Exo7. Calculs d intégrales. 1 Utilisation de la définition. Exercice 1 Soit f la fonction définie sur [0,3] par. 1 si 0 < x < 1

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1 Eo7 Calculs d itégrales Utilisatio de la défiitio Eercice Soit f la foctio défiie sur [,3] par si = si < < f () = 3 si = si < 4 si < 3.. Calculer 3 f (t)dt.. Soit [,3], calculer F() = f (t)dt. 3. Motrer que F est ue foctio cotiue sur [,3]. La foctio F est-elle dérivable sur [,3]? [8] Eercice Motrer que les foctios défiies sur R, f () =, g() = et h() = e, sot itégrables sur tout itervalle fermé boré de R. E utilisat les sommes de Riema, calculer les itégrales f ()d, g()d et h(t)dt. [8] Eercice 3 Calculer l itégrale de f : [a,b] R comme limite de sommes de Riema-Darbou das les cas suivats :. f () = si et f () = cos sur [, π ] et k = kπ, k =,,...,,. g() = sur [a,b] R + et k = aq k, k =,,..., (q état à détermier), 3. h() = α sur [a,b], α >, et k = a + (b a). k, k =,,...,. [83] Eercice 4 Les foctios suivates sot-elles itégrables au ses de Riema?. f () = [] sur [,] {[ ]. g : [,] R, g() = si <, si = { 3. h : [,] R, h() = si( ) si <, si =

2 4. k : [,] R, k () = { si [,] Q, si [,]\Q [84] Eercice 5 Soit f : [a, b] R ue foctio itégrable sur [a, b] (a < b).. O suppose que f () pour tout [a,b], que f est cotiue e u poit [a,b] et que f ( ) >. Motrer que b a f ()d >. E déduire que si f est ue foctio cotiue positive sur [a,b] telle que f ()d = alors f est idetiquemet ulle. b a. O suppose que f est cotiue sur [a,b], et que b a f ()d =. Motrer qu il eiste c [a,b] tel que f (c) =. 3. Applicatio : o suppose que f est ue foctio cotiue sur [,] telle que f (t)dt =. Motrer qu il eiste d [,] tel que f (d) = d. [85] Eercice 6 Soit f : [a,b] R cotiue, positive ; o pose m = sup{ f (), [a,b]}. Motrer que ( b lim ( f ()) d) = m. a [86] Eercice 7 Soit f : [, ] R ue applicatio strictemet croissate telle que f () =, f () =. Calculer : lim f (t)dt. [87] Calculs de primitives Eercice 8 Calculer les primitives suivates, e précisat si écessaire les itervalles de validité des calculs : a) arcta d b) ta d c) e) arcsi d f) 3 + ep( ) d g) i) d j) + ep + + d k) l d d d d) h) l) + d l d cosepd [88] Eercice 9 Calculer les primitives suivates : si si + cos d et cos si + cos d.

3 [89] Eercice Calculer les primitives suivates, e précisat si écessaire les itervalles de validité des calculs : a) si 8 cos 3 d b) cos 4 d c) cos 3 sid d) e) si d f) cos d g) 3 si cos + 3ta d h) + si + cos d 7 + ta d [9] 3 Foctios défiies par ue itégrale Eercice Soit f : R R ue foctio cotiue sur R et F() = f (t)dt. Répodre par vrai ou fau au affirmatios suivates :. F est cotiue sur R.. F est dérivable sur R de dérivée f. 3. Si f est croissate sur R alors F est croissate sur R. 4. Si f est positive sur R alors F est positive sur R. 5. Si f est positive sur R alors F est croissate sur R. 6. Si f est T -périodique sur R alors F est T -périodique sur R. 7. Si f est paire alors F est impaire. [9] Eercice Soiet u et v deu foctios dérivables sur R et f ue foctio cotiue sur R.. O pose F() = v() u(). Calculer la dérivée de G() = f (t)dt. Motrer que F est dérivable sur R et calculer sa dérivée. dt +t +t 4. [9] Eercice 3 Soit F() = lt dt. Quel est l esemble de défiitio de F. F est-elle cotiue, dérivable sur so esemble de défiitio?. Détermier lim + F() e comparat F à H() = t lt dt. [93] 3

