UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire MATHÉMATIQUES

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Licence d économie Cours de M. Desgraupes MATHÉMATIQUES Corrigé du TD Valeurs propres et vecteurs propres Corrigé ex. 3 : Matrice de valeurs propres données 4 2 La matrice M a pour valeurs propres 7 et 8. a b La trace et le déterminant de M sont respectivement la somme et le produit des valeurs propres. On obtient : Tr(M) 4 + b λ + λ det(m) 4b 2a λ λ On en déduit que b et, par conséquent, a 6. Corrigé ex. 32 : Valeur propre du carré et de l inverse 2 2 A ) On considère V et on calcule : 2 ( ( AV 6 6V 2 5 2) 2 2) Puisque AV 6V, le vecteur V est vecteur propre de A pour la valeur propre ) On calcule A On a alors : A 2 V ( 8 ) ( ( V ) 72 2) Il en résulte que V est vecteur propre de A 2 pour valeur propre ) A est inversible car son déterminant vaut 6 et est donc non nul. L inverse de A est A On a alors : A 6 ( ) ( 2 6 2) 6 V V est vecteur propre de A pour valeur propre 6.

2 Corrigé ex. 33 : Valeurs propres en fonction d un paramètre A m m + 2 m 33-) Pour que A ait une valeur propre nulle, il faut et il suffit que son déterminant (qui le produit des valeurs propres) soit nul. On calcule : det(a) m 2 (m + 2) (m 2)(m + ) Le déterminant s annule pour m 2 ou m. La somme des valeurs propres est égale à la trace λ + λ 2 Tr(A) 2m Si λ 0, on en déduit λ 2 Tr(A). Dans le cas m 2, on obtient λ 2 4 et, dans le cas m, on obtient λ ) On cherche les vecteurs propres associés à la valeur propre 0. Cas où m 2 Le système d équations AX 0 s écrit : 2x + 4x 2 0 x + 2x 2 0 Par conséquent, un vecteur propre possible est V Cas où m Le système d équations AX 0 s écrit : x + x 2 0 x x 2 0 Par conséquent, un vecteur propre possible est V 2.. Corrigé ex. 34 : Trace et déterminant M ) La somme des colonnes de M est égale à 6. 6 Additionner les éléments de chaque ligne revient en fait à multiplier la matrice par le vecteur. 2

3 On trouve donc que MV 6V, ce qui s interprète en disant que V est un vecteur propre de M pour la valeur propre λ ) On calcule Tr(M) Puisque la trace est la somme des valeurs propres, on en déduit que λ +λ 2 +λ 3 6 et, par conséquent, que λ 2 + λ 3 0 puisque λ ) On calcule le déterminant : det(m) 8. Puisque le déterminant est le produit des valeurs propres, on obtient λ λ 2 λ 3 8 et, par conséquent, λ 2 λ 3 3 puisque λ ) On a calculé la somme et le produit des valeurs propres λ 2 et λ 3 : S 0 P 3 On en déduit que λ 2 et λ 3 sont les racines du polynôme P (λ) λ 2 3. On trouve donc λ 2 3 et λ ) En appliquant la même technique à la matrice a b c M b c a c a b on trouve que λ a + b + c et, par conséquent, on a aussi λ 2 + λ 3 0 puisque la trace de cette matrice vaut a + b + c. Le déterminant vaut det(m) 3abc a 3 b 3 c 3 λ λ 2 λ 3. On en déduit que et donc, puisque λ 3 λ 2, λ 2 λ 3 3abc a3 b 3 c 3 a + b + c λ 2 2 a3 + b 3 + c 3 3abc a + b + c Si on appelle Q cette dernière quantité, on voit que λ 2 et λ 3 sont les racines Q. Il faudrait s assurer que l expression Q est positive. Une manière de le voir est la suivante : on verra par la suite que les valeurs propres de la matrice M sont nécessairement réelles car il s agit d une matrice symétrique. Donc le polynôme P (λ) λ 2 Q doit nécessairement donner des racines réelles. La quantité Q ne peut donc pas être négative car autrement elle donnerait des racines complexes. Les valeurs propres λ 2 et λ 3 sont finalement ± Q. Remarque : on peut vérifier que Q (a + b + c) 2 3(ab + bc + ca). Dans l exemple de départ de cet exercice, on avait a, b 2, c 3 et Q 3. Corrigé ex. 35 : Matrice transposée 35-) Soit M une matrice carrée réelle. On a Pt M (λ) det( t M λ I) det ( t (M λ I) ) det ( M λ I) PM (λ) car le déterminant d une matrice est le même que celui de sa transposée. Les polynômes caractéristiques de M et de t M sont identiques et, par conséquent, ces deux matrices ont les mêmes valeurs propres. 3

4 35-2) M Le polynôme caractéristique est P (λ) λ 2 3 λ 0 qui a pour racines λ 2 et λ 2 5. Vecteurs propres de M Vecteur propre pour λ 2 : V 3 ( 2 Vecteur propre pour λ 5 : V 2 ) Vecteurs propres de t M t 4 3 M 2 ( Vecteur propre pour λ 2 : V 2) ( 3 Vecteur propre pour λ 5 : V 2 ) Conclusion : une matrice et sa transposée ont les mêmes valeurs propres mais n ont pas les mêmes vecteurs propres comme le montre l exemple précédent. Corrigé ex. 36 : Matrices idempotentes On appelle matrice idempotente une matrice B telle que B 2 B. 36-) On calcule det(b) 2 det(b 2 ) det(b) Donc le déterminant vérifie la relation x 2 x qui n est possible que si x 0 ou x. 36-2) Soit V un vecteur propre de valeur propre λ, c est-à-dire un vecteur vérifiant B V λv. On a : B 2 V B B V B λv λ B V λ 2 V Mais, compte-tenu du fait que la matrice B est idempotente, on a B 2 V B V λv En comparant les deux résultats précédents, on obtient λ 2 λ, ce qui prouve que λ vaut 0 ou. 36-3) B On vérifie facilement que B 2 B, donc qu il s agit d une matrice idempotente. On calcule det(b) 0 : on en déduit que 0 est effectivement valeur propre. 4

5 Puisque Tr(B) et que les valeurs propres ne peuvent être que 0 ou, on voit que nécessairement 0 est valeur propre simple et est valeur propre double. Vecteurs propres pour λ 0 On résout le système BX 0 et on trouve V Vecteurs propres pour λ 2 On résout le système (B I)X 0 et on trouve V V