De la construction du nombre au système de numération. Animation pédagogique RUMILLY - 06/04/11

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1 De la construction du nombre au système de numération Animation pédagogique RUMILLY - 06/04/11

2 ETAT DES LIEUX CONSTATS DES DIFFICULTES Des difficultés dans l'enseignement des mathématiques : - quelle place pour la manipulation, quel rôle? - de la construction d'une notion à sa systématisation : quelle articulation? - comment favoriser le réinvestissement, le transfert des notions? (résolution de problèmes) - choix des supports et outils tant pour les élèves que pour le maître.

3 Des difficultés pour les élèves dans l'apprentissage de la numération : - la lecture/écriture des nombres irréguliers et des grands nombres - comprendre qu'un nombre représente une quantité : aspect ordinal et cardinal du nombre - le passage du dénombrement terme à terme au groupement - le calcul mental, le calcul réfléchi : réutiliser les notions déjà vues, faire le lien entre les apprentissages

4 3 points essentiels à travailler..sur l'ensemble des 3 cycles et tout au long de l'année : - l'aspect cardinal et ordinal du nombre : le nombre pour mémoriser, le nombre pour comparer - les notions de groupements et d'échanges - la relation entre les nombres et le calcul : le nombre pour calculer

5 1. Le nombre pour mémoriser : Le rang et la quantité Un exemple de situation : Le jeu de l' ordre en GS Aspect ordinal et cardinal vidéo

6 Le nombre pour mémoriser : Analyse vidéo Objectifs visés : Nombre= nombre outil Aspect ordinal : Garder en mémoire le rang, la position des objets dans une série de 1O boites, définir un sens de lecture. Aspect cardinal : Garder en mémoire la quantité de boites Langage :Expliciter sa pensée

7 Le nombre pour mémoriser : Analyse vidéo Consignes données aux élèves Trouver comment se souvenir du contenu des boites Faire une liste Compter et nombre ne sont pas annoncés Situation problème Essayer, tâtonner, réajuster de nombreuses fois Donner du sens au nombre

8 Le nombre pour mémoriser : Analyse vidéo Posture de l' enseignante : Prise d' appui sur les erreurs des élèves Catégorisation des erreurs : -Oubli de boites (aspect cardinal) -Orientation (aspect ordinal) Importance du guidage verbal : Mettre en mots, rendre le langage explicite

9 Le nombre pour mémoriser : Jeu de l' ordre : variables Nombre de boites Recours à une représentation des objets (photos) Travail en binôme et rôle des élèves Nombres d' objets dans les boites (écriture chiffrée) Eloignement du support : -Travail individuel -Travail en binôme (communiquer un message)

10 Le nombre pour mémoriser : Jeu de l' ordre Situation de transfert (quantité, ordre) Situation initiale (En lien avec l' orientation, la symbolisation)

11 Le nombre pour mémoriser : Des situations, des supports d' apprentissage.-utilisation de collections témoins pour constituer une collection - Constitution de collections équipotentes (même nombre) à une collection proposée -Entrainement à la reconnaissance instantannée de petites collections (5 objets) -Apprentissage de comptines (de la chaine en chapelet à la chaine sécable). Livres à compter.

12 Le nombre pour mémoriser : Des situations, des supports d' apprentissage Les situations faisant appel à l' énumération : Le repas des poussins : Une boite à oeufs fermée avec couvercle percé d' autant de fentes que d' alvéoles, des jetons. Placer 1 jeton et 1 seul dans chaque alvéole de la boite en faisant glisser les jetons à travers les fentes situées sur le couvercle. Variables : quantité, support (forme, déplaçable...)

13 Le nombre pour mémoriser : Des situations, des supports d' apprentissage Des situations d' entrainement : (le relais, le tunnel, comptage à rebours, à partir et jusqu'à un nombre donné, de 2 en 2...) Des jeux de cartes

14 Le nombre pour mémoriser : Vers la comparaison Cycle 1 Le calendrier La bande numérique Cycle 2 : Introduction de la droite numérique la spirale numérique

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16 Le nombre pour mémoriser : Comparer Cycle 3 Institutionnalisation des règles de comparaison des nombres Le plus de nombres possible cent(s) quatre trente mille Qui a le plus grand nombre? 2 équipes. Trouver le nombre de son adversaire (questions) Trouver le nombre le plus proche de ,

17 2. Groupements et échanges Difficultés pour les élèves: - regrouper pour dénombrer - échanger un tas contre «quelque chose» d'unique qui lui est équivalent - comprendre la signification des chiffres en fonction de leur position (ex : 15 et 51) Donner l'occasion aux élèves de voir et de comprendre dans une activité de groupement, comment chacune de ces écritures a été produite.

18 Une situation au CM2: histoires de comptes

19 Ecole A Ecole B Ecole C Ecole D 7 tickets 4 carnets 8 enveloppes blanches 2 enveloppes blanches 3 carnets 8 tickets 1 pochette marron 6 tickets 6 carnets 9 carnets 3 enveloppes blanches 7 enveloppes blanches Le gestionnaire de la mairie poursuit le rangement. Combien obtiendra-t-il de carnets? d'enveloppes blanches? de pochettes marron? de tickets isolés? Combien de repas la mairie a-t-elle servis durant cette semaine?

