POLYNOMES. On appelle polynôme ou fonction polynôme (ou fonction polynomiale) à une indéterminée x sur R (ou C) l'expression définie par , 2 0

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1 POLYNOMES.. Introduction. Nous vous proposons dans cette annee le chapitre sur les polynômes et les fractions rationnelles. Ce module est important pour la suite du cours. Il ne comporte pas d eercices supplémentaires, ni de test. Vous pouvez faire les eercices et éventuellement poser des questions au tuteur.. Définitions. On appelle polynôme ou fonction polynôme (ou fonction polynomiale) à une indéterminée sur R (ou C) l'epression définie par P = a + a a + a+ a, n N n n n n 0 où a 0, a,..., a n sont des éléments de R (ou C) appelés coefficients du polynôme P. On utilise aussi la notation P( )= n i= 0 a i i, a i est un monôme et a i le coefficient du monôme. i Si P 0, on appelle degré de P, et on note deg( P) ou encore d P, le plus grand entier naturel n tel que a n 0. Le coefficient a n est le coefficient du terme de plus haut degré. Une constante non nulle est un polynôme de degré 0. Le polynôme nul n'a pas de degré On dit que le polynôme P On dit que le polynôme P est pair si et seulement si p N a p+ = est impair si et seulement si p N a p =, 0, 0 La somme et le produit de deu polynômes sont encore des polynômes et :

2 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. deg P + Q Ma deg P,deg Q et deg deg deg PQ = P + Q. 4 a) P = + + est un polynôme pair. b) P = est un polynôme impair. c) Si P = + + et Q( )= + alors 4 + = + et P( ) Q( )= + ( P + Q)= Ma( ( P) ( Q) )= Ma( )=, ( PQ) = 4 = ( P) + ( Q) = +. P Q deg deg,deg, deg deg deg, et on a bien. Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes. Etant donnés deu polynômes A et B avec B 0, il eiste un couple unique de polynômes ( Q, R ) vérifiant : A = BQ + R et deg( R)< deg ( B) ou R( )= 0. Le polynôme Q est le quotient de la division euclidienne de A par B Le polynôme R le reste de la division euclidienne de A par B. Si R = 0, alors A est divisible par B (ou encore B divise A ).. Considérons la division euclidienne du polynôme A = + + par B = + +. Le quotient Q( ) est donné par Q = et le reste R par R = +. On a donc = ( + + ) A = + + ( )+ +

3 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars Division suivant les puissances croissantes. Etant donné un entier naturel h et deu polynômes A et B avec B( 0) 0, il eiste un couple unique de polynômes ( Q, R ) vérifiant : h+ A = BQ + R et ( deg ( Q) h ou R( )= 0 ). Le polynôme Q est le quotient de la division de A par B suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h et le polynôme R le reste de la division de A par B suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h. Disposition pratique de l opération. On ordonne les deu polynômes A et B suivant les puissances croissantes : A = a0 + a + a + K et B = b + b+ b + et on pose la division (voir eemple ci-dessous). 0 K Déterminons le quotient de la division du polynôme suivant les puissances croissantes jusqu'à 5 4 l'ordre du polynôme A = par B = Le quotient Q donc = + est alors donné par Q et le reste R par R =. On a ( + ) + A = = + ( ).

4 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars Racine d un polynôme. Ordre de multiplicité. Soit a un nombre réel ou complee. Un polynôme P est divisible par ( a) si et seulement si Pa = 0. Le nombre a est alors appelé racine du polynôme P. (On dit aussi que a est un zéro de P ) Un nombre a est racine d'ordre α,( α N ) est divisible par a multiplicité du zéro a de P ). α, mais pas par ( a) + Une racine simple est une racine d'ordre. Une racine double est une racine d'ordre., d'un polynôme P, si et seulement si P α (on dit aussi que α est l'ordre de Le polynôme P = + 6 admet et comme racines simples (d ordre ). Il peut s écrire sous la forme P = + 6= ( ) ( + ) ; il est donc divisible par et par ( + ). 4 Le polynôme P( )= admet et comme racines doubles (d ordre ). Il peut s écrire sous la forme P( )= = ( ) ( ) ; il est donc divisible par ( ) et par. 4

