TSpé Math G5-G7 Le jeudi 17/12/2020 Devoir surveillé 4 Nom et prénom : Sujet 1 Durée : 4 heures

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1 TSpé Math G5-G7 Le jeudi 7//00 Devoir surveillé Nom et préom : Sujet Durée : heures Eercice : 5 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples Pour chaque questio, ue seule répose est vraie Cocher la boe répose Chaque boe répose rapporte poit Aucue justificatio est demadée Questio : Das u groupe de 70 persoes, 0 parlet allemad, parlet aglais et 6 parlet espagol De plus, 8 parlet aglais et allemad et parmi eu parle espagol ; aucue persoe e parle qu allemad et espagol Efi, 6 e parlet qu espagol Réposes : 9 persoes e parlet qu espagol et aglais persoes e parlet i aglais i allemad i espagol 7 persoes parlet uiquemet deu des trois lagues parmi l aglais, l espagol et l allemad seule persoe e parle que l allemad Questio : Ue associatio de cosommateurs classe u appareil selo critères : - les performaces : médiocres, correctes, boes ; - le pri : moye, élevé ; - la durabilité : isuffisate, ormale, très satisfaisate Réposes : Il y a 6 catégories possibles pour cet appareil Si l appareil a des performaces médiocres il y a 5 catégories possibles Si la durabilité de l appareil est pas isuffisate, il y catégories possibles Il y a autat de catégories si l appareil a des performaces médiocres que si so pri est moye Questio : U clavier de euf touches, costitué des ombres à 6 et des lettres A, B et C, permet de composer le code d etrée d u immeuble Le code cotiet quatre caractères disticts Réposes : Il y a 656 codes possibles Il y a 6 codes commeçat et se termiat par ue lettre Il y a 6 codes costitués d eactemet trois lettres cosécutives Il y a 60 codes costitués d ue alterace de chiffres et de lettres Questio : O costitue u groupe de persoes choisies parmi 0 hommes et femmes Réposes : O peut costituer groupes O peut costituer groupes d hommes O peut costituer 705 groupes de persoes de même see O peut costituer 60 groupes avec au mois ue femme et au mois u homme Questio 5 : Das l équatio 6 admet : Réposes : Aucue solutio Ue solutio Deu solutios Ue ifiité de solutios

2 Eercice : 6 poits Das ue etreprise, o s itéresse à la probabilité qu u salarié soit abset durat ue période d épidémie de grippe U salarié malade est abset La première semaie de travail, le salarié est pas malade Si la semaie le salarié est pas malade, il tombe malade la semaie + avec ue probabilité égale à 0,0 Si la semaie le salarié est malade, il reste malade la semaie + avec ue probabilité égale à 0, O désige, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, par E l évèemet «le salarié est abset pour cause de maladie la -ième semaie» O ote p la probabilité de l évèemet E O a aisi : p 0 et, pour tout etier aturel supérieur ou égal à : 0 p ) a) Détermier la valeur de p à l aide d u arbre de probabilité b) Sachat que le salarié a été abset pour cause de maladie la troisième semaie, détermier la probabilité qu il ait été aussi abset pour cause de maladie la deuième semaie ) a) Recopier sur la copie et compléter l arbre de probabilité doé ci-dessous : b) Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, p 0,p 0,0 c) Motrer que la suite u défiie pour tout etier aturel supérieur ou égal à par u p 0, 05 est ue suite géométrique dot o doera le premier terme et la raiso r E déduire l epressio de u puis de p e foctio de et de r d) E déduire la ite de la suite p e) O admet das cette questio que la suite p est croissate O cosidère l algorithme suivat : A quoi correspod l affichage fial J? Pourquoi est-o sûr que cet algorithme s arrête?

3 Eercices : 5 poits Détermier les ites suivates e les justifiat Iterpréter graphiquemet ces ites e termes asymptotes, e précisat leurs atures et équatios Ue ite o justifiée ou o détaillée e sera comptabilisée ) e e ) 5 ) 6 5) 6) 5 7) 8) 5 ) e e e 5 Eercice : O cosidère le pavé droit ABCDEFGH suivat Posos J le poit tel que AJ AH et I le milieu de [BG] ) Eprimer AF à l aide des vecteurs AB et AE poits ) Justifier que AJ AD AE ) Motrer que DI AB AD AE ) Démotrer qu il eiste deu réels, y tels que DI AF yaj 5) Que déduit-o de cette égalité?

