Propriété : Les médiatrices des cotés d un triangle sont concourantes : Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.

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1 MISE U POINT ES NOTIONS E GEOMETRIE I. Triangles : 1. roites remarquables : a. Médiatrices d un triangle : Médiatrice d un segment : La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Propriété fondamentale : Tous les points de la médiatrice d un segment sont équidistants des deu etrémités du segment. Propriété : Les médiatrices des cotés d un triangle sont concourantes : Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle. b. Hauteurs d un triangle : La hauteur issue d un sommet du triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au coté opposé. On parle aussi de hauteur relative à un coté. Propriété : Les hauteurs d un triangle sont concourantes : Leur point de concours s appelle l orthocentre du triangle. 1

2 c. issectrices d un triangle La bissectrice d un angle est la droite qui partage l angle en deu angles égau. Propriété fondamentale : Tout point situé sur la bissectrice d un angle est équidistant des côtés de cet angle. Propriété : Les bissectrices des 3 angles d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection O est équidistant des trois côtés du triangle. est le centre du cercle inscrit dans le triangle. d. Médianes d un triangle : La médiane issue d un sommet du triangle est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du coté opposé. On parle aussi de médiane relative à un coté. Propriété : Les médianes d un triangle sont concourantes. Leur point de concours G s appelle le centre de gravité du triangle. 2

3 2. ire du triangle : h = ch 2 c II. Quadrilatères : 1. lassification des quadrilatères : 3

4 2. lassification basée sur les propriétés des diagonales 4

5 3. Périmètres et aires des quadrilatères : III. Polygones : 5

6 éfinitions : Un polygone est une figure géométrique plane possédant autant de côtés que de sommets. Eemples : heagone (6 côtés, 6 sommets), pentagone (5 côtés, 5 sommets), dodécagone (12 côtés, 12 sommets ). Les quadrilatères sont aussi des polygones. Un segment joignant deu sommets n appartenant pas à un même côté est une diagonale du polygone. Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et dont tous les côtés ont même longueur. Propriété : Tous les angles d un polygone régulier sont égau. Les angles au centre du cercle déterminés par deu sommets consécutifs sont égau. 6

7 La somme des amplitudes des angles d un polygone ayant n côtés est (n-2)180. IV. ngles 1. éfinitions : ngles complémentaires : deu angles dont la somme est égale à 90 sont appelés des angles complémentaires. ngles supplémentaires : deu angles dont la somme est égale à 180 sont appelés des angles supplémentaires. ngles opposés par le sommet : (') et (yy') sont deu droites sécantes en O. Oy et 'Oy' sont opposés par le sommet. Oy' et 'Oy sont opposés par le sommet. y O y' ' ngles adjacents : deu angles ayant un sommet commun, un côté commun et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun sont appelés adjacents. 7

8 ngles déterminés par deu droites d et d' coupées par une droite : d d d d' d' d' ngles alternesinternes ngles alterneseternes ngles correspondants eu angles sont alternes-internes lorsqu ils sont situés: de part et d autre de la droite ; entre les droites d et d eu angles sont alternes-eternes lorsqu ils sont situés: de part et d autre de la droite ; «à l etérieur» des droites d et d eu angles sont correspondants lorsqu ils sont situés : d un même côté de la droite ; l un entre les droites d et d, l autre pas. 2. Propriétés: eu angles opposés par le sommet ont même mesure. y' O y ' eu angles alternes-internes déterminés par deu parallèles et une sécante ont même mesure. eu angles alternes-eternes déterminés par deu parallèles et une sécante ont même mesure. eu angles correspondants déterminés par deu parallèles et une sécante ont même mesure. 8

9 Réciproques : Si deu droites déterminent avec une sécante deu angles alternes-internes de même mesure, les deu droites sont parallèles. Si deu droites déterminent avec une sécante deu angles alternes-eternes de même mesure, les deu droites sont parallèles. Si deu droites déterminent avec une sécante deu angles correspondants de même mesure, les deu droites sont parallèles. 9

10 SES : GEOMETRIE ( eercices) Eercice 1 : Les droites remarquables et la droite d Euler onstruire le triangle tel que = 6cm = 9cm et = 8cm. Tracer deu hauteurs se coupant en H Tracer deu médianes se coupant en M Tracer deu médiatrices se coupant en T Tracer deu bissectrices se coupant en Tracer avec précision la droite HT Que dire du point M? Tracer le cercle circonscrit et le cercle inscrit au triangle Eercice 2 : 1. onstruire le point tel que la droite d soit ae de symétrie du triangle obtenu. 2. Quelle est la nature du triangle obtenu? Justifier. 3. Justifier que les angles ˆ et ˆ sont de même mesure. 4. Montrer que d est à la fois médiatrice, hauteur, bissectrice et médiane du triangle. Eercice 3 : onstruction de triangles 1. onstruire un triangle PI rectangle et isocèle en I tel que P = 6 cm. 2. Tracer un triangle S rectangle en tel que S = 4 cm et S = 5 cm. 3. onstruire un triangle ayant pour aire 24 cm onstruire un triangle isocèle OL, de sommet, de hauteur 6 cm et tel que O ˆL = onstruire un triangle équilatéral US dont les hauteurs mesurent 4 cm. 10

