Devoir commun de Mathématiques Février 2014 Corrigé

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1 Premières ES Devoir commun de Mathématiques Février 204 Corrigé Partie A : calcul algébrique Exercice (8 points) On considère la fonction f définie par sur R par f ( x)= x 3 +6 x 2 9 x+4. ) Montrer que pour tout réel x, f (x)=( x 4)( x 2 +2 x ) On développe la forme proposée : ( x 4)( x 2 +2 x )= x 3 +2 x 2 x+4 x x+4 = x 3 +6 x 2 x 8 x+4 = x 3 +6 x 2 9 x+4 = f ( x) On a bien : f ( x)=( x 4)( x 2 +2 x ),5 2) Résoudre l'équation f ( x)=0. f ( x)=0 ( x 4)( x 2 +2 x )=0 x 4=0 ou x 2 +2 x =0 x=4 ou x 2 2 x+=0 x=4 ou ( x ) 2 =0 x=4 ou x =0 x=4 ou x= S={;4} 3) Résoudre l'équation f ( x)>0. x 4 + x x 2 +2 x 0 f ( x) On veut résoudre l'inéquation f ( x)>0 donc on cherche les signes «+». 2 S=] ;[ ]; 4[ Devoir commun Février 204

2 Partie B : lecture graphique Sur la figure ci-dessous est tracée en partie la courbe représentative de la fonction f (donnée dans la partie A). Les tangentes à la courbe de f aux points d'abscisses et 3 sont parallèles à l'axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à la courbe de f au point A d'abscisse 4. ) Résoudre graphiquement l'équation f (x)=4. On trace la droite horizontale d'équation y=4. Cette droite coupe la courbe en deux points d'abscisses x =0 et x 2 =3. S={0 ;3} 2) Déterminer graphiquement les nombres dérivés f ' (), f ' (3) et f ' (4). f ' () est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse. Cette tangente est horizontale donc de coefficient directeur nul d'où : f ' ()=0. f ' (3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3. Cette tangente est horizontale donc de coefficient directeur nul d'où : f ' (3)=0. f ' (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4. Cette tangente est la droite (T). On choisit deux points de la droite : A(4 ;0) et par exemple B(3;9) Pour se déplacer de B à A on avance de carreau et on descend de 9 carreaux d'où : coefficient directeur= Δ y Δ x = 9 = 9 On en déduit que f ' (4)= 9. 3) Démontrer que la tangente à la courbe de f au point A admet pour équation y= 9 x+36. Le point A est le point de la courbe d'abscisse 4 donc l'équation de la tangente à la courbe au point A est donnée par : y= f ' (4)( x 4)+ f (4) f ' (4)= 9 d'après la question précédente et f (4)=0 (lecture graphique) Donc y= 9(x 4) y= 9 x 9 4 y= 9 x 36 Devoir commun Février 204 2

3 Exercice 2 (7 points) On considère une urne contenant une boule rouge, deux boules bleues, trois boules jaunes et quatre boules vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. Un joueur tire, au hasard, une boule dans l'urne. ) Calculer la probabilité des événements suivants : R : «tirer une boule rouge» : P ( R)= 0 =0, B : «tirer une boule bleue» : P ( B)= 2 0 =0,2 J : «tirer une boule jaune» : P ( J )= 3 0 =0,3 V : «tirer une boule verte» : P (V )= 4 0 =0,4 2) En fonction de la couleur tirée, le joueur se voit attribuer une somme d'argent selon la convention suivante : si la boule tirée est rouge on gagne 5 si la boule tirée est bleue ou jaune, on gagne 2 si la boule tirée est verte on perd 0 Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage, le gain réalisé par le joueur. a) Déduire de la question P ( X =5), P ( X =2) et P ( X = 0). P ( X =5)=P ( R)=0, P ( X =2)=P ( B)+P( J )=0,2+0,3= P ( X = 0)=P (V )=0,4 b) Déterminer l'espérance mathématique de X et en interpréter le résultat. Le jeu estil équitable pour le joueur? X prend les valeurs 5, 2 et 0. Loi de probabilité de X x i P ( X = x i ) 0, 0,4 Espérance de X E ( X )=5 0,+2 0 0,4 E ( X )=,5 Interprétation Cela signifie qu'en jouant un très grand nombre de fois à ce jeu, on perd en moyenne,5. Conclusion Le jeu est défavorable au joueur. Devoir commun Février 204 3