4 TSpé Math G Le jeudi 7//00 Devoir surveillé Nom et préom : Sujet Durée : heures Eercice : 5 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples Pour chaque questio, ue seule répose est vraie Cocher la boe répose Chaque boe répose rapporte poit Aucue justificatio est demadée Questio : U sac cotiet des jetos Parmi eu, 70 sot bleus et 0 sot rods Réposes : Si le sac cotiet 50 jetos dot 5 sot bleus et rods alors 5 e sot i bleus i rods Si le sac cotiet 0 jetos alors 0 e sot i bleus i rods Si le sac cotiet 00 jetos et que les jetos sot bleus ou rods alors 60 jetos bleus e sot pas rods Si le sac cotiet 0 jetos dot 0 e sot i bleus i rods alors aucu jeto est bleu et rod Questio : U clavier de euf touches, costitué des ombres à 6 et des lettres A, B et C, permet de composer le code d etrée d u immeuble Le code cotiet quatre caractères, disticts ou o Réposes : Il y a 0 codes possibles Il y a 79 codes commeçat et se termiat par ue lettre Il y a 6 codes costitués d eactemet trois lettres cosécutives Il y a 60 codes costitués d ue alterace de chiffres et de lettres Questio : Sept amis, quatre garços et trois filles, se redet à u cocert Ils s assoiet les us à côté des autres das la même ragée Réposes : Il y a 8 5 dispositios possibles Il y a 0 dispositios avec les garços d u côté et les filles de l autre Il y a dispositios avec les filles et les garços itercalés Il y a 880 dispositios avec u garço à chaque etrémité Questio : Ue ure cotiet euf boules : quatre boules blaches umérotées de à, trois boules vertes umérotées de à et deu boules oires umérotées de à O tire simultaémet trois boules de cette ure Réposes : Il y a 50 tirages possibles Il y a tirages avec trois boules de la même couleur Il y a 0 tirages coteat u seul uméro impair Il y a 9 tirages coteat au mois ue oire Questio 5 : Das, l équatio admet : Réposes : Aucue solutio Ue solutio Deu solutios Trois solutios

5 Eercice : 6 poits O étudie u modèle de propagatio d u virus das ue populatio, semaie après semaie Chaque idividu de la populatio peut être, à l eclusio de toute autre possibilité : Soit susceptible d être atteit par le virus, o dira qu il est «de type S» ; Soit malade (atteit par le virus) ; Soit immuisé (e peut plus être atteit par le virus) U idividu est immuisé lorsqu il a été vaccié, ou lorsqu il a guéri après avoir atteit par le virus Pour tout etier, le modèle de propagatio du virus est défii par les règles suivates : Parmi les idividus de type S e semaie, o observe qu e semaie + : 85 % restet de type S, 5 % devieet malades et 0 % devieet immuisés ; Parmi les idividus malade e semaie, o observe qu e semaie + : 65 % restet malades, et 5 % sot guéris et devieet immuisés ; Tout idividu immuisé e semaie reste immuisé e semaie + O choisit au hasard u idividu das la populatio O cosidère les évèemets suivats : S : «l idividu est de type S e semaie» ; M : «l idividu est malade e semaie» ; I : «l idividu est immuisé e semaie» E semaie 0, tous les idividus sot cosidérés «de type S», o a doc les probabilités suivates : P S P M 0 P I 0 0 ; et Partie A O étudie l évolutio de l épidémie au cours des semaies et ) Reproduire sur la copie et compléter l arbre de probabilités doé ci-dessous : 0 0 ) Motrer que P I 0, 05 ) Sachat qu u idividu est immuisé e semaie, quelle est la probabilité, arrodie au millième, qu il ait été malade e semaie? Partie B O étudie à log terme l évolutio de la maladie Pour tout etier aturel, o a : u PS, v PM et w PI les probabilités respectives des évéemets S, M et I ) Justifier que, pour tout etier aturel, o a : u v w

