Exo7. Suites. 1 Convergence. Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000520]
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- Marie-Jeanne Gilbert
- il y a 7 ans
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1 Exo7 Suites Convergence Exercice Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000506] Exercice Montrer qu une suite d entiers qui converge est constante à partir d un certain rang. Indication Correction Vidéo [00059] Exercice 3 Montrer que la suite (u n ) n N définie par n est pas convergente. u n = ( ) n + n Indication Correction Vidéo [000507] Exercice 4 Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n ) n et (u n+ ) n convergent vers l. Si (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes, il en est de même de (u n ) n. Si (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes, de même limite l, il en est de même de (u n ) n. Indication Correction Vidéo [000505] Exercice 5 Soit q un entier au moins égal à. Pour tout n N, on pose u n = cos nπ q.. Montrer que u n+q = u n pour tout n N.. Calculer u nq et u nq+. En déduire que la suite (u n ) n a pas de limite. Indication Correction Vidéo [00054] Exercice 6 Soit H n = n.. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 :. En déduire que ln(n + ) H n ln(n) Déterminer la limite de H n. 4. Montrer que u n = H n ln(n) est décroissante et positive. 5. Conclusion? n + ln(n + ) ln(n) n. Indication Correction Vidéo [00050] Exercice 7
2 On considère la fonction f : R R définie par f (x) = x3 9 + x et on définit la suite (x n ) n 0 en posant x 0 = 0 et x n+ = f (x n ) pour n N.. Montrer que l équation x 3 3x + = 0 possède une solution unique α ]0,/[.. Montrer que l équation f (x) = x est équivalente à l équation x 3 3x + = 0 et en déduire que α est l unique solution de l équation f (x) = x dans l intervalle [0, /]. 3. Montrer que la fonction f est croissante sur R + et que f (R + ) R +. En déduire que la suite (x n ) est croissante. 4. Montrer que f (/) < / et en déduire que 0 x n < / pour tout n Montrer que la suite (x n ) n 0 converge vers α. Indication Correction Vidéo [000539] Limites Exercice 8 Posons u = et pour tout entier n 3, u n = ( )( 3 ) ( n ). Calculer u n. En déduire que l on a limu n =. Indication Correction Vidéo [000563] Exercice 9 Déterminer les limites lorsque n tend vers l infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la méthode employée.. ; ; ( )n ;... ; ;... 3 n. / ; 4/3 ; 6/5 ;... ; n/(n ) ; ,3 ; 0,33 ;... ; 0,33 3 ; n + n + + n n (n + )(n + )(n + 3) 5. n [ (n ) 6. n + ] n + n + ( ) n 7. n ( ) n n+ + 3 n+ n + 3 n ( / + /4 + /8 + + / n ) puis ( ) ( )n n ( ) n + n nsin(n!) n + ; ; ; Démontrer la formule n = 6 n(n + )(n + ) ; en déduire lim n n n 3. Correction Vidéo [000568] Exercice 0 On considère les deux suites : u n = +! + 3! + + n! ; n N, v n = u n + n! ; n N.