5 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars Factorisation des polynômes à coefficients réels. Théorème de D Alembert. 6.. Théorème. Tout polynôme P à coefficients complees, de degré n > 0, admet eactement n racines, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité et s'écrit α α α p P = an( ) ( )... p avec α α... αp n. Les valeurs,,... p sont toutes distinctes = On dit que l'on a décomposé P en produit de facteurs premiers. ( + ) = 4 P = = ( ) ( + ) ( i) ( + i) 6.. Cas où les coefficients sont réels. Si un polynôme P à coefficients réels admet le nombre complee a C R pour racine, alors le conjugué a de a est aussi racine, avec le même ordre de multiplicité. Donc le nombre de racines non réelles de P est pair. Le polynôme P = + 5 admet + i et donc i comme racines simples (d ordre ). Il peut s écrire sous la forme P = + 5= ( i) ( + i). Tout polynôme à coefficients réels se factorise sous la forme n Q a ak n k p q m pr qr m r =( )...( ) ( + + )...( + + ) avec i = p i 4q i < 0. 5

6 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. Polynômes de degré impair Tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine dans R. 6

7 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. FRACTIONS RATIONNELLES.. Définition. Considérons deu polynômes P et Q( ) (Q( ) 0) On appelle fonction rationnelle ou fraction rationnelle F( ) le quotient de P par Q( ) et P on note F( )= Q.. Pôle d'une fraction rationnelle. Soit a un nombre réel ou complee... Zéro de F( ). P On dit qu'un nombre a est un zéro d'ordre α de F( )= Q d'ordre α de P et a n'est pas un zéro de Q. si et seulement si a est un zéro.. Pôle de F( ). On dit qu'un nombre a est un pôle d'ordre α de F d'ordre α de Q( ). P ( )= Q si et seulement si a est racine ) F( ( ) )=, est zéro d ordre ; F ( )= + +, est pôle d ordre. ( ) 7

8 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. ) La fraction rationnelle comme pôle d ordre. admet et comme zéros (simples) et 0. Partie entière d'une fraction rationnelle. Soit F P. Il eiste un couple unique de polynômes à coefficients complees Q ( )=, R tel que : P = QE + R ( R)< deg( Q) ( E ) Donc deg R E( )+ Q E est appelée la partie entière de F( ). Il en résulte que E et R coïncident avec le quotient et le reste de la division de P par Q( ) suivant les puissances décroissantes. si deg( P)< deg( Q) alors E = 0. 5 ) La fraction rationnelle admet comme partie entière ; elle peut s écrire sous la forme =. 5 8

9 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. ) D où + + = ( + ) Partie principale d'une fraction rationnelle relative à un pôle. 4.. Définition. On appelle partie principale de la fraction rationnelle F α, l'epression A A + ( a) ( a) P ( )= Q relative au pôle a d'ordre Aα où A, A,..., Aα sont des constantes complees. a α α 4.. Théorème. Toute fraction rationnelle se décompose en la somme de sa partie entière et des parties principales relatives au différents pôles ; cette décomposition est unique. 9

10 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars Détermination pratique de la partie principale relative à un pôle. Supposons que la fraction rationnelle F P ( )= Q α donc de la forme Q =( a) Q ( ), Q( a) 0. admette un pôle a d'ordre α. Q est Pour obtenir la partie principale relative au pôle a, on pose X = a et on effectue la division suivant les puissances croissantes de P a par Q ( a) jusqu à l ordre α. + 7 La partie principale de la fraction rationnelle est égale à 4 ( ) En effet, ( ) = ( ). 5. Décomposition en éléments simples dans R. Soit la décomposition du polynôme Q en produit de polynômes irréductibles sur R n Q a ak n k p q m pr qr m r =( )...( ) ( + + )...( + + ) avec = p 4q < 0. i i i Toute fraction rationnelle à coefficients réels se décompose sous la forme P E Q = + + pôles réels pôles complees conjuguées A A + ni ( a ) ( a ) i ni i An i a i M + N M + N + mi ( + p + q ) ( + p + q ) i i mi i i où A, A,..., M, N, M, N,... sont des constantes réelles Cette décomposition est unique. Mm + N i m i p + q i i 0

