Intégrales Généralisées

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1 Inégrales Généralisées Eercice. Monrer la convergence e calculer la valeur des inégrales : I = 3 e d ; I = + d ln() ; I 3 = ( + ) d Allez à : Correcion eercice Eercice. Les inégrales généralisées suivanes convergenes ou divergenes? I = ln() d ; I = ln() d ; I 3 = e 4 5 d ; I 4 = e d ; I 5 = ( 4 + ) d π I 6 = ln(sin()) d ; I 7 = ( cos ( )) d ; I 8 = sin ( ) d, I 9 = ln (cos ( )) d Allez à : Correcion eercice Eercice 3.. Soi F la foncion définie par : Calculer F().. En déduire que l inégrale Es convergene e déerminer sa valeur. Allez à : Correcion eercice 3 Eercice 4.. Calculer F() = ln( + ) d F() = A l aide du changemen de variable u = +. Monrer avec les règles de Riemann que Converge. 3. Calculer Allez à : Correcion eercice 4 Eercice 5. Eudier la convergence des inégrales : Allez à : Correcion eercice 5 Eercice 6. I = I = ln( + ) d I = + d + d I = + d d arcan() (ln()) ; I = d 3 π

2 Eudier la convergence de l inégrale Selon les valeurs de R Allez à : Correcion eercice 6 I = d Eercice 7. Soien a e b deu paramères réels. Discuer selon leurs valeurs de la convergence de d a (ln()) b On pourra : a) Lorsque a, uiliser les règles de Riemann. b) Lorsque a =, calculer epliciemen pour A réel desiné à endre vers. (ln()) b Allez à : Correcion eercice 7 Eercice 8.. Soi α >. Monrer que l inégrale En déduire que. Monrer que cos() α cos () sin() A d sin() α+ d converge. d converge (inégrer par parie). d diverge (linéariser sin ()) En déduire que d diverge. Vérifier que quand cos() Mais que pouran Allez à : Correcion eercice 8 Eercice 9. cos() d e ( cos(). Démonrer la convergence de l inégrale. Monrer que, pour ou ],[, 3. Pour ],[, démonrer l égalié : cos() + cos () ) d d. ln() ln() <. + cos () d = d ln() ln() 4. En déduire un encadremen de e monrer que Allez à : Correcion eercice 9 ln() d ln() d = ln() ne son pas de même naure. Eercice. Soien f e g deu foncions coninues e sricemen posiives oues deu définies sur un même inervalle [a, b[ (où b peu-êre un réel ou désigner ), équivalenes au voisinages de b. b On sai bien sûr que les deu inégrales f()d e a g()d son de même naure. a b Monrer que si ces inégrales convergen, alors f()d e g()d son équivalenes lorsque end vers b par valeurs sricemen inférieures. b b

3 Allez à : Correcion eercice Eercice. ln() d + Soi I = avec a >. Pour ou > e pour ou > on défini : I, =. Monrer que I es une inégrale convergene.. A l aide du changemen de variable = a I, = ln(a) a monrer que : arcan ( a ) + ln(a) a ln() + d ln() + d arcan ( a ) + 3. En faisan endre vers e vers dans l équaion ci-dessus e en déduire une relaion vérifiée par I, puis la valeur de I. Allez à : Correcion eercice Correcions Correcion eercice. lim 3 e = D après les règles de Riemann α f() en avec α > monre que I converge. On cherche une primiive de 3 e de la forme F() = (a 3 + b + c + d)e F () = (3a + b + c)e (a 3 + b + c + d)e = ( a 3 + (3a b) + (b c) + c d)e a = a = ( a 3 + (3a b) + (b c) + c d)e = 3 e 3a b = b = 3 { { b c = c = 6 c d = d = 6 3 e d = [( )e ] = ( )e I = 6 Allez à : Eercice La foncion es posiive + Il s agi d une foncion de Riemann inégrable α = > On fai le changemen de variable u = + = u dans l inégrale + d d = + On rerouve «presque» du = d au numéraeur = u = + = e = u = + d = + du (u ) u On fai le changemen de variable v = u u = v, du = vdv + u = v = e u = + v = + 3