3 Montrer que (u n ) n et (v n ) n convergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de R\Q. Indication Correction Vidéo [000570] Exercice Soit a > 0. On définit la suite (u n ) n 0 par u 0 un réel vérifiant u 0 > 0 et par la relation u n+ = ) (u n + aun. On se propose de montrer que (u n ) tend vers a.. Montrer que u n+ a = (u n a). 4u n. Montrer que si n alors u n a puis que la suite (u n ) n est décroissante. 3. En déduire que la suite (u n ) converge vers a. 4. En utilisant la relation u n+ a = (u n+ a)(u n+ + a) donner une majoration de u n+ a en fonction de u n a. 5. Si u a k et pour n montrer que u n a ( ) k n a. a 6. Application : Calculer 0 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant u 0 = 3. Indication Correction Vidéo [000569] Exercice Soient a et b deux réels, a < b. On considère la fonction f : [a,b] [a,b] supposée continue et une suite récurrente (u n ) n définie par : u 0 [a,b] et pour tout n N, u n+ = f (u n ).. On suppose ici que f est croissante. Montrer que (u n ) n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l équation f (x) = x.. Application. Calculer la limite de la suite définie par : u 0 = 4 et pour tout n N, u n+ = 4u n + 5 u n On suppose maintenant que f est décroissante. Montrer que les suites (u n ) n et (u n+ ) n sont monotones et convergentes. 4. Application. Soit Calculer les limites des suites (u n ) n et (u n+ ) n. u 0 = et pour tout n N, u n+ = ( u n ). Indication Correction Vidéo [00057] Exercice 3. Soient a,b > 0. Montrer que ab a+b.. Montrer les inégalités suivantes (b a > 0) : a a + b b et a ab b. 3. Soient u 0 et v 0 des réels strictement positifs avec u 0 < v 0. On définit deux suites (u n ) et (v n ) de la façon suivante : (a) Montrer que u n v n quel que soit n N. (b) Montrer que (v n ) est une suite décroissante. u n+ = u n v n et v n+ = u n + v n. (c) Montrer que (u n ) est croissante En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et quelles ont même limite. Indication Correction Vidéo [00057] Exercice 4 Soit n. 3
4 . Montrer que l équation n x k = admet une unique solution, notée a n, dans [0,]. k=. Montrer que (a n ) n N est décroissante minorée par. 3. Montrer que (a n ) converge vers. Indication Correction Vidéo [000574] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 4
5 Indication pour l exercice Écrire la définition de la convergence d une suite (u n ) avec les ε. Comme on a une proposition qui est vraie pour tout ε > 0, c est en particulier vrai pour ε =. Cela nous donne un N. Ensuite séparez la suite en deux : regardez les n < N (il n y a qu un nombre fini de termes) et les n N (pour lequel on utilise notre ε = ). Indication pour l exercice Écrire la convergence de la suite et fixer ε =. Une suite est stationnaire si, à partir d un certain rang, elle est constante. Indication pour l exercice 3 On prendra garde à ne pas parler de limite d une suite sans savoir au préalable qu elle converge! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit (u n ) une suite convergeant vers la limite l alors toute sous-suite (v n ) de (u n ) a pour limite l. Indication pour l exercice 4 Dans l ordre c est vrai, faux et vrai. Lorsque c est faux chercher un contre-exemple, lorsque c est vrai il faut le prouver. Indication pour l exercice 5 Pour la deuxième question, raisonner par l absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Indication pour l exercice 6. En se rappelant que l intégrale calcule une aire montrer : n+ n + dt n t n.. Pour chacune des majorations, il s agit de faire la somme de l inégalité précédente et de s apercevoir que d un coté on calcule H n et de l autre les termes s éliminent presque tous deux à deux. 3. La limite est Calculer u n+ u n. 5. C est le théorème de Bolzano-Weierstrass. Indication pour l exercice 7 Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer α! L existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernière question : il faut d une part montrer que (x n ) converge et on note l sa limite et d autre part il faut montrer que l = α. Indication pour l exercice 8 Remarquer que k = (k )(k+) k.k. Puis simplifier l écriture de u n. Indication pour l exercice 0. Montrer que (u n ) est croissante et (v n ) décroissante.. Montrer que (u n ) est majorée et (v n ) minorée. Montrer que ces suites ont la même limite. 