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1 This article was downloaded by: [ ] On: 03 September 2015, At: 18:26 Publisher: Taylor & Francis Informa Ltd Registered in England and Wales Registered Number: Registered office: 5 Howick Place, London, SW1P 1WG Hydrological Sciences Journal Publication details, including instructions for authors and subscription information: Inférence et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson ALI CHAOUCHE a & ERIC PARENT a a ENGREF/GRESE, 19 Avenue du Maine, F-75732, Paris, Cedex 15, France Published online: 25 Dec To cite this article: ALI CHAOUCHE & ERIC PARENT (1999) Inférence et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson, Hydrological Sciences Journal, 44:2, , DOI: / To link to this article: PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the Content ) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be relied upon and should be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of the Content. This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at terms-and-conditions

2 Hydrological Sciences Journal des Sciences Hydrologiques, 44(2) April Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson ALI CHAOUCHE & ERIC PARENT ENGREF/GRESE, 19 Avenue du Maine, F Paris Cedex 15, France Résumé Les paramètres d'un modèle dans lequel l'occurrence de pluie suit une chaîne de Markov et la hauteur de pluie suit une loi gamma, sont estimés sur les données journalières de Dedougou (Burkina-Faso), dans un cadre bayésien qui permet également de décrire l'incertitude de prédiction de toute caractéristique hydrologique quantifiable, liée à une saison des pluies. On utilise pour ces calculs une technique de simulation par chaîne de Markov (Metropolis-Hastings). La démarche de validation statistique est fondée sur la comparaison d'une observation et de sa loi prédictive par le modèle. Si la caractéristique observée tombe dans un intervalle de tolérance des prédictions, le modèle rend compte de cette dernière et est validé, et seulement dans ce cas, vis à vis de la caractéristique hydrologique mesurée par cette statistique. On a ainsi pu vérifier que ce modèle de pluie journalière préserve les cumuls annuels, représente bien les durées des épisodes pluvieux et rend compte du changement climatique de Cette méthode permet de vérifier la robustesse du modèle vis à vis des hypothèses qui le fondent et d'accepter ou de rejeter des conjectures hydrologiques. Il est ainsi montré que: (a) l'hypothèse markovienne est validée, (b) l'hypothèse d'indépendance des hauteurs de pluie, en des jours successifs, n'est pas compatible avec les observations, et (c) le modèle permet de reconstruire les très fortes pluies. Bayesian identification and validation of a daily rainfall model under monsoon conditions Abstract A model for daily rainfall occurrence and daily rainfall amount is fitted to the data of Dedougou, in the Sudano-Sahelian zone. The fitting is performed in a Bayesian framework using the Hastings procedure which allows for a full representation of parameter uncertainty. The method is based on a comparison of any observed characteristic of the rainy season to its predictive law. If and only if the observation falls into the central part of the predictive distribution the model is judged to describe the characteristic under scrutiny. Using this method, several records were studied. It is shown that the model preserves the commonly used hydrological records like daily and annual precipitation, number of rainy days per year, rainy sequence length. The model depicts the climatic change which occurred in the late sixties. The Markovian hypothesis, on which the model is based, is validated. The independence hypothesis between rainfall amounts in two successive days does not hold. The extreme daily rainfall values are consistent with the largest values generated by the model. INTRODUCTION L'Afrique de l'ouest est, probablement depuis la fin des années soixante, sous l'emprise d'une sécheresse exceptionnelle par son intensité, son extension spatiale, sa persistance et par ses conséquences sur l'économie rurale et l'environnement. L'ampleur et l'apparente singularité du phénomène ont incité beaucoup d'hydrologues à bâtir des hypothèses et à élaborer des modèles statistiques explicatifs de la saison des pluies ou des modèles d'évolution temporelle de la pluviométrie (Hubert et al., 1989). La discussion concernant cet article est ouverte jusqu 'au 1 octobre 1999