6 O admet que la suite v est défiie par v 0, 65v 0, 05u ) A l aide d u tableau, o calculé les premiers termes des suites u, v et w Pour répodre au questios a) et b), suivates, o utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus a) Quelle formule, saisie das la cellule C, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite v b) O admet que les termes de v augmetet, puis dimiuet à partir d u certai rag N, appelé le «pic épidémique» : c est l idice de la semaie pedat laquelle la probabilité d être malade pour u idividu choisi au hasard est la plus grade Détermier la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle ) a) Justifier que, pour tout etier aturel, o a : u 0, 85u E déduire l epressio de u e foctio de b) Motrer, à l aide d u raisoemet par récurrece, que pour tout etier aturel, v 0,85 0,65 ) Calculer les ites de chacue des suites u, v et w Que peut-o e déduire quat à l évolutio de l épidémie prévue à log terme par ce modèle? Eercice : 5 poits Détermier les ites e les justifiat Iterpréter graphiquemet ces ites e termes asymptotes, e précisat leurs atures et équatios Ue ite o justifiée ou o détaillée e sera comptabilisée ) e 6 e ) ) 5) 7) 8) e ) 6) e e Eercice : poits SABCD est ue pyramide à base carrée ABCD O est le cetre de ABCD, J le milieu deso Le poit K est tel que SK SD ) Justifier soigeusemet que S, B, D, O, J et K sot coplaaires ) a) Eprimer BK e foctio des vecteurs SB et SD b) Justifier que SO SD SB c) E déduire l epressio de BJ e foctio des vecteurs SB et SD d) Motrer que les poits B, K et J sot aligés

7 TSpé Math G5-G7 Correctio du devoir surveillé du jeudi 7//00 Eercice : Sujet 5 poits Questio : Das u groupe de 70 persoes, 0 parlet allemad, parlet aglais et 6 parlet espagol De plus, 8 parlet aglais et allemad et parmi eu parle espagol ; aucue persoe e parle qu allemad et espagol Efi, 6 e parlet qu espagol Démostratio : La boe répose est la a) Costruisos u diagramme de Ve «8 parlet aglais et allemad et parmi eu, persoe parle espagol» veut dire qu il y persoe qui parle les trois lagues et 7 qui e parlet qu aglais et allemad «Aucue persoe e parle qu allemad et espagol» veut dire que les persoes parlat à la fois espagol et allemad fot aussi de l aglais Les effectifs calculés après avoir disposé les doées de l éocé sot e gras Que Espagol Esp (6) Ag et Esp seulemet Autre lague Ag et All seulemet All (0) Groupe (70) Que Aglais Ag () Que Allemad Les lagues Ag et All seulemet a) 9 persoes e parlet qu espagol et aglais La répose est VRAIE b) persoes e parlet i aglais i allemad i espagol La répose est FAUSSE c) = persoes parlet uiquemet deu des trois lagues parmi l aglais, l espagol et l allemad La réose est FAUSSE d) persoes e parlet que l allemad La répose est FAUSSE Questio : Ue associatio de cosommateurs classe u appareil selo critères : - les performaces : médiocres, correctes, boes ; - le pri : moye, élevé ; - la durabilité : isuffisate, ormale, très satisfaisate Démostratio : La boe répose est la c) a) Le ombre de catégories possibles est le cardial du produit cartésie performaces pri durabilité Il y a 8 catégories possibles La répose est FAUSSE b) Si l appareil à des performaces médiocre, il faut détermier le cardial du produit cartésie pri durabilité, ce qui doe 6 catégories possibles La répose est fausse c) Si la durabilité de l appareil est pas isuffisate, c est qu elle est ormale ou très satisfaisate puis multiplie par le cardial précédet Cela doe catégories possibles La répose est VRAIE d) Si l appareil est médiocre, il y a 6 catégories possibles et si le pri est moye, il y a 9 catégories possibles Doc la répose est FAUSSE