20 Quels apprentissages mis en jeu? Comprendre et mettre en oeuvre des groupements Comprendre et mettre en oeuvre des échanges Savoir passer des groupements à des écritures chiffrées Savoir anticiper les conséquences d'une modification d'une collection organisée sur l'écriture chiffrée.

21 Institutionnalisation Lien entre l'écriture des nombres, le langage mathématique et le langage contextualisé. pochette enveloppe carnet ticket milliers centaines dizaines unités

22 Réinvestissement et décontextualisation - des activités courtes, tout au long de l'année - deux catégories d'énoncés à mettre en relation: des contextes réels : pour la kermesse, on a commandé assiettes qui se vendent par paquets de 100. Combien de paquets a-t-on inscrits sur le bon de commande? des énoncés formels : dans 50 dizaines, combien y a-t-il de centaines? - varier les outils d'aide (tableau de numération, abaques)

23 L'abaque cycle 3 Quelle est la plus value de l'outil? - permet le passage du chiffre au nombre - facilite la lecture par paquets de 3 chiffres - permet de construire les compétences de calcul mental (ajouter ou retirer des multiples de 10, 100, ) - facilite la justification

24 Les groupements et les échanges à l'école primaire Cycle 3: passer de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes Cycle 2: favoriser les activités d'échange et les groupements effectifs Cycle 1: utiliser le dénombrement par paquets pour transmettre une information sur une quantité et favoriser les activités d'échange

25 Des exemples d'activités Des situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges: histoires de comptes, les craies, les trombones, les carrelages Des situations de groupements: Freddy la grenouille, les fourmillions, Des situations d'échange pour travailler l'écriture chiffrée du nombre: échange 2 contre 1, banquier 5 pour 1 puis 10 pour 1

26 Le matériel de numération - Faciliter l'appropriation de la situation - Valider et justifier - Permettre aux élèves de se construire une représentation mentale des nombres

27 3. Relation entre nombre et calcul Le boulier au cycle 2 et au cycle 3 : vidéo

28 3. Relation entre nombre et calcul Le boulier : Les apprentissages mis en jeu - construction du nombre au système de numération : la notion de dizaine, les compléments à dix = aspect cardinal du nombre - aider à l'installation de représentations mentales des nombres chez l'élève 29 = = 10-1

29 Quelle plus-value de l'outils? - amener à faire le lien entre les nombres et le calcul. - entrer dans l'univers numérique sans nombre - l'objet est un vecteur d'explicitation - travail de la mémoire à court terme - outils de différenciation

30 Quand et comment utiliser cet outil? - en rituel, rapide,avec ou sans trace écrite - en amont une phase de manipulation individuelle de l'objet. Quelle situation de départ? - importance de la justification - utilisation au cycle 3 pour les nombres décimaux - une utilisation limitée au cycle 1

31 Quel travail au cycle 1? Dès la PS : - Greli-grelot (ajouter) - Le voleur (enlever) - Je veux faire un collier de 5 perles avec des rouges et des bleues. (résoudre un problème)

32 Extrait de 55 jeux de nombres, 2 à 6 ans, Accès Editions

33 Les différentes écritures d'un nombre de la PS au CM2 Au cycle 1 :

34 Ce qui sera poursuivi au cycle 2 :

35 Et au cycle 3 :

36 Contextualiser les écritures du nombre : 48 c'est : - 4 dizaines et 8 unités x 12-3 x = = 1 centaine et 2 dizaines 120 = 12 X = 12 dizaines 120 = = 4 x 30

37 Les différentes écritures d'un nombre de la PS au CM2 Une aide pour construire des stratégies en calcul rapide = = = (20 +10)+(7 + 5) Une aide pour donner du sens aux nombres irréguliers : 70 = = (4x20) + 12 La connaissance sur les nombres et la maitrise du calcul se développent donc en étroite relation

38 Connaître les nombres : CONCLUSION - c'est «écrire, nommer, comparer, ranger les nombres», des 1ers nombres aux nombres décimaux (programmes 2008). - c'est savoir choisir parmi ses différentes représentations, celle qui est la mieux adpatée au contexte du problème dans lequel ce nombre apparait. - c'est comprendre notre système de numération

39 CONCLUSION - c'est maîtriser les relations entre les nombres - c'est comprendre que les nombres sont des outils utilisés pour résoudre des problèmes (les fonctions du nombre) La connaissance du nombre qui se construira sera toujours en évolution, complétée ou remise en question avec l'extension du champ des nombres que l'élève sera amené à rencontrer dans sa scolarité

40 Des éléments de réponse : Quelle place pour la manipulation, quel rôle? Un support de représentation des nombres (l'objet) Pour s'appropier la situation, la découvrir Puis pour valider On commence à faire des maths quand on ne manipule plus l'objet De la construction d'une notion à sa systématisation : quelle articulation? Des situations marquantes pour les notions clefs auxquelles on pourra faire référence. Ne pas hésiter à recontextualiser des notions déjà vues

41 Des éléments de réponse (suite) Comment favoriser le réinvestissement, le transfert des notions? - progressivité des situations et des énoncés : un problème, plusieurs énoncés (stage filé math). Choix des supports et outils pour les élèves et pour le maître. -Varier les outils pour ne pas faire le choix à la place de l'élève. -Importance des traces écrites individuelles (phase de recherche, calcul réfléchi) ou collectives -Formaliser/institutionaliser (ex : le cahier de nombres au cycle 2,cahier de leçons cycle 3)