11 Eercice 4 : onstruction en utilisant les propriétés des quadrilatères onstruire un parallélogramme dont les côtés mesurent 6 cm et 4 cm et une diagonale mesure 8 cm. onstruire en rouges les médianes, en bleu les diagonales et en noir les hauteurs. Enoncer éventuellement les caractéristiques de ces droites remarquables dans un parallélogramme. onstruire un losange dont une diagonale mesure 5 cm et un côté 6,5 cm. onstruire en rouges les médianes, en bleu les diagonales et en noir les hauteurs. Enoncer éventuellement les caractéristiques de ces droites remarquables dans un losange. onstruire un rectangle dont les diagonales mesurent 6 cm et forment entre elles un angle de 40. onstruire en rouges les médianes, en bleu les diagonales et en noir les hauteurs. Enoncer éventuellement les caractéristiques de ces droites remarquables dans un losange. Eercice 5 : onstruction de polygones onstruire un pentagone régulier, onstruire un heagone régulier Eercice 6 : Somme des angles d un polygone écomposer chacun de ces polygones en triangles qui, sans se chevaucher, recouvrent parfaitement le polygone.les sommets des triangles sont ceu du polygone. En déduire dans chaque cas la somme des angles du polygone. Eercice 7 : alcul d aire RSTU est un parallélogramme. a) alculer l aire de RSTU. b) En déduire la longueur ST. R 6 cm S 3,2 cm H U 4 cm T 11

12 Eercice 8 : calcul d aire Une allée, dont les bords sont parallèles, traverse un jardin rectangulaire planté d une pelouse. a) alculer l aire de l allée. b) alculer l aire de la pelouse. Eercice 9 alcul de volume : eercice corrigé FORMULIRE : Volume du cylindre : h étant l'aire du disque de base, h étant la hauteur du cylindre. Volume du cône : 3 1 h étant l'aire du disque de base, h étant la hauteur du cône. Un cube a des arêtes de 8 cm. Un cône de révolution a une base de 8 cm de diamètre et une hauteur de 8 cm. 1) alculer le volume du cube. 2) a) alculer la valeur eacte du volume du cône. b) Quel est le volume du cône arrondi au cm 3? 3) On place le cône à l'intérieur du cube. Occupe-t-il plus de 30 % du volume du cube? Justifier votre réponse

13 orrection: 1) Le cube a pour volume le produit de ses dimensions (longueur largeur hauteur): = 8 3 = 512 Le volume du cube est 512 cm 3. 2) a) La base est un disque de rayon r = 4 cm et la hauteur h mesure 8cm. Le volume du cône est: V = 1 3 h avec = πr2, r = 4 et h = 8 V = 1 3 π V = 16 8 π 3 V = π Le volume du cône est 128π cm 3. 3 b) vec la calculatrice, en prenant 3, comme valeur approchée de π, le volume est environ 134, onc le volume du cône arrondi au cm 3 est ) alculons 30% de 512: 0,3 512 = 153,6 Par rapport au résultat obtenu au 2) b), le volume V du cône vérifie: V < 135 donc V < 153,6. Par suite, le cône occupe moins de 30 % du cube. Eercice 10 : alcul de volume Un réservoir d'eau est formé d'une partie cylindrique et d'une partie conique. 1. onner, en dm 3, le volume eact de la partie cylindrique en utilisant le nombre π 2. onner, en dm 3, le volume eact de la partie conique en utilisant le nombre π 3. onner le volume eact du réservoir, puis sa valeur arrondie à 1 dm 3 près. 4. e réservoir peut-il contenir 1000 litres? Justifier la réponse. 13

14 Eercice 11 : les angles opposés par le sommet, correspondants ou alternes internes (δ) (d) (d') ompléter avec : opposés par le sommet ; alternes-internes ; alternes-eternes, correspondants, ˆ 1 et ˆ 3 sont ˆ 1 et ˆ 1 sont.. ˆ 2 et ˆ 4 sont... ˆ 1 et ˆ 3 sont. Eercice 12 : ( )// ( ) et ()//() ompléter les phrases suivantes avec: opposés par le sommet ; alternes-internes ; alternes-eternes, correspondants, supplémentaires, complémentaires. 14

15 Eercice 13 : ans la figure ci-contre, les droites (z) et (uw) sont parallèles et z ˆ v mesure 127. alculer la mesure de l angle y ˆ w puis celle de y ˆ u. z y 127 u v w Eercice 14 : ans la figure ci-contre, les droites (z) et (uw) sont parallèles et y ˆ mesure 52. alculer l angle y ˆ u. y 52 z u w v Eercice 15 : y alculer la mesure de l angle t ˆ v puis celle de t ˆ u. 52 z u w v 15

16 Eercice 16 : onner en justifiant ta réponse, la mesure des angles IP ˆ n, EP ˆ m et EP ˆ I, sachant que les droites (mn) et (rs) sont parallèles. r E L 40 I 60 s m P n Eercice 17 : 1. Que peut-on dire des droites () et ()? Pourquoi? 2. Quelle est la mesure du supplémentaire de l angle ˆ? 3. Tracer la droite passant par et parallèle à la droite (). ette droite coupe la droite () en E. Placer E. 4. Quelle est la mesure de l angle ˆ E?. Que représente la droite (E) pour l angle ˆ? Epliquer la réponse. 16

17 EVOIR GEOMETRIE 17

18 alculer pour chaque figure de 1 à 10 (chaque figure est tracée à main levée) E E

19 8 // 67 E F

20 alculer le plus d angles dans chaque figure de 11 à E F G K J I H L M 50 F E E 48 20

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