8 Questio : U clavier de euf touches, costitué des ombres à 6 et des lettres A, B et C, permet de composer le code d etrée d u immeuble Le code cotiet quatre caractères disticts Démostratio : La boe répose est la d) a) Il y a 9 caractères différetes Les caractères état disticts, o déombre les -arragemets Le ombre de codes possibles est codes possibles La répose est FAUSSE b) Il y a lettres et elles e peuvet pas se répéter O choisit parmi lettre au départ et lettres à la fi Il reste à choisir au milieu caractères parmi 6 ombres et ue lettre Il y a doc codes commeçat et se termiat par ue lettre La répose est FAUSSE c) Das u code avec lettres cosécutives et ombre, il y a deu cofiguratios possibles lettres et ombre ou bie ombre et lettres Les deu cofiguratios ot le même ombre d élémets : 6 6 ce qui doe codes avec lettres d affilée La répose est FAUSSE d) Si o altere des ombres et des lettres, il y a deu cas : Lettre, ombre, lettre, ombre ou bie ombre, lettre, ombre, lettre Ces deu situatios ot le même ombre de cas : ce qui doe codes avec alterace de ombres et de lettres La répose est VRAIE Questio : O costitue u groupe de persoes choisies parmi 0 hommes et femmes Démostratio : La boe répose est la c) a) Les persoes sot choisies simultaémet das u effectif de persoes Cela doe 75 groupes différets La répose est FAUSSE 0 b) Les persoes sot choisies simultaémet das u effectif de 0 hommes Cela doe 0 groupes d hommes La répose est FAUSSE c) Les persoes sot choisies simultaémet das u effectif de 0 hommes ou bie das u effectif de femmes Par pricipe additif, ous obteos groupes de persoes de même see La répose est VRAIE d) Elevos au ombre total de groupes, le ombre de groupe avec seulemet que des hommes et le ombre de groupe avec 0 seulemet que des femmes groupes avec au mois ue femme et au mois u homme La répose est FAUSSE Questio 5 : Das, l équatio 6 Démostratio : La boe répose est la b) Cette équatio a deu solutios réelles 9 et 8 E coclusio, cette équatio a ue seule solutio das (c est 9)

9 Eercice : d après Podichery 0 6 poits Das ue etreprise, o s itéresse à la probabilité qu u salarié soit abset durat ue période d épidémie de grippe U salarié malade est abset La première semaie de travail, le salarié est pas malade Si la semaie le salarié est pas malade, il tombe malade la semaie + avec ue probabilité égale à 0,0 Si la semaie le salarié est malade, il reste malade la semaie + avec ue probabilité égale à 0, O désige, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, par E l évèemet «le salarié est abset pour cause de maladie la -ième semaie» O ote p la probabilité de l évèemet E O a aisi : p 0 et, pour tout etier aturel supérieur ou égal à : 0 p ) a) Détermier la valeur de p à l aide d u arbre de probabilité Démostratio : Voici l arbre complété 0, E E 0,76 0,0 E E 0,96 E 0,0 E 0,96 Selo la formule des probabilités totales, p P E P E E P E E P E P E P E P E 0, 0 0, 0, 96 0, 0 0, 08 E E E b) Sachat que le salarié a été abset pour cause de maladie la troisième semaie, détermier la probabilité qu il ait été aussi abset pour cause de maladie la deuième semaie Démostratio : Utilisos la formule de calcul d ue probabilité coditioelle : PE E 0, 00, 0, 0096 PE E 0, P E 0, 08 0, 08 ) a) Recopier sur la copie et compléter l arbre de probabilité doé ci-dessous :

10 Démostratio : E+ 0, E 0,76 p E+ -p E+ 0,0 E 0,96 E+ b) Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, p 0,p 0,0 Démostratio : Selo la formule des probabilités totales, pour tout etier supérieur ou égal à, E p P E P E E P E E P E P E P E P E P E 0, P E 0, 0 E p 0,p 0,0 p 0, p 0,0 0,0p 0,p 0,0 c) Motrer que la suite u défiie pour tout etier aturel supérieur ou égal à par u p 0, 05 est ue suite géométrique dot o doera le premier terme et la raiso r E déduire l epressio de u puis de p e foctio de et de r Démostratio : Pour tout etier supérieur ou égal à, 0,0 u p 0,05 0,p 0,0 0,05 0,p 0,0 0, p 0,p 0,05 0,u 0, La suite u est alors ue suite géométrique de raiso r = 0, et de premier terme u p 0,05 0 0,05 0,05 Selo la formule du cours, pour tout etier supérieur ou égal à, u 0,05 0, Comme pour tout, u p 0, 05 alors pour tout, p u 0,05 0,050, 0,05 d) E déduire la ite de la suite p Démostratio : Comme 0, 05 alors p 0,05 0, 0,05 0,05 0, 05 0, 0 doc par somme, e) O admet das cette questio que la suite p est croissate O cosidère l algorithme suivat : A quoi correspod l affichage fial J? Pourquoi est-o sûr que cet algorithme s arrête? Démostratio : La variable J cotiet le premier etier 0 tel que pour tout 0, p approche sa ite 0,05 avec ue précisio iférieure à K 0, K etier doé au départ Cet algorithme est sûr de s arrêter car la suite p coverge vers 0,05 et doc ses termes vot se rapprocher de 0,05 au fur et à mesure de l augmetatio des valeurs de et la différece etre p et 0,05 passera e dessous de la précisio imposée