11 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. Sachant que la décomposition est unique, si F( ) est paire, ou impaire, on obtient des relations entre les coefficients. Les termes en A ( a ) simples de première espèce. Les termes en k k n i i i + M + N ( X + p + q ), k =,..., n (correspondant au pôles réels) sont dits éléments mi mi m j i i + j j conjugués) sont dits éléments simples de seconde espèce., j =,..., m (correspondant au pôles complees 6. Méthode pratique de décomposition. 6.. Cas général. Si deg( P) deg( Q), on cherche la partie entière de F P ( )= Q ; celle-ci s'obtient en calculant le quotient de la division euclidienne de P par Q( ). Une fois que E est P calculée, on est ramené automatiquement à décomposer une autre fraction F( )= Q avec deg( P)< deg( Q). 6.. Pôles de première espèce Pôle simple. Si a est un pôle simple de F( ) alors Q( ) se met sous la forme Q = ( aq ) ( ) avec Q( a) et la partie principale relative à a se met sous la forme 0 λ avec a Pa λ =. Q( a)

12 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. Ainsi, F est de la forme F λ B ( )= a + Q ( ). De manière pratique, pour déterminer le coefficient λ, on multiplie les deu membres de P ( )= Q par a F et on fait = a., c est-à-dire P ( a) Q ( ) Considérons la fraction rationnelle relative au pôle simple. + ( + ) Ici, Q( ) = ( + ) Q( ) et Q( ) = +. D où λ= et calculons la partie principale P( ) = = Q ( ). 8 De la même manière, la partie principale relative au pôle simple est de la forme +. On a ainsi ( + )( + ) = ( + ) + 8 ( + ). + + Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle ( + )( + )( + ). La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Il n'y a que des pôles réels et donc des éléments simples de première espèce. La décomposition de F en éléments simples est de la forme : + + A B C = ( + )( + )( + ) + + ( + ) + ( + ) où A, B et C sont des nombres réels à déterminer.

13 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant par dans + F, on obtient A =. En remplaçant par dans + F, on obtient B =. En remplaçant par dans + F, on obtient C = 7. La décomposition est donc : =. ( + )( + )( + ) + ( + ) + ( + ) Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle. + On détermine la partie entière E, puisque le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. On effectue la division euclidienne du numérateur ; par le dénominateur +, ce qui donne = ( + )( + ) 5 D'où Puisque + = ( )( ), on cherche A et B réels tels que 5 A B R = = ( )( ) + En passant au fonctions rationnelles associées et en remplaçant par dans ( ) R( ) on obtient A = 5. En remplaçant par dans ( ) R( ), on obtient B = 5. D où 5 5 = Pôle simple. b) Si 0 est pôle multiple d'ordre n alors F P ( )= P n = Q Q et Q( 0) 0. Les coefficients de la décomposition relative au pôle 0 sont ceu de la division suivant les

14 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. puissances croissantes de P par Q( ) à l'ordre n (on obtient les coefficients à l'envers). Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle ( ). La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Le dénominateur de F admet deu pôles réels : 0 est un pôle triple et pôle simple La décomposition de F( ) en éléments simples est de la forme : A A A B = ( ) où A, A, A et B sont des nombres réels à déterminer. En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant par dans F, on obtient B =. Le pôle triple étant le réel 0, il n'y a pas lieu d'effectuer de translation. On forme la division suivant les puissances croissantes de par + jusqu'à l'ordre ; = ( + )( ) + d où par division par ( ), on obtient = + ( ) et donc A =, A = et A = (On retrouve la valeur B = ). Si a 0 est pôle multiple d'ordre n >, on effectue d'abord la translation h = a et on se ramène au cas précédent en effectuant la division suivant les puissances croissantes de Ph = P ( + a) par Q ( h) = Q ( + a) à l'ordre n. Si l'ordre de multiplicité est ou, on procède par identification en remplaçant par une valeur particulière (en évitant les pôles) ou en multipliant par et en faisant tendre vers l'infini (ce n'est possible que si la partie entière est nulle). 4

