Cours de Mr Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 1 LA TRANSLATION
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- Antoinette Paquin
- il y a 7 ans
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1 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 1 L TRNSLTION «Les aths sont comme l'mour. Une idée simple mais qui peut parfois se compliquer.» I. ctivité introductrice : 2 II. La Translation - Introduction : 3 III. Vocabulaire et notations: 3 IV. Translations et parallélogrammes. 4. Image d un point par une translation : 5 1. Définition : 5 2. Sens de cette définition : 5 3. Passage Translation Parallélogramme : méthode. 5. Conséquence très importante de la définition : 6 1. Passage Parallélogramme Translation : méthode. 6 V. Propriétés des translations : 7. Transformation par les translations des figures de base : 7. Propriétés de conservation : 8 VI. Tableau récapitulatif des transformations : 9 VII. Exercices : 10. Construction de figures par translation. 10. Translations : Identification. 11 C. Parallélogrammes et translations. 13
2 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 2 I. CTIVITE INTRODUCTRICE : C D F G N Observe bien les quatre bateaux,, C, D. Quel bateau a été obtenu en faisant glisser le bateau?... Symbolise par une flèche bleue le mouvement exact qu a fait le bateau (en reliant par exemple les sommets des deux mats). Trace de même par une flèche rouge le mouvement qu a fait l arrière (à droite) du bateau. Cette flèche rouge relie-t-elle les arrières des deux bateaux et? ien sûr que. Ces deux flèches sont-elles «les mêmes» (même longueur, même direction, même sens)? Ces 2 flèches étant «les mêmes», on dit qu elles représentent le même «mouvement rectiligne». On dit que la bateau est l image de par la translation de mouvement l une des 2 flèches tracées. Trouve un synonyme pour le mot translation :... Trace par une flèche verte le mouvement rectiligne qui va de F vers G (qu on notera FG ). Trace l image de la figure qui ressemble à un S par la translation qui transforme F en G. Place le point image de par la translation qui transforme F en G. Trace FG en rouge. Quelle semble être la nature de FG?... Place le point N image de N par la translation qui transforme F en G. Trace FGN N en rouge. Quelle semble être la nature de FGN N?...
3 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 3 II. L TRNSLTION - INTRODUCTION : Les transformations au Collège. En 6 ème, nous avons vu «l effet miroir» c-à-d la axiale. En 5 ème, nous avons vu «le demi tour autour d un point fixe» c-à-d la Symétrie.. En 4 ème, nous allons voir «le glissement» c-à-d la Translation. En 3 ème, nous verrons «tourner autour d un point fixe» c-à-d la Rotation. ais revenons à la translation. De quoi s agit il? La Translation est une action (une transformation) qui agit sur les objets du plan (points, droites, figures plus ou moins complexes, dessins ). Comment? Elle va associer à une figure de départ, une nouvelle figure (appelée figure image) de la manière suivante : après glissement selon un mouvement rectiligne donné, les deux figures doivent être superposables. Exercice : Essayez de dessiner en rouge l image F 2 de la figure F 1 par la translation selon le mouvement symbolisé par la flèche noire. J ai déjà dessiné l image du coin inférieur gauche. III. VOCULIRE ET NOTTIONS: F 1 Soient deux points et, on note le mouvement 1 rectiligne qui va de vers. On parle alors de translation selon le mouvement. On la note t. Remarque : par la translation t en quoi est transformé? En C est pourquoi on parle aussi de la translation qui transforme en au lieu de la translation de mouvement. On dit que F 2 est l image de F 1 par la translation t, ou bien que F 2 est le translaté de F 1 par la translation t. Cela se note : t t (F 1 ) = F 2 ou F 1 F 2 3 Exercices : Comment note-t-on : Le mouvement rectiligne qui va de J vers E? Le mouvement qui va de E vers J? La translation de mouvement TU?.. La translation qui transforme I en L?. La translation où I est le transformé de L?. La translation où E est le translaté de L?. La translation où O a pour image?. La translation où l image de O est? 1 Un mot plus savant pour «mouvement» : VECTEUR. Cela sera vu en 3 ème.
