Le plus grand de ces diviseurs communs est 26 : 26 est le plus grand commun diviseur de 78 et de. Le P.G.C.D. de 78 et de 208 est égal à 26

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1 ) Vocabulaire : a) Divisible / Multiple : Plus Grad Diviseur Commu. Soit a et b deux ombres etiers aturels différets de zéro : dire que a est divisible par b sigifie que a k b =, avec k ombre etier aturel. Or : Si a = k, alors a = kb, ce qui se traduit par «a est u multiple de b». ( Et aussi de k ) b b) Critères de divisibilité : Par Critère Exemple 2 Le chiffre des uités est pair Le ombre formé par les chiffres dizaie+uité est das la table de 4. (00 coviet égalemet) 680 ; 44, La somme des chiffres du ombre est das la table de 3. 4 ; 02 ; Le chiffre des uités est 0 ou ; La somme des chiffres du ombre est das la table de ; 684 ; Le chiffre des uités vaut c) Diviseurs d u ombre : Les diviseurs d u ombre sot ceux par lequel il est divisible. Pour trouver tous les diviseurs d u ombre, il suffit le décomposer e produit de 2 facteurs etiers et de trouver la liste complète de ces produits. Exemple : Recherche des diviseurs de = 20 = 2 60 = 3 40 = 4 30 = 5 24 = 6 20 = 8 5 = 0 2 les diviseurs de 20 sot : ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 0 ; 2 ; 5 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 et 20. 2) Divisio euclidiee : a) La divisio euclidiee est la divisio avec reste et quotiet etier. Soit a et b deux ombres etiers aturels tels que 0 < b < a. Alors il existe u seul couple de ombre etier Q. et. R tels que : a = Q b + R.. avec..0 r < b Q est le quotiet, R est le reste de la divisio euclidiee de a par b. ( Nous admettros l existece et l uicité d ue telle décompositio.) b) Les calculatrices possèdet ue touche permettat d afficher le quotiet et le reste. c) Exemple : =

2 3) P.G.C.D. : Plus grad diviseur commu. a) Le P.G.C.D de deux ombres est le plus grad etier aturel qui divise les deux ombres. Exemple : Recherchos les diviseurs de 78 et de = = = = = = = = = 3 6 Les diviseurs de 78 sot : ; 2 ; 3 ; 6 ; 3 ; 26 ; 39 ; 78. Ceux de 208 sot : ; 2 ; 4 ; 8 ; 3 ; 26 ; 52 ; 04 ; 208. ; 2 ; 3 et 26 sot les diviseurs commus de 78 et 208. Le plus grad de ces diviseurs commus est 26 : 26 est le plus grad commu diviseur de 78 et de 208. Le P.G.C.D. de 78 et de 208 est égal à 26 b) Utilité : La coaissace du P.G.C.D. d u couple de ombre etier permet de simplifier e ue fractio irréductible ue fractio dot ils sot les umérateur et déomiateurs. E effet : o simplifie ue fractio par u ombre k e divisat umérateur et déomiateur par u même ombre, k est doc forcémet u diviseur commu. Pour avoir la fractio irréductible, il faut diviser par le plus grad ombre possible : il faut doc diviser par le P.G.C.D. Exemple : = = c) Nombres premiers etre eux : Cherchos le P.G.C.D. de 40 et de = = = = = = = = = = 27 Diviseurs de 40 : ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 0 ; 4 ; 20 ; 28 ; 35 ; 70 ; 40. Diviseurs de 297 : ; 3 ; 9 ; ; 27 ; 33 ; 99 ; et 297 ot pour seul diviseur commu, qui est doc leur P.G.C.D. O dit que 40 et 297 sot premiers etre eux.

3 Défiitio : Deux ombres etiers sot premiers etre eux quad leur P.G.C.D est égal à. O e déduit que la fractio 40 est ue fractio irréductible, puisque seul divise 40 et Or : 40 = 40 et 297 = 297, et simplifier par e modifie i le umérateur i le déomiateur! 4) Recherche méthodique du P.G.C.D a) Première méthode : Par soustractios successives. (Algorithme des soustractios) Propriété utilisée : Si u ombre k divise u ombre a et u ombre b, alors il divise d office leur différece. Exemple : 8 est u diviseur commu à 88 et =24, et 8 est bie u diviseur de 24. * Démostratio de cette propriété : Soit k u ombre etier positif o ul, diviseur commu de a et de b, deux ombres etiers positifs o uls, avec a > b. ( k, a et b différets de zéro.) Alors il existe a et b, etiers aturels tels que : a = ka ' et b = kb ' Posos la différece a-b : a b = ka ' kb ' = k( a ' b ') Coclusio : a b est bie u multiple de k, k est bie u diviseur de la différece de a et de b. * Exemple N : Cherchos les diviseurs commus de et de = = = = = = = = = = = = = = = 0 U diviseur commu de et de divisera aussi leur différece, soit 730. Comme il sera commu aux trois ombres, il le sera aussi avec la différece de et de 730, soit Mais doc aussi avec la différece de et de 730, etc Au bout du compte, o cherche les diviseurs de 73! Mais au fait, quel est le plus grad diviseur de 73? 73, bie sûr!

