6 SH 3 h/sem. Fonctions exponentielles et logarithmiques Note de cours. f(2) = = 8 (On remplace x par 2.)

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1 I. Fonctions réciproques A. Introduction Que font réellement les fonctions? Exemple : f(x) = 2x + 4 Si j évalue f(2) =? f(2) = = 8 (On remplace x par 2.) Si j évalue f(3) =? f(3) = = 10 (On remplace x par 3.) L ensemble des nombres que je peux mettre dans cette fonction (ou les valeurs que peut prendre cette fonction) est appelé le domaine de définition, Dom f Dom f f(x)=2x+4 f(x) im f Tandis que les valeurs renvoyées par la fonction (8 et 10) sont les images de cette fonction : im f En d autres termes, la fonction f(x) associe : x f(x) (D une manière générale) LEJ Page 1

2 Question : existe-il une façon de passer de 8 vers 2 et de 10 vers 3? Dom f im f Afin de répondre à cette question, nous allons partir de la fonction f(x) = 2x + 4, et nommons f(x) = y. 1. Ensuite, isolons x : D où : y = 2x Remplaçons x par y et y par x : 3. Cette dernière relation est appelé la fonction réciproque de f(x) et elle est notée : d où Dom f im f Représentons graphiquement les fonctions f(x) et LEJ Page 2

3 A B C D E F (2,8) (3,10) (0,4) (-1,2) (-2,0) (-4,-4) : A B C D E F (8,2) (10,3) (4,0) (2,-1) (0,-2) (-4,-4) Y f(x) X Que constatons-nous à partir de ce graphique? 1. Les points A, B, C, D, sont les images des points A, B, C, D par la symétrie axiale de la droite y = x 2. Que toute la droite est l image de f(x)= 2x + 4 par la symétrie axiale d axe 3. Que im f devient le domaine de définition de la fonction réciproque. En d autres termes : im f = Dom 4. Que Dom f(x) devient l ensemble des images de la fonction réciproque En d autres termes : Dom f = im LEJ Page 3

4 Résumé Dom f = im im f = Dom Dom f = im im f = Dom 2. f(x)=2x x. f(x).y=f(x) Définition Si réciproque notée telle que : est une bijection de dom f dans im f, alors il existe une fonction Dom f im f f(x) x=. y = f(x) LEJ Page 4

5 Rappel: Une fonction à variable réelle est une bijection de dom f dans im f si à chaque valeur de x appartenant au dom f correspond une et une seule valeur de y appartenant à im f et vice et versa. B. Applications Réciproques des fonctions Voici les graphiques des deux fonctions et a) Déterminer leurs réciproques b) Tracer le graphique de leurs réciproques dans le même système d axe c) Les réciproques obtenues sont-elles à chaque fois des fonctions? Justifier. a) Déterminer a. : Nommons f(x) par y b. : Élevons les deux membres au carré c. : Isolons x d. : Remplaçons x par y et y par x b) Le graphique de y y = x f(x) x LEJ Page 5

6 c) Dom f = et im f = [0 ; + [. La fonction f est une bijection de vers [0 ; + [ D où : est une fonction a) Déterminons a. : Nommons f(x) par y b. : Élevons les deux membres au cube c. : Isolons x d. : Remplaçons x par y et y par x b) Le graphique de Y X c) La fonction g(x) Cette fonction est une bijection de, sa réciproque aussi une bijection de. LEJ Page 6

7 Exercices 1) Voici la relation entre les températures en degré Celsius et Fahrenheit. T Fahrenheit = ((T Celsius 9) / 5) + 32 alors y = +32 si T Fahrenheit = y et T Celsius = x Déterminer T Celsius = f (T Fahrenheit) et tracer les deux graphiques sur un même système d axe. 2) voici une fonction 1. Déterminer le domaine de définition (Dom f) 2. Déterminer l expression analytique de la réciproque 3. Déterminer le domaine de définition de la réciproque (dom ) 1. Déterminer le domaine de définition (Dom f) Dom f =] ; + 2. Déterminer l expression analytique de la réciproque Nommons f(x) = y Isolons x Divisons par (2y 1) chaque membre Remplaçons x par y et y par x La réciproque est identique à la fonction initiale f(x) 3. Dom? Dom LEJ Page 7

8 4. Traçons le graphique f(x) Y X Nous constatons que l image du point A est B par la symétrie axiale d axe : y = x De même que l image du point D est C par la symétrie axiale d axe : y = x Donc f(x) est l image de par la symétrie axiale d axe : y = x II. Fonctions exponentielles et logarithmiques A. Fonctions exponentielles Situation problème de départ Ce matin, à 10 h, dans une piscine circulaire de diamètre 8 mètres, on découvre une petite tâche verte de micro-algues de 25 cm de surface. Sous l effet de la lumière, ces algues se développent rapidement. Toutes les dix min, la surface occupée est doublée. Question 1 : Si on ne fait rien, combien de temps faudra-t-il aux algues pour recouvrir toute la surface de la piscine? LEJ Page 8