4 4 Calculs d itégrales Eercice 4 Calculer les itégales suivates : a) d) g) arcta + d b) (arccos) d e) ld h) ( + ) π arcta d c) 3 d f) ( + ) d i) sid 4 d 3 + ( + ) d [94] Eercice 5 Calculer les itégrales suivates : π π + si d et si + si d. [95] Eercice 6 Itégrales de Wallis Soit I = π si ()d si N.. Motrer que (I ) est positive décroissate.. Motrer que I + = + + I et epliciter I, e déduire ( ) d. 3. Motrer que I I + 4. A l aide de ( + )I I + motrer que I π. 5. E déduire.3...(+).4...() π. [96] Eercice 7 Soit I = + d.. E majorat la foctio itégrée, motrer que lim + I =.. Calculer I + I Détermier lim + ( k= ) ( ) k+. k [97] 5 Calculs d aires Eercice 8 Calculer R R R d (o posera θ = arcsi R ) et e déduire l aire d u disque de rayo R. [98] Eercice 9 4

5 Calculer l aire de la régio délimitée par les courbes d équatio y = et y = +. [99] 6 Limites de suites et itégrales Eercice Calculer la limite des suites suivates :. u =. v = k= k= k + ; ( + k ). [] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr 5

6 Idicatio pour l eercice Il faut se souveir de ce que vaut la somme des premiers etiers, la somme des carrés des premiers etiers et de la somme d ue suite géométrique. La formule géérale pour les sommes de Riema est que b a f ()d est la limite (quad + ) de S = b a f (a + k b a k= ). Idicatio pour l eercice 3. O pourra peser que le cosius et le sius sot les parties réelles et imagiaires de la foctio t e it. O chercha doc d abord à calculer π eit dt.. O choisira q tel que q = b a. Idicatio pour l eercice 5. Reveir à la défiitio de la cotiuité e preat ε = f ( ) par eemple.. Soit f est tout le temps de même sige (et alors utiliser la première questio), soit ce est pas le cas (et alors utiliser u théorème classique...). 3. O remarquera que b a f (t)dt = b a ( f (t) t)dt. Idicatio pour l eercice 6 Essayez d ecadrer b a f (t) m dt. Idicatio pour l eercice 7 Il s agit de motrer que la limite vaut. Pour u α > fié o séparera l itégrale e deu partie selo que f est plus petit ou plus grad que α. Idicatio pour l eercice 9 Calculer la somme et la différece de ces deu itégrales. Idicatio pour l eercice Se rameer à ue compositio de foctios ou reveir à la défiitio de la dérivée avec le tau d accroissemet. Idicatio pour l eercice 3. Soit faire comme l eercice, soit séparer l itégrale e deu, et pour l ue faire u chagemet de variable u =.. H() se calcule eplicitemet et motrer qu e fait H est ue foctio costate, esuite il faut comparer H() et F(). Idicatio pour l eercice 6. Faire ue itégratio par parties pour I +. Pour le calcul eplicite o distiguera le cas des pairs et impairs.. Utiliser la décroissace de I pour ecadrer I + I. 6

7 Idicatio pour l eercice 7. Majorer par.. 3. O pourra calculer (I + I ) (I + I ) + (I + I 3 ) Idicatio pour l eercice O pourra essayer de recoître des sommes de Riema. Pour le produits composer par la foctio l. 7