3. Raisonner par l absurde : si la limite l = p q alors multiplier l inégalité u q p q v q par q! et raisonner avec des entiers. Indication pour l exercice. C est un calcul de réduction au même dénominateur.. Pour montrer la décroisance, montrer u n+ u n. 3. Montrer d abord que la suite converge, montrer ensuite que la limite est a. 4. Penser à écrire u n+ a = (u n+ a)(u n+ + a). 5. Raisonner par récurrence. 5
6 6. Pour u 0 = 3 on a u = 3,66..., donc 3 0 u et on peut prendre k = 0.7 par exemple et n = 4 suffit pour la précision demandée. Indication pour l exercice Pour la première question et la monotonie il faut raisonner par récurrence. Pour la troisième question, remarquer que si f est décroissante alors f f est croissante et appliquer la première question. Indication pour l exercice 3. Regarder ce que donne l inégalité en élevant au carré de chaque coté.. Petites manipulations des inégalités. 3. (a) Utiliser. (b) Utiliser. (c) Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pour l exercice 4 On notera f n : [0,] R la fonction définie par f n (x) = n k= xk.. C est une étude de la fonction f n.. On sait que f n (a n ) = 0. Montrer par un calcul que f n (a n ) > 0, en déduire la décroissance de (a n ). En calculant f n ( ) montrer que la suite (a n ) est minorée par. 3. Une fois établie la convergence de (a n ) vers une limite l, composer l inégalité l < a n par f n. Conclure. 6
7 Correction de l exercice Soit (u n ) une suite convergeant vers l R. Par définition ε > 0 N N n N u n l < ε. Choisissons ε =, nous obtenons le N correspondant. Alors pour n N, nous avons u n l < ; autrement dit l < u n < l +. Notons M = max n=0,...,n {u n } et puis M = max(m,l+). Alors pour tout n N u n M. De même en posant m = min n=0,...,n {u n } et m = min(m,l ) nous obtenons pour tout n N, u n m. Correction de l exercice Soit (u n ) une suite d entiers qui converge vers l R. Dans l intervalle I =]l,l + [ de longueur, il existe au plus un élément de N. Donc I N est soit vide soit un singleton {a}. La convergence de (u n ) s écrit : ε > 0 N N tel que (n N u n l < ε). Fixons ε =, nous obtenons un N correspondant. Et pour n N, u n I. Mais de plus u n est un entier, donc n N u n I N. En conséquent, I N n est pas vide (par exemple u N en est un élément) donc I N = {a}. L implication précédente s écrit maintenant : n N u n = a. Donc la suite (u n ) est stationnaire (au moins) à partir de N. En prime, elle est bien évidemment convergente vers l = a N. Correction de l exercice 3 Il est facile de se convaincre que (u n ) n a pas de limite, mais plus délicat d en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu on ne sait pas qu une suite (u n ) converge, on ne peut pas écrire limu n, c est un nombre qui n est pas défini. Par exemple l égalité lim n ( )n + /n = lim ( ) n n n a pas de sens. Par contre voilà ce qu on peut dire : Comme la suite /n tend vers 0 quand n, la suite u n est convergente si et seulement si la suite ( ) n l est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème : Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergeant vers deux limites l et l. Alors la suite (w n ) définie par w n = u n + v n est convergente (on peut donc parler de sa limite) et limw n = l + l. De plus, il n est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple, ( ) n /n est une suite qui converge vers 0 mais qui n est ni croissante, ni décroissante. Voici maintenant un exemple de rédaction de l exercice. On veut montrer que la suite (u n ) n est pas convergente. Supposons donc par l absurde qu elle soit convergente et notons l = lim n u n. (Cette expression a un sens puisqu on suppose que u n converge). Rappel. Une sous-suite de (u n ) (on dit aussi suite extraite de (u n )) est une suite (v n ) de la forme v n = u φ(n) où φ est une application strictement croissante de N dans N. Cette fonction φ correspond au choix des indices qu on veut garder dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite (u n ) que les termes pour lesquels n est un multiple de trois, on pourra poser φ(n) = 3n, c est à dire v n = u 3n. Considérons maintenant les sous-suites v n = u n et w n = u n+ de (u n ). On a que v n = +/n et que w n = +/(n+). Or on a le théorème suivant sur les sous-suites d une suite convergente : Théorème : Soit (u n ) une suite convergeant vers la limite l (le théorème est encore vrai si l = + ou l = ). Alors, toute sous-suite (v n ) de (u n ) a pour limite l. Par conséquent, ici, on a que limv n = l et limw n = l donc l = et l = ce qui est une contradiction. L hypothèse disant que (u n ) était convergente est donc fausse. Donc (u n ) ne converge pas. Correction de l exercice 4. Vrai. Toute sous-suite d une suite convergente est convergente et admet la même limite (c est un résultat du cours).. Faux. Un contre-exemple est la suite (u n ) n définie par u n = ( ) n. Alors (u n ) n est la suite constante (donc convergente) de valeur, et (u n+ ) n est constante de valeur. Cependant la suite (u n ) n n est pas convergente. 3. Vrai. La convergence de la suite (u n ) n vers l, que nous souhaitons démontrer, s écrit : ε > 0 N N tel que (n N u n l < ε). Fixons ε > 0. Comme, par hypothèse, la suite (u p ) p converge vers l alors il existe N tel Et de même, pour la suite (u p+ ) p il existe N tel que p N u p l < ε. p + N u p+ l < ε. 7
8 Soit N = max(n,n ), alors Ce qui prouve la convergence de (u n ) n vers l. n N u n l < ε. Correction de l exercice 5 ( ) ) ) (n+q)π. u n+q = cos q = cos( nπ q + π = cos( nπ q = u n. ( ). u nq = cos nqπ q = cos(nπ) = = u 0 et u nq+ = cos ( (nq+)π q ) ( ) = cos πq = u. Supposons, par l absurde que (u n ) converge vers l. Alors la sous-suite (u nq ) n converge vers l comme u nq = u 0 = pour tout n alors l =. D autre part la sous-suite (u nq+ ) n converge aussi vers l, mais u nq+ = u = cos π q, donc l = cos π q. Nous obtenons une contradiction car pour q, nous avons cos π q. Donc la suite (u n) ne converge pas. Correction de l exercice 6. La fonction t t est décroissante sur [n,n + ] donc n+ n + dt n t n (C est un encadrement de l aire de l ensemble des points (x,y) du plan tels que x [n,n + ] et 0 y /x par l aire de deux rectangles.) Par calcul de l intégrale nous obtenons l inégalité : n + ln(n + ) ln(n) n.. H n = n + n + + +, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l inégalité k ln(k) ln(k ) obtenue précédemment : nous obtenons H n ln(n) ln(n )+ln(n ) ln(n )+ ln()+ln() ln()+. Cette somme est télescopique (la plupart des termes s éliminent et en plus ln() = 0) et donne H n ln(n) +. L autre inégalité s obtient de la façon similaire en utilisant l inégalité ln(k + ) ln(k) k. 3. Comme H n ln(n + ) et que ln(n + ) + quand n + alors H n + quand n u n+ u n = H n+ H n ln(n + ) + ln(n) = n+ (ln(n + ) ln(n)) 0 d après la première question. Donc u n+ u n 0. Ainsi u n+ u n et la suite (u n ) est décroissante. Enfin comme H n ln(n + ) alors H n ln(n) et donc u n La suite (u n ) est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réel γ. Ce réel γ s appelle la constante d Euler (d après Leonhard Euler, , mathématicien d origine suisse). Cette constante vaut environ 0, mais on ne sait pas si γ est rationnel ou irrationnel. Correction de l exercice 7. La fonction polynomiale P(x) := x 3 3x+ est continue et dérivable sur R et sa dérivée est P (x) = 3x 3, qui est strictement négative sur ],+[. Par conséquent P est strictement décroissante sur ],+[. Comme P(0) = > 0 et P(/) = 3/8 < 0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu il existe un réel unique α ]0,/[ tel que P(α) = 0.. Comme f (x) x = (x 3 3x + )/9 il en résulte que α est l unique solution de l équation f (x) = x dans ]0,/[. 