4 + du = + (u ) u vdv + dv (v = )v v v = (v )(v + ) = v + v + + dv + v = ( v v + ) dv = ln + ln = [ln v ln v + ] + = [ln v + v + ] ( + ln = ln ) ( = ln ) + + ln + = ln ( + ) = ln ( ) ( + )( ) = ln( ) I = ln( ) Allez à : Eercice Il y a deu problèmes, un en e un aure en. ln() lim ( + ) = la foncion à inégrer es prolongeable par coninuié en, elle es inégrable En l infini ln() ( + ) ln() 3 ln() 3 = ln() D après les règles de Riemann α f() avec α >, la foncion es inégrable. On pose ln() I 3 (, ) = ( + ) d Puis on fai une inégraion par parie ln() d ( +) u () = u() = ( +) + v() = ln() v () = ln() d ( +) = [ + ln()] ( ) ( +) d 4

5 ln() ( + ) d = [ + ln()] + ( + ) d = + ln() + + ln() + ( + ) d = + ln() + + ln() + [ln() ln( + )] = + ln() + + ln() + (ln() ln( + ) ln() ln( + )) = + ln() + ln() ( + ) + ln ( + ) 4 ln( + ) = + ln() ln() + + ln ( + 4 ln( + ) ) Mainenan il n y a plus de forme indéerminée compliquée, la limie es nulle I 3 = Remarque : Il eise une bonne ruse pour cee inégrale, sachan que l inégrale converge on peu faire le changemen de variable = u = du, d = u u = + u = I 3 = Allez à : Eercice Correcion eercice. ln() I 3 = ( + ) d = = u = u ln ( u ) ( ( du u + ) u ) = ln(u) u 3 ( + u ) du = u 4 = u u ln(u) (u + ) du ln(u) ( + u u ) = I 3 du ( u ) Il y a un problème en, soi on sai qu une primiive de ln es ln() e cee primiive end vers l infini, soi on applique les règles de Riemann en avec α = ln() I diverge. Allez à : Eercice Il y a un problème en, soi on sai qu une primiive de ln es ln() e cee primiive end vers une limie finie donc l inégral converge, soi on applique les règles de Riemann en avec α = < I converge. Allez à : Eercice ln() 5

6 I 3 converge. Allez à : Eercice Problème en I 3 = e 4 d = [ 4 e 4 ] = + 4 = 4 e D après les règles de Riemann α f() avec α > enraine que la foncion es inégrable en Allez à : Eercice Il y a un problème en e un en En 5 ( 4 + ) = Il s'agi d une foncion de Riemann avec α = donc l inégrale I 5 diverge (ce qui es éviden, si on essaye d inégrer on voi clairemen le problème en ). I 4 diverge. Du coup il es inuile d éudier l inégrabilié en mais cela ne posai pas de problème 5 ( 4 + ) 5 = 9 La foncion es prolongeable par coninuié en. Allez à : Eercice Il y a deu problèmes un en e un aure en π En ln(sin()) = ln( + o()) = ln( + o()) = ln (( + o()) = ln() + ln( + o()) ln() On applique les règles de Riemann en avec α = 3 > 3 ln() L inégrale converge en En π, on pose u = π (c es mieu que u = π) ln(sin()) = ln(sin(u π)) = ln(sin(u)) Comme précédemmen l inégrale converge. Finalemen l inégrale I 6 converge. Allez à : Eercice Il y a un problème en cos ( ) = ( ) + o (! ) ( ) Il s agi d une foncion de Riemann avec α = inégrable en. I 7 converge. Allez à : Eercice 6 = + o ( ) Il y a un problème en, mais aenion on ne peu pas faire de développemen limié de sin ( ) car la variable end vers l infini. On pose I 8 () = sin () d, puis on fai le changemen de variable u = = du, d = u u. = u = e = u = I 8 () = sin ( ) d = sin(u) ( du u ) = sin(u) u sin(u) il s agi de voir si la foncion u u es inégrable en du