3 200 Ali Chaouche & Eric Parent Un des objectifs opérationnels de ces recherches était une aide à une meilleure planification des travaux agricoles. Parmi les applications agronomiques des recherches entreprises, il y a la détermination de la date de début de la saison des pluies et de l'instant le plus propice au semis des cultures pluviales. Les questions, de nature hydrologique, auxquelles nous essayons d'apporter une réponse sont les suivantes: (a) La pluie observée en début de saison ne résulterait-elle pas de la superposition de deux régimes? En effet, quand on construit la chronique journalière du maximum de pluie observée à Bobo-Dioulasso et à Dedougou, on obtient la Fig. 1. Chacune de ces figures représente une sorte d'enveloppe des possibles et suggère que, vers les mois d'avril et mai, la pluie observée pourrait résulter de deux régimes: la mousson soudano-sahélienne en cours d'installation et des prolongements de grains de régimes plus méridionaux. (b) Des travaux ont imputé la baisse de la hauteur de pluie annuelle à une réduction du nombre de très fortes pluies (Carbonnel, 1983), ou à la diminution des pluies de certains mois, en particulier la pluie du mois d'août (Morel, 1986), alors que le nombre annuel de jours de pluie n'a pas diminué (Chaouche, 1988); ces constats peuvent-ils être validés dans le cadre d'un modèle? (c) Hubert et al. (1989) ont montré que les séries de hauteurs annuelles de pluies, des zones soudanienne et sahélienne, présentent une rupture à la fin des années soixante. Ces résultats peuvent-ils être retrouvés à l'échelle journalière? Maxima des hauteurs de pluie à Bobo-Dioulasso Maxima des hauteurs de pluie à Dedougou Fig. 1 Maxima des hauteurs de pluie journalières (en mm) observées à Dedougou et à Bobo-Dioulasso (station à environ 100 km au sud de Dedougou).

4 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 201 (d) Une analyse descriptive semble indiquer que dans la phase de montée de la mousson, il y a une tendance à l'accroissement des hauteurs de pluies apportées par le premier jour de chaque séquence et qu'à l'intérieur de chaque épisode de plusieurs jours de pluie, il y a une tendance à la décroissance de la hauteur. Un modèle, respectant les caractéristiques globales de durées et de hauteurs de pluie, permet-il de rendre compte de cette structure interne des séquences de jours de pluie? Le modèle mis en œuvre dans cet article reprend les principaux traits d'un modèle présenté, au début des années 80, par des hydrologues et statisticiens de l'ecole de Reading, parmi lesquels les noms de Stern et de Coe sont le plus souvent cités (Stern, 1982; Stern étal, 1981; Coe & Stern, 1982; Stern & Coe, 1984). Dans ce modèle: (a) l'occurrence de pluie le jour t est régie par une chaîne de Markov (d'ordre 1), (b) la hauteur de la pluie le jour / suit une loi gamma, (c) les paramètres de la chaîne de Markov et de la loi gamma s'expriment en fonction de t par les premiers termes d'une série de Fourier. Dans cette étude nous examinons la compatibilité de ce modèle avec les résultats ou les constats hydrologiques rappelés plus haut et nous serons conduits par là à: (a) un examen critique des hypothèses du modèle de Stern & Coe (1984): hypothèse markovienne d'occurrence des pluies et hypothèse d'indépendance des pluies journalières; (b) une exploration des limites du modèle: un modèle, ayant un nombre raisonnable de paramètres, ne peut rendre compte de toutes les facettes d'un phénomène aussi complexe que la distribution de la pluie. On cherchera parmi des grandeurs synthétiques de la saison des pluies, celles qui sont conservées par ce modèle statistique de pluie journalière et celles qui ne le sont pas. La présente étude est aussi un exposé, sur un cas d'application: - d'une technique d'estimation des paramètres de modèles non linéaires, technique utilisée depuis peu en hydrologie statistique: la simulation par chaîne de Markov, plus précisément la méthode de Metropolis-Hastings, - d'une méthode de validation d'un modèle par l'emploi de la loi prédictive a posteriori de toute statistique d'intérêt. L'avantage principal de ces méthodes, outre leur puissance et leur souplesse, est de permettre une description complète des incertitudes d'estimation (du modèle) et des incertitudes de prédiction (par le modèle après estimation). DONNÉES Elles sont constituées par 69 années complètes ( ) de pluies journalières relevées à Dedougou (station soudano-sahélienne du Burkina-Faso); elles sont scindées en deux parties: l'une servant à l'apprentissage du modèle, l'autre à l'évaluation des performances de celui-ci. Pour étudier le comportement général du modèle, les années servant à l'estimation du modèle résultent d'un tirage au hasard sans remise de 40 années parmi les 69 de la série; les années de validation sont les années complémentaires.