15 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle ( ) ( + ). La partie entière est nulle. Le dénominateur de F( ) admet deu pôles réels : est un pôle double et pôle triple. La décomposition de F( ) en éléments simples est de la forme : + A A B B B = ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + où A, A, B, B et B sont des nombres réels à déterminer. Pour le pôle réel double, on effectue la translation = + h et on effectue la division suivant les puissances croissantes de + = ( + h) + = + h+ h par ( + ) = ( + h) = 8+ h+ 6h + h Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de h + h+ h par 8+ h+ 6h + h à l ordre est 4 8 d où par division par h ( + h), et donc + h+ h = +... h ( + h) 4h 8h A = et A 4 = 8 Pour le pôle réel triple, on effectue la translation = + k et on effectue la division suivant les puissances croissantes de + = ( + k) + = k + k par ( ) = ( + k) = 4 4k + k Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de k k + k par 4 4k + k à l ordre est + 8 d où par division par k ( k) k + k = k ( k) k 8k et donc B =, B = 0 et B = 8 5

16 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. Par conséquent, + = ( ) ( ) 4( ) 8( ) ( + ) 8( + ) 6.. Pôles de seconde espèce. Pour déterminer les éléments simples de la forme M + N m m m ( + p + q), m >, en multipliant par ( + p + q) m et en remplaçant par la racine complee, en identifiant partie réelle et partie imaginaire des deu membres, on obtient un système de deu équations à deu inconnues sur M m et N m qui permet de calculer ces deu coefficients. M On considère alors la fraction rationnelle m + Nm F( ) ( + p + q) y a unicité de la décomposition en éléments simples. On calcule alors les coefficients du terme M m + N m ( + p + q) précédente, c'est la méthode de diminution du degré. m m que l'on simplifie, puisqu'il en utilisant la méthode Cas particulier : S'il n'y a que des pôles complees, c'est-à-dire si la fraction rationnelle se présente sous la P forme ( + p + q) m (puis des différents quotients) par + p + q, on effectue les divisions euclidiennes successives de P + Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle ( )( + ) est pôle simple et i et i sont pôles doubles. La décomposition est de la forme 6 + A a + b c + d = ( )( ) ( + ) + Le coefficient A est obtenu en multipliant par et en faisant = ; A =

17 Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 000. La fraction a + b c + d + peut être calculée par la différence ( + ) ( )( + ) ( + ). 4 On trouve ainsi a + b c + d = ( ) 4 + La division de par + suivant les puissances décroissantes donne = + [ 7( ) ] ( + ). : On en déduit, en divisant par 4 + d où a + b ( + ) 6 + c + d + + = ( + ) = ( )( ) 4 ( + ) 4( + ). + 7

18 Eercices corrigés. Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000. POLY-E0 4 Soit le polynôme P( )= Calculer P() puis P. En déduire la décomposition du polynôme P en produits de polynômes irréductibles dans R. POLY-E0 Montrer que le polynôme P( )= + admet une racine double. En déduire la décomposition du polynôme P en produits de polynômes irréductibles dans R. POLY-E0 Soit P un polynôme dont le reste de la division euclidienne par est et par + est 4. Quel est le reste de la division euclidienne de P par + 6? POLY-E04 4 Déterminer les réels a et b de façon que le polynôme P( ) = a + b admette la racine + i. Factoriser en polynômes irréductibles dans R. POLY-E05 n+ n Déterminer les réels a et b de façon que le polynôme P( )= a + b +,( n ) soit divisible par ( ). POLY-E06 Dans R, déterminer le polynôme P reste de la division de P de degré, divisible par ( ) par + soit. et et tel que le