4 Fialemet, le P.G.C.D est la derière différece o-ulle! (L algorithme aboutir toujours à 0.) Das le cas ci-dessus : comme le P.G.C.D est différet de, o e déduit que les ombres et e sot pas premiers etre eux et que la fractio 3723 est pas ue fractio irréductible. 993 Pour la simplifier, il suffit d utiliser le P.G.C.D : = = * Remarque / exercice : U élève de 6 ème exécute à la calculatrice la divisio suivate : et sa calculatrice affiche la fractio 47. Commet e déduire le P.G.C.D. des ombres 588 et 28? 32 b) Secode méthode : par divisios euclidiees successives. (Algorithme d Euclide). * Propriété utilisée : Si u ombre etier positif est u diviseur commu à deux ombres etiers positifs a et b (O supposera 0 < b < a), alors il est aussi u diviseur du reste das la divisio euclidiee de a par b. Exemple : 9 est u diviseur de 459 et de 7. La divisio euclidiee de 459 par 7 doe : soit la décompositio suivate : 459 = Et 9 est bie u diviseur de 7. (Voir critère de divisibilité). Démostratio de cette propriété : Hypothèse : k, etier o ul, est u diviseur commu de a et de b. Alors il existe a et b, etiers aturels tels que : a = ka ' et b = kb ' Soit la décompositio issue de la divisio euclidiee de a par b : a = Qb +R Alors : R = a Qb = ka Qkb = k( a Qb ) : R est u multiple de k, k est u diviseur de R. * Utilisatio de cette propriété pour la recherche du P.G. C.D : Les diviseurs de 459 et de 7 sot doc aussi diviseurs de 459, 7 et 7. E particulier de 7 et de 7, doc du reste das la divisio euclidiee de 7 par 7. O pose alors ue ouvelle divisio : = Puis : = et efi : =

5 Le travail de divisio est fii. Le P.G.C.D de 459 et de 7 est doc u aussi u diviseur de 7 ; A = 48 B = 228 Autre exemple : P.G.C.D. de 48 et de = 228 x = 90 x + 38 P.G.C.D. = = 38 x et 9, le derier reste o-ul. Or : quel est le plus grad diviseur de 9? Evidemmet 9! Das l algorithme d Euclide, le P.G.C.D. est le derier reste o-ul! 5) Exercices.. Recopier le tableau et cocher les cellules si le ombre e tête de lige est divisible par le ombre e tête de coloe Le tableau ci-dessous représete le compteur kilométrique d u véhicule. 2 chiffres sot illisibles.? 4 3 6? O sait cepedat que le ombre de kilomètre, oté k, est tel que : k tout e état u multiple de 5 et aussi de 3. Que peut valoir k? 3. Soit u ombre etier aturel. Si est pair, c est qu il existe u ombre etier k uique tel que = 2k Réciproquemet, si u ombre etier peut s écrire sous la forme = 2k, alors est pair.

6 Si est impair, c est qu il existe u ombre uique k tel que = 2k +. Réciproquemet, si u ombre etier peut s écrire sous la forme = 2k +, alors est impair. a ) Démotre que la somme de 2 ombres impairs est toujours u ombre pair. b) Démotre que le produit de 2 ombres impairs est toujours u ombre impair. c) Démotre que pour tout ombre etier relatif : + 2 est toujours u ombre etier. 4. Exercice brevet 203 : L affirmatio ci-dessous est-t-elle vraie? 2 2 Pour importe quel ombre etier, ( ) ( ) 5. O doe a = 237 et b = 47 + est u multiple de 4. a) Détermier leur P.G.C.D e utilisat les deux algorithmes. (Soustractio et divisio) b) Sot-ils premiers etre-eux? c) Si possible, simplifier la fractio b e faisat apparaître votre démarche. a 6. O doe a = 3737 et b = 666 Même questio que l exercice Soit la fractio Peut-o la simplifier? Justifier. 8. U carreleur doit recouvrir ue pièce rectagulaire de 7,92 m sur 6 m de carreaux carrés tous idetiques et les plus grads possibles. (O égligera la largeur des joits etre les carreaux.) a) Quelle est la mesure du côté d u carreau? b) Combie de carreaux sot écessaires pour ce chatier? 9. U fleuriste a e stock 306 tulipes et 70 iris. Il veut utiliser toutes les fleurs e cofectioat le plus grad ombre possible de bouquets tous idetiques. La tulipe est vedue,45 et l iris est vedu,95. a) Combie de bouquets peut-il cofectioer? Explique ta démarche. b) Quel est le prix d u bouquet? 0. Preds ue feuille format 4 A. (20 mm sur 297 mm). Dessie à l itérieur u pavage (toute la feuille doit être occupée, aucu vide!) de rectagles tous idetiques, les plus petits possibles, sachat que :