11 Eercices : 5 poits Détermier les ites e les justifiat Iterpréter graphiquemet ces ites e termes asymptotes, e précisat leurs atures et équatios ) e e Démostratio : Nous savos que produit, e doc e Pas d asymptote e ) 0 e Démostratio :, 0 et Alors e et doc par e Par produit et quotiet, ous costatos que ous iversos ue ite ulle Costruisos doc u tableau de sige de pour doer la ite à droite e ; 0 et 0 alors par produit et quotiet, La droite d équatio = est asymptote verticale à la courbe de la foctio associée ) e Démostratio : e e et doc par somme, e Par iversio de ite ifiie, 0 La droite d équatio y = 0 est asymptote horizotale à la courbe de la foctio associée e ) 6 Démostratio : Il y a sûremet ue forme idétermiée " " Factorisos le terme prépodérat ) Pas d asymptote 5 5 Démostratio : Il y a ue forme idétermiée " " puis simplifios et 0 doc par produit, Factorisos le terme prépodérat au umérateur et au déomiateur, 5 5, 0 0 doc par produit et quotiet, d asymptote 5 Pas 5

12 e 6) e 5 Démostratio : Il y a ue forme idétermiée " " simplifios e 0 e e e e e 5 5 5e e e doc e et Factorisos l epoetielle au umérateur et au déomiateur, puis e e 5 5e doc par quotiet, La droite d équatio y = est asymptote horizotale à la courbe de la foctio associée e 7) Démostratio : 0 et 0 Nous avos ue forme idétermiée 0 " " Factorisos le umérateur et 0 simplifios avec le déomiateur 0 ; il y a deu solutios : et Alors la factorisatio du umérateur est : Pas d asymptote 8) 5 Démostratio : utilisos la compositio des foctios 5 5 et X 5 doc par compositio, 5 5 X5 La droite d équatio y 5 est asymptote horizotale à la courbe de la foctio associée e

13 Eercice : O cosidère le pavé droit ABCDEFGH suivat Posos J le poit tel que AJ AH et I le milieu de [BG] ) Eprimer AF à l aide des vecteurs AB et AE Démostratio : Avec la relatio du parallélogramme, das AEFB, AF = AB + AE ) Justifier que AJ AD AE Démostratio : Avec la relatio du parallélogramme, das ADEH, AJ = AH = AD + AE = AD + AE ) Motrer que DI AB AD AE Démostratio : Avec la relatio de Chasles, DI = DA + AB + BI = AD + AB + BG = AD + AB + BC + BF = AD + AB + BC + BF = AD + AB + AD + AE = AB AD + AE ) Démotrer qu il eiste deu réels, y tels que DI AF yaj Démostratio : Remplaços chacu des vecteurs par leurs epressios précédetes : AB AD + AE = AB + AE y AD + AE = pour AB Maiteat idetifios les coefficiets de chaque vecteur : = y pour AD La première lige doe = La = y pour AE deuième lige doey = Vérifos à l aide de la troisième : y = = = Ok Alors DI = AF AJ 5) Que déduit-o de cette égalité? Démostratio : Les vecteurs DI, AF et AJ sot doc coplaaires Géométriquemet, cela veut dire que la droite (DI) est parallèle au pla (AFJ)