8 Correctio de l eercice. O trouve 3 f (t)dt = +3. Il faut tout d abord tracer le graphe de cette foctio. Esuite la valeur d ue itégrale e déped pas de la valeur de la foctio e u poit, c est-à-dire ici les valeurs e =, =, = ot aucue ifluece sur l itégrale. Esuite o reviet à la défiitio de 3 f (t)dt : pour la subdivisio de [,3] défiie par { =, =, =, 3 = 3}, o trouve la valeur de l itégrale (ici le sup et l if sot atteit et égau pour cette subdivisio et toute subdivisio plus fie).. C est la même chose, mais au lieu d aller jusqu à 3 o s arrête à, o trouve si F() = 3 si < si < Les seuls poits à discuter pour la cotiuité sot les poits = et =, mais les limites à droite et à gauche de F sot égales e ces poits doc F est cotiue. Par cotre F est pas dérivable e = i e =. Correctio de l eercice. E utilisat les sommes de Riema, o sait que f ()d est la limite (quad + ) de k= f ( k ). Notos S = k= f ( k ). Alors S = k= k = k= k = ( ). O a utilisé que la somme des etiers de à vaut ( ). Doc S ted vers. Doc f ()d =.. Même travail : g()d est la limite de S = k k= g(+k ) = k= (+ k ) = k= (+ k + k= k + k= k ) = + ( ) + ). E séparat la somme e trois ous obteos : S = ( + ( )( ) 3 6. Doc à la limite o trouve S = 7 3. Doc g()d = 7/3. Remarque : o a utilisé que la somme des carrés des etiers de à est ( )( ) Même chose pour h(t)dt qui est la limite de S = k k= g( k= e k = = e ) = k= (e ) k. Cette derière somme est la somme d ue suite géométrique, doc S = (e ) e e = ( e ) e qui ted vers e. Pour obteir cette derière limite o remarque qu e posat u = o a e = eu u qui ted vers lorsque u (ce qui est équivalet à + ). Correctio de l eercice 3. O calcul d abord π eit dt. Par le théorème de Riema-Darbou c est la limite de S = k= ( k+ k ) f ( k ). Pour k = kπ (o obtiet e fait u somme de Riema) : S = π e ikπ k= π = Ce qui est ue somme géométrique de somme S = ( i) k= (e iπ π e i π ) k.. La limite de ce tau d accroissemet est + i (e posat u = π et e remarquat que eiu u i quad u ). Doc π eit dt = + i. Mais e it = cost +isit doc π cost dt + π sit dt = +i. Par idetificatio des parties réelles et imagiaires o trouve : π cost dt = et π sit dt =. 8

9 . O veut k = aq k ce qui doe bie = a, mais il faut aussi = b doc aq = b, doc q = b a soit q = ( b a ). Nous cherchos la limite de S = k= ( k+ k ) g( k ). Il est est pas trop dur de motrer que S = (q ). Pour trouver la limite quad + c est plus délicat car q déped de : S = (q ) = (( b a ) ) = (e l b a ). E posat u = et e remarquat que l o obtiet u tau d accroissemet o calcule : S = u (eul b a ) l b a = lb la. Doc b a dt t = lb la. 3. À l aide des sommes géométrique est des tau d accroissemet o trouve b a α t dt = eαb e αa. α Correctio de l eercice 4. Oui.. No. 3. No. 4. No. Correctio de l eercice 5. Écrivos la cotiuité de f e avec ε = f ( ) > : il eiste δ > tel que pour tout t [ δ, + δ] o ait f (t) f ( ) ε. Avec otre choi de ε cela doe pour t [ δ, +δ] que f (t) f ( ). Pour évaluer b a f (t)dt ous la coupos e trois morceau par liéarité de l itégrale : b a δ +δ b f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt. a δ +δ Comme f est positive alors par positivité de l itégrale δ a f (t)dt et b +δ f (t)dt. Pour le terme du milieu o a f (t) f ( ) doc +δ δ f (t)dt +δ f ( ) δ dt = δ f ( ). (pour la derière équatio o calcule juste l itégrale d ue foctio costate!). Le bila de tout cela est que b a f (t)dt δ f ( ) >. Doc pour ue foctio cotiue et positive f, si elle est strictemet positive e u poit alors b a f (t)dt >. Par cotrapositio pour ue foctio cotiue et positive si b a f (t)dt = alors f est idetiquemet ulle.. Soit f est tout le temps positive, soit elle tout le temps égative, soit elle chage (au mois u fois) de sige. Das le premier cas f est idetiquemet ulle par la première questio, das le secod cas c est pareil (e appliquat la première questio à f ). Pour le troisième cas c est le théorème des valeurs itermédiaires que affirme qu il eiste c tel que f (c) =. 3. Posos g(t) = f (t) t. Alors g(t)dt = f (t)dt =. Doc par la questio précédete, g état cotiue, il eiste d [,] tel que g(d) =, ce qui est équivalet à f (d) = d. Correctio de l eercice 6 Notos I = b f (t) a m dt. Comme f (t) m pour tout t [a,b] alors I. Ceci implique que lim + I. Fios α > (aussi petit que l o veut). Comme f est cotiue et m est sa bore supérieure sur [a,b] alors il eiste u itervalle [,y], ( < y), sur le quel f (t) m α. Comme f est positive alors y I f (t) y m dt (m α) ( m α m = (y ) m. Doc I (y ) m α m. Quad + o a (y ), doc à la limite ous obteos lim + I m α m. ) 9