3. Comme f (x) = (x + )/3 > 0 pour tout x R, on en déduit que f est strictement croissante sur R. Comme f (0) = /9 et lim x + f (x) = +, on en déduit que f (R + ) = [/9,+ [. Comme x = f (x 0 ) = /9 > 0 alors x > x 0 = 0 ; f étant strictement croissante sur R +, on en déduit par récurrence que x n+ > x n pour tout n N ce qui prouve que la suite (x n ) est croissante. 4. Un calcul simple montre que f (/) < /. Comme 0 = x 0 < / et que f est croissante on en déduit par récurrence que x n < / pour tout n N (en effet si x n < / alors x n+ = f (x n ) < f (/) < /). 5. D après les questions précédentes, la suite (x n ) est croissante et majorée, elle converge donc vers un nombre réel l ]0,/]. De plus comme x n+ = f (x n ) pour tout n N, on en déduit par continuité de f que l = f (l). Comme f (/) < /, On en déduit que l ]0,/[ et vérifie l équation f (l) = l. D après la question, on en déduit que l = α et donc (x n ) converge vers α. Correction de l exercice 8 Remarquons d abord que k radicalement : u n = = k k ( )( + ). = (k )(k+) k.k. En écrivant les fractions de u n sous la cette forme, l écriture va se simplifier (3 )(3 + ) 3.3 (k )(k + ) k.k (k)(k + ) (k + ).(k + ) (n )(n + ) n.n 8
9 Tous les termes des numérateurs se retrouvent au dénominateur (et vice-versa), sauf aux extrémités. D où : Donc (u n ) tends vers lorsque n tend vers +. u n = n + n. Correction de l exercice / / / ;. 0. 3/ /3. Correction de l exercice 0. La suite (u n ) est strictement croissante, en effet u n+ u n = (n+)! > 0. La suite (v n) est strictement décroissante : v n+ v n = u n+ u n + (n + )! n! = (n + )! + (n + )! n! = n! ( n ). Donc à partir de n, la suite (v n ) est strictement décroissante.. Comme u n v n v, alors (u n ) est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers l R. De même v n u n u 0, donc (v n ) est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers l R. De plus v n u n = n!. Et donc (v n u n ) tend vers 0 ce qui prouve que l = l. 3. Supposons que l Q, nous écrivons alors l = p q avec p,q N. Nous obtenons pour n : u n p q v n. Ecrivons cette égalité pour n = q : u q p q v q et multiplions par q! : q!u q q! p q q!v q. Dans cette double inégalité toutes les termes sont des entiers! De plus v q = u q + q! donc : q!u q q! p q q!u q +. Donc l entier q! p q est égal à l entier q!u q ou à q!u q + = q!v q. Nous obtenons que l = p q est égal à u q ou à v q. Supposons par exemple que l = u q, comme la suite (u n ) est strictement croissante alors u q < u q+ < < l, ce qui aboutit à une contradiction. Le même raisonnement s applique en supposant l = v q car la suite (v n ) est strictement décroissante. Pour conclure nous avons montré que l n est pas un nombre rationnel. En fait l est le nombre e = exp(). Correction de l exercice. u n+ a = 4 ( u ) n + a a u n = 4u (u 4 n au n + a ) n = (u n a) 4 u n 9