5 202 Ali Chaouche & Eric Parent [Années de validation: 1923, 1924, 1926, 1929, 1931, 1936, 1937, 1945, 1946, 1947, 1949, 1951, 1953, 1954, 1955, 1956, 1963, 1966, 1970, 1971, 1974, 1978, 1982, 1983, 1984, 1985, 1986, 1987 et 1988.] Pour étudier la capacité du modèle à détecter le changement dans la pluviométrie de la fin des années soixante, les données servant à l'estimation sont les années (resp ); celles servant à la validation sont les années (resp ). MODELE D'OCCURRENCE ET DE HAUTEUR DE PLUIE L'occurrence de pluie le jour t, X t, est régie par une chaîne de Markov, dont les probabilités de transition sont: 7t 0 (0 = Pr[X, = l X,., = 0] 31,(0 = Pr[A-, = l ÀV, = l] l'état "jour sans pluie" est représenté par 0; l'état "jour pluvieux" par 1. La hauteur Y, de pluie le jour /, si celui-ci est un jour pluvieux, suit une loi gamma de paramètre de position \i, et de paramètre d'échelle K,; la densité de Y, est: /(y,;ji,»k,)= roo v, K '-'e " (1) où pour tout a > 0 T(a) = J x" 'e^dxet où \i, = E\Y t ],l/yfk^-o,l\x., {<5 2, étant la variance de Y,). Le coefficient empirique de variation varie peu (sur les données étudiées) et oscille autour d'une valeur constante (d'ailleurs proche de l'unité). Avec K, constant, la densité (équation (1)) se simplifie en: f^- K) --Mï K, -1 i y,* e " (2) Les paramètres du modèle sont ito(t), Tt\(t), i, et K. Ces paramètres ne varient pas d'une année à l'autre (cela suppose implicitement leur stationnante). Probabilités de transition Lien entre les probabilités de transition et la date En chacune des stations les fréquences empiriques de transitions 0 > 1 ou 1 > 1 croissent depuis l'installation de la mousson (vers avril-mai), culminent au plus fort de celle-ci (en août), puis décroissent tout au long du retrait de la mousson. E[x t =1 *,_, =I] = JC, (/) / = 0,1 (3)

6 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 203 On définit (p, par exp(cp,.(f)) l + exp((p,(/)) Les relations (4) garantissent pour %,{f) des valeurs comprises entre 0 et 1. cp,(/) sera approchée par la somme des K premiers termes d'une série de Fourier: * ( 2K \ ( 2% \ ( P,(? )=y «,, cos tj +B, 7 sin tj \ (5) V,W fi " \^365 y J Htf 1^365 J ) V ' En pratique, pour les données étudiées, il ne semble pas utile d'aller au delà de deux harmoniques; avec k fixé à 2, l'ensemble des paramètres du modèle d'occurrence est alors: [OC 00,OC 0],p 01,(X 02,p 02 ' CI -lo' a -i\'p\] >**12 'Pl2'J Soit, en tout, 10 paramètres à estimer à l'aide d'un nombre d'observations de 201 x 40 pour, par exemple, la station de Dedougou (201 du fait que l'on ne considérera que la portion de l'année comprise entre les dates 100 et 300, 40 étant le nombre d'années servant à l'estimation). Vraisemblance des probabilités de transition La chaîne de Markov est réinitialisée chaque année à la date t\. La vraisemblance est alors conditionnelle à la seule information de présence ou d'absence de pluie {X, = 1 ou J ( = 0) et aux états initiaux X s t, s désignant l'année. Chacun des i et y pouvant prendre une valeur de {0,1}, «,y(/) est le nombre de transitions, entre les dates t-\ et t, de l'état / vers l'état y. La log-vraisemblance est alors: h 1,(710,71, *,)= X n oi(')lnn 0 (0+X,I oo(oln[l-jlo(0] t=t,+i t-t, '2-1 + X n n(olnil,(0+]l /I io(oln[ 1 - ït i(0] Dans l'expression (6) t\ = 100, t% - 300, et les n^t) constituent l'information pertinente pour l'estimation de 7to(0 et 7ti(0- Remarquons que pour maximiser la vraisemblance, il suffit de maximiser séparément chacune des expressions formant la première et la seconde ligne de l'équation (6). Hauteur des pluies Lien entre la moyenne de la hauteur de pluie et la date En suivant Stern & Coe, le modèle suivant est proposé:

7 204 Ali Chaouche & Eric Parent On arrête le nombre d'harmoniques à k - 2, soit cinq termes dans le second membre de l'équation (7). Vraisemblance de la moyenne de la hauteur de pluie journalière Les hydrologues admettent généralement, au moins en première approximation, l'indépendance des hauteurs de pluie; moyennant cette hypothèse, il est facile de calculer la log-vraisemblance L2(X,r\,K\y,) des paramètres K XJ et rj, connaissant les hauteurs positives observées (elle est donc conditionnelle à X, - 1) et une estimation, par sa moyenne empirique, du coefficient de forme K de ces hauteurs: f=300 /=100y >0 I 2 (À,ri,K ^)= -lnr(k)+klnk-kln i., +(K-l)ln_y a --5- L (=]00^ >o(_ fa, METHODOLOGIE Estimation L'estimation statistique des paramètres du modèle est effectuée dans le cadre de l'inférence bayésienne: l'incertitude sur les paramètres du modèle (notés dans les parties précédentes a, p\ K, X et r\, avec éventuellement des indices) est représentée par une loi de probabilité dite subjective (DeFinetti, 1937; Savage, 1954; Walley, 1991). Ici, cette connaissance a priori (c'est à dire avant collecte des informations) est assez vague (pour tous les paramètres on a choisi des répartitions toutes uniformes sauf pour K, dont la connaissance a été représentée par une loi exponentielle de moyenne 1). Sous le paradigme bayésien, l'inférence statistique se réduit à la recherche de la loi a posteriori des paramètres d'un modèle, connaissant les données observées. La formule de Bayes (1958) présente cette loi conditionnelle, dite a posteriori comme une pondération de la vraisemblance du modèle statistique par la loi a priori des paramètres (haut de la Fig. 2). Elle reflète donc à la fois l'adéquation probabiliste des données au modèle (vraisemblance) et le savoir du modélisateur, i.e. connaissances a priori sur les paramètres et choix d'un modèle d'échantillonnage (Bernier, 1967; Kuczera, 1984). (Par exemple, l'histogramme de la Fig. 4 représente la répartition marginale a posteriori du paramètre K, obtenue à partir de cette loi conjointe a posteriori des six paramètres décrivant la hauteur de pluie journalière.) Elle décrit ainsi l'incertitude d'estimation après prise en compte de l'information apportée par l'échantillon. A partir de la loi a posteriori, on peut construire des intervalles de crédibilité (analogues (8)

8 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 205 bayésiens des intervalles de confiance classiques) sur lesquels on peut juger de la gamme des valeurs possibles prises par les paramètres du modèle. Validation La validation du modèle est faite par référence au concept bayésien de loi prédictive a posteriori: la loi prédictive d'une variable, connaissant le modèle statistique et la loi du paramètre de ce modèle, est la loi marginale de cette variable résultant d'une intégration du modèle sur toutes les valeurs possibles du paramètre (Berger, 1985); la loi du paramètre que nous utiliserons est la loi a posteriori 7t(6[y) et de ce fait la loi prédictive sera dite loi prédictive a posteriori: g{y)^il{y\b)jt(e\y)de e La validation suit les étapes ci-après, schématisées dans la Fig. 2: (a) en notant 8 le vecteur formé par tous les paramètres (a, p\ K, X, r ) du modèle, on tire un échantillon (6i, 62,..., 8 ) de la loi a posteriori de 8, loi notée Jt(6[y c ); (b) pour chaque / = 1, 2,..., n, on simule conditionnellement à 8 par le modèle (équations (2), (3), (4), (5), (7)), une prédiction i, de même taille que la partie des données réservée à la validation; (c) on calcule la statistique d'intérêt (S) à la fois: (i) sur l'échantillon de validation (observée) et (ii) sur chaque prédiction i et l'on obtient l'échantillon (Si-prédite, S2- pr édite,, Jn-prédite)) (d) on construit l'histogramme de cet échantillon, qui est un tirage aléatoire de la loi prédictive a posteriori de la statistique S; il importe de noter que cette loi est conditionnelle aux données de calage et au modèle statistique choisi. Dans une certaine mesure, elle dépend aussi de l'échantillon (81, 82,..., 6J; cependant plus n est grand, moins le tirage (81, 82,..., 8 ) influe sur l'évaluation de la loi prédictive de S; (e) on délimite l'intervalle symétrique / qui contient 98% des réalisations de Sprite que l'on appellera intervalle de tolérance pour la prédiction S; (f) on compare S 0 bservée (sur l'échantillon de validation) à /: (i) si S 0 bservée e l du point de vue de la statistique S, et seulement de ce point de vue, les données de validation et les données générées par le modèle ne présentent pas de différence significative; dans ce cas on peut raisonnablement penser que les données de calage et les données de validation possèdent le même caractère mesuré par la statistique S; (ii) si Sobservée I, toujours du point de vue de S, l'on conclut que les données de validation ne permettent pas de retrouver la grandeur caractéristique S dans une zone de validation acceptable, compatible avec la connaissance apportée par le modèle et les données de calage. Cette approche permet de distinguer, parmi des grandeurs caractéristiques d'un phénomène complexe (la pluie journalière en est un), celles que le modèle est en