14 TSpé Math G Correctio du devoir surveillé du 7//00 Sujet Eercice : Questio : U sac cotiet des jetos Parmi eu, 70 sot bleus et 0 sot rods Démostratio : La boe répose est la c) Pour répodre à ces questios, ous pouvos costruire plusieurs diagrammes de Ve ou plusieurs tableau à double etrée Les doées de l éocé sot e gras a) Il y a 55 jetos i bleus, i rods La répose est FAUSSE Bleus Pas bleus Total Rods Pas rods Total b) Il est impossible de compléter ce tableau doc la répose est FAUSSE Bleus Pas bleus Total Rods 0 Pas rods 00 Total c) Si les jetos sot bleus ou rods, cela veut dire qu il y a pas de jetos d ue autre couleur et d ue autre forme Bleus Pas bleus Total Rods Pas rods Total Il y a 60 jetos bleus qui e sot pas rods La répose est VRAIE d) Il y a 0 jetos bleus et rods doc la répose est FAUSSE Bleus Pas bleus Total Rods Pas rods Total Questio : U clavier de euf touches, costitué des ombres à 6 et des lettres A, B et C, permet de composer le code d etrée d u immeuble Le code cotiet quatre caractères, disticts ou o Démostratio : La boe répose est la b) Comme les caractères peuvet être répétés alors ous devos déombrer des p- uplets a) Il y a 9 caractères e tout et ous devos e choisir avec remise et ordre Il ya doc codes possibles La répose est FAUSSE b) O a choi de lettres pour la première lettre et trois choi de lettre pour la quatrième Esuite, o doit choisir caractères parmi 9 avec remise et ordre Il y a doc codes commeçat et se termiat par ue lettre La répose est VRAIE c) Das u code avec lettres cosécutives et ombre, il y a deu cofiguratios possibles lettres et ombre ou bie ombre et lettres Les deu cofiguratios ot le même ombre d élémets : 6 6 ce qui doe 6 6 codes avec lettres d affilée La répose est FAUSSE d) Si o altere des ombres et des lettres, il y a deu cas : Lettre, ombre, lettre, ombre ou bie ombre, lettre, ombre, lettre Ces deu situatios ot le même ombre de cas : 6 6 ce qui doe codes avec alterace de ombres et de lettres La répose est FAUSSE

15 Questio : Sept amis, quatre garços et trois filles, se redet à u cocert Ils s assoiet les us à côté des autres das la même ragée Démostratio : La boe répose est la c) Le placemet se fait sas répétitio (ue même persoe e peut pas être à deu places différetes), avec ordre et tout le mode doit avoir ue place Nous allos utiliser des permutatios a) Nous devos placer 7 persoes das 7 places Il y a doc 7! 500 ragemets possibles La répose est FAUSSE b) E commeçat à gauche de la ragée, o peut placer les garços e premier ou bie les filles e premier Ces deu ragemets comportet le même ombre de cas :!! ce qui doe e tout!! 88 ragemets possibles La répose est FAUSSE c) Si o altere les filles et les garços, il faut faire attetio au démarrage Si o place ue fille au début de la ragée, comme il y a plus de garços que filles, cela implique de placer garços à côtés à la fi de la ragée F-G-F-G-F-G-G Il faut doc commecer à placer u garço au départ G-F-G-F-G-F-G Il y a ragemets possibles La répose G F G F G F G est VRAIE d) Si o place u garço à chaque etrémité, cela implique qu il reste garços et filles à placer au milieu Il y a 5 0 ragemets possibles La répose est FAUSSE G G Questio : Ue ure cotiet euf boules : quatre boules blaches umérotées de à, trois boules vertes umérotées de à et deu boules oires umérotées de à O tire simultaémet trois boules de cette ure Démostratio : La boe répose est la d) Les boules sot choisies simultaémet doc ous allos déombrer des combiaisos 9 a) Les boules sot choisies simultaémet das u effectif de 9 boules Cela doe 8 tirages possibles La répose est FAUSSE b) Les boules peuvet être de la même couleur que si elles sot blaches ou vertes Il y a tirages avec que des blaches et tirage avec que des vertes Par pricipe additif, ous obteos + = 5 tirages avec les boules de la même couleur La répose est FAUSSE c) E tout, il y a 5 uméros impairs et uméros pairs O doit piocher uméro impair et uméros pir Par pricipe 5 multiplicatif, ous avos tirages coteat u seul uméro impair La répose est FAUSSE I P d) Utilisos le complémetaire de «au mois ue boule oire» qui est «pas de boule oire» 7 Nous devos piocher boules parmi les 7 boules blaches et vertes Cela doe 5 tirages sas boule oire Soustrayos 9 7 ce résultats au ombre de tirages au total Cela doe (questio a)) tirages avec au mois ue boule oire La répose est VRAIE Questio 5 : Das, l équatio Démostratio : La boe répose est la c)! !! 6 0 ou Cette équatio a deu solutios réelles et E coclusio, cette équatio a deu solutios das (0 et )