19 Eercices corrigés Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E07 Décomposer en éléments simples sur R, la fraction rationnelle + 5 ( ) POLY-E08 Décomposer en éléments simples sur C puis sur R, la fraction rationnelle POLY-E09 Décomposer en éléments simples sur R, la fraction rationnelle ( + )( + 4) POLY-E0 Décomposer en éléments simples sur R, la fraction rationnelle POLY-E Décomposer en éléments simples sur R, la fraction rationnelle 4 POLY-E Décomposer en éléments simples sur R, la fraction rationnelle ( + + )

20 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E0S P 0 on peut mettre ( ) ()= en facteurs, P= 0 on peut mettre ( ) en facteurs, ( ) On peut donc mettre en facteur le produit. Puisque le polynôme P Soit en développant puis en identifiant P( ) = ( )( )( + ) est du 4 ème degré alors P( ) = ( )( )( a + b + c) Le trinôme du second degré est à discriminant négatif La décomposition en produit de polynômes irréductibles sur R est ainsi effectuée. La décomposition en produit de polynômes irréductibles sur C est P( ) = ( )( )( i)( + i)

21 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 P( ) = + P ( ) = 6 6 POLY-E0S P ( ) = 6 Une racine double a C vérifie Pa = a a + = 0 ( ) P ( a) = 6a 6a = 0 P ( a) = a 6 0 ( ) Seules les valeurs 0 et sont solutions de () et 0 n'est pas solution de (), par contre est solution de (), () mais pas de (), donc a = est racine double et P( ) = ( ) ( + ). P() = P () = 0 et P () 0.

22 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E0S Le reste de la division du polynôme P par est équivaut à P =. Le reste de la division du polynôme P par + est 4 équivaut à P( ) = Puisque ( )( + ) = + 6 le reste de la division du polynôme P du second degré R = a+ b. On a donc d où 4. par le polynôme + 6 est un polynôme du premier degré donc de la forme P( ) = ( )( + ) Q( ) + a + b avec d P P = a+ b= P( ) = 4 a+ b= 4 a = et b= Le reste de la division du polynôme P (vérifiant les conditions de l énoncé (avec d ( P) ) par le polynôme + 6 est le polynôme R =

23 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E04S P( ) est un polynôme à coefficients réels. S'il admet la racine z0 = + i C R. Il admet aussi la racine complee conjuguée z0 = i. P( ) est divisible par ( i)( + i) = En divisant a + b par + 5, on trouve pour reste ( a ) + b 0 Le polynôme P( ) admet la racine + i si a = et b = 0. 4 et P( ) = = ( + 5)( ) = ( + 5)( + )( + )

24 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E05S Le polynôme P( ) est divisible par ( ) si et seulement si est racine au moins double de l'équation P( )= 0 donc si et seulement si P() = P () = 0 et P () 0. n+ P( ) = a + b + P( ) = a + b + n P ( ) = ( n + ) a + nb P ( ) = ( n + ) a + nb P ( ) = nn ( + ) a + nn ( ) b n n n n Le système a+ b+ = 0 ( n+ ) a+ nb= 0 admet une solution unique a = n b= n. et P ( ) = n ( n+ ) n( n+ ) = n( n ) 0 pour n Pour n, P( ) est divisible par ( ) si et seulement si a = n et b = n

25 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E06S Le polynôme P est de degré, et puisqu il est divisible par et par, il s écrit sous la forme P( ) = ( )( )( a + b) Le reste de la division de P par + est si et seulement si Pi ()= 0, c est-à-dire si et seulement si ( i )( i )( ai + b) = ou encore ( a+ b) + i( a b) = Puisque le polynôme est à coefficients réels alors a et b sont réels. Donc d où a+ b= a b= 0 a = b= P = et et ( )