9 Ali Chaouche & Eric Parent z 0 A *(*k)a < 5 y- w LU Distribution prédictive a posteriori de S Intervalle de tolérance I V Sobservée l* I acceptation du modèle rejet du modèle Fig. 2 Estimation bayésienne d'un modèle et sa validation du point de vue d'une statistique, par l'emploi de la distribution a posteriori de cette statistique. mesure de décrire de celles que le modèle ne décrit pas. Elle permet une sorte de dissection du modèle et va donc plus loin qu'une acceptation en bloc ou un rejet en bloc de celui-ci. Ainsi le modèle peut décrire l'occurrence et la hauteur journalière (ce pour quoi il est construit) et être défaillant, pour l'aspect persistance de l'état pluvieux ou de l'état sec, ou encore incapable de détecter une rupture de stationnarité à l'échelle

10 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 207 de la pluie journalière,... en d'autres termes un modèle conçu pour décrire l'occurrence et la hauteur journalière peut être validé, sans pour autant être reconnu comme un bon générateur de saisons des pluies, du fait qu'il ne rend pas compte d'autres caractéristiques pertinentes de cette saison. Techniques d'inférence La seule difficulté technique des étapes (d'inférence et de validation) décrites plus haut, réside dans l'obtention de la loi a posteriori du paramètre vectoriel 9 du modèle. En pratique, trois approches peuvent être mises en œuvre pour évaluer numériquement cette distribution a posteriori: le calcul analytique direct par adoption de distributions de paramètres dans une classe dite conjuguée de la vraisemblance (Robert, 1992), l'approximation par une loi normale multidimensionnelle (Berger, 1985) et le calcul par technique de simulation Monte Carlo. Les algorithmes d'estimation Monte Carlo ont été introduits en statistique appliquée pour le traitement d'images par Geman & Geman (1984) et en modélisation générale par Gelfand & Smith (1990) puis Gelfand et al. (1990). Nous présentons ici les principes de la technique de simulation dite de Metropolis-Hastings, (appartenant à la famille des techniques Monte Carlo par chaînes de Markov, MCMC), adoptée dans cette étude en raison de sa commodité pour l'estimation des modèles même non linéaires. Elle est décrite en détail dans Tanner (1996), Robert (1996) ou dans Gelman et al. (1995). L'algorithme de Metropolis-Hastings permet de générer par une procédure d'échantillonnage, très simple à mettre en œuvre, la distribution a posteriori conjointe des paramètres d'un modèle statistique. L'algorithme MCMC s'appuie sur la propriété d'ergodicité des chaînes de Markov. Sous des conditions techniques peu spécifiques, il existe une distribution stationnaire limite pour toute chaîne de Markov homogène positive. On considère ici le problème inverse: comment construire une chaîne de Markov convergeant vers une distribution fixée? L'idée de base est de construire un algorithme stochastique récursif sur l'espace des paramètres du modèle de telle sorte que les n dernières valeurs après l'itération p constituent un échantillon de la distribution limite de la chaîne de Markov assurant les transitions dans l'espace des paramètres. [En pratique cette chaîne de Markov est fournie par l'itération d'une même suite d'instructions informatiques où intervient le même appel à la fonction <random>. En termes non mathématiques, la propriété d'ergodicité signifie, qu'après une phase de mise en route, l'algorithme va explorer séquentiellement l'espace des paramètres, comme le feraient des réalisations indépendantes d'une certaine loi de probabilité fixée, pour peu que l'on ait pris les précautions suivantes: l'algorithme ne doit pas pouvoir faire de cycle et aucune region de l'espace des paramètres n'échappe à son exploration.] Le paramètre p est donc choisi "assez grand", mais en pratique la puissance actuelle des microordinateurs permet l'estimation de modèles avec quelques dizaines de paramètres. L'algorithme MCMC est construit de telle sorte que la distribution limite de la chaîne de Markov soit justement la loi a posteriori des paramètres 7t(6 y). [La démonstration de cette propriété peut être trouvée dans Robert (1996, p. 196).] De plus, l'algorithme MCMC évite l'opération de renormalisation de la formule de Bayes, dont le dénominateur est souvent une intégrale multiple difficile, voire impossible, à calculer.