7 a) Ces rectagles sot des réductios à ue échelle e = où k est u ombre etier. k b) Les dimesios de ces petits rectagles sot des ombres etiers de mm. Explique ta démarche. Les pages suivates sot ouvertes à tout élève curieux des mathématiques. D où sortet les critères de divisibilités par 3 et par 9?. Décompositio d u ombre etier. Tout ombre etier aturel m 0 possède ue décompositio uique de la forme : m = a 0 + a 0 + a a 0 + a 0 + a avec a ; a ;... a ; a ; a { 0,,2,3, 4,5,6,7,8,9} sauf pour a supposé différet de Nous supposeros m différet de zéro. E coséquece, au mois u chiffre a i sera différet de zéro. C est forcemet le chiffre de la puissace de 0 la plus grade, car si o suppose a = 0, alors : m = a 0 + a 0 + a a 0 + a 0 + a m = a 0 + a a 0 + a 0 + a m = a 0 + a a 0 + a 0 + a Ce qui sigifierait que a = 0 serait u zéro iutile. Exemple : = Démotros que pour tout etier aturel : 0 est u multiple de 3. E effet : = 0 = 9 = = 00 = 99 = = 000 = 999 = Pour cela, ous allos faire ce que l o appelle ue démostratio par récurrece, c'est-à-dire que ous allos démotré que si 0 est u multiple de 3, alors obligatoiremet 0 + est u multiple de 3.

8 + 0 = = = Si 0 est u multiple de 3 : alors il existe u ombre etier aturel k tel que 0 = 3k, et + 0 = = 3k ( k ) + 0 = Nous veos de démotrer que si0 est u multiple de 3, alors il existe u ombre etier K = 3 + k tel que 0 + = 3K. Autremet dit, 0 + est u multiple de 3. Comme ous avos vu que otre hypothèse de divisibilité par trois était vérifiée pour0, elle l est forcemet pour tout exposat Coclusio : pour tout ombre etier aturel : 0 est u multiple de Retour à m = a 0 + a 0 + a a 0 + a 0 + a Amusos-ous à trasformer l écriture de chaque terme de la somme de la décompositio de m. a 0 = a 0 a + a = a 0 + a a 0 = a 0 a + a = a 0 + a a 0 = a 0 a + a = a 0 + a : a 0 = a 0 a + a = a 0 + a a 0 = a 0 + a Aisi 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )... ( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )... ( 0 ) ( 0 )... m = a + a + a + a + a + a + + a + a + a + a + a m = a + a + a + + a + a + a + a + a + + a + a Or : Tous les ( 0 i ) sot des multiples de 3. Si o multiplie u multiple de 3 par u ombre etier, o a toujours u multiple de 3. Doc tous les a ( 0 i i ) sot des multiples de 3. Si o additioe des multiples de 3, ue factorisatio par 3 permet d affirmer que la somme est toujours u multiple de 3. Doc :

9 ( 0 ) ( ) ( 2 ) ( ) a + a + a + + a + a est u multiple de 3. ' Il existe doc u ombre etier aturel K tel que a + a + a a 0 + a 0 = 3K ' Notre ombre m peut doc s écrire sous la forme : m = K + a + a + a + + a + a ' Somme des chiffres qui composet le ombre m. Cette somme vaut : s = a + a + a a + a0 Si cette somme est u multiple de 3, alors il existe u ombre etier aturel q tel que s = a + a + a a + a = 3q 2 0 Doc si cette somme est u multiple de 3, m peut s écrire sous la forme : m = K + a + a + a + + a + a ' m = 3 K ' + 3q m = 3 K ' + q où K ' + q est u ombre etier. Coclusio : Si la somme des chiffres qui composet u ombre est u multiple de 3, le ombre e questio est luimême u multiple de trois. C.Q.F.D. 5. Pour le critère de divisibilité par 9 : La démostratio est idetique. Il suffit de démotrer que 0 est u multiple de 9 pour toute valeur de. Supposos 0 est u multiple de 9 : alors il existe u ombre etier aturel k tel que 0 = 9k O aurait doc 0 = 9k +. E coséquece, o aurait : ( k ) + 0 = = 90k + 0 k k k + 0 = = = serait d office u multiple de 9. Comme 0 = 9 est u multiple de 9, 0 est u multiple de 9 pour tout et. La suite de la démostratio est rigoureusemet idetique : ( 0 ) ( ) ( 2 ) ( ) a + a + a + + a + a est u multiple de 9. ( ) ( ) ( 2 ) 2 a 0 + a 0 + a a 0 + a 0 = 9K 2 '

10 ' Notre ombre m peut doc s écrire sous la forme : m = 9 K + a + a + a a + a 2 0 s = a + a + a a + a = 3q 2 0 Si cette somme est u multiple de 9, m peut s écrire sous la forme: m = K + a + a + a + + a + a ' m = 9 K ' + 9q m = 9 K ' + q Quod erat demostradum!