7 sin(u) u u Il s agi d une foncion de Riemann avec α = > inégrable en donc la foncion u sin(u) u es absolumen inégrable en donc inégrable e I 8 converge. Allez à : Eercice Aenion il y a deu problèmes en parce que cos ( ) = cos ( π ) = e un aure en π π En π on pose u = π = u + π ln (cos ( π )) = ln (cos ( u + )) = ln (cos ( π π ( + π )) = ln (cos ( u) + π u)) = ln (cos ( π ( π u + o(u)))) = ln (cos (π π u + o(u))) 4 = ln (sin ( π 4 u + o(u))) = ln (π 4 u + o(u)) = ln (π) + ln(u + o(u)) ln(u) 4 u ln(u) Lorsque u end vers, d après les règles de Riemann si u α f(u) avec α < alors la foncion es inégrable en donc ln (cos ( )) es inégrable en π En ln (cos ( )) = ln ( ) + o (! ) ( ) Il s agi d une foncion de Riemann inégrable en avec α = > Allez à : Eercice Correcion eercice 3... F() = ln(+ ) d u () = u() = v() = ln( + ) v () = F() = [ ln( + )] F() = [ ln( + )] E + + d + d ( +) = ln( + ) + ln() + arcan() π = + o ( ) = ln( + ) + ln() + arcan() arcan() lim ln( + ) = lim arcan() = π F() adme une limie finie, ce qui signifie que I converge e 7

8 Allez à : Eercice 3 I = lim ln( + ) d = ln() + π π = ln() + π Correcion eercice 4.. u = + u = + = u = u Ce qui enraine que d = udu u = udu u = u =. = u = + + F() = + d udu + = u u u = du u Il eise a e b deu réels els que : u = (u )(u + ) = a u + b u + On muliplie par u, puis u = a = [ u + ] = u= On muliplie par u +, puis u = b = [ u ] = u= 3 + du F() = u = + ( u u + ) du = [ln u ln u + ] + = + [ln u u + ] = ln ln + > e lim + 3. Première méhode es inégrable en 3 F() = ( + ln ) ( + + ln ( ) + ) = + ln + + = ln( ) Deuième méhode, on pose = + Allez à : Eercice 4 + = ln ( + ) ln ( + ) = F() = ln + ln + ln + ) ln (( ) 8

9 Correcion eercice 5. Il y a un problème en. Malheureusemen les règles de Riemann ne marchen, essayons quand même Convergence α (ln()) = α (ln()) Impose que α mais pour uiliser la règle de Riemann concluan à la convergence en il fau que α soi sricemen supérieur à Divergence α (ln()) = α (ln()) Impose que α > mais pour uiliser la règle de Riemann concluan à la divergence en il fau que α soi inférieur ou égal à. Dans ce cas on fai auremen d I () = (ln()) = [ ln() ] = ln() + ln() ln() I converge. Allez à : Eercice n es jamais nul arcan() < π Il s agi d une foncion de Riemann inégrable en avec α =. I converge. Allez à : Eercice 5 Correcion eercice 6. Il y a deu problème, un en e un En, 3 + Si, alors π = = 3 Il s agi d une foncion de Riemann convergene (en ) si e seulemen si 3 < < 5 e < 5. Il y a convergence pour [, 5 [ Si, alors = Il s agi d une foncion de Riemann convergene si e seulemen si < > e >. Il y a convergence si n ], ] Finalemen il y a convergence en si e seulemen si ], 5 [ En, Si, alors = +

10 Il s agi d une foncion de Riemann convergene (en ) si e seulemen si n + > n > e >. il y a convergence pour ],]. Si, alors = 3 Il s agi d une foncion de Riemann convergene (en ) si e seulemen si 3 > < e <. Il y a convergence si [,[ Finalemen il y a convergence en si e seulemen si ],[ I 3 converge si e seulemen si ],[ ], 5 [ = ],[ Allez à : Eercice 6 Correcion eercice 7. a) Si a >, on choisi α ], a[ α a (ln()) b = α a (ln()) b Lorsque D après les règles de Riemann l inégrale converge en car α > Si a <, on choisi α ]a, [ α a (ln()) b = α a (ln()) b Lorsque D après les règles de Riemann l inégrale diverge en car α < b) Si b (ln()) b d = (ln()) b (ln()) b+ d = + K b + Si b + > b < (ln()) b+ Lorsque alors l inégrale diverge Si b + < b > (ln()) b+ Lorsque alors l inégrale converge Si b = d = ln(ln()) + K ln() Lorsque alors l inégrale diverge. Allez à : Eercice 7 Correcion eercice 8.. Il y a un problème en sin() α+ α+ Or α + >, donc il s agi d une foncion de Riemann inégrable en, donc sin() α+ es absolumen inégrable e donc inégrable.