4 3) Maintenant, on gagne toujours 5 si la boule tirée est rouge, et on perd toujours 0 si la boule tirée est verte. Par contre on gagne m si elle est bleue ou jaune, m désignant un réel positif. Calculer m pour que le jeu soit équitable. Nouvelle loi de probabilité de X x i 5 m 0 P ( X =x i ) 0, 0,4 Espérance de X E ( X )=5 0,+m 0 0,4 =,5+ m 4 = 2,5+ m,5 Le jeu est équitable lorsque l'espérance est nulle. On résout donc l'équation m. E ( X )=0 2,5+ m=0 m = 2,5 m = 2,5 m = 5 E ( X )=0 d'inconnue Conclusion : Le jeu devient équitable si on gagne 5 lorsque la boule tirée est bleue ou jaune. Exercice 3 (6 points) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. ) Multiplier une valeur par 2 revient à lui appliquer une hausse de 200 %.,5 FAUX! Multiplier par 2 signifie que le coefficient multiplicateur de l'évolution est 2. Or le coefficient multiplicateur d'une hausse de 200 % est : c=+ 200 =+2=3 et non 2! 00 Un coefficient multiplicateur de 2 correspond à une hausse de 00 % (car 2= ) 2) Une action baisse de 30 %. Pour retrouver sa valeur initiale, elle doit augmenter d'environ 43 %. VRAI! Coefficient multiplicateur de la première évolution : c t = =0,7 Coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque : c r = = c t 0,7 L'évolution réciproque est bien une augmentation d'environ 43 %.,43= Devoir commun Février 204 4

5 3) Après une baisse de 7 %, le tarif d'un billet de train Paris-Caen atteint 52 euros. Le prix avant la baisse était de 60,84 euros.,5 FAUX! 7 x =( 00 ) x 0=0,83 x 0 Le prix après la baisse est 52 euros, c'est-à-dire x =52. Calculons x 0. x 0 = x 0,83 = 52 62,65 Le prix avant la baisse était de 62,65 euros et non 60,84 euros. 0,83 4) Une valeur subit une hausse de 20 % puis une baisse de 70 %. L'évolution globale est équivalente à deux baisses successives de 40 %. VRAI! Coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 20 % puis une baisse de 70 % : c =( + 00 )( 00 ) =,2 0,3=0,36 Coefficient multiplicateur correspondant à deux baisses successives de 40 % : c 2 =( 00 )( 00 ) =0,6 0,6=0,36 Les deux coefficients multiplicateurs sont égaux donc les deux évolutions globales sont équivalentes. 5) Le taux de TVA est de 9,6 %. Pour un acheteur, il est plus avantageux que le vendeur lui propose une réduction de 5% sur le prix TTC que sur le prix HT. FAUX! Réduction de 5% sur le prix TTC On applique donc une hausse de 9,6% puis une baisse de 5%. Le coefficient multiplicateur est donc : c=( +9, )( 00 ) Réduction de 5% sur le prix HT On applique donc une baisse de 5% puis une hausse de 9,6%. Le coefficient multiplicateur est donc : 5 c=( 00 )( +9,6 00 ) Les deux coefficients multiplicateurs sont égaux donc les deux opérations sont équivalentes : aucune des deux réductions n'est plus avantageuse que l'autre. Devoir commun Février 204 5

