3 ème A DS2 : théorème de Thalès et calcul littéral sujet 1
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- Léonard Fortin
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1 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet 1 Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 (6 points) Dans la figure suivante, ABCD est un rectangle et les longueurs sont exprimées dans la même unité : 6 AB = 10 AD = 18 JC = 9 DI = 51 1) Les droites (IJ) et (BD) sont-elles parallèles? (Justifier la réponse) ) Calculer la longueur IJ. ) Quelle est la nature du triangle AIJ? (Justifier la réponse) Exercice : (4,5 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (5 t)² B = (4x + 7)² C = (5 + 4g)(5 4g) Exercice : (4,5 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = (x + 1)² + (x + 1) B = (x + 7)² - 5 C = a² - 4a + 4 Exercice 4: (5 pts) 1) Montrer que l aire grisée est égale à x² + 4x 5. ) Donner la forme factorisée de cette aire. x + ) Justifier que pour x = 7 l aire grisée est supérieure à la moitié de l aire du grand carré. x +
2 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 (6 points) Dans la figure suivante, IJKL est un rectangle et les longueurs sont exprimées dans la même unité : IL = 04 IJ = 54 AJ = 15 BL = 19 1) Les droites (AB) et (JL) sont-elles parallèles? (Justifier la réponse)) ) Calculer la longueur AB. ) Quelle est la nature du triangle ABK? (Justifier la réponse) Exercice : (4,5 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (x + )² B = (x - 5)² C = (a )(a + ) Exercice : (4,5 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = 4a² + 4a + 1 B = (x 1)² + (x 1) C = (x + )² - 16 Exercice 4: (5 pts) 1) Montrer que l aire grisée est égale à x² + 6x + 5. ) Donner la forme factorisée de cette aire. ) Justifier que pour x = l aire grisée est supérieure à la moitié de l aire du grand carré. x + x +
3 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet 1 Exercice 1 (6 points) Dans la figure suivante, ABCD est un rectangle et les longueurs sont exprimées dans la même unité : 6 AB = 10 AD = 18 JC = 9 DI = 51 1) Les droites (IJ) et (BD) sont-elles parallèles? (Justifier la réponse) ) Calculer la longueur IJ. ) Quelle est la nature du triangle AIJ? (Justifier la réponse) 1) CJ CB = 9 18 = 46 CI ,505 et = = CD = 40 = 0,575 Les points C, J, B sont alignés ainsi que les points C, I et D dans le même ordre et CJ CB CI CD ; donc selon la contraposée du théorème de Thalès les droites (IJ) et (BD) ne sont pas parallèles. ) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle CIJ rectangle en C : IJ² = IC² + JC² Soit : IJ² = (10-51)² + 9² = 69² + 9² = = 15 = 115² Donc IJ = 115 ) Calculons AJ² en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABJ rectangle en B : AJ² = AB² + BJ² = 10² + (18-9)² = 10² + 90² = = 500 Calculons AI² en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ADI rectangle en D : AI² = AD² + DI² = 18² + 51² = = 5 75 IJ² + AJ² = = 575 On a donc AI² = IJ² + AJ² Donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AIJ est rectangle en J.
4 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet 1 Exercice : (4,5 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (5 t)² A = 5² - 5 t + t² = t² - 10t + 5 B = (4x + 7)² B = (4x)² + 4x 7 + 7² B = 16x² + 56x + 49 C = (5 + 4g)(5 4g) C = 5² - (4g)² = 5 16g² Exercice : (4,5 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = (x + 1)² + (x + 1) A = (x + 1)[(x + 1) + 1] A = (x + 1)(x + ) A = (x + 1)(x + 1) B = (x + 7)² - 5 B = (x + 7)² - 5² B = [(x + 7) + 5][(x + 7) 5] B = (x + 1)(x + ) C = a² - 4a + 4 C = a² - a + ² C = (a )² Exercice : (5 pts) 1) Montrer que l aire grisée est égale à x² + 4x 5. Aire grisée = (x + )² - ² = x² + 4x = x² + 4x - 5 ) Donner la forme factorisée de cette aire. Aire grisée = (x + )² - ² = (x + +)(x + ) = (x + 5)(x 1) x + ) Justifier que pour x = 5 l aire grisée est supérieure à la moitié de l aire du grand carré. x + 4
![1] A = (x + 1)(x + ) A = (x + 1)(x + 1) B = (x + 7)² - 5 B = (x + 7)² - 5² B = [(x + 7) + 5][(x + 7) 5] B = (x + 1)(x + ) C = a² - 4a + 4 C = a² - a + ² C = (a )² Exercice : (5 pts) 1) Montrer que l](/docs-images/49/20758993/images/page_4.jpg "aire grisée est égale à x² + 4x 5. Aire grisée = (x + )² - ² = x² + 4x + 4 9 = x² + 4x - 5 ) Donner la forme factorisée de cette aire.")
