Physique Statistique

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1 Physque Statstque Chaptre Système solé et dstrbuton mcro canonque On consdère un système physque donné contenant N partcules. - Etats accessbles du système. Spécfcatons d un système étudé Un système est spécfé par des paramètres physques, par exemple : Les N partcules sont enfermées dans un volume V. Il exste ou pas un champ magnétque Une fos ces paramètres énoncés, les partcules possèdent des énerges données (spectre d énerge) correspondant à des états quantques défns comme les états accessbles du système à N partcules avec les spécfcatons données.. Système solé Par défnton, c est un système qu n a pas d nteracton avec d autres systèmes et donc n échange pas de l énerge avec eux. Son énerge est constante. Exemple : S N =, l y a 4 états accessbles. Tous les 4 états sont équprobables : P = 4 N =4 états accessbles - Postulats fondamentaux a) S tous les états accessbles d un système solé sont équprobables, alors ce système est en équlbre. b) S à un nstant donné, tous les états accessbles d un système solé ne sont pas équprobables, alors ce système n est pas en équlbre. Il évoluera au cours du temps pour attendre une stuaton d équlbre où tous ces états accessbles sont équprobables. C est le temps de relaxaton. c) Récproque de a) : S le système est en équlbre, alors tous ses états sont équprobbales. Le trosème postulat est appelé «postulat d équprobablté» des états accessbles est le postulat fondamental sur lequel s appue la mécanque statstque. Cec est valdé par les observatons expérmentales. 3- Probabltés de trouver un système dans l état s Sot un système solé S, en équlbre ( U= Cte ). Sot g le nombre total d états accessbles. La probablté de le trouver dans l un de ces états accessbles s est : P( N, s) = g N, s ()

2 La valeur moyenne de la foncton X pour un système solé est donnée par : Un système solé dans lequel X = X(s) =! P( N, s) X s s =! g(n, s) X s s () N= Cte, et U= Cte, est appelé un système mcrocanonque Exemple : Sot un système avec 5 spns, avec un excès de spns s = fxé Le nombre d états accessbles est : P( 5,) = g( 5,) =! N + s N!!!. N s! = 5! 3!.! =0 Nombre.d états.avec.s = Nombre.d états.accessbles = g 5, = = Confguraton la plus probable Soent deux systèmes S et S en contact thermque de telle façon que l énerge pusse être transférée de l un vers l autre. L ensemble S + S forme un système solé S. U S S N U S U U N Conducteur thermque

3 L énerge est constante : U =U +U =U +U. Queston : Comment l énerge U est-elle réparte entre S et S? Réponse : La répartton d énerge se fat de telle façon que le système fnal S at le plus grand nombre d états accessbles possbles. Cec est un postulat. Exemple : Système modèle de spns dans un champ magnétque Les états quantques du système total S sont des combnasons des états de S et de S. L énerge totale de S est dans l état s : U ( s) =U s U ( s) =!mb s + s +U ( s ) =!mbs avec N = + N= Cte, et s = s + s= Cte, mas s et s varent lors de la mse en contact. s vare de! à +. = g N, s g N, s g N, s s,s!.g, s!.g (, s s ) s = g N, s Pour s, avec l énerge U (s ) l y a g (N, s ) états possbles Pour s, avec l énerge U (s ) l y a g (, s ) états possbles La confguraton la plus probable est telle que g.g sot maxmum.! Cela arrve quand s = s g ( N, s! ).g (, s! s! ) S le système est grand, la foncton g.g est très pquée, l y a peu de confguratons possbles en dehors du pc. 3

4 Les valeurs moyennes des proprétés physques d un grand système en contact avec un autre grand système sont défnes par les proprétés physques de la confguraton la plus probable, c est à dre la confguraton où le nombre g.g d états accessbles est maxmum. A cause de l étrotesse du pc g.g on prendra la moyenne non pas sur l ensemble des états accessbles, mas seulement sur la confguraton la plus probable : le maxmum de g.g. 5 Equlbre thermque Le len général entre l énerge et la température ne peut être établ que par des consdératons probablstes. Deux systèmes sont en équlbre statstque lorsqu un transfert d énerge n accroît pas la probablté. (Max Planck) Cas général d un système quelconque d énerge nterne U et contenant N partcules U =U +U, donc : U =U!U g( N,U) =! g ( N,U ).g (,U U ) (6) U avec U!U = nombre d états accessbles du système = nombre d états accessbles du système g N,U g,u!u S, d énerge U. S, d énergeu =U!U. Une confguraton du système fnal est donnée par : g( N,U ) avec N et U constants. Le maxmum de g ( U ).g U probable, et donne les proprétés physques du système total. Ce maxmum est trouvé pour les énerges U,U qu varent lors du transfert d énerge. Pour obtenr le maxmum on dérve : dg = ( dg ).g + g.( dg ) = 0 dg =!g!u g du +!g!u dans (6) décrt le système dans sa confguraton la plus du = du + du = 0, car U=Cte g du = 0 On dvse par g.g, et on remplace du =!du. Donc!g g!u!ln g!u =!ln g!u =!g g!u On pose! ( N,U)! ln g( N,U), c est l entrope unverselle On obtent donc : 4

