Feuille d exercices n o 1 Révisions de topologie et d analyse fonctionnelle

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1 Distributios-Aalyse foctioelle 1 Maîtrise de Mathématiques Feuille d exercices o 1 Révisios de topologie et d aalyse foctioelle 1. Quelle est la différece etre C(Ω), C(Ω) et C(Ω)? 2. Soit H u espace préhilbertie (i.e. mui d ue forme biliéaire, symétrique défiie positive (, ) mais pas écessairemet complet). (a) Motrer que le dual H de H est complet. (b) Soit σ l applicatio de H das H défiie par σ(u), v = (u, v) pour tous u et v de H. Motrer que σ est ue isométrie de H sur H et que R(σ) est dese das H (o pourra trasporter sur R(σ) le produit scalaire de H, puis le prologer à R(σ) et appliquer esuite le théorème de représetatio de Riesz. (c) E déduire que H peut être idetifié à u sous-espace dese d u espace de Hilbert H. 3. Motrer que le dual E d u espace vectoriel ormé E, mui de la orme est toujours u Baach. x E = 4. Iégalités de Youg et de Hölder. Démotrer l iégalité de Youg : sup x (x), x E 1 a, b > 0, p, q N tels que 1 p + 1 q ap = 1, ab p + bq q E déduire l iégalité de Hölder : f L p, g L q fg 1 f p g q 5. O désige par E u espace de Baach, par [a, b] u itervalle compact de R et par E p l espace des applicatios de classe C p de [a, b] das E, ormé par u p = sup a t b k=0 p u (k) (t). Pour chaque valeur de p et chaque t das [a, b], l applicatio de E p das E défiie par u u(t) sera désigée par L p (t). (a) Motrer que pour tout p 0, L p (t) est u élémet de L(E p, E).

2 Distributios-Aalyse foctioelle 2 (b) Motrer que l applicatio t L o (t) est cotiue e aucu poit de [a, b]. (c) Motrer que l applicatio t L p (t) est cotiue pour p O ote l p l esemble des suites (x ) 0 de ombres complexes telles que la série x p 0 soit covergete, pour p 1. O ote l l esemble des suites (x ) 0 de ombres complexes borées. O muit ces espaces des ormes usuelles p et. Motrer que l 1 et l 2 sot des sous-espaces vectoriels de l mais pas des sous-espaces vectoriels ormés. 7. Sur E = C([0, 1], R) soiet les deux ormes : f 1 = 1 0 f(x) dx et f = sup f(x). x [0,1] (a) Motrer que f 1 f pour tout f de E et que toute suite de Cauchy (resp. covergete) pour est de Cauchy (resp. covergete ) pour 1. (b) Pour 0, soit f : t t, f E. Calculer f 1 et f et e coclure qu il existe pas de ombre b 0 tel que f b f 1 pour tout f de E. (c) Motrer que (E, ) est u espace de Baach. 1 (d) Pour 1 soit f (t) = mi{, }. Motrer que t f +p f 1 1, et que (f ) 0 est ue suite de Cauchy pour 1. Si elle covergeait vers ue foctio f E o aurait f(t) = 1, t ]0, 1]. Coclure à ue absurdité. t 8. l mui de la orme l 2 est-il u Baach?

3 Distributios-Aalyse foctioelle 3 Feuille d exercices o 2 1. Parmi les applicatios T : D(R) R, détermier celles qui défiisset des distributios sur R: (a) T (ϕ) = (ϕ(0)) 2 (b) T (ϕ) = (c) T (ϕ) = (d) T (ϕ) = sup t R (e) T (ϕ) = (f) T (ϕ) = lim ϕ(t) dt ϕ (k) (t) dt, où k N ϕ(t) + + ν=0 ϕ( 1 µ ) ϕ(0) ϕ (0) l µ=1 ϕ (ν) (0) et T (ϕ) = + ν=0 ϕ (ν) (ν) 2. Motrer que l applicatio T : D(R) R, défiie par, T (ϕ) = d ordre 0 sur R. Motrer que T (ϕ) = + + ν=0 ϕ(x, x) dx est ue distributio d ordre 0 sur R Motrer que l applicatio T : D(R) R, défiie par, T (ϕ) = distributio d ordre 1 sur R. Motrer que l applicatio T : D(R) R, défiie par T (ϕ) = + =1 est ue distributio d ordre 2 sur R. 4. Distributios parties fiies (ϕ( 1 ) + ϕ( 1 ) 2ϕ(0)) + =1 ϕ() est ue distributio 1 (ϕ( 1 ) ϕ(0)) est ue Motrer que les applicatios T : D(R) R suivates défiisset des distributios: (a) vp( 1 x ) = lim ϕ(x) dx ( Valeur pricipale de CAUCHY) ε 0 x (b) Pf( 1 x 2 ) = lim ε 0 x ε [ x ε (c) Pf( H [ + x 2 ) = lim ε 0 ε SIDE. ϕ(x) x 2 ϕ(x) x 2 ] dx 2 ϕ(0) (Partie fiie de HADAMARD) ε dx ϕ(0) ε ] + ϕ (0) l ε où H est la foctiode HEAVI-

