Chapitre VI : Flexion simple.

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1 Fleion simple. Cours RD / A.U : Chapitre VI : Fleion simple. Objectifs Pré-requis Eléments de contenu Déterminer la répartition des contraintes dans une section de poutre sollicitée à la fleion. Vérifier la condition de résistance pour une poutre sollicitée à la fleion. Dimensionner une poutre sollicitée à la fleion. Torseur de cohésion. Contrainte tangentielle. Etude des contraintes/ Déformation en fleion simple. Relation contrainte - moment de fleion. Conditions de résistance / de rigidité en fleion. Concentration de contrainte. Cours résistance des matériau 37

2 Fleion simple. Cours RD / A.U : I. Introduction : Une poutre est sollicitée en fleion simple lorsque toutes les forces appliquées à la poutre que ce soient les forces à distance ou les forces élémentaires de liaison sont perpendiculaires à la ligne moenne, et soit situées dans le plan de smétrie, soit réparties smétriquement par rapport à celui-ci, ou concentrées en un point ou réparties suivant une loi. Section S z + f z T (S) Figure 6.1: odélisation des efforts etérieurs sur une poutre soumise à une fleion simple Au cours de la déformation, les sections droites (constantes) restent planes et normales à la ligne moenne. La ligne moenne de la poutre est rectiligne et confondue avec l ae (o,). Le torseur associé au efforts de cohésion peut se réduire en, barcentre de la section droite S, à une résultante contenue dans le plan de la section et à un moment perpendiculaire à cette dernière. { τ } coh 0 0 = T 0 0 f z T II. Essai de fleion : Considérons une poutre reposant sur deu appuis soumise à une charge concentrée verticale (figure 6.2). Après déformation, cette poutre fléchit : On constate que les fibres situées dans la partie supérieure sont sollicitées en compression tandis que celles situées en partie inférieure sont sollicitées en traction. Cours résistance des matériau 38

3 Fleion simple. Cours RD / A.U : Figure 6.2: odélisation d un essai de fleion trois points. Entre ces deu régions il eiste une fibre qui reste ni tendue ni comprimée : la fibre neutre. Les allongements ou raccourcissements relatifs sont proportionnels à la distance de la fibre considérée. III. Répartition des contraintes : Figure 6.3: Définition de l angle Δ φ. Lorsque la poutre fléchit (Figure 6.3), la section droite pivote d'un angle Δ φ Les contraintes normales engendrées sont proportionnelles à la distance qui les sépare du plan des fibres moennes, d où : = Eθ ma E : odule, d Young [Pa] Y : distance de par raport à la fibre neutre [mm]. Δ θ = ϕ : Angle unitaire de fleion [rad/mm] Δ Zone de Traction Zone de Compression S1 ma Figure 6.4: Répartition des contraintes dans une section droite. Cours résistance des matériau 39

4 Fleion simple. Cours RD / A.U : Relation entre contrainte et moment fléchissant : Le vecteur contrainte dans la section droite s'écrit : C, = = E ( ) θ = S 2 2 = + zz, Il en résulte que : = E θ ds E θ ds Le moment résultant du torseur de cohésion = z ^ C(, ) S = S Or = Eθ Eθ = Donc : Finalement = IZ = I Z 2 = ds=. IZ S Les contraintes maimales se développent dans les fibres les plus éloignées de la fibre neutre. : ma ma = f z ma I z ν ν = : Ordonnée du point le plus éloigné de (, z ) [mm]. I z : odule de fleion de la section droite (S1). ν : Contrainte normale de fleion en [Pa] IV. Condition de résistance à la fleion Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale due à la fleion doit rester inférieure à la Re résistance pratique à l etension Rpe. On définit Rpe = s La condition de résistance s écrit : Rpe: la résistance pratique à l etension (Pa) Re: la résistance élastique à l etension du matériau (en pa) s: coefficient de sécurité V. Concentration de contraintes : ma Rpe En tenant compte d un éventuel coefficient k de concentration de contraintes, La condition de résistance s'écrit : ma eff R Les coefficients de concentration des contraintes K sont donnés à partir des abaques (Fig 6.5). pe Cours résistance des matériau 40

5 Fleion simple. Cours RD / A.U : Figure 6.5: Coefficient de concentration de contraintes K en fleion simple. Cours résistance des matériau

6 Fleion simple. Cours RD / A.U : VI. Déformation en fleion : On appelle déformée, la courbe de la ligne moenne de la poutre après déformation. L'équation de la déformée est: = f (). Figure 6.6: Définition de la déformée est la flèche au point d'abscisse. Les dérivées première et seconde sont notées ' et ". Relation entre flèche et moment fléchissant On peut calculer la flèche à partir de l'équation de la déformée déterminer par double = intégration de l'équation du moment fléchissant. Z ( ) EI " VII. Condition de rigidité en fleion : On calcule la flèche maimale et on vérifie ensuite que cette flèche reste inférieure à une valeur limite f lim ma f lim Cours résistance des matériau 42

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