5 !!!U =!!!U En thermodynamque classque : S N,U C est la condton d équlbre thermque! entrope! k.ln g( N,U) = k! ( N,U) k est la constante de Boltzmann= JK -! = S k S = k.! S est l entrope!!!u =!!!U exprme auss la condton d équlbre thermque. 6 - Température!! L égalté =!!!S ou =!S!U!U!U!U Font penser à l égalté des températures T et T On défnt :! S ( T U et! S ( avec = T U T T On a auss! =! avec! = kt et! = S!U k 7 - Entrope a) La quantté!! ln g ou S! k ln g défnt l entrope du système, c est à dre que l entrope mesure le logarthme du nombre d états accessbles du système. b) L équlbre thermque est attent quand le système combné fnal attent sa plus probable confguraton c est à dre que g( N, U) est maxmum. Donc on aura S fnal >S ntal. L équlbre thermque! maxmum d entrope (désordre maxmum) c) Le transfert de chaleur se fat de la source chaude vers la source frode. En effet supposons à l état ntal: U U T S ntal T >T T S ntal 5

6 Supposons un contact thermque entre les deux systèmes, l état fnal sera : U - T S fnal U + T S ntal! U A l état fnal S = S fnal + S fnal En effet: S = k ln g N,U! = k ln g N,U Démontrons que: S Fnal! S Intal = S > 0 en effet:!s =! S + S.g,U or ds =!S du +!S du!u!u Donc:!S = S (()!U ) + S ( +!U U U!S = (!U ) + (!U ) T T = k ln g + k ln g = S + S!S = + T T (!U Pour que!s > 0, l faut T >T 8 Lo d augmentaton d entrope Généralsaton Quand deux systèmes sont ms en contact thermque, leur entrope fnale augmente. Nous avons vu qu à l équlbre thermque : g( N,U). =! g ( N,U ).g,u U U Ce nombre content le terme: g ( N,U ).g,u avec U avec U =U!U =U!U U et U sont les énerges des systèmes ntaux avant contact. Tous les termes sont >0 donc la multplcté est augmentée. C est la preuve de l augmentaton de l entrope quand on met les deux systèmes en contact. 6

7 ! ( g.g )! g max ( u ).g u u!! ( g.g ) >> g max ( u ).g ( u ) Donc S fnal = k ln g.g! S max nt = k ln( g.g ) U S Energe U U temps temps En supposant qu à t = 0, on at U = 0 et U = U 9 Los de la thermodynamque La thermodynamque a été développée avant la mécanque statstque à partr de quelques los. Lo zéro S deux systèmes sont en équlbre thermque avec un trosème, ls sont en équlbre thermque entre eux. Démonstraton en mécanque statstque :!ln g!u!ln g!u =!ln g 3!U 3 N 3 =!ln g 3!U 3 N 3 Donc :!ln g!u =!ln g!u Ce qu peut s écrre auss : T = T 3 et T = T 3 donc T = T Premère lo : conservaton de l énerge L énerge totale d un système solé se conserve. La chaleur est une forme d énerge. La varaton d énerge nterne : du = dq + dw 7

8 Deuxème lo : Kelvn : Il n exste pas de moteur qu pusse fonctonner avec une seule source d énerge Clausus : On ne peut pas fare passer de la chaleur d une source frode vers une source chaude. Moderne : Un système solé hors équlbre évolue spontanément jusqu à ce qu l attegne une entrope maxmum. Trosème lo (Nernst): L entrope d un système approche une valeur constante quand l est en équlbre quand T! 0. Quand T! 0, g! g(u 0 ), l état fondamental d énerge U 0. On pensat que quand T! 0, on aurat S! 0. En fat ce n est pas le cas, car l y a toujours un désordre possble. C est vra pour les verres où l exste toujours un désordre ; 8