4 Distributios-Aalyse foctioelle 4 5. Soit ϕ D(R). Motrer que ϕ(x) = ϕ(0) + x E déduire que si ϕ(0) = 0, alors la foctio ϕ(x) ψ(x) = x ϕ (0) 1 0 ϕ (tx) dt. si x 0 sio est das D(R). Das la suite ψ désigera toujours ce prologemet de la foctio ϕ(x) à x R. Motrer que si (ϕ ) est ue suite de D(R) qui ted vers 0 das D(R) et si ϕ (0) = 0 pour tout, alors so prologemet (ψ ) ) ted vers 0 das D(R). 6. O pose, pour tout ϕ D(R), T (ϕ) = ϕ () (); =0 (a) Motrer que T est ue distributio sur R. (b) Soit p N, motrer qu il existe ue foctio ϕ D(R) telle que ϕ(0) = ϕ (0) = = ϕ (p 1) (O) = 0, ϕ (p) (O) = 1. (c) Soit ϕ D(R) telle que supp(ϕ) ] 1 2, 1 2 [ et ϕ(p) (O) = 1. Pour k N o pose, ϕ k (x) = k p+ 1 2 ϕ(kx). Etudier la covergece uiforme de ( ϕ (j) k ) k pour 0 j p. (d) Motrer que T est pas ue distributio d ordre fii. 7. (a) Motrer que si ϕ D(R), alors la suite (ϕ ) défiie par ted vers 0 das D(R). ϕ (x) = exp( )ϕ(x) (b) Motrer qu il existe ue suite (ϕ ) de D(R) qui coverge vers 0 das D(R) et telle que pout tout, supp(ϕ ) R et exp( 1 x 2 )ϕ (x) dx = +. lim R (c) Existe-t il ue distributio T D (R) dot la restrictio à R soit égale à la distributio régulière exp( 1 x 2 )?

5 Distributios-Aalyse foctioelle 5 Feuille d exercices o 3 Dérivatio et Primitives de distributios 1. Soit T ue distributio sur Ω (ouvert de R ). O suppose qu il existe c > 0 tel que pour toute foctio ϕ de D(Ω) o ait ( 1/2 T, ϕ c ϕ(x) dx) 2. Ω Motrer que T est défiie par ue foctio f de L 2 (Ω). 2. Calculer les dérivées premières des distributios T suivates: (a) T =vp( 1 ), T =sg(x), T = H(x) sg(x) x (b) T = E(x), T = (1 x 2 ) χ [ 1,1]. 3. Calculer la dérivée première de la distributio T = H(x) l( x ) : voir sujet de partiel. 4. Soit T D (R 2 ), la distributio doée par ϕ D(R 2 ) T (ϕ) = ϕ(x, x) dx IR Détermier T x + T y. 5. Soit H : R R la foctio défiie par H(x 1,, x ) = H(x 1 ) H(x ). Motrer que si α est le multi-idice α = (1,, 1), alors D α (H ) = δ. 6. Soiet U la partie du pla R 2 défiie par U = { (x, y) R 2 y x } et F (x, y) = χ U (x, y). Calculer, das D (R 2 ), l expressio 2 F x 2 2 F y O rappelle que toute foctio ϕ D(R) peut s écrire sous la forme ϕ(x) = ϕ(0)θ o (x) + xψ(x) où ψ et θ o sot das D(R) et où θ o (0) = 1. Motrer que si T D (R) est telle que x.t = 0, alors il existe C R tel que T = C.δ. E déduire l esemble de toutes les distributios T solutios de l équatio x.t = a où a est ue costate doée. Traiter le cas x.t = δ α. Commet peut-o, à l aide de ce qui précède, détermier les distributios T telles que (x α).t = 0 où α est ue costate réelle doée? Trouver toutes les solutios T D (R) telles que (x α).t = δ β où β est ue costate. Même questio pour l équatio (x α).t = δ β. 8. Pour (m, ) N N, calculer x.δ (m). Détermier toutes les distributios T telles x.t = 0. E déduire la solutio géérale de x.t = δ.