16 Eercice : métropole jui 07 6 poits O étudie u modèle de propagatio d u virus das ue populatio, semaie après semaie Chaque idividu de la populatio peut être, à l eclusio de toute autre possibilité : Soit susceptible d être atteit par la virus, o dira qu il est «de type S» ; Soit malade (atteit par le virus) ; Soit immuisé (e peut plus être atteit par le virus) U idividu est immuisé lorsqu il a été vaccié, ou lorsqu il a guéri après avoir atteit par le virus Pour tout etier, le modèle de propagatio du virus est défii par les règles suivates : Parmi les idividus de type S e semaie, o observe qu e semaie + : 85 % restet de type S, 5 % devieet malades et 0 % devieet immuisés ; Parmi les idividus malade e semaie, o observe qu e semaie + : 65 % restet malades, et 5 % sot guéris et devieet immuisés ; Tout idividu immuisé e semaie reste immuisé e semaie + O choisit au hasard u idividu das la populatio O cosidère les évèemets suivats : S : «l idividu est de type S e semaie» ; M : «l idividu est malade e semaie» ; I : «l idividu est immuisé e semaie» E semaie 0, tous les idividus sot cosidérés «de type S», o a doc les probabilités suivates : P S P M 0 P I 0 0 ; et Partie A O étudie l évolutio de l épidémie au cours des semaies et ) Reproduire sur la copie et compléter l arbre de probabilités doé ci-dessous : 0 0 Démostratio : S 0,85 S 0,05 M 0, 0,85 I 0,05 M 0,65 0,5 M 0, I I I

17 ) Motrer que P I 0, 05 Démostratio : Selo la formule des probabilités totales, PI PS I PM I PI I PS P I PM P I PI P I 0, 850,0, 050, 5 0, 0, 05 S M I ) Sachat qu u idividu est immuisé e semaie, quelle est la probabilité, arrodie au millième, qu il ait été malade e semaie? Démostratio : Utilisos la formule de calcul d ue probabilité coditioelle : PM I 0, 05 0, 5 0, 075 PI M 0, 086 P I 0, 05 0, 05 Partie B O étudie à log terme l évolutio de la maladie Pour tout etier aturel, o a : u PS, v PM et w PI les probabilités respectives des évèemets S, M et I ) Justifier que, pour tout etier aturel, o a : u v w Démostratio : Pour tout etier aturel, les évéemets S, leurs probabilités est Pour tout etier aturel, O admet que la suite v est défiie par v 0, 65v 0, 05u M et I costituet ue partitio de l uivers doc la somme de u v w P S P M P I ) A l aide d u tableau, o calculé les premiers termes des suites u, v et w Pour répodre au questios a) et b), suivates, o utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus a) Quelle formule, saisie das la cellule C, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite v Démostratio : O traduit la relatio v 0, 65v 0, 05u e =0,65*C+0,05*B b) O admet que les termes de v augmetet, puis dimiuet à partir d u certai rag N, appelé le «pic épidémique» : c est l idice de la semaie pedat laquelle la probabilité d être malade pour u idividu choisi au hasard est la plus grade Détermier la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle Démostratio : Attetio à e pas cofodre la première coloe qui représete les uméros des liges avec la coloe A qui représete la valeur des rags de la suite C est avec cette derière coloe qu il faut répodre Nous remarquos que v v v v doc le pic épidémique est atteit pour N = et das ce cas, la probabilité d être malade est eviro 0,0859 Doc le et 5 pic épidémique a lieu la quatrième semaie ) a) Justifier que, pour tout etier aturel, o a : u 0, 85u E déduire l epressio de u e foctio de Démostratio : E utilisat l arbre de probabilité précédet, u idividu e peut pas être de type S durat ue semaie doée, s il était malade ou immuisé la semaie précédete Il e pouvait qu être de type S la semaie d avat u P S P S S P S P S P S 0,85 0,85u u est doc géométrique de raiso q = La suite S 0,85 et de premier terme, u P S Selo la formule du cours, pour tout, u 0,85 0,85 0 0