9 a) Commençons par dresser un tableau de l aire occupée par les algues de 10 min en 10 min. heures t Aire (cm) 10 h h = h = = 25.2² 10 h = = 25.2³ 10 h = h = h = h = h = h = h = h = h = h = h = h = b) Traçons le graphique de l évolution de la surface des algues en fonction du temps. Aire [cm²] t LEJ Page 9

10 c) Calculer la surface totale de la piscine Comme la piscine est de forme circulaire et de diamètre 8 m. L aire de la piscine vaut : Réponse à la question 1 Après 1 h 30 : Le temps d aller acheter le produit pour nettoyer la piscine, quelle surface sera occupée par les algues? D après le tableau l aire vaut cm² après 1 h 30. (À 11 h 30) Donc. Soit 2,5 % de la surface de la piscine. Après 2 h : D après le tableau l aire occupée par les algues vaut : cm². (À 12 h) Donc. Soit 20,37 % ; c est 8 fois plus en 30 min!!! Donc une croissance très rapide ou croissance exponentielle. Si on ne fait rien, combien de temps faudra-t-il aux algues pour recouvrir toute la surface de la piscine? Après 2 h 20 : d après le tableau, (t = 14,3 environ) les algues recouvrent 100 % de la surface de la piscine. Question 2 Trouver un modèle, une formule qui représente cette croissance. Comme la valeur de la surface vaut chaque fois le double de la surface précédente, cela nous fait penser aux suites géométriques où la raison de cette suite vaut 2. En représentant l aire des algues par y et le temps par t, On a : où 2 est la raison et 25 le terme initial. Remarque importante: est une fonction exponentielle car l exposant est la variable (t) LEJ Page 10

11 B. Une autre fonction exponentielle : Traçons point par point le graphique de cette fonction f(x) = X Constats? (0) = 1 =100 Les points P et P sont symétriques par rapport à l axe y = x Le graphique de f(x) est le symétrique du graphique par l axe : y = x f(x) est une bijection de sur. Donc une bijection de Le dom f(x) est et im f(x) est Dom f= im f= 2. x f(x)=. 100 y = f(x). 0.1 LEJ Page 11

12 Tandis que la fonction est une bijection de sur ou de ; et elle se nomme logarithme en base 10. Si Exemple : Si f(x) = alors sa réciproque est Résumé Exemples : n est pas défini car Car C. Fonctions logarithmes a. Fonction logarithme décimal Définition Pour tout x, log (10 x ) = x. Ou alors, y = log(x) alors x = 10 y Remarque : lorsque le logarithme est en base 10, sa notation est : log(x) Lorsque le logarithme est en base a, sa notation est : LEJ Page 12

13 Sens de variation et tracé de la courbe y = log(x) Remplir à l aide de la touche "log" de la calculatrice le tableau de valeurs suivant, arrondir les valeurs au dixième. x 0,01 0,1 0, Log(x) ,3 0 0,5 0,7 1 Puis tracer la courbe y = log(x) sur l'intervalle [0,01 ; 10]. b. Propriétés des logarithmes 1) Logarithme d un produit, d une puissance o Vérifions à l aide de la calculatrice si le logarithme d une somme de deux nombres positifs est-il égal à la somme des logarithmes de chaque nombre? Log ( ) est il égal au log (100) + log(10)? Log(110) = 2,04 tandis que log (100) = 2 et log(10) = 1 Donc 2,04 est différent de (2+1) o Vérifions à l aide de la calculatrice si le logarithme d un produit de deux nombres positifs est il égal à la somme des logarithmes de chaque nombre? log (ab) est il égal à log(a) + log(b)? log ( ) est il égal à log(10) + log(1000)? log (10000) = 4 tandis que log(10)=1 et log(1000)=3 Ici : log (10000) =1 +3 = 4 LEJ Page 13

14 y x Constatons que l ordonnée de B = 2A puisque log(100) = 2 et log(10) = 1 2) Logarithme d un quotient Traçons le graphique de log x et : x log x Y X LEJ Page 14

15 D après le graphique, les deux courbes sont opposées : c. Résumons les propriétés des logarithmes Propriété 1 Propriété 2 Propriété 3 d. Démonstration Propriété 1 Si nous posons : et Alors Cqfd Propriété 2 Si n > 0 : D où : Cqfd n fois LEJ Page 15

16 Si n < 0 : Posons n = m Propriété 3 Cqfd e. Applications 1. Égal ou différent (= ou?. 2. Calculer sans calculatrice, les valeurs de : log10 3, log10-5, log 3 10 log10 3 = 3 log10 = 3 1 = 3 ; log10-5 = -5 ; log 3 10 = 3 log10 = 1,5 1 = 1,5 2 LEJ Page 16