26 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E07S La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Il y a deu pôles sont réels triples : et. Il n'y a que des éléments simples de première espèce. En considérant la fraction rationnelle associée, puisque F R, F( ) = F( ). est paire donc Tenant compte de l'unicité de la décomposition en éléments simples, on en déduit la forme des parties principales attachées à chaque pôle et l'epression de la décomposition. A A A B B B F( ) = ( ) ( ) ( + ) ( + ) + A A A B B B F( ) = + + ( + ) ( + ) ( ) ( ) d où B = A, B = A, B = A. On détermine seulement la partie principale relative au pôle = par la méthode de division selon les puissances croissantes effectuées à l'ordre. On effectue la translation = + h et donc + 5= ( + h) + 5= 7+ 4h+ h ( + ) = ( + h) = 8+ h+ 6h ( + h ) ( terme inutile) Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de h+ h par 8+ h+ 6h à l ordre est h+ h soit A = 7, A A 8 =, 6 = 6 Finalement en revenant à la fraction rationnelle X 6 8( + ) 6( + ) 6( + )

27 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E08S i i j j j e = ( )( )( ) = ( )( + + ) avec = = + π Il y a un pôle réel simple et deu pôles complees simples conjugués j et j = j La décomposition de F( ) en éléments simples sur C est de la forme: A B C = + j + j avec A réel et B et C complees Considérons la fraction rationnelle associée, elle est à coefficients réels, elle reste inchangée par passage au conjugué A B C F( ) = F( ) = = + j + j par suite de l'unicité de la décomposition en éléments simples, on a C = B En remplaçant par dans F, on obtient A = En remplaçant par j dans j F, on obtient j B = = = = ( j )( j j ) j + j j j j = + j + j dans C Et en regroupant les fractions complees non réelles: R = + dans + +

28 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E09S Il y a quatre pôles complees simples deu à deu conjugués i et i puis i et i. La base de la décomposition de F en éléments simples sur R est : M + N S + T = + ( + )( + 4) On considère la fonction rationnelle F( ) associée. La fonction rationnelle associée est impaire R, F( ) = F( ) M N S T M N S T F( ) = F( ) = = = + ( + )( + 4) Par suite de l'unicité de la décomposition en éléments simples : N = N et T = T N = T = 0 lim ( F( )) = 0 M + S = 0 + On remplace par M = Finalement : = ( + )( + 4) + 4 ( + )

29 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-E0S Le polynôme du quatrième degré irréductibles dans R doit être décomposé en produits de polynômes + + = ( + + ) = ( + + )( + ) La base de la décomposition de F( ) en éléments simples sur R est : M N S T + + = + = ( )( ) + La fonction rationnelle associée est paire F( ) = F( ). M N S T F( ) = + + = = + ( + )( + + ) par suite de l'unicité de la décomposition en éléments simples : M = S et N = T En remplaçant par 0, on obtient = N + T N = T = En remplaçant (par eemple) par, on obtient : = M S + M = et S = Finalement + + = + ( + + ) En utilisant les racines cubiques de l'unité et plus précisément le nombre π i i j = e = +, on obtient en remplaçant par j dans ( ) F j = Mj + N soit en utilisant la relation + j + j = 0 j j j Mj N j j + = = = ( + ) = + et l'on retrouve M = et N = j

30 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-ES Le polynôme du quatrième degré 4 doit être décomposé en produit de polynômes irréductibles dans R 4 = ( )( + ) = ( )( + )( + ) La base de la décomposition de F( ) en éléments simples sur R est : A B M N = La fonction rationnelle associée est impaire F( ) = F( ). avec AB,, Met Nréels à déterminer A B M N A B M N F( ) = = En considérant F( ) et par suite de l'unicité de la décomposition en éléments simples : A= B et N = 0 En remplaçant par dans ( ) F, on obtient A= B = 4 Finalement lim ( F( )) = 0 = M + A+ B M = + = = ( + ) +

31 Solutions Polynômes. Fractions rationnelles. Mars 000 POLY-ES La base de la décomposition de F( ) en éléments simples sur R est : A M + N M + N = ( ) ( + + ) + + On considère la fonction rationnelle associée et en remplaçant par 0 dans F( ), on obtient A = On revient au fractions rationnelles et l'on forme M + N M + N F( ) = + ( + + ) + + F( ) ne contient plus le pôle 0 F( ) = = ( + + ) + + ( + + ) ( ) = ( + + ) La division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes de par + + donne = ( + + )( ) et donc M = N = M = N = = + ( + + ) ( + + ) + + +