10 . Il est clair que pour n 0 on a u n > 0. D après l égalité précédente pour n 0, u n+ a 0 et comme u n+ est positif alors u n+ a. ( ) Soit n. Calculons le quotient de u n+ par u n : u n+ u n = + a or a car u u n u n a. Donc u n+ n u n et donc u n+ u n. La suite (u n ) n est donc décroissante. 3. La suite (u n ) n est décroissante et minorée par a donc elle converge vers une limite l > 0. D après la relation u n+ = ) (u n + aun quand n + alors u n l et u n+ l. À la limite nous obtenons la relation l = ( l + a ). l La seule solution positive est l = a. Conclusion (u n ) converge vers a. 4. La relation s écrit aussi Donc u n+ a = (u n a) 4u n (u n+ a)(u n+ + a) = (u n a) (u n + a) 4u. n u n+ a = (u n ( a) 4(u n+ + un + ) a a) u n (u n ( ) a) a 4( + a) u n (u n a) a 5. Par récurrence pour n =, u a k. Si la proposition est vraie rang n, alors u n+ a a (u n a) ( ( ) ) a ( a) k n a ( ) k n a a 6. Soit u 0 = 3, alors u = ( ) = 3,66... Comme 3 0 u donc u Nous pouvons choisir k = 0,7. Pour que l erreur u n a soit inférieure à 0 8 il suffit de calculer le terme u 4 car alors l erreur (calculée par la formule de la question précédente) est inférieure à, Nous obtenons u 4 = 3, Bilan 0 = 3, avec une précision de 8 chiffres après la virgule. Le nombre de chiffres exacts double à chaque itération, avec u 5 nous aurions (au moins) 6 chiffres exacts, et avec u 6 au moins 3... Correction de l exercice. Si u 0 u alors comme f est croissante f (u 0 ) f (u ) donc u u, ensuite f (u ) f (u ) soit u u 3,... Par récurrence on montre que (u n ) est décroissante. Comme elle est minorée par a alors elle converge. Si u 0 u alors la suite (u n ) est croissante et majorée par b donc converge. Notons l la limite de (u n ) n. Comme f est continue alors ( f (u n )) tend vers f (l). De plus la limite de (u n+ ) n est aussi l. En passant à la limite dans l expression u n+ = f (u n ) nous obtenons l égalité l = f (l).. La fonction f définie par f (x) = 4x+5 x+3 est continue et dérivable sur l intervalle [0,4] et f ([0,4]) [0,4]. La fonction f est croissante (calculez sa dérivée). Comme u 0 = 4 et u = 3 alors (u n ) est décroissante. Calculons la valeur de sa limite l. l est solution de l équation f (x) = x soit 4x + 5 = x(x + 3). Comme u n 0 pour tout n alors l 0. La seule solution positive de l équation du second degré 4x + 5 = x(x + 3) est l = + =, Si f est décroissante alors f f est croissante (car x y f (x) f (y) f f (x) f f (y)). Nous appliquons la première question avec la fonction f f. La suite (u 0,u = f f (u 0 ),u 4 = f f (u ),...) est monotone et convergente. De même pour la suite (u,u 3 = f f (u ),u 5 = f f (u 3 ),...). 0
11 4. La fonction f définie par f (x) = ( x) est continue et dérivable de [0,] dans [0,]. Elle est décroissante sur cet intervalle. Nous avons u 0 =, u = 4, u = 6 9, u 3 = 0,9...,... Donc la suite (u n ) est croissante, nous savons qu elle converge et notons l sa limite. La suite (u n+ ) et décroissante, notons l sa limite. Les limites l et l sont des solutions de l équation f f (x) = x. Cette équation s écrit ( f (x)) = x, ou encore ( ( x) ) = x soit x ( x) = x. Il y a deux solutions évidentes 0 et. Nous factorisons le polynôme x ( x) x en x(x )(x λ)(x µ) avec λ et µ les solutions de l équation x 3x + : λ = 3 5 = 0, et µ = 3+ 5 >. Les solutions de l équation f f (x) = x sont donc {0,,λ,µ}. Comme (u n ) est croissante et que u 0 = alors (u n) converge vers l = qui est le seul point fixe de [0,] supérieur à. Comme (u n+) est décroissante et que u = 4 alors (u n+) converge vers l = 0 qui est le seul point fixe de [0,] inférieur à 4. Correction de l exercice 3. Soient a,b > 0. On veut démontrer que ab a+b. Comme les deux membres de cette inégalité sont positifs, cette inégalité est équivalente à ab ( a+b ). De plus, ( ) a + b ab 4ab a + ab + b 0 a ab + b ce qui est toujours vrai car a ab + b = (a b) est un carré parfait. On a donc bien l inégalité voulue.. Quitte à échanger a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmétique et géométrique, et qui préserve le fait d être compris entre a et b), on peut supposer que a b. Alors en ajoutant les deux inégalités a/ a/ b/ a/ b/ b/, on obtient a a + b b. De même, comme tout est positif, en multipliant