11 208 Ali Chaouche & Eric Parent Les résultats de la simulation stochastique se présentent sous la forme d'un échantillon, des valeurs possibles du vecteur des paramètres du modèle à étudier, qui peut être utilisé pour les phases de prédiction et de validation. En résumé: la technique MCMC permet d'approcher par un histogramme, d'aussi près qu'on le souhaite, la loi de probabilité a posteriori du vecteur des paramètres. RÉSULTATS Modèle de Markov ou de Bernoulli pour l'occurrence de pluie? On désigne par modèle de Bernoulli un modèle de Markov avec des probabilités de transition égales, c'est à dire un modèle dans lequel l'état (sec ou pluvieux) d'un jour n'est pas conditionné par l'état du jour précédent. Il s'avère qu'un modèle de Bernoulli, plus parcimonieux qu'un modèle de Markov, décrit aussi bien une saison des pluies. On se demande alors si les données de pluies journalières sont réellement markoviennes: l'examen de la Fig. 3, qui réalise un test bayésien de l'hypothèse Tto(0 = %\(t) à partir de la loi a posteriori des paramètres, permet de conclure qu'entre les jours 140 et 260 (entre le 20 mai et le 20 septembre, c'est à dire lorsque le régime de mousson est bien installé) l'occurrence des pluies obéit bien à une chaîne de Markov. [On note que les périodes durant lesquelles l'occurrence de pluie n'est pas markovienne pourraient bien être les ( en trait discontinu transition pluie-pluie en trait continu transition sec-pluie (b) Fig. 3 Intervalle de crédibilité à 90%: (a) des probabilités de transition jto et JCI, (b) de la différence des probabilités de transition 7to - 7ti.

12 Inference et validation bayèsiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 209 périodes d'installation (approximativement les deux premières décades de mai) et de retrait (approximativement le mois d'octobre) de la mousson (Fig. 3).] Modèle gamma ou modèle exponentiel pour les hauteurs de pluie? La Fig. 4, obtenue à partir de la loi a posteriori de K, montre que l'estimateur du paramètre de forme de la loi gamma est centré sur la valeur 0.99 et tombe avec 90% de chance dans l'intervalle de crédibilité. Par conséquent la loi exponentielle suffit, pour modéliser la hauteur journalière de pluie. Le modèle décrit-il l'occurrence de pluie et la hauteur de pluie journalière? Dans les Figs 5 et 6, la plage située entre les deux lignes brisées est constituée par les intervalles de tolérance à 90% des moyennes des hauteurs de pluie ou des nombres de jours de pluie. [Le caractère non lissé des limites de la plage de tolérance provient du fait que les intervalles de tolérance sont obtenus de façon empirique, à partir de résultats de simulation.] Les observations des années de validation tombent bien dans la plage de tolérance des prédictions faites par le modèle. Le modèle préserve-t-il les cumuls des hauteurs et des nombres de jours de pluie? Les histogrammes des Figs 7 et 8 sont ceux des statistiques suivantes: - moyenne des nombres annuels de jours de pluie, - moyenne des cumuls annuels de hauteurs de pluie, calculées sur 100 séries prédites par le modèle (chacune ayant 29 années) Fig. 4 Approximation de la loi a posteriori du coefficient K, issue du calcul MCMC.

13 210 Ali Chaouche & Eric Parent jour Fig. 5 Les lignes brisées délimitent la plage de tolérance à 90% des prédictions de la moyenne des hauteurs journalières; les croix sont les moyennes des hauteurs observées dans les années de validation jour Fig. 6 Les lignes brisées délimitent la plage de tolérance à 90% des prédictions de la moyenne des nombres de jours de pluie, les croix sont les moyennes des nombres de jours de pluie observées dans les années de validation.

14 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson M I Fig. 7 Histogramme du nombre annuel moyen de jours de pluie, observé dans chaque série parmi 100 séries de 29 années, simulées a) i o c 0) cr LJ I I I I I I I l bu! mm Fig. 8 Histogramme de la hauteur moyenne interannuelle observée dans chaque série parmi 100 séries de 29 années, simulées. Le Tableau 1 donne les moyennes et les écarts-type des deux statistiques observées et prédites. La proximité des valeurs prédites et des valeurs observées montre que le

15 212 Ali Chaouche & Eric Parent modèle décrit bien le comportement central et la dispersion de la hauteur annuelle d'une part et du nombre annuel de jours de pluie d'autre part. Les durées des épisodes pluvieux sont-elles conservées? Par épisode pluvieux on entend une séquence de jours de pluie successifs. Nous avons déjà vu que le modèle reproduit bien le nombre total annuel des jours de pluie; la question est de savoir si la répartition des durées des épisodes simulés par le modèle est proche de la répartition des durées des épisodes observés. La Fig. 9 montre que la fréquence de la durée observée tombe dans la bande de tolérance des fréquences des épisodes simulés. On en déduit que le modèle conserve la persistance de la pluie journalière. Tableau 1 Les moyennes et les écarts-type des statistiques observées et prédites. Nombre de jours de pluie prédit par le modèle Nombre observé (sur les données validation) Cumul des hauteurs prédit par le modèle Cumul observé (sur les données de validation) Moyenne 56 jours 57.8 jours 859 mm 878 mm Ecart-type 7.7 jours 7.6 jours 163 mm 177 mm durée en jours de l'épisode pluvieux Fig. 9 Bande de tolérance à 90%, des fréquences des durées des épisodes pluvieux, calculée à partir de 100 séries simulées, et durées observées (*) dans la série de validation.