4 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 4 Traduire : t CD () = est l.. t P K K est le.. L est l image de P par la translation qui transforme L en K P est le translaté de N par le glissement qui va de N en. Soit la translation t OK. En quoi est transformé O?.. Soit t KO, quelle est l image de K?. Soit une translation qui transforme L en : elle s écrit : Soit une translation telle que N est l image de P : elle peut s écrire :.. IV. TRNSLTIONS ET PRLLELOGRES. Cas Soit en dehors de () Construisez en rouge N, l image de par t. Que semble être la nature du quadrilatère N? Comparez les mouvements N et : N. Cas Soit sur la droite () Tracer en rouge(attention au sens!) Construisez en vert N l image de par t. Où se trouve N? Sur la Comparez les longueurs et N. N Les demi droites[) et [N) sont elles dans le même sens?. Comparez les mouvements N et : N. On va maintenant définir «proprement» (mathématiquement) ce qu est une translation! Soient deux points et (donc on a indirectement le mouvement rectiligne!) : «Définir la translation qui transforme en ( t ), c est être capable de donner (construire) sans ambiguïté l image de n importe quel point du plan par cette translation.» D où la définition de la page suivante :
5 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 5. Image d un point par une translation : 1. Définition : Soient deux points donnés et, et soit un troisième point quelconque : La translation qui transforme en (la translation de mouvement rectiligne ), notée t, est définie de la manière suivante : Quand () alors l image de par t est le point N tel que : N 2 est un parallélogramme. N Quand () alors l image de par t est le point N sur () tel que : = N Et les demi-droites [) et [N) ont le même sens. N 2. Sens de cette définition : Cette définition, dans les deux cas, indique comment il faut construire l image d un point quelconque (en dehors ou sur la droite «portant le mouvement») par une translation. Elle montre le lien profond qui unit translation et parallélogramme. Elle donne le passage : Translations Parallélogramme. Dans les deux cas : Le mouvement rectiligne N est le même que le mouvement rectiligne. c-à-d =.. 3. Passage Translation Parallélogramme : méthode. P (N) éthode : puisque t (P) = Q N alors PQN est un parallélogramme. vous maintenant! Conseil : faites d abord un croquis pour visualiser la situation. Puisque D () t(d) = C L (UR) Puisque tru(l) = E alors est un.. alors Puisque (O). alors OR est un parallélogramme. P Q N 2 ttention à l ordre des lettres!
6 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 6 Puisque.. alors EUR est un... Conséquence très importante de la définition : La «réciproque» du cas est aussi vraie et très importante : Règle : Quand passage Parallélogramme Translation (1 condition ou hypothèse) (2 résultats ou conclusions) N est un parallélogramme alors N est l image de par t N est l image de par t Figure : N Utilité : Cette conséquence sert de relation de passage : Parallélogramme. 1. Passage Parallélogramme Translation : méthode. Soit SEC le parallélogramme ci contre. Complétez : E S C Puisque SEC est un. alors S est l image de par t S Puisque. est un parallélogramme alors est l de E par t. Puisque. est un. alors t CS (E) = Soit EUF le parallélogramme ci contre E Complétez : F U Puisque.. alors t... (F) =. Puisque.. alors.. est l.. de F par t E Puisque.. alors t FU (..) = E Puisque.. alors E t EU
7 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 7 Exercice 1: soit le parallélogramme KPUN : Quel est l image de K par t PU? P U N a pour image U par la translation t K est le translaté de P par.. K t UP ( ) = K N Exercice 2 : E 1 F L image ci-contre te montre deux étoiles. L étoile 2 est l image de l étoile 1 par la translation qui transforme E en K. D C K J 2 I G L image de est... et... est un parallélogramme. L image de est... et... est un parallélogramme. L image de C est... et... est un parallélogramme V. PROPRIETES DES TRNSLTIONS :. Transformation par les translations des figures de base : Dessinez les translatés en rouge du segment, de la droite et du cercle. O Le translaté d un segment est un pa et de même. L image d une droite par une translation est une pa.. Le translaté d un cercle est un de même Son centre est l image par la translation de l ancien
8 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 8. Propriétés de conservation : Les translations conservent les Longueurs : Le translaté d un segment est un. de même En conséquence, les translations conservent aussi le : Le translaté du milieu d un segment est le du segment image. Figure : tracer en rouge les translatés du segment et du milieu du segment. I Les translations conservent le Parallélisme : Les translatées de deux droites parallèles sont deux qui sont aussi.. Figure : tracer en rouge les translatés de ces 2 droites parallèles. Vous remarquez que les deux nouvelles droites sont aussi. entre elles! Les translations conservent les ngles (donc la Perpendicularité) : Le translaté d un angle est un angle de même Figure : tracer en rouge les translatés des 2 droites perpendiculaires. Vous remarquez que les deux droites images sont aussi. entre elles! ttention! Il n est nul part dit que la translaté d une droite est une droite perpendiculaire, ce qui est toujours faux. Codage!