6 Distributios-Aalyse foctioelle 6 9. Soiet (a, b) R 2 et f C (R) la solutio de l équatio différetielle f + af + bf = 0 qui vérifie f(0) = 0 et f (0) = 1. Calculer (Hf) + a(hf) + b(hf). Trouver toutes les solutios des équatios différetielles das D suivates : 10. Soit D 1 = { ψ D T T = δ T 3T + 2T = δ + δ. ψ(t) dt = 0}. IR (a) Motrer que ψ D 1 si et seulemet s il existe ϕ D telle que ϕ = ψ. (b) Soit θ o D telle que θ o (t) dt = 1; motrer que tout ϕ das D peut s écrire d ue IR maière uique sous la forme ϕ = a θ o + ψ où a est ue costate et ψ D 1. (c) Motrer que l applicatio S : D R défiie par S(ϕ) = T (x x ψ(t) dt) où ϕ = a θ o + ψ comme à la questio précédete et T D est ue primitive de T. (d) Chercher les primitives des distributios suivates i. T = δ ii. T = H iii. T = x H iv. T =vp( 1 x ) 11. La foctio cosius itégrale désigée par ci(x) est la foctio défiie sur R, paire et telle que pour tout x R o ait ci(x) = x cos(t) t dt. (a) Motrer que la foctio x ci(x) est dérivable au ses des foctios, sur R. (b) Motrer que ci est das L 1 loc (R) et détermier sa dérivée au ses des distributios.

7 Distributios-Aalyse foctioelle 7 I. Formule de Gree Feuille d exercices o 4 1. Soit D le disque uité de R 2 et T la distributio sur R 2 défiie par la foctio caractéristique de D. Motrer que T 2π x, ϕ = ϕ(cos θ, si θ) cos θ dθ Pour x R ( = 2 ou 3) o pose, E (x) = { x 1 si = 3 log x si = 2 (a) Motrer que E défiit ue distributio sur R, C sur R \{0}. Calculer E sur R \{0}. (b) Soit ϕ D(R ). Motrer que E, ϕ = lim E ϕ dx. ε 0 + x >ε (c) E trasformat l itégrale E ϕ dx, à l aide de la formule de Gree, e x >ε déduire E au ses des distributios. II. Covergece das D 1. Soit T D (R) ; pour h R, o défiit T h par où ϕ h (x) = ϕ(x + h). ϕ D(R) T h, ϕ = T, ϕ h, Motrer que T h est ue distributio. O pose S h = T T h. Motrer que S h coverge h vers T das D (R). 2. Soit Ω u ouvert de R, (ϕ ) ue suite de foctios de E(Ω) qui coverge vers ϕ das E(Ω) et T D (Ω). Motrer que la suite T = ϕ T coverge das D (Ω) vers ϕt. 3. Soit a > 0. Etudier la covergece de 4. Soit f L 1 (R ) telle que que (f k ) k coverge vers δ das D (R ). 5. Etudier la covergece das D (R) de (a) (δ 1 δ 1 ) (b) 2 (δ 1 2δ + δ 1 ) (c) cos(x) et si(x) a δ das D (R) et das E (R). =0 f(x) dx = 1. Pour k N o pose f k (x) = k f(kx). Motrer

8 Distributios-Aalyse foctioelle 8 6. Soit (f ) ue suite de foctios localemet itégrables sur R qui coverge presque partout vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue foctio positive g de L 1 loc (R ) telle que pour tout, o ait f (x) g(x) pour presque tout x de R. (a) Vérifier que f L 1 loc (R ) et motrer que la suite de distributios (T f ) coverge das D (R ) vers T f. E déuire que si ue suite (ϕ ) coverge das D(R ) vers la foctio ϕ, alors la suite de distributios (T ϕ ) coverge das D (R ) vers T ϕ. (b) Chercher les limites des distributios suivates : T = 2 χ [ 1, 1 ] et T = 2 χ [ 1, 1 ]. (c) Si ρ est ue suite régularisate de D(R ), détermier la limite das D (R ) de la suite de distributios (T ρ ). III. Supports 1. Détermier les supports des distributios T : D(Ω) R suivates: (a) T (ϕ) = ϕ() où Ω = R. =0 (b) T (ϕ) = ϕ(x, x) dx où Ω = R 2. IR (c) T (ϕ) = (d) T (ϕ) = (e) T (ϕ) = 2π ϕ(cos θ, si θ) dθ où Ω = R 2. x ϕ (x) dx où Ω = R. sig(x)ϕ (x) dx où Ω = R. 2. Trouver u exemple de suite de distributios T de E qui coverge das D mais dot la limite T est pas à support compact.