les deux inégalités a a b on obtient a b b a ab b. 3. Il faut avant tout remarquer que pour tout n, u n et v n sont strictement positifs, ce qui permet de dire que les deux suites sont bien définies. On le démontre par récurrence : c est clair pour u 0 et v 0, et si u n et v n sont strictement positifs alors leurs moyennes géométrique (qui est u n+ ) et arithmétique (qui est v n+ ) sont strictement positives. (a) On veut montrer que pour chaque n, u n v n. L inégalité est claire pour n = 0 grâce aux hypothèses faites sur u 0 et v 0. Si maintenant n est plus grand que, u n est la moyenne géométrique de u n et v n et v n est la moyenne arithmétique de u n et v n, donc, par., u n v n. (b) On sait d après. que u n u n+ v n. En particulier, u n u n+ i.e. (u n ) est croissante. De même, d après., u n v n+ v n. En particulier, v n+ v n i.e. (v n ) est décroissante. (c) Pour tout n, on a u 0 u n v n v 0. (u n ) est donc croissante et majorée, donc converge vers une limite l. Et (v n ) est décroissante et minorée et donc converge vers une limite l. Nous savons maintenant que u n l, donc aussi u n+ l, et v n l ; la relation u n+ = u n v n s écrit à la limite : De même la relation v n+ = u n+v n donnerait à la limite : l = ll. l = l + l. Un petit calcul avec l une ou l autre de ces égalités implique l = l. Il y a une autre méthode un peu plus longue mais toute aussi valable. Définition Deux suites (u n ) et (v n ) sont dites adjacentes si. u n v n,. (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante, 3. lim(u n v n ) = 0.
12 Alors, on a le théorème suivant : Théorème : Si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et ont la même limite. Pour appliquer ce théorème, vu qu on sait déjà que (u n ) et (v n ) vérifient les points et de la définition, il suffit de démontrer que lim(u n v n ) = 0. On a d abord que v n u n 0. Or, d après (a) v n+ u n+ v n+ u n = v n u n. Donc, si on note w n = v n u n, on a que 0 w n+ w n /. Donc, on peut démontrer (par récurrence) que 0 w n w 0 n, ce qui implique que lim n w n = 0. Donc v n u n tend vers 0, et ceci termine de démontrer que les deux suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et ont même limite en utilisant le théorème sur les suites adjacentes. Correction de l exercice 4 Notons f n : [0,] R la fonction définie par : n f n (x) = x k. k=. La fonction f n est continue sur [0,]. De plus f n (0) = < 0 et f n () = n 0. D après le théorème des valeurs intermédiaires, f n, admet un zéro dans l intervalle [0,]. De plus elle strictement croissante (calculez sa dérivée) sur [0,] donc ce zéro est unique.. Calculons f n (a n ). n f n (a n ) = a k n k= = a n n n + a k n k= = a n n + f n (a n ) = a n n (car f n (a n ) = 0 par définition de a n ). Nous obtenons l inégalité 0 = f n (a n ) < f n (a n ) = a n n. Or f n est strictement croissante, l inégalité ci-dessus implique donc a n < a n. Nous venons de démontrer que la suite (a n ) n est décroissante. Remarquons avant d aller plus loin que f n (x) est la somme d une suite géométrique : f n (x) = xn+ x Évaluons maintenant f n ( ), à l aide de l expression précédente Donc f n ( ) < f n(a n ) = 0 entraîne < a n. f n ( ) = ( )n+. = n < 0. Pour résumer, nous avons montré que la suite (a n ) n est strictement décroissante et minorée par. 3. Comme (a n ) n est décroissante et minorée par alors elle converge, nous notons l sa limite : l < a n. Appliquons f n (qui est strictement croissante) à cette inégalité : ( ) f n f n (l) < f n (a n ), qui s écrit aussi : n f n(l) < 0, et ceci quelque soit n. La suite ( f n (l)) n converge donc vers 0 (théorème des gendarmes ). Mais nous savons aussi que f n (l) = ln+ l donc ( f n (l)) n converge vers l car (ln ) n converge vers 0. Donc ; l = 0, d où l =.
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