6 Exercice 4 (9 points) Chaque mois, une entreprise produit x quintaux ( quintal = 00 kg) de sirop d érable, x étant compris entre 3 et 34. On suppose que toute la production est vendue. Le coût total de production, noté C ( x ) et exprimé en milliers d euros, est fonction de la quantité x de sirop produit. La représentation graphique C du coût total est donnée dans le repère orthogonal ci-joint. Partie A ) Déterminer par lecture graphique : a) le coût total de production, en euros, de 25 quintaux de sirop d'érable ; On lit l'image de 25. C (25) 5500 Le coût de production de 25 quintaux de sirop d'érable est de milliers d'euros. b) La quantité de sirop d'érable produite, en quintaux, pour un coût total de production de milliers d'euros ; On lit l'antécédent de C (27,8) 7000 Pour milliers d'euros, on produit environ 27,8 quintaux de sirop d'érable. c) Les quantités de sirop d'érable produites, en quintaux, pour un coût total de production supérieur à milliers d'euros ; 0,75 On trace la droite horizontale d'équation y=3500. On observe ensuite la partie de la courbe située au-dessus de la droite. Cela correspond sur l'axe des abscisses à x 2,2 (environ) Pour un coût de production supérieur à milliers d'euros, on peut produire au moins 2,2 quintaux de sirop d'érable. Devoir commun Février 204 6

7 2) La recette totale est exprimée en milliers d'euros à l'aide de la fonction R définie sur l'intervalle [3;34] par R( x)=250 x. Tracer la représentation graphique R de cette fonction dans le même repère que C. R est une fonction linéaire représentée graphiquement par une droite. On a donc besoin de deux points : R(4)=250 4=000 donc on place le point de coordonnées (4;000). R(32)=250 32=8000 donc on place le point de coordonnées (32;8000). 3) Déterminer graphiquement le bénéfice réalisé, en euros, par l'entreprise, pour la production de 20 quintaux de sirop d'érable. Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles. 0,75 Pour la production de 20 quintaux de sirop d'érable : le coût de production est d'environ milliers d'euros la recette est de 5000 milliers d'euros =800 Le bénéfice réalisé pour la production de 20 quintaux de sirop d'érable est de 800 milliers d'euros. 4) Déterminer graphiquement pour quelle quantité (exprimée au quintal près) de sirop vendue, le bénéfice est positif ou nul. Justifier la réponse. Le bénéfice est positif ou nul lorsque la recette est supérieure ou égale au coût de production. On regarde donc quand la droite des recettes est au-dessus de la courbe des coûts. Cela correspond à une quantité x de sirop d'érable entre environ 5 et 27 quintaux. Partie B Le coût total de production, en milliers d'euros, est donné par : C ( x)=x 3 42 x x+50, pour x compris entre 3 et 34. ) Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise est : B( x)= x x x 50, pour x compris entre 3 et 34. C ( x)=x 3 42 x x+50 R( x)=250 x Bénéfice = Recette Coût de production B( x)=r( x) C ( x) =250 x ( x 3 42 x x+50) =250 x x x x 50 B( x)= x x x 50 2) Déterminer la fonction dérivée B' de la fonction B. B( x)= x x x 50 B ' ( x)= 3 x x 396 B ' ( x)= 3 x x 396 Devoir commun Février 204 7

8 3) a) Étudier le signe de B' sur l'intervalle [3;34] et en déduire le tableau de variations de la fonction B. B' est une fonction du second degré. a= 3 b=84 c= 396 donc Δ=b 2 4 ac = ( 3) ( 396) = =2304 Δ>0 donc la fonction B' a deux racines : x = b Δ = a 2 ( 3) x 2 = b+ Δ 2a = ( 3) = =22 ( 6) = =6 6,5 B' est négatif (signe de a) sauf entre ses racines. x B ' ( x) B( x) B(3)= = 887 B(6)= = 30 B(22)= =98 B(34)= = 4266 b) Pour quelle quantité de sirop le bénéfice est-il maximum? Que vaut-il alors? On cherche le maximum dans le tableau de variations de la fonction B. Le bénéfice est maximum lorsque l'entreprise produit 22 quintaux de sirop d'érable. Le bénéfice vaut alors 98 milliers d'euros. Devoir commun Février 204 8

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