INITIATION AUX PROBABILITES

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1 INITIATION AUX PROBABILITES. Vocabulare.. Expérence aléatore Une expérence aléatore est une expérence dont les résultats sont lés au hasard. Exemple : le trage d'une carte à jouer... Evènement Un événement élémentare est le résultat d'une expérence aléatore. Exemple : l'événement "as de trèfle" est un événement élémentare de l'expérence aléatore "trer une carte".. Probablté.. Défnton Dans une expérence aléatore, on assoce à chaque événement élémentare sa probablté : c'est le rapport entre le nombres de cas favorables et le nombre de cas possbles. Exemple : événement "as de trèfle". Nombre de cas favorable :. Nombre de cas possbles : 3 (pour un jeu de 3 cartes). On en dédut que : P("as de trèfle") =. 3.. Proprétés La probablté d'un événement A est toujours comprse entre 0 et : 0 P(A). S P(A) = 0 : l'événement A ne se produt pas, l est mpossble. S P(A) =, l'événement se produt systématquement. La somme des probabltés des évènements élémentares est égale à. S tous les évènements ont la même probablté (ls sont équprobables), alors : P(A) = nombre de cas favorables. nombre de cas possbles L'événement contrare de A est noté A. La somme de la probablté d'un événement et de la probablté de son contrare est égale à : P(A) + P(A ) =. JLG /5

2 . 3. Exemples On consdère un jeu de 3 cartes. Evènement A : trer le ro de cœur. Les cas sont équprobables. Nombre de cas favorables :. Nombre de cas possbles : 3. P(A) = 3. Evènement B : ne pas trer le ro de cœur. Les cas sont équprobables. C'est l'événement contrare de A, donc P(B) = P(A 3 ), donc P(B) = P(A), donc P(B) =. 3 Evènement C : trer les 4 as. Les cas sont équprobables. Nombre de cas favorables : 4. Nombre de cas possbles : 3. P(C) = 3 4, donc P(C) = 8. Evènement D : trer toutes les cartes de carreau. Les cas sont équprobables. Nombre de cas favorables : 8. Nombre de cas possbles : 3. P(D) = 3 8, donc P(D) = Lo de probablté 3.. Défnton La foncton x P(X = x ) défnt la lo de probablté de la varable aléatore X. P(X = x ) se lt "probablté pour que X prenne la valeur x ". A chaque valeur x que peut prendre la varable X, on assoce sa probablté p. L'ensemble des couples (x ; p ) est la lo de probablté de la varable X. Exemple : on lance un dé équlbré. Les cas sont équprobables. La varable peut prendre les valeurs x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5 et x 6 = 6. A chaque valeur x, on assoce une probablté p telle que p =, p =, p3 =, p4 =, p5 = et p6 = Foncton de répartton de la varable La foncton x P(X x ) est appelée foncton de répartton de la varable aléatore X. P(X x ) se lt "probablté pour que X at une valeur nféreure à x ". La foncton de répartton se représente par la courbe des probabltés cumulées crossantes. Remarque : on peut rapprocher les effectfs cumulés crossants calculés sur une sére statstque avec la foncton de répartton. JLG /5

3 3. 3. Espérance mathématque L'espérance mathématque E(X), ou m, d'une varable aléatore X est donnée par la relaton : E(X) = m = = = n x p. Remarque : on peut rapprocher l'espérance mathématque d'une varable aléatore avec la moyenne des données d'une sére statstque Varance La varance V(X) de la varable aléatore X est donnée par une des deux relatons suvantes : n V(X) = ( x m) = = p ou V(X) = n = = p x m Ecart type L'écart type σ(x) d'une varable aléatore X est la racne carrée de la varance : σ(x) = V (X). L'écart type donne la dsperson des valeurs de la varable aléatore X par rapport à l'espérance mathématque E(X) ou m Exemple récaptulatf Une socété a établ une statstque sur les nterventons nécessares à la mantenance des machnes pendant un an (50 machnes dentques). Elle a obtenu le tableau c-dessous : Nombre d'nterventons x Nombre de machnes n On souhate calculer la probablté qu'une machne prse au hasard at sub deux nterventons. Les cas sont équprobables. Le nombre de cas favorables est. Le nombre de cas possbles est 50. On a donc P(X = ) =, sot P(X = ) = 0, On peut établr le tableau de la lo de probablté de la varable aléatore X. Valeurs de X : x P(X = x ) 0,08 0,50 0,4 0, 0,06 3. On souhate détermner la probablté qu'une machne subsse au plus deux nterventons. La machne peut subr 0 nterventon : P(X = 0), nterventon : P(X = ), ou nterventons : P(X = ). JLG 3/5