5 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet 1 Pour x = 7, aire grisée = 7 ² = = = 85 4 Pour x = 7, aire du grand carré = 7 + ² = 11 ² 11 = 4 Et 85 4 = > Donc pour x = 7 l aire grisée est bien supérieure à la moitié de l aire du grand carré. 5
6 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet Exercice 1 (6 points) Dans la figure suivante, IJKL est un rectangle et les longueurs sont exprimées dans la même unité : IL = 04 IJ = 5 AJ = 15 BL = 19 1) Les droites (AB) et (JL) sont-elles parallèles? (Justifier la réponse)) ) Calculer la longueur AB. ) Quelle est la nature du triangle ABK? (Justifier la réponse) 1) IB = = 75 IL = 5 IA ,68 et = = IJ ,98 Les points I, B, L sont alignés ainsi que les points I, A et J dans le même ordre et IB IL IA IJ ; donc selon la contraposée du théorème de Thalès les droites (AB) et (JL) ne sont pas parallèles. ) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABI rectangle en I : AB² = AI² + IB² Soit : AB² = (5-15)² + (04-19)² = 100² + 75² = = 1565 = 15² Donc AB = 15 ) Calculons BK² en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle BKL rectangle en L : BK² = BL² + LK² = 19² + 5² = = Calculons AK² en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AJK rectangle en J : AK² = AJ² + JK² = 15² + 04² = = AB² + AK² = = On a donc BK² = AB² + AK² Donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABK est rectangle en A. 6
7 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet Exercice : (4,5 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (x + )² A = x² + x + ² A = x² + 6x + 9 B = (x - 5)² B = (x)² - x 5 + 5² B = 4x² - 0x + 5 C = (a )(a + ) C = (a)² - ² = 9a² - 4 Exercice : (4,5 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = 4a² + 4a + 1 A = (a)² + a 1 + 1² A = (a + 1)² B = (x 1)² + (x 1) B = (x 1)[(x 1) + 1] B = (x 1)x C = (x + )² - 16 C = (x + )² - 4² C = [(x + ) + 4][(x + ) 4] C = (x + 7)(x 1) Exercice 4: (5 pts) 1) Montrer que l aire grisée est égale à x² + 6x + 5. Aire grisée = (x + )² - ² (différence des aires des deux carrés de côté (x+) et ) Aire grisée = x² + 6x = x² + 6x + 5 ) Donner la forme factorisée de cette aire. Aire grisée = (x + )² - ² x + = [(x + ) + ][(x + ) ] = (x + 5)(x + 1) ) Justifier que pour x = l aire grisée est supérieure à la moitié de l aire du grand carré. x + 7
![+ (x 1) B = (x 1)[(x 1) + 1] B = (x 1)x C = (x + )² - 16 C = (x + )² - 4² C = [(x + ) + 4][(x + ) 4] C = (x + 7)(x 1) Exercice 4: (5 pts) 1) Montrer que l aire grisée est égale à x² + 6x + 5.](/docs-images/49/20758993/images/page_7.jpg "Aire grisée = (x + )² - ² (différence des aires des deux carrés de côté (x+) et ) Aire grisée = x² + 6x + 9 4 = x² + 6x + 5 ) Donner la forme factorisée de cette aire.")
8 ème A DS : théorème de Thalès et calcul littéral sujet Pour x =, aire grisée = ² = = = Pour x =, aire du grand carré = + ² = 9 ² 81 = 4 Or 65 4 = 10 8 > Donc pour x = l aire grisée est bien supérieure à la moitié de l aire du grand carré. 8
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