10 Comme α est quelcoque, ous pouvos le choisir aussi proche de de sorte que m α m que désiré. Doc lim + I. E coclusio ous trouvos que lim + I = ce qui était l égalité recherchée. est aussi proche de Correctio de l eercice 7 Soit α > fié. Soit < < tel que pour tout [, ], f () α. Ce eiste bie car f est strictemet croissate et f () =, f () =. Séparos l itégrale e deu : f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt ( α) dt + dt ( α) + ( ) ( α) + ( ) car Soit maiteat doé u ε >, o choisit α > tel que ε (e remarquat que si α alors (α) ), puis il eiste assez grad tel que ( α) ε. Doc pour tout ε > il eiste assez grad tel que f (t)dt ε. Doc f (t)dt. Correctio de l eercice 8 a- arctad = arcta l( + ) + c sur R (itégratio par parties) b- ta d = ta + c sur ] π + kπ, π + kπ[ c- ld = l l + c sur ],[ ],+ [ (chagemet de variable : u = l) d- + d = 3 ( )( + ) + c sur ],+ [ (chagemet de variable : u = + ou itégratio par parties) e- arcsid = arcsi + + c sur ],[ (itégratio par parties) f- 3+ep( ) d = 3 l(3ep + ) + c sur R (chagemet de variable : u = ep) g- d = arccos( 4 ) + c sur ],4[ (chagemet de variable : u = ) h- l d = arcsi(l) + c sur ] e,e[ (chagemet de variable : u = l) i- +ep d = l ( + ep + ) + c sur R (chagemet de variable : u = ep + ) j- ++ d = l( + + ) ( 3arcta 3 ( + ) ) + c sur R k d = 5 l l 4 + c sur R \ {,4} (décompositio e élémets simples) l- cosepd = (cos + si)ep + c sur R (deu itégratios par parties) Correctio de l eercice 9 si si+cos d = ( l cos + si ) + c sur R cos si+cos d = ( + l cos + si ) + c sur R (e calculat la somme et la différece). Correctio de l eercice a- si 8 cos 3 d = 9 si9 si + c sur R. b- cos 4 d = 3 si4 + 4 si c sur R. c- cos 3 sid = 4 cos4 + c sur R. d- si d = l cos +cos +c = l ta +c sur ]kπ,(k + )π[ (chagemet de variable u = cos ou u = ta ). e- cos d = l ( +si si + c = l ta + π ) ] 4 + c sur π + kπ, π + kπ[ (chagemet de variable u = si ou u = ta ). f- 3 si cos+3ta d = 5 l( si)+ 7 l + si +c sur R\{ π 3 [π], π 3 [π]} (chagemet de variable u = si).

11 g- 7+ta d = l ta l cos +c sur R \ { arcta( 7) + kπ, π + kπ, k Z} (chagemet de variable u = ta). h- +si+cos d = ( ) Arcta +ta(/) + c sur R \ {kπ, k Z} (chagemet de variable u = ta(/)). Correctio de l eercice. Vrai.. Vrai. 3. Fau! Attetio au valeurs égatives par eemple pour f () = alors F est décroissate sur ],] et croissate sur [,+ [. 4. Vrai. 5. Vrai. 6. Fau. Faire la calcul avec la foctio f () = + si() par eemple. 7. Vrai. Correctio de l eercice. Commeços plus simplemet avec la foctio v() H() = f (t)dt. a E fait H est la compositio de la foctio v() avec la foctio G : a f (t)dt : H = G v. La foctio v est dérivable et la foctio G aussi (c est ue primitive) doc la composée H = G v est dérivable, de plus H () = v () G (v()). E pratique comme G () = f () cela doe H () = v () f (v()). Remarque : Il est pas écessaire de coaître cette formule mais il est importat de savoir refaire ce petit raisoemet. O motrerait de même que la foctio a u() f (t)dt est dérivable de dérivée u () f (u()). Reveos à otre foctio F() = v() u() f (t)dt = a u() f (t)dt + v() a f (t)dt, c est la somme de deu foctios dérivables doc est dérivable de dérivée : F () = v() f (v()) u () f (u()).. O applique ceci à u() = et v() = ous obteos : G () = + () + () Correctio de l eercice 3. F est défiie sur ],[ ],+ [. F est cotiue et dérivable sur ],[ et sur ],+ [. Pour vois cela il suffit d écrire F() = a dt lt + dt a lt. La première de ces foctios est cotiue et dérivable (c est ue primitive), la secode est la composée de avec a dt lt et est doc aussi cotiue et dérivable. O pourrait même calculer la dérivée.. Notos f (t) = lt et g(t) = t lt. O se place sur ],+ [. Bie évidemmet g(t) f (t), mais ous avos aussi que pour ε > fié il eiste > tel que pour tout t [, ] o ait t + ε doc sur ], ] ous