18 b) Motrer, à l aide d u raisoemet par récurrece, que pour tout etier aturel, v 0,85 0,65 Démostratio : Posos la propriété P() : v 0,85 0,65 pour et motros qu elle est vraie par récurrece Iitialisatio : Pour = 0 v0 PM0 0 et 0, 85 0, 65 0 Alors v0 0,85 0, 65 Hérédité : Supposos la relatio P() vraie pour u certai rag 0 Hypothèse de récurrece (HR) : v 0,85 0,65 )? Motros alors que P( + ) est vraie ( v 0,85 0, 65 Nous savos que v 0, 65v 0, 05u et que u 0,85 Utilisos (HR) : v 0, 65 0, 85 0, 65 0, 05 0, 85 0,65 0, 85 0, 65 0, 05 0,85 0,65 0, 05 0, 85 0, 65 0, 5 0,85 0, 65 0,85 0, 85 0, 65 0,85 0, 65 Alors P() vraie implique P( + ) vraie Coclusio : Pour tout, P() est vraie c est-à-dire pour tout, v 0,85 0,65 ) Calculer les ites de chacue des suites u, v et w Que peut-o e déduire quat à l évolutio de l épidémie prévue à log terme par ce modèle? Démostratio : Comme 0,85 alors u 0,85 0 De même, comme 0,65, 0,65 0 alors v 0,85 0, 65 0 Pour fiir, pour tout, u v w doc pour tout, w u v w u v 0 0 Alors Iterprétos : P S 0, P M 0 et P I Sur le log terme, il est peu probable qu il y ait ecore des idividus de type S et des idividus malades Par cotre, il est quasi-certai que les idividus soiet immuisés Eercice : Détermier les ites e les justifiat Iterpréter graphiquemet ces ites e termes asymptotes, e précisat leurs atures et équatios ) e 6 e Démostratio : Nous savos que e 0 e 6 e Pas d asymptote et e Alors e et 6 e doc par produit, 9 ) Démostratio :, 9 6 et 0 Par produit et quotiet, ous costatos que ous iversos ue ite ulle Costruisos doc u tableau de sige de pour doer la ite à droite e ; 0 et alors par produit et quotiet, La droite d équatio = est asymptote verticale à la courbe de la foctio associée 9

19 ) Démostratio : et doc par somme, Par iversio de ite ifiie, 0 La droite d équatio y = 0 est asymptote horizotale à la courbe de la foctio associée e ) Démostratio : Il y a sûremet ue forme idétermiée " " Factorisos le terme prépodérat 0 5) Pas d asymptote 5 Démostratio : Il y a ue forme idétermiée " " puis simplifios , 0 d asymptote 6) e e Démostratio : Il y a ue forme idétermiée " " simplifios e 0 e e e e e e e e doc e et et 0 doc par produit, Factorisos le terme prépodérat au umérateur et au déomiateur, 0 doc par produit et quotiet, 5 Pas Factorisos l epoetielle au umérateur et au déomiateur, puis e doc par quotiet, e e La droite d équatio y = - est asymptote horizotale à la courbe de la foctio associée e 7) 5 Démostratio : 0 et 5 0 Nous avos ue forme idétermiée 0 " " Factorisos le umérateur et 0 simplifios avec le déomiateur ; Il y a deu solutios : et Alors 5 la factorisatio du umérateur est : Pas d asymptote 5 7 8) 6 e Démostratio : utilisos la compositio des foctios 6 X 6 et e 0 doc par compositio, e 0 X La droite d équatio y = 0 est asymptote horizotale à la courbe de la foctio associée e

20 Eercice : ) O cosidère le pla (SBD) K SD doc K SBD ; O BD doc O SBD ; J SO doc J SBD coclut que S, B, D, O, J et K sot coplaaires ) a) Grâce à la relatio de Chasles avec le poit B et comme SK SD, o a : BK BS SK SB SD b) Partos de SD SB et utilisos la relatio de Chasles avec le poit O : SD SB SO OD SO OB SO OD OB Or comme O est le milieu de [DB] o a : OD OB 0 doc SD SB SO SO O a SO SD SB c) E utilisat la relatio de Chasles avec le poit S et comme J est le milieu de [SO] alors BJ BSSJ SB SO A l aide du résultat du b), o a : BJ SB SD SB SB SD Doc BJ SB SD d) Comme BK SB SD et BJ SB SD alors BK BJ Les vecteurs BK et BJ sot coliéaires doc les poits B, K et J sot aligés O