16 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 213 Le modèle rend-il compte d'un changement dans la pluviométrie à la fin des années soixante? Hubert & Carbonnel (1987), Hubert et al. (1989) ont mis en évidence un changement dans des cumuls annuels de pluie en Afrique soudano-sahélienne et situent ce changement dans la seconde moitié des années soixante. Peut-on détecter, au pas de temps journalier, le changement constaté au pas de temps annuel (changement situé entre 1967 et 1968 à Dedougou)? Pour répondre à cette question on procède comme suit: Le modèle est estimé sur les années On tire dans la loi a posteriori du paramètre vectoriel 100 vecteurs; avec chacune de ces réalisations on simule une saison des pluies (entre les looième et 300ième jours de l'année), de même taille que l'échantillon de validation , et on construit l'intervalle de tolérance à 90% pour les prédictions du modèle. La Fig. 10 montre que la moyenne des hauteurs journalières de la période de validation tombe de façon systématique dans la partie inférieure de la plage de tolérance du modèle. On conclut de cette non-validation que les données de calage et les données de validation ne sont donc pas extraites d'une même population, et que les pluies journalières de la période sont significativement plus faibles que celles de la période De façon symétrique, une estimation sur et une tentative de validation sur confirme la conclusion précédente (Fig. 11). La Fig. 11 confirme les résultats de Carbonnel (1983) et de Morel (1986) qui ont attribué la péjoration climatique post 1968 à la diminution de la hauteur de pluie en fin de saison. Fig. 10 Les lignes brisées délimitent la plage de tolérance à 90% de la moyenne simulées, par un modèle estimé sur ; les croix représentent les moyennes des pluies journalières des années de validation ( ).

17 214 Ali Chaouche & Eric Parent Fig. 11 Les lignes brisées délimitent la plage de tolérance à 90% de la moyenne simulées, par un modèle estimé sur ; les croix représentent les moyennes des pluies journalières des années de validation ( ). L'intérêt de ce constat réside dans le fait qu'ici le changement est mis en évidence par l'analyse des pluies journalières et non par des quantités beaucoup plus robustes, telle que les cumuls annuels ou saisonniers. C'est une confirmation de la validité du modèle, dans le domaine de la génération de hauteurs journalières, cohérentes avec les totaux annuels des données de calage. Le modèle conserve-t-il la forme des épisodes de plusieurs jours de pluie successifs? Une des hypothèses constitutive du modèle est l'indépendance des hauteurs de pluie de deux jours consécutifs (et a fortiori de deux jours quelconques); notons que cette indépendance est conditionnelle à la connaissance de leur état sec ou humide. Une analyse exploratoire des données journalières a montré que les séquences de jours de pluie présentent la tendance suivante: la pluie d'un jour donnée est le plus souvent plus faible que celle du jour précédent. La hauteur de pluie aurait ainsi tendance à décroître au cours d'une séquence de jours de pluie. Si ce constat empirique était confirmé cela remettrait en cause l'hypothèse d'indépendance. Ce problème est abordé de la façon suivante: au sein d'une séquence de jours pluvieux, la concordance (ou la discordance) entre hauteur et date est décrite par la statistique de Kendall. [La statistique de Kendall est définie comme la différence entre le nombre de concordances et le nombre de discordances, entre la hauteur de pluie et la date. Là où une trop grande dispersion rend le coefficient d'asymétrie paramétrique peu significatif, la statistique de Kendall (non paramétrique) permet encore de décrire