9 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 9 Les translations conservent les ires : Une figure et sa figure translatée ont même.. Tracez en rouge la translatée de la figure ci contre. Ont-elles même aire? Conséquences des propriétés de conservation : Puisque les translations conservent les distances, les angles, le parallélisme alors quelle est l image par une translation : d un triangle isocèle? d un triangle équilatéral? d un parallélogramme? d un rectangle? d un carré? VI. TLEU RECPITULTIF DES TRNSFORTIONS : Transformations «Sens commun» Symétrie axiale «Effet. vue en. ou Réflection» Elément(s) caractéristique(s) xe de symétrie Objet(s) géométrique(s) associé(s) figure d ' Symétrie vue en 5 ème «Demi.» O '... ' vue en 4 ème ' Rotation vue en 3 ème «Tourner autour d un point fixe» Centre de rotation ngle orienté ngle géométrique et Cercle O
10 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 10 VII. EXERCICES :. Construction de figures par translation. éthode de construction : Pour construire la figure image (en couleur!) on doit : Repérer le «mouvement» et le dessiner si ce n est déjà fait puis : On construit l image point par point 3 : à la règle et au compas par parallélogramme quand il n y a pas de quadrillage. par déplacements horizontaux et verticaux sur le quadrillage quand il y en a un. Exercice 1 : Construire l image de la figure suivante par la translation qui transforme en. Exercice 2 : Construire les deux images du pacman suivant par les 2 translations dont chaque vecteur vous est donné. 3 Coin par coin serait plus juste.
11 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 11 Exercice 1 :. Translations : Identification. Chacun de ces dessins représente un petit drapeau CDE auquel on fait subir une transformation géométrique. Dans chacune de ces transformations, le point a pour image '. Remplis le tableau suivant en indiquant : le numéro du dessin correspondant à la transformation. les éléments de chaque transformation (axe de symétrie ou centre de symétrie ou «mouvement»). Fais apparaître en couleur sur chaque figure les éléments qui définissent chaque transformation s ils ne sont pas déjà tracés. n type de transformation éléments définissant la transformation symétrie centrale de centre... translation symétrie axiale symétrie axiale d axe... de «mouvement».. ou. d axe... Exercice 2 : Chacun des triangles 2, 3, 4 et 5 est obtenu à partir du triangle 1 à l'aide d'une symétrie axiale, ou d'une symétrie centrale, ou d'une translation. Complète les trois phrases suivantes : L image du triangle 1 par la symétrie axiale d'axe..... est le triangle... L image du triangle 1 par la symétrie centrale de centre.. est le triangle.. L image du triangle 1 par la translation qui transforme en. est le triangle...
12 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 12 Exercice 3 : Complétez le tableau suivant : type de transformation éléments définissant la transformation type de transformation éléments définissant la transformation 11 Exercice 4 : Construis, sur le quadrillage ci-contre au milieu, un triangle ZN rectangle en et tel que : N = Z = 4 carreaux. 1) Place le point K image de Z par la symétrie de centre. 2) Place le point L image de par la symétrie axiale d'axe (ZN). 3) Place le point J image de Z par la translation qui transforme N en.
13 Cours de r Jules v1.3 Classe de Quatrième Contrat 4 page 13 C. Parallélogrammes et translations. La majorité des exercices de raisonnement vont jouer sur le changement de registres : Passage translation parallélogramme et inversement. Exercice 1 : Soit un triangle C de longueur = 3cm ; C = 4 cm et C = 5 cm 1. Tracer ce triangle C sur votre copie et construire en vert le point D translaté de par la translation qui transforme en C. 2. Quelle est la nature de C? 3. Prouver que DC est un rectangle. 4. Quelle est la nature du triangle COD? Exercice 2 : Sur la figure ci contre (qu on complètera au fur et à mesure ) [C] est un diamètre du cercle C et est un troisième point sur ce cercle C. O C Tracer en vert E et D, les images respectives de et C par la translation qui transforme en. Partie : 1. Prouver que () (C). 2. ontrer que CDE est un rectangle. Partie : 3. ontrer que = E. 4. ontrer que (C) est la médiatrice de [E]. 5. En déduire la nature de CE.
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