 0 quadrat II : (x m x ) (y m y ) < 0 quadrat III : (x m x ) (y m y ) > 0 quadrat IV : (x m x ) (y m y ) < 0 Défiitio : o appelle covariace cov(x,y) de la série (x i, y i ) la moyee des produits de la forme (x i m x ) (y i m y ) : 1 cov(x,y) = Σ ( x i m x )( y i m y ) Propriété : la covariace est égale à la moyee des produits mois le produit des moyees. 1 cov(x,y) = Σ x i y i m x m y Cas d u tableau de corrélatio : 1 p q cov (c,d) = k,l (c k m c ) (d l m d ) k = 1 l = 1 1 p q cov (c,d) = k,l c k d l m d m c k = 1 l = Coefficiet de corrélatio liéaire. Défiitio : o appelle coefficiet de corrélatio liéaire des séries (x i, y i ) la covariace des séries cetrées réduites (x i, y i ). Propriété immédiate : il est idépedat des uités de mesure des variables (x i ) et (y i ). Formule : le coefficiet de corrélatio liéaire est égal à : r(x,y) = cov(x,y)/ [s x s y ]

3 Chapitre 3 page 3 Régressio corrélatio Défiitios : O appelle poit aberrat das la liaiso etre deux variables statistiques u poit qui est e cotradictio flagrate avec la liaiso costatée sur les autres observatios. Sa suppressio accetue cette liaiso. O appelle poit ifluet das la liaiso etre deux variables statistiques u poit qui accetue la liaiso costatée sur les autres observatios. Sa suppressio dimiue cette liaiso. 3. PROPRIÉTÉS DU COEFFICIENT DE CORRÉLATION. 3.1 Propriétés mathématiques du coefficiet de corrélatio liéaire. Propriété fodametale : le coefficiet de corrélatio liéaire d ue série de couples d observatios (x i, y i ) i =1,, est compris etre -1 et 1. S il est égal à ±1, les couples (x i, y i ),, vérifiet exactemet ue relatio liéaire de la forme : quel que soit,, a x i + b y i + c = 0 où a et b sot deux ombres réels costats et les poits qui les représetet sot strictemet aligés. 3.2 Iterprétatio du coefficiet de corrélatio. Liaiso liéaire. Plus il est proche de 1 ou de -1, plus les poits sot proches d ue droite. o peut obteir des coefficiets de corrélatio très proches de 1 (0.95) sur des doées o liéaires (par exemple, des doées de la forme y = e x ). o peut obteir des coefficiets de corrélatio uls sur des doées liées par ue relatio o liéaire exacte (cf. l exemple doé plus loi). ue relatio statistique e motre jamais de relatio causale etre deux variables.

4 Chapitre 3 page 4 Régressio corrélatio 3.3 Variatio du coefficiet de corrélatio autour de 0 (répartitios ormales) : valeur limite valeur limite valeur limite Matrices de corrélatio. Valeurs limites das le cas de lois ormales O cosidère des doées costituées des observatios de p séries statistiques X 1, X 2,, X p. O peut doc calculer les coefficiets de corrélatio etre les séries X 1 et X 2, X 1 et X 3, X 1 et X 4,, X 1 et X p. X 2 et X 3, X 2 et X 4, X 2 et X 5,, X 2 et X p. X 3 et X 4, X 3 et X 5,, X 3 et X p. Exemple : âge reveu achats b. efats âge reveu achat b. efats Coefficiet de corrélatio etre l âge et le reveu : Coefficiet de corrélatio etre l âge et le motat des achats : Coefficiet de corrélatio etre le reveu et le motat des achats : etc.

5 Chapitre 3 page 5 Régressio corrélatio 4. DROITE DE RÉGRESSION. 4.1 Critère des moidres carrés. Figure 8.3 : Critère des moidres carrés origie des axes e (m x, m y ) Critère des moidres carrés : Pour que chaque valeur y i soit la plus proche possible de l ordoée b x i + a du poit d abscisse x i de la droite, o miimise la somme des carrés des différeces : S = Σ [ y i (b x i + a) ]2 4.2 Estimatio des coefficiets de régressio. Résidus. Défiitio : o appelle droite de régressio de Y e X calculée sur les couples (x i, y i ),, la droite d équatio la plus proche des poits de coordoées (x i, y i ) au ses des moidres carrés. Théorème et défiitio : les coefficiets b et a de la droite de régressio sot appelés coefficiets de régressio. Ils sot doés par les formules ci-dessous : b = cov(x, y) / s x 2 = r s y / s x a = m y b m x Coséquece importate : la droite de régressio toujours passe par le poit moye : pour x = m x, o obtiet y = m y. Défiitio : o appelle résidu e i le terme défii par la différece etre la valeur observée y i et l ordoée du poit de la droite de régressio d abscisse x i, pour,. e i = y i (b x i + a),

6 Chapitre 3 page 6 Régressio corrélatio propriétés des résidus : 1 Σ e i = 0 1 Σ e i2 = (1 r 2 ) s y 2 1 Σ x i e i = Exemple : régressio des reveus e foctio de l âge des cliets d Euromarket. équatio de la droite de régressio y = x âge coefficiet de corrélatio liéaire r = variace des résidus s 2 = écart type des résidus s = Les valeurs du reveu estimé pour 55 as et 65 as sot doées par l équatio de la droite : âge calcul de l estimatio estimatio 55 y = x = y = x = résidus calcul valeurs e 1 = x = = e 8 = x = = e 10 = x = = Figure 9.3 : représetatio graphique des couples (âge, reveu) Droite de régressio et prévisio du reveu pour 55 as. Les trois poits aberrats correspodet aux trois persoes les plus âgées (plus de 60 as), dot les reveus sot parmi les plus faibles. La prévisio est cotestable puisque la liaiso est pas liéaire. Ces trois persoes sot des retraités : o peut doc effectuer la régressio e les écartat des doées : o e cosidère alors que les persoes e activité. La droite de régressio est modifiée et la prévisio ettemet meilleure. Par cotre, cette prévisio e peut être effectuée que pour les persoes e activité, de mois de 60 as sur ces doées.

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