11 . sin() d α+ + sin() α+ d u () = α+ = α u() v() = sin() Soi encore sin() α+ d = [ α α sin()] = α α v () = cos() sin() d = [ α sin()] α+ α ( α ) cos() d α = [ α α sin()] + α α cos() d = sin() α α + sin() α cos() α d + α α cos() d = α sin() d α+ = sin() α α + sin() α + sin() α sin() cos() + α cos() d α + α cos() d Les ermes de droies admeen une limie lorsque donc d converge. cos () = + cos() = + cos() cos() d = cos(u) du = u cos(u) du + u cos(u) du u En faisan le changemen de variable u = La première inégrale converge grâce au. e la seconde es finie donc cos() es inégrable en, e comme n es pas inégrable en (foncion de Riemann avec α = ) par conséquen cos () n es pas inégrable en (la somme d une inégrale divergene e d une inégrale convergene diverge). Comme cos() < on a cos () cos() e donc cos () cos() La première foncion n éan pas inégrable en la seconde ne l ai pas n on plus. Auremen di cos() d cos() diverge d converge grâce au. cos() + cos () ( cos() cos() + cos () cos() cos() cos() = + cos() + cos () es la somme d une foncion inégrable en e d une qui ne l ai pas donc + cos () ) d diverge. Remarque : Le résula qui veu que deu foncions équivalenes en soi de même naure nécessie que ces deu foncions soien de signes consans (posiif dans la cours, mais pour négaif cela revien au même) or ces deu foncions son parfois posiives e parfois négaives. Allez à : Eercice 8 α α Correcion eercice 9.

12 . Il y a deu problème en e en En : ln() D après les règles de Riemann en si α f() avec α < alors la foncion es inégrable en. En on pose = ln() = ln( ) = + o() = + o() La foncion es prolongeable par coninuié en par f() = donc la foncion es inégrable.. A l aide de la formule de Taylor-Lagrange appliquée à la foncion f() = ln () il eise c ], [ el que f() = f() + ( )f (c) ln() = ( ) c < c < < c < > > c Car <, on en dédui que > ln() > 3. On fai le changemen de variable =, d = d, = = e = = 4. d = ln() d ln( = ) d = d = d ln() ln() ln() ln() d = ln() d ln() d = ln() d ln() d = ln() d A parir de < ln() < En divisan par < > ln() > d ln() d d d = + d = d + d = ( ) + ln( + ) d = ln( + ) On en dédui que ( ) + ln( + ) ln() d = ln() d ln( + ) En faisan endre vers on rouve que ln() d = ln() Allez à : Eercice 9 = + ln ( ) Correcion eercice. On pose

13 b F() = f()d e b G() = g()d D après le héorème des accroissemens finis généralisés (pour deu foncions), enre e >, il eise c ], [ el que On a E (F() lim b F()) G (c ) = (G() lim b F()) F (c ) F () = f() e G () = g() lim F() = e lim F() b b F()g(c ) = G()f(c ) Comme f e g son équivalenes au voisinage de b, il eise une foncion endan vers lorsque b el que f() = + () f() = g()( + ()) g() F()g(c ) = G()g(c )( + (c )) g ne peu êre ideniquemen nulle lorsque l on s approche de b sinon f e g ne peuven pas êre équivalene, bref on simplifie par g(c ) Comme c ], b [ Ce qui monre que F G Allez à : Eercice F() = G()( + (c )) lim (c b ) = Remarque : En 988 c es ombé à l agrégaion de mahémaiques, il n y en a pas un sur di qui a su faire! Correcion eercice.. En. Ln() ln() + ln() ln() a e ln() <, d après les règles de Riemann, l inégrale d converge. ln() es de signe consan au voisinage de donc l inégrale d converge. + En. Ln() ln() + 3 ln() e 3 >, d après les règles de Riemann, l inégrale ln() d converge. ln() es de signe consan en donc ln() d. + Finalemen I converge.. d = a ln() d e 3. Si = alors = a ) = ln( + a 4 +a a e si = alors = 3

14 I, = ln() + d = 4. Lim + a = ln(a) ln ( a ) a 4 ( + ) d = ln(a ) ln () ( a ( a + ) ) d = a + d + ln () + d = ln(a) a arcan (a ) + ln(a) a arcan (a ln () ) + + d = e lim = donc lim + ln(a) ln () + d = ln(a) [ a arcan ( a )] ln () a + + d ln() d + lim + arcan ( a ) = π e lim arcan ( a ) = arcan() = En faisan endre vers e vers l infini dans la relaion ci-dessous on a : I = ln(a) π I D où I = ln(a) π Allez à : Eercice = ln() d + = I 4