17 3. Exprimer en fonction de log2 et log3 les nombres suivants : log4 ; log6 ; log8 ; log9 ; log12 log4 = 2log2 ; log6 = log2 + log3 ; log8 = 3log2 ; log9 = 2log3 ; log12 = log3 + 2log2 D. Autres fonctions exponentielles ou logarithmes Vocabulaire et notation Les fonctions exponentielles, comme les fonctions logarithmes, peuvent admettre d autres bases que la base 10. Il faut cependant que la base soit un nombre strictement positif et différent de 1. Exemple : est la fonction réciproque de Lorsque la base de la fonction exponentielle est le nombre de Neper, alors la fonction réciproque de f(x) = s écrit g(x) = ln(x) Ce logarithme en base e est appelé logarithme népérien et noté Remarques a. Les règles de calcul des logarithmes sont identiques, quelle que soit la base. Dans tous les cas, b. Lorsque la base de la fonction exponentielle ou de la fonction logarithme est un nombre supérieur à 1, chacune de ces fonctions est croissante. LEJ Page 17

18 c) Lorsque la base de la fonction exponentielle ou de la fonction logarithme est un nombre compris entre 0 ou 1, chacune de ces fonctions est décroissante. y x E. Changement de base Pour pouvoir calculer un logarithme dans une base quelconque au moyen de la calculatrice, il faut parfois changer de base. On donne on cherche Prenons le log de chaque membre Appliquons la propriété 2 Exemple : LEJ Page 18

19 F. Comment résoudre une équation exponentielle? Méthode Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition. Ici, l'équation est définie sur. 1. La première étape vise à transformer l équation pour qu elle soit de la forme : Exemple : devient : 2. Il faut ensuite rechercher le logarithme de chaque membre : 3. Il faut ensuite appliquer la propriété 2 : 4. D où x: Exercices- applications Exercice 1 Résoudre l'équation :. Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition. Ici, l'équation est définie sur. Or, la fonction exponentielle est bijective de sur ce qui permet d'écrire : On reconnaît l'identité remarquable suivante : L'équation admet donc pour solution le singleton. Exercice 2 Résoudre l'équation : LEJ Page 19

20 Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition. est défini, mais est défini donc l'équation est définie sur Or, la fonction exponentielle est bijective de sur, ce qui permet d'écrire : On reconnaît l'identité remarquable suivante : L'équation admet donc pour solution le singleton, constitué d'un réel non nul. Exercice 3 Résoudre l'équation : Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition. est défini, mais est défini, donc l'équation est définie sur. Or, Donc, l'équation devient : Or, la fonction exponentielle est bijective de sur, ce qui permet d'écrire : L'équation admet donc pour solutions le doublet, constitué de réels non nuls. Exercice 4 Résoudre l'équation : Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition. Ici, l'équation est définie sur. Dans ce cas particulier, une astuce consiste à remplacer dans l'équation considérée par, ce qui permet alors d'écrire : LEJ Page 20

21 On obtient donc une équation du second degré. On remplace maintenant par, ce qui conduit à une impossibilité dans le cas de puisque. Il ne reste donc plus qu'une seule solution: c'est-à-dire d'après les propriétés de la fonction exponentielle L'équation admet donc pour solution le singleton. G. Comment résoudre une équation logarithmique? Une équation logarithmique est une équation dans laquelle les inconnues interviennent dans l argument ou la base d un logarithme. Il faut être attentif au domaine de définition de la fonction logarithmique : rechercher les conditions d existence. Exemples : Exemple 1 C.E. : 1 x > 1 x > 1 => x < -1 1 x > 1 1 Pour résoudre une telle équation, il faut que tous les logarithmes soient exprimés dans la même base. Équation du deuxième degré LEJ Page 21

22 La deuxième solution être rejetée. La première solution Sol = {3} ne vérifie pas les conditions d existence et doit les vérifie. C est la seule solution acceptable. Exemple 2 : C.E. : Dans cet exemple, les logarithmes ont des bases différentes. Nous devons effectuer un changement de base. Posons Équation du deuxième degré Les deux solutions vérifient les conditions d existence. Sol = {1, } Exercices applications Préciser l ensemble de définition puis résoudre les équations logarithmiques suivantes : 1) 2) 3) 4) LEJ Page 22

23 1) Est définie ssi et -2/5-6 Donc le domaine de définition est Maintenant, nous allons résoudre l équation Comme 1 fait partie du domaine de définition, alors la solution est : sol = {1} 2) Est définie ssi et Donc dom f : Maintenant, nous allons résoudre l équation En appliquant la propriété 1 : log(a) + log(b) = log (ab), l équation devient : x = 0 ou x = 4 Nous constatons que x = 0 ne fait pas partie du domaine de définition, donc à rejeter. Cela signifie que la solution de l équation est : Sol = {4} LEJ Page 23

24 H. Comment résoudre une inéquation exponentielle? LEJ Page 24

25 I. Comment résoudre une inéquation logarithmique? LEJ Page 25