12 avos f (t) (+ε)g(t). Par itégratio de l iégalité g(t) f (t) (+ε)g(t) sur [, ] ous obteos pour assez proche de : H() F() ( + ε)h(). Il e reste plus qu a calculer H(). E fait g(t) = t lt est la dérivée de la foctio h(t) = l(lt). Doc H() = dt t lt = [l(lt)] = l(l( )) l(l) = l(l) l(l) = l l l = l. Nous obteos alors, pour ε > fié et > assez proche de, l ecadremet Doc la limite de F() quad + est l. l F() ( + ε)l. Correctio de l eercice 4 a- arcta d = π + 3 (chagemet de variables ou itégratio par parties). b- ( ) + arctad = 3π 4 (chagemet de variables u = et arcta + arcta = π ). c- π sid = (itégratio par parties). d- (arccos) d = π + 4 ( itégratios par parties). e- d = π (+ ) (chagemet de variables ou itégratio par parties). f- 3 d = π (chagemet de variables u = arcsi ). g- ld = 8 3 l 7 9 (itégratio par parties). h d = π 6 + (chagemet de variables u = 3 3 ). i- 3+ d = 3l (décompositio e élémets simples). (+) Correctio de l eercice 5 π π +si d = (chagemet de variables u = ta ). si +si d = π (utiliser la précédete). Correctio de l eercice 6. Sur [, π ] la foctio sius est positive doc I est positive. De plus le si doc la suite (si ) est décroissate.. π I + = sisi + d. E posat u () = si et v() = si + et e itégrat par parties ous obteos π I + = ( + ) ( si )si d = ( + )I ( + )I +. Doc ( + )I + = ( + )I. U petit calcul doe I = π et I =. Doc par récurrece pour pair ous obteos que I =.3...( ) π.4...,

13 et pour impair :.4...( ) I = Avec le chagemet de variable u = cos, o motre assez facilemet que ( ) d = ( ) d = I Comme (I ) est décroissate alors I + I + I, e divisat le tout par I > ous obteos I + I + I. Mais ous avos déjà calculer I + ted vers + doc I I +. I = + + qui ted vers quad ted vers l ifii. Doc I + 4. Lorsque l o calcule ( + )I I + à l aide des epressios eplicitées à la deuième questio ous obteos ue fractio qui se simplifie presque complètemet : ( + )I I + = π. 5. Maiteat doc.3...( + ).4...() I I I + = I π ( + ) π, π. = ( + ) π I ( + ) π π 4 π. I I Correctio de l eercice 7. Pour > o a +, doc Doc I lorsque +. [ ] I d = + + = +.. I + I + = + + d = d = Soit S = (I + I ) (I + I ) + (I + I 3 ) ± (I + I ). Par la questio précédete ous avos S = ( ) k+ k ± = k=. Mais d autre part cette somme état télescopique ous avos S = I ± I. Alors la limite de S et doc de ( ) k+ k= k (quad + ) est doc I car I. U petit calcul motre que I = d + = l. Doc la somme alterée des etiers coverge vers l. Correctio de l eercice 8 R R R d = π R. Correctio de l eercice 9 Aire de la régio délimitée par les courbes d équatio y = et y = = π + 3 (résoudre = + ). Correctio de l eercice. Soit u k= = k + k= +( k ). E posat f () = + ous veos d écrire la somme de Riema correspodat à f ()d. Cette itégrale ce calcule facilemet : f (t)dt = d = [arcta] + = π 4. La somme de Riema u covergeat vers f ()d ous veos de motrer que u coverge vers π 4. 3

14 . Soit v = ( ) + k, otos k= w = lv = k= l ) ( + k. E posat g() = l( + ) ous recoaissos la somme de Riema correspodat à I = g()d. Calculos cette itégrale : I = g()d = l( + )d = [l( + )] = l + d = l + [arcta] = l + π. d par itégratio par parties + Nous veos de prouver que w = lv coverge vers I = l + π, doc v = epw coverge vers ep(l + π ) = e π. Bila (v ) a pour limite e π. 4