4 On a donc P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ), donc P(X ) = 00,08 + 0,50 + 0,4, sot P(X ) = 0,8. 4. On peut dresser le tableau de la foncton de répartton : Valeurs de X : x P(X x ) 0,08 0,58 0,8 0,94 5. On souhate calculer l'espérance mathématque E(X) pour la varable aléatore X. On dresse le tableau suvant : On en dédut que E(X) = m =,58. Valeurs de X : x P(X = x ) = p x p 0 0,08 0 0,50 0,5 0,4 0,48 3 0, 0,36 4 0,06 0,4,58 Ce nombre représente le nombre "moyen" d'nterventons auquel on peut s'attendre sur une machne. 6. On peut calculer l'écart type de la varable aléatore X : on calcule la varance à l'ade du tableau suvant : Valeurs de X : x P(X = x ) = p x p p (x m) 0 0,08 0 0,99 7 0,50 0,5 0,68 0,4 0,48 0, , 0,36 0, ,06 0,4 0, On en dédut σ(x) =,003 6, sot σ(x) =,00.,58,003 6 Remarque : tous les calculs précédents peuvent se fare à l'ade de la calculatrce en mode statstque. 4. La lo normale 4.. Défnton Un grand nombre de varables aléatores suvent la lo normale N(m ; σ), ou lo de Laplace Gauss. Cette lo normale est représentée par une courbe de Gauss ou courbe en cloche représentée c dessous. JLG 4/5

5 Remarque : P(m σ) X P(m + σ) = 0,68 P(m σ) X P(m + σ) = 0,95 P(m 3σ) X P(m + 3σ) = 0,98 Cec sgnfe que 98 % des valeurs d'une varable aléatore X suvant une lo normale se trouvent dans l'ntervalle [m 3σ ; m + 3σ]. 4.. La lo normale centrée rédute m σ + σ σ + σ 3σ + 3σ On utlse pour des rasons pratques la lo normale centrée rédute N(0 ; ) : c'est la lo normale de moyenne nulle (m = 0) et d'écart type égal à (σ = ). T = Des tables donne les valeurs de cette lo normale centrée rédute. Pour pouvor l'applquer à une varable aléatore de moyenne m et d'écart type σ, l faut calculer x m, où x est une valeur donnée de la varable aléatore X. σ Exemple On a étudé les dmensons, en mm, de pèces usnées. On a obtenu une lo de probablté de moyenne m = 0 mm et d'écart type σ = mm. On peut calculer la probablté de trouver une dmenson nféreure à 0,90 mm en utlsant la table de la lo normale centrée rédute. On calcule T = x m, sot T = σ valeur 0,45 dans la table. On obtent : P(X 0,90) = 0, ,90 0, donc T = 0,45. On cherche la On peut calculer la probablté de trouver une dmenson nféreure à 8,80 mm en utlsant la table de la lo normale centrée rédute. On calcule T = x m, sot T = σ 8,80 0, donc T = 0,60. Comme T < 0, on cherche la valeur 0,60 dans la table, et la probablté sera le complément à l'unté de la valeur lue. On obtent : P(X 8,80) = 0,75 75, donc P(X 8,80) = 0,74 5. JLG 5/5

6 LOI NORMALE CENTREE REDUITE N(0 ; ) T 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0,539 0,5790 0,5388 0, , 0, , , ,557 0, ,5596 0, , ,574 0, , 0,5796 0,5837 0, , , ,5987 0,6057 0,6064 0,606 0,6409 0,3 0,679 0,67 0,655 0,6930 0, , , ,6443 0, ,6573 0,4 0,6554 0,6590 0,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,5 0,6946 0, , ,7094 0, , ,76 0,7566 0,7904 0,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0, ,7389 0,745 0, , ,7575 0, ,7 0, ,765 0,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,8 0,7884 0,7903 0, , , ,8034 0,805 0, ,8057 0,837 0,9 0,8594 0,8859 0,8 0,838 0,8639 0,8894 0,8347 0, , ,8389,0 0,8434 0, ,8464 0, , ,8534 0, , , ,864, 0, , , , ,8786 0, , , ,8800 0,8898, 0, , , , ,895 0, ,8967 0, , ,9047,3 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,4 0,994 0,9073 0,90 0,9364 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0, ,9389,5 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,6 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,7 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,8 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,0 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869, 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574, 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,3 0,9898 0, , ,9900 0, ,9906 0, ,99 0,9934 0,9958,4 0,9980 0,990 0,994 0,9945 0,9966 0,9986 0, ,9934 0, ,9936,5 0, , ,9943 0, , ,9946 0, ,9949 0, ,9950,6 0, , , , , , , ,996 0,9963 0,99643,7 0, , , , , ,9970 0,997 0,9970 0,9978 0,99736,8 0, ,9975 0, , , ,9978 0, , ,9980 0,99807,9 0,9983 0,9989 0,9985 0,9983 0, ,9984 0, ,9985 0, ,9986 3,0 0, , , , ,9988 0, , , , , , 0, , ,9990 0,9993 0,9996 0,9998 0,999 0,9994 0,9996 0,9999 3, 0,9993 0, , , , ,9994 0, , , , ,3 0,9995 0, , , , , ,9996 0,9996 0, , ,4 0, , , , ,9997 0,9997 0, , , , ,5 0, , , , , ,9998 0,9998 0,9998 0, , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , ,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,99997 Probabltés.doc JLG

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