9 Distributios-Aalyse foctioelle 9 Feuille d exercices o 5 : Covolutio 1. Détermier, explicitemet, les covolutios suivates das R, après avoir justifié leurs existeces : δ a H δ 1 (x m δ () ) (x p δ (q) ) T 1 où T E (R). T exp(x) où T E (R). 2. Soiet f 1 = χ [a,b] et f 2 = χ [c,d]. Calculer (f 1 f 2 ) 3. Représeter par u produit de covolutio l opérateur différetiel liéaire et à coefficiets costats : dϕ D(ϕ) = a o ϕ + a 1 dx + + a d ϕ dx. 4. Calculer les covolutios suivates das R : H P f( H x ) δ vp( 1 x ) ( ) ( ) δ N δ () N 5. Ecrire les opérateurs aux différeces fiies suivats sous la forme de produit de covolutio et calculer leurs limites lorsque h 0 : f(x + h) f(x h) (a) A h (f)(x) = 2h f(x + h) + f(x h) 2f(x) (b) B h (f)(x) = h 2 6. Pour α > 0, o pose f α (x) = xα 1 H(x). Γ(α) (a) Vérifier que f α D + pour tout α > 0. (b) Démotrer que df α dx = f α 1 pour tout α > 1. (c) Détermier lim α 0 f α das D Trouver das D + les iverses de covolutio des distributios suivates : (a)t = δ aδ (b) T = si(x)h (c) T = cos(x)h (d) T = exp( x)h.

10 Distributios-Aalyse foctioelle 10 Feuille d exercices o 6 : Trasformatio de Fourier 1. Détermier les trasformées de Fourier des distributios suivates : (a) T = 1 (b) T = H (c) T = vp( 1 x ) (d) T = P f( 1 x 2 ) (e) T = T x (f) T = T xh 2. Motrer que la foctio f(x) = (1 x 2 ) χ [0,1] (x) défiit ue distributio tempérée sur R et calculer ses trois premières dérivées. E déduire sa trasformée de Fourier. 3. Détermier la trasformée de Fourier de la distributio régulière ( tempérée) associée la foctio x si(x). E déduire la trasformée de Fourier de la foctio si x x. 4. (a) Motrer que pour tout ξ R, f ξ : x sur R. 1 cos ξx x (b) Motrer que f ξ vp( 1 x ) das S (R) quad ξ + défiit ue distributio tempérée ( O pourra motrer que pour tout ϕ S(R) vp( 1x ), ϕ = 1 1 ϕ(x) ϕ(0) x ϕ(x) dx + x >1 x dx.) (c) Pour tout x 0 o pose sg(x) = x x ) et pour N, g = sg (x)χ [,]. Calculer ĝ et chercher la limite de ĝ das S (R) quad +. E déduire ŝg. Retrouver Ĥ.

11 Distributios-Aalyse foctioelle 11 I. Covergece das D Feuille d exercices complémetaire 1. Soit T D (R) ; pour h R, o défiit T h par où ϕ h (x) = ϕ(x + h). ϕ D(R) T h, ϕ = T, ϕ h, Motrer que T h est ue distributio. O pose S h = T T h. Motrer que S h coverge h vers T das D (R). 2. Soit Ω u ouvert de R, (ϕ ) ue suite de foctios de E(Ω) qui coverge vers ϕ das E(Ω) et T D (Ω). Motrer que la suite T = ϕ T coverge das D (Ω) vers ϕt. 3. Soit a > 0. Etudier la covergece de 4. Soit f L 1 (R ) telle que que (f k ) k coverge vers δ das D (R ). 5. Etudier la covergece das D (R) de (a) (δ 1 δ 1 ) (b) 2 (δ 1 2δ + δ 1 ) (c) cos(x) et si(x) a δ das D (R) et das E (R). =0 f(x) dx = 1. Pour k N o pose f k (x) = k f(kx). Motrer 6. Soit (f ) ue suite de foctios localemet itégrables sur R qui coverge presque partout vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue foctio positive g de L 1 loc (R ) telle que pour tout, o ait f (x) g(x) pour presque tout x de R. (a) Vérifier que f L 1 loc (R ) et motrer que la suite de distributios (T f ) coverge das D (R ) vers T f. E déuire que si ue suite (ϕ ) coverge das D(R ) vers la foctio ϕ, alors la suite de distributios (T ϕ ) coverge das D (R ) vers T ϕ. (b) Chercher les limites des distributios suivates : T = 2 χ [ 1, 1 ] et T = 2 χ [ 1, 1 ]. (c) Si ρ est ue suite régularisate de D(R ), détermier la limite das D (R ) de la suite de distributios (T ρ ). II. Supports 1. Détermier les supports des distributios T : D(Ω) R suivates: (a) T (ϕ) = ϕ() où Ω = R. =0

12 Distributios-Aalyse foctioelle 12 (b) T (ϕ) = ϕ(x, x) dx où Ω = R 2. IR (c) T (ϕ) = (d) T (ϕ) = (e) T (ϕ) = 2π ϕ(cos θ, si θ) dθ où Ω = R 2. x ϕ (x) dx où Ω = R. sig(x)ϕ (x) dx où Ω = R. 2. Trouver u exemple de suite de distributios T de E qui coverge das D mais dot la limite T est pas à support compact.