18 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 215 l'asymétrie d'une suite d'observations. Cette statistique prend une valeur négative pour une suite penchée vers la gauche (asymétrie positive) et une valeur positive pour une suite penchée vers la droite (asymétrie négative)]. La procédure de validation (ou d'invalidation) de l'hypothèse selon laquelle la hauteur de pluie au sein d'une séquence de jours pluvieux, décroît du début vers la fin de cette séquence est la suivante: A l'aide du modèle on simule 100 séries, chacune de même dimension que la série de validation (29 années x 201 jours; ces 201 jours sont entre les dates 100 et 300). Pour chacune des séries simulées, C est le décompte des séquences qui présentent une statistique de Kendall positive, D est le décompte des séquences qui présentent une statistique de Kendall négative. On construit les histogrammes de C (Fig. 12) et de D (Fig. 13). Les mêmes décomptes sont faits sur la série de validation. On trouve (-'Observé 1J4 et.l'observé loj. Cobservé se situe donc nettement à gauche et largement en dehors de l'histogramme des C 0 bservé (Fig. 12): cela signifie que le modèle génère des séquences dans lesquelles la hauteur de pluie croît avec la date, de façon clairement plus systématique que dans la série de validation; ce qui n'est pas pour surprendre, du moins avant le sommet de la mousson en août, puisque dans cette période la moyenne \i t de la hauteur est une fonction monotone croissante de /; on constate au passage que l'aléa du tirage dans la loi gamma de la hauteur de pluie ne brouille pas cette monotonie. -Dobservé tombe dans le quartile supérieur des Aimuiés (Fig. 13): cela signifie que le modèle génère des séquences où les hauteurs de pluie peuvent avoir une tendance systématique à une moindre discordance avec la date, que dans la série observée. 18r to i 1 0U 1 1 I! nombre d'épisodes pour lesquels hauteur de pluie et date sont en concordance Fig. 12 Histogramme du nombre, pour chaque série simulée de 29 années, de séquences pluvieuses présentant un nombre de Kendall positif; 100 séries ont été simulées.

19 216 Ali Chaouche & Eric Parent S I nombre d'épisodes pour lesquels hauteur de pluie et date sont en discordance Fig. 13 Histogramme du nombre, pour chaque série simulée de 29 armées, de séquences pluvieuses présentant un nombre de Kendall négatif; 100 séries ont été simulées. On en déduit que les hauteurs de pluie dans les séquences simulées sont en concordance avec la date, alors que les hauteurs au sein d'une séquence réelle sont bien en discordance avec la date; par conséquent le modèle ne rend pas compte de cet aspect de la pluie journalière à Dedougou (la même tendance est observée, à la station de Ouahigouya et, de façon encore plus significative, à Bobo-Dioulasso). Ce résultat met en question l'hypothèse d'indépendance des hauteurs journalières, pourtant bien commode lors de l'écriture de la vraisemblance du modèle. Le modèle génère-t-il des hauteurs extrêmes compatibles avec les valeurs observées? Les intervalles de tolérance de la Fig. 14 sont construits à partir de 100 séries (chacune ayant 29 années) simulées par le modèle. En chaque jour et pour chaque série, la plus grande valeur dans les 29 années est retenue; pour chaque jour nous disposons ainsi de 100 valeurs maximales, à partir desquelles on construit un intervalle de tolérance. Les maximas observés tombent dans l'intervalle de crédibilité de prédiction du modèle. La Fig. 14 suggère aussi que les maxima ne présentent pas de bimodalité en début de saison; l'impression visuelle de superposition de deux régimes, suggérée par la Fig. 1 n'est donc pas étayée par le modèle, du moins d'après l'analyse des données de Dedougou, limitées à gauche par le looième jour.

20 Inference et validation bayésiennes d'un modèle de pluie journalière en régime de mousson 217 Perspectives jour Fig. 14 Les deux lignes ponctuées par des * délimitent l'intervalle de tolérance à 90% des hauteurs extrêmes prédites; l'autre ligne brisée joint les extrêmes observés dans l'échantillon de validation. La prise en compte d'une dépendance (des hauteurs de deux jours successifs) dans un modèle, complique l'estimation d'un tel modèle. Pour se sortir de cette difficulté on peut envisager de procéder de la façon suivante: (a) vérifier que le modèle, avec hypothèse d'indépendance, conserve les hauteurs de pluie totales observées durant les épisodes de 2, 3,..., 10 jours; (b) réarranger, à l'intérieur de chaque épisode, l'ordre des jours de pluie, par un tirage aléatoire annexe, qui restitue une forme réaliste à chaque épisode: là aussi l'emploi de la statistique de Kendall, qui permet de se ramener à un faible nombre de formes est indiqué (par exemple cette statistique prend seulement quatre valeurs pour un épisode de 3 jours, sept valeurs pour un épisode de 4 jours,...). Si on imagine un épisode pluvieux comme une vidange (certes aléatoire) de réservoir, ce que suggère la tendance à la décroissance des hauteurs à l'intérieur de cet épisode, on est conduit à se demander si la hauteur totale précipitée au cours de cet épisode (ou la hauteur du premier jour) dépend de la durée de la séquence sèche précédente: en effet c'est bien en été (quand il pleut le moins souvent) qu'il y a les orages les plus productifs! Il faudrait donc imaginer un modèle qui traduise une dépendance entre hauteur présente